Liceo scientifico, opzione scienze applicate e indirizzo sportivo

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1 PRVA D ESAME SESSINE SUPPLETIVA Lico scintifico, ozion scinz alicat indiizzo sotivo Il candidato isolva uno di du oblmi isonda a qusiti dl qustionaio Duata massima dlla ova: o È consntito l uso di calcolatici scintifich /o gafich uché non siano dotat di caacità di calcolo simbolico (DM n At comma ) PRBLEMA Un atigiano dv alizza una conic in cui insciv uno scchio di foma cicola A ati da una tavola quadata di lato dcimti (aossimato alla sconda cifa dcimal), adoando una macchina a contollo numico (CNC), incid su ciascun lato una dcoazion ch asnta una ozion di cuva goniomtica com si vd in figua La macchina taccia sul lato giacnt sull ass dll asciss la cuva dscitta dalla funzion k sin^h con! k aamto al ositivo La conic vin uotata alizza la dcoazion su ciascun lato (La cision dlla macchina è di m, quindi al di soa dlla cision ichista dlla misu dlla conic) P ottn la dcoazion, occo ch l cuv su du lati conscutivi si intschino nl loo unto di massimo iù vicino al vtic dlla conic Vifica ch tal ichista è soddisfatta k La dcoazion snta dll «fogli» (coloat in gigio in figua ) in coisondnza di quatto vtici L atigiano vuol ivsti qust quatto gioni con una olv camica Dtmina l aa, sssa in dm, dlla sufici da icoi Figua Figua Zanichlli Edito,

2 Volndo offi ai clinti la ossibilità di insi nlla conic uno scchio di dimnsioni maggioi, l atigiano n alizza un alta con il lato dll stss misu dlla cdnt, ma con l quatto cuv goniomtich ch hanno in comun solo i vtici dlla conic, così com in figua Vifica ch ottn una dcoazion di qusto tio occo imosta nlla macchina CNC un valo di k comso ta ch k du dcoazioni conscutiv sono tangnti nl vtic dlla conic Dtmina inolt, in funzion di k! l aa dlla at di conic comsa ta i lati l quatto cuv goniomtich, simndola in dm L atigiano ha ovviamnt l signza di offi la conic a clinti ch hanno scchi cicolai di dimnsioni divs Dtmina in funzion dl aamto k l aa dllo scchio tangnt all quatto cuv goniomtich stabilisci quindi l aa minima massima ossibil dllo scchio Un clint, cui è stata alizzata una conic con k, chid ch la gion comsa ta lo scchio l quatto cuv vnga diinta con una vnic di cui l atigiano ossid un flacon da ml Dal momnto ch con lito di vnic è ossibil coi m di sufici, la quantità a disosizion è sufficint assa du mani di vnic? P qual valo di k la quantità di vnic ichista è massima? PRBLEMA Fissato un numo al k, si dfiniscono l funzioni: Figua fk ^h k$ ln( ) gk ^h k, i cui gafici sono indicati, isttivamnt, con F k G k Vifica ch, qualunqu sia k, l du funzioni f k g k sono ta loo invs; dfinit inolt l funzioni: a ( ) fk( gk( )) b ( ) gk( fk( )), stabilisci s si vifica a ( ) b ( ),! R Indicata con la tta di quazion, dtmina l quazion dlla tta s, aallla a tangnt al gafico F dlla funzion f ^h ln^h Dtmina inolt l quazion dlla tta t, aallla a tangnt al gafico G dlla funzion g ^ h Rasnta i gafici F G insim all tt s t stabilisci qual è la distanza minima ta un unto di F un unto di G Vifica ch l quazion f^h g^h ossid du soluzioni sando ch, qualunqu sia k, gli vntuali unti d intszion ta il gafico F k il gafico G k coincidono con i unti di intszion ta uno qualsiasi di tali gafici la tta di quazion Stabilisci inolt quali valoi k i gafici F k G k sono scanti, quali valoi sono disgiunti qual valo ssi sono tangnti Sia A la gion limitata comsa ta i gafici F G gli assi catsiani Dtmina l aa di A d il volum dl solido gnato uotando A attono a uno dgli assi catsiani Zanichlli Edito,

3 QUESTINARI Considati nl iano catsiano i unti A^ ; h B( ; ), sia R la gion iana dlimitata dal sgmnto AB dall aco di cuva avnt quazion sin, con # # Calcola il massimo imto ch uò av un ttangolo inscitto in R avnt un lato contnuto nl sgmnto AB Si considi la funzion f^h nll intvallo dtto C il suo gafico, sia t la tta tangnt a C nl suo unto di ascissa Dtmina, al vaia di, l a dll du ati in cui la tta t divid la gion finita di iano comsa fa C l ass dll asciss Dtmina l quazion dlla sufici sfica di cnto C^; ; h tangnt al iano di quazion + z l coodinat dl unto di contatto ta la sufici sfica il iano n n n Vifica ch cos d ^ h n cos ^hd n usa qusto isultato calcola cos ^hd Si lancia n volt un dado gola a si facc Qual è il iù iccolo valo di n tal ch la obabilità ch non sca mai il numo sia mino dllo,%? Data la funzion a + b, dtmina il valo di cofficinti a b i quali il gafico dlla funzion è tangnt nl unto di ascissa alla tta di quazion Dat l cuv c c di quazioni isttivamnt + +, sia t la tta ch è tangnt a ntamb Stabili l aa dlla gion iana di aa finita ch è dlimitata da c, c t Una vaiabil casual, a valoi nll intvallo è distibuita scondo la dnsità di obabilità data dalla funzion, # # f^h *, # Stabili il valo mdio il valo mdiano di qusta vaiabil casual Dtmina il luogo gomtico di unti P^; ; zh quidistanti dai unti A^ ; ; h B^ ; ; h Vifica ch la funzion sin è soluzion dll quazion diffnzial m + l + Zanichlli Edito,

4 SLUZINE SESSINE SUPPLETIVA Lico scintifico, ozion scinz alicat indiizzo sotivo PRBLEMA Pima di tutto ossviamo ch l cuv dlla dcoazion ch si sviluano lungo i lati dlla tavola ossono ss ottnut mdiant simmti assiali a ati dalla cuva «bas» dscitta dalla funzion k sin in In aticola: la cuva ch si svilua lungo l ass è simmtica dlla cuva bas k sin istto alla bisttic dl imo quadant di quazion ; la cuva ch si svilua lungo il lato dsto dlla tavola, ch giac sulla tta di quazion, è simmtica dlla cuva bas k sin istto alla tta di quazion ; la cuva ch si svilua lungo il lato suio dlla tavola, ch giac sulla tta di quazion, è simmtica dlla cuva bas k sin istto alla tta di quazion Possiamo quindi agiona su un solo «angolo» dlla tavola quadata icava l infomazioni ichist su k sull a dll «fogli» Riotiamo dunqu nlla figua sgunt il dttaglio in basso a sinista dlla tavola, cioè il dttaglio dll angolo coincidnt con l oigin dgli assi Sugli assi iotiamo l asciss l odinat di unti in cui l cuv hanno minima distanza (cioè distanza nulla) o massima distanza dall ass stsso Poiché la funzion k sin è oiginata simmtia dilatazion dalla sinusoid sin, tali quot isultano bn sss in funzion di A k sin Figua La funzion k sin è iodica di iodo, nll intvallo assum il valo massimo k (ch è ositivo) P la simmtia dlla costuzion, l ascissa l odinata di A sono uguali quindi dv ss k L sssion analitica dlla cuva ch si svilua lungo l ass è dunqu: sin Zanichlli Edito,

5 L quatto «fogli» ch si cano nlla dcoazion ai quatto angoli dlla tavola sono congunti, ciascuna, simmtica istto all ass ch collga i du stmi, com mostato nlla sgunt figua A sin Figua P dtmina l aa dlla sufici comlssiva dll quatto fogli, calcoliamo l aa di mzza foglia moltilichiamo il isultato otto Considato ch nll intvallo ; B la funzion sin è non ngativa, ottniamo: A fogli ` sin jd : cos D : ` j + D Aossimando alla sconda cifa dcimal, ovvo usando, com valo di, l aa dll quatto fogli isulta di, dm Considiamo oa la gnica cuva di quazion k sin, ch si svilua lungo l ass in la simmtica istto alla tta di quazion, ch si svilua lungo l ass k sin Figua Affinché la dcoazion non gni alcuna «foglia» ni vtici, com mostato nlla figua qui soa, occo ch la smitta tangnt a k sin nll oigin (liminiamo il valo assoluto ché agioniamo in abbia cofficint angola ositivo infio o ugual a, cioè infio o ugual al cofficint angola dlla tta Diviamo la funzion: l k cos " l^h k Quindi non si gnano l «fogli» nlla dcoazion s # k # Zanichlli Edito,

6 P k non si ha alcuna dcoazion, oiché la cuva coisondnt sabb il sgmnto di stmi ^ ; h ^; h ch coincid con il lato dlla tavola P k la smitta tangnt alla cuva k sin sin coincid con l ass di simmtia, quindi l du cuv dlla dcoazion, qulla ch si svilua lungo l ass la simmtica lungo l ass, isultano tangnti nl vtic dlla conic La at di conic comsa ta i quatto lati dlla tavola l quatto cuv goniomtich è quivalnt a «sicchi» uguali a qullo vidnziato in gigio nlla figua cdnt L aa ichista, sssa in dcimti quadati, è quindi data da: A sicchi $ k sin d k k^ + h k d è quindi comsa fa dm, k, dm, k Rasntiamo la situazion in figua T T C T T Figua Sm nll iotsi # k #, il aggio dllo scchio in funzion di k è dato da: ^kh T C k sin C T $ k P k si ha lo scchio di aggio massimo: dm, ; P k si ha lo scchio di aggio minimo:, dm L aa dllo scchio cicola è, in gnal: Ascchio ` kj P k si ha lo scchio di aa massima: Ascchio, ` j, dm ; P k si ha lo scchio di aa minima: Ascchio, ` j, dm ssviamo ch k la dcoazion di fatto non sist lo scchio isulta ss il cchio inscitto nl quadato di lato Zanichlli Edito,

7 L aa dlla gion da tintggia, comsa ta lo scchio l quatto cuv, è data dall aa dl quadato di lato da cui va sottatta l aa di «sicchi» calcolata in cdnza l aa dllo scchio cicola Nl caso gnal è: Agion Aquadato A sicchi Ascchio ^h k` kj S k, l aa dlla gion da diing è: A ^h A, dm gion, scchio, Poiché l mani di vnic da da sono du, considiamo il doio di qust aa:, dm Con la vnic a disosizion (, liti; m dm di cotua lito) si ossono coi:, $ dm, quindi la vnic è sufficint tintggia il suoto dllo scchio nl caso k Sviluando i calcoli nll sssion ch fonisc l aa dlla gion da diing nl caso gnal, ottniamo un olinomio di scondo gado in k: Agion k + ^ h k + Tal funzion asnta una aabola con la concavità vso il basso assum il massimo in coisondnza dl vtic; l ascissa dl vtic è: k V b a $ ^h, Concludndo, l aa massima da diing si ottin k aossimativamnt ugual a, PRBLEMA La funzion f ^h kln, con k, è dfinita ha insim immagin l insim di ali k k La funzion gk ^h è dfinita tutti gli ali ha insim immagin l ; + Di ch l du funzioni sono invs quival ad assi ch la loo comosizion dà la funzion idntità; vifichiamo s ciò accad La funzion comosta a^ ^ fk% gk ^ h h h sist oiché l immagin di gk ^h è contnuta nl dominio di fk ^h isulta: a^h f^g ^ hh f_ k i kln k k$ ln, con! R k k k k Quindi a^h è la funzion idntica su R La funzion comosta b ^ ^ g k% f k ^ di gk ^h isulta: h h h sist oiché l immagin di fk ^h è contnuta nl dominio kln b g f g kln k ln ^ h ^ ^ hh ^ h, con k k k Quindi b^h è la funzion idntica dfinita L uguaglianza a^h b^h non è vificata ogni al, ché non è dfinita # : a^h b^h solo Considata la funzion f ^h ln, dtminiamo la tta s tangnt al suo gafico F aallla alla tta di quazion La tta s ha dunqu cofficint angola ugual a da f l^ h icaviamo: f l^h " " Zanichlli Edito,

8 La tta s tangnt a F nl suo unto di ascissa ha dunqu quazion: fl^h$ ^ h+ f ^h " ^ h + ln " + ln In modo analogo, data la funzion g ^ h, anch la tta t tangnt al suo gafico G aallla alla tta di quazion ha cofficint angola ugual a da g l ^ h icaviamo: gl ^h " " " ln ln " ln " ln La tta t tangnt a G nl suo unto di ascissa ln ha dunqu quazion: gl ^ln h^ ln h+ g ^ln h " ^ ln h + " + ln Altnativamnt, oiché g è l invsa di f i gafici coisondnti sono simmtici istto alla bisttic, avmmo otuto icava l quazion di t da qull di s scambiando Rasntiamo i gafici F G l tt tangnti s t + ln ln g () + ln ln f () ln Anziché studia l funzioni taccia i gafici, ossviamo ch: F si ottin dal gafico di ln mdiant dilatazion vtical di fatto ; G si ottin dal gafico di mdiant dilatazion oizzontal di fatto Inolt l coodinat aossimat di unti di tangnza ^ ; ln h ^ln ; h ( un ida immdiata di dov colloca tali unti) valgono: ^ ;, h ^, ; h Disgniamo dunqu i gafici ichisti ssvando i gafici, dduciamo ch la distanza minima ta un unto di F un unto G è ai alla distanza fa i du unti di tangnza ^ ; ln h ^ln ; h Quindi: dminima ^ln h + ^ ln h ^ln h ^ln h L infomazion nota ch, qualunqu k, gli vntuali unti di intszion fa i gafici F k G k coincidono con i unti di intszion ta uno qualsiasi di tali gafici la tta di quazion, quival a di ch in tali unti di intszion il valo assunto dall funzioni fk ^h g k ^h coincid con l ascissa dl unto stsso Anziché consida l quazion f^h g^h, quindi, ossiamo consida il sistma: f ^h ln ) " ) g^h ssviamo ch s a è una soluzion di un quazion dl sistma, smio dlla ima quazion, cioè ln a a, alloa a anch soluzion dlla sconda quazion, infatti: a ln a a " ln a " " a t s a a lna Figua Zanichlli Edito,

9 Non iman ch vifica ch tal sistma ammtt du soluzioni, ovvo ch la ima (o la sconda) quazion ammtt du soluzioni Considiamo dunqu l quazion ln vifichiamo ch ha du soluzioni, inttando l quazion com l intszion di gafici di f^h di i^h La funzion ln è una funzion cscnt, dfinita, con la concavità ivolta sm vso il basso P " è ln (ché ln " ) " ) f () ln anch " + è ln ( gli odini di infinito) Dtminiamo il unto in cui F ha tta tangnt aallla a : ln f l^h " " P è f ^h ln i^h La situazion è asntata in figua Poiché l funzioni ln sono continu, l quazion ln dv ammtt du soluzioni (com cons Figua gunza dl toma di sistnza dgli zi), i agionamnti fatti, ossiamo infin affma ch l quazion f^h g^h ha du soluzioni Più in gnal ossiamo affma: s il gafico F k intsca la tta di quazion, alloa il gafico G k, ch è simmtico di F k istto a, intsca la tta ngli stssi unti i du gafici F k G k sono scanti; s il gafico F k è tangnt alla tta, alloa anch il gafico G k è tangnt a i du gafici F k G k isultano fa di loo tangnti; s il gafico F k non intsca la tta, alloa nmmno il gafico G k la intsca i du gafici F k G k isultano disgiunti Rasntiamo l t situazioni in figua g k () g k () g k () f k () f k () f k () F k G k scanti F k G k tangnti F k G k disgiunti a Figua b P quanto visto fin qui saiamo ch i du gafici F G ^k h sono disgiunti, mnt i du gafici F G ^k h sono scanti Dtminiamo il valo di k i qual i du gafici F k G k sono tangnti (saà k ) S F k G k sono tangnti, alloa F k è tangnt all tta di quazion, ovvo il unto T di F k nl qual la tangnt è aallla a ha l ascissa l odinata uguali Cchiamo il unto di F k nl qual la tangnt è aallla a, cioè ha cofficint angola : k fk l^h " " k c Zanichlli Edito,

10 Imoniamo ch, k, anch l odinata di fk ^h sia ugual a k: fk ^h k " kln k k " ln k " k Quindi, i du gafici F k G k sono tangnti k nl unto ^ ; h Possiamo conclud: s k, k G k sono disgiunti; s k, k G k sono tangnti; s k, k G k sono scanti Rasntiamo in figua la situazion La gion A limitata comsa fa i gafici F G gli assi g () catsiani è simmtica istto alla bisttic dl imo tzo quadant, quindi ossiamo calcola la sua aa addoiando qulla dlla gion comsa fa il gafico G f () ln la bisttic nll intvallo [; ]: aa A ^ h _ i d : $ D a k a k, La gion A è simmtica istto alla bisttic dl imo tzo quadant, quindi i solidi ch si gnano uotando Figua A attono all ass ou attono all ass sono congunti tanto quivalnti Ruotiamo dunqu la gion A attono all ass Il volum V dl solido così gnato uò ss calcolato com diffnza fa il volum dl solido gnato dalla otazion di G ( # # ) attono all ass il volum dl solido gnato dalla otazion di F ( # # ) sm attono all ass : V _ i d ^ln h d d ln d d ln d Risolviamo comodità saatamnt gli intgali coisondnti: d d $ + c, quindi: d : $ D $ ^ h; ln ln $ ln ln $ D ^ ln d d hd ln $ ^ln h ^ln hd ln ln ^ln hd ln ln ^ln h+ c ln ln + + c, quindi: A ln d ln ln Sostituiamo i valoi tovati nll sssion dl volum: V ^ h ^ h +, Zanichlli Edito,

11 QUESTINARI Rasntiamo in figua la gion R sottsa al gafico di sin nll intvallo (la funzion sin è ottnuta da sin mdiant dilatazion vtical di fatto ) un gnico ttangolo CDEF inscitto in R, con la bas CF giacnt sull ass D sin E A C F B Figua Indicato con C(; ) l gnich coodinat di C, l coodinat dgli alti vtici dl ttangolo sono: D^; sin h, E^ ; sin h, F^ ; h Il imto dl ttangolo CDEF, in funzion dll ascissa di C, è dato da: CF+ CD ^F Ch+ ^D Ch ^ h+ ^sin h ^ + sin h Individuiamo qual valo di il imto è massimo, ccando il unto di massimo dlla funzion + sin : l + cos ; l " + cos " cos ", considata la limitazion # # Risulta inolt: l, quindi cscnt, ; l, quindi cscnt, Quindi è un unto di massimo la funzion, di consgunza il ttangolo CDEF ha imto massimo quando C ha coodinat C` ; j in qusto caso il imto val: ` + sin j a + k +, Disgniamo il gafico di f^h, dfinita! disai Mttiamo in vidnza l intvallo con gnico divso da zo, disgniamo la tta t tangnt a C nl unto di ascissa Zanichlli Edito,

12 f() P R R t Figua Nl disgno abbiamo so, ma, ssndo f disai, la tattazion algbica sgunt è valida anch ngativo P dtmina l quazion di t ossviamo ch la tta assa il unto Pa; k di C, oiché è tangnt a C in P, ha cofficint angola fl^h ; quindi l quazion di t è: fl^h^ h+ f^h " ^ h+ " + Calcoliamo l intszion di t con l ass : " + " Quindi la tta tangnt assa sm il unto ^; h P ogni valo di non nullo, dunqu, la tta t divid la gion sottsa a C nll intvallo in du gioni: R, dlimitata dall ass, dalla tta dalla tta t; R, dlimitata da C, dalla tta dalla tta t La gion R è un tiangolo di aa: aa^r h $ bas $ altzza $ $ L aa dlla gion R si ottin sottando l aa dlla gion R all aa sottsa da f() nll intvallo aa^r h d ln ln ln A ln ln ssviamo ch ntamb l a sono indindnti dal valo di!, Pocdiamo nl sgunt modo: a dtminiamo la tta ndicola al iano a di quazion + z assant C^; ; h; b il unto di intszion T fa a individua il unto di contatto ta sufici sfica iano; c la distanza CT, ovvo la distanza di C dal iano a, fonisc il aggio dlla sufici sfica; d dato il cnto il aggio, dtminiamo l quazion dlla sufici sfica Zanichlli Edito,

13 Sviluiamo i singoli unti a L tt ndicolai ad a hanno vtto di dizion ^; ; h, l cui comonnti sono i cofficinti di,, z dll quazion di a La tta, in foma aamtica, è alloa: + t : * t, con t! R z + t b Sostituiamo l quazioni di nll quazion di a; la soluzion, in t, fonià la coodinata aamtica dl unto di intszion T: ^+ th^ th+ ^+ th " t " t Il unto T ha dunqu coodinat: + " z + * * z " T^; ; h c Calcoliamo il aggio dlla sfa in du modi Modo Distanza fa du unti CT ^ h + ^ + h + ^ h + + Modo Distanza untoiano ^ h + distanza^c, ah + ^ h + d La sufici sfica di cnto C^; ; h aggio ha quazion: ^ h + ^+ h + ^z h ^ h " + + z + z Vifichiamo la validità dlla fomula; agioniamo ima sugli intgali dfiniti oi assiamo agli intgali dfiniti Risolviamo l intgal dfinito ati: n n n n cos d cos $ cos d sin $ cos sin $ ^nh^ sin hcos d : > : > : gl f g f g f l n n n n sin $ cos + ^n h sin $ cos d sin $ cos + ^nh ^ cos h $ cos d n n n sin $ cos + ^n h cos d ^n h cos d Abbiamo quindi ottnuto: n n n n cos d sin $ cos + ^nh cos d^nh cos d Potando a imo mmbo l intgal di cos n icaviamo: n n n n cos d sin $ cos + ^n h cos d cos n n sin $ cos n d n + n " cos n d Zanichlli Edito,

14 Passando agli intgali dfiniti, ossiamo alloa sciv: n n sin $ cos n cos d n + : D n cos n d " n n cos n d n cos d, vificando così la fomula Usiamo qusto isultato calcola l intgal dfinito ichisto: cos d cos d cos d d $ ssviamo ch abbiamo ffttuato la sostituzion cos Tal uguaglianza è va cos!, cioè! (altimnti avmmo ch non è dfinito), ma oiché tal unto asnta un unto di discontinuità liminabil la funzion costant, abbiamo otuto ffttua la sostituzion snza alta il valo dll intgal Il dado a si facc è gola, quindi la obabilità ch in un lancio sca il numo è, mnt la obabilità ch non sca il numo è Su n lanci, la obabilità ch non sca mai il numo è data da: n n ` j Imoniamo ch tal obabilità sia mino dllo,%:,, % n n ln n n " ` j " ` j " ` j ln " ln n ln $ $ ` j $ ln " n ché ln ln ln ` j $ ln Considato ch,, dovmo nd n $ ln ln Considiamo la funzion f^h a+ b con a, b ali Il suo gafico C è tangnt nl unto T di ascissa alla tta di quazion ; oiché T aatin alla tta, la sua odinata è $ concludiamo ch l coodinat dl unto di tangnza sono T^; h Il unto T aatin anch al gafico di f^h, quindi: f^h " $ a$ + b " a+ b La tta tangnt in T a C ha cofficint angola, quindi dv ss f l^h P ot diva f^h, ch contin un valo assoluto, icodiamo la sgunt gola: g^h D g^h A $ gl^ h g^h In aticola ottniamo: a + b A D a a + b + b $ a Zanichlli Edito,

15 Ritonando alla divata di f^h, toviamo: a + b fl^ h a + b + $ $ a a + b a+ a + b a k a + b Imoniamo ch la divata assuma valo in : a a a+ b f l^ h " a+ b a + " " " a + b k + a + b a+ b a+ b a+ b " a+ b Mttiamo a sistma l du condizioni tovat, saminando i du casi lativi al sgno di a+ b S a+ b $ abbiamo: a+ b a b a b a ' a b " ' b+ b " ' + b " & b, da cui: f^h S a+ b abbiamo: ab a b a b a ' a b " ' + b+ b " ' b " & b, da cui: f^h + Poiché i tmini in valo assoluto tovat f^h sono quivalnti + asntano la stssa funzion, l du scittu I gafici c c sono costituiti ntambi da una aabola: c, gafico di +, una aabola ivolta vso l alto di vtic b V a, V c, gafico di +, è una aabola ivolta vso l alto di vtic V b a, V P dtmina l quazion dlla tta tangnt a ntamb l aabol, ndiamo una gnica tta tangnt a c imoniamo ch isulti tangnt anch a c Pso dunqu un unto Paa ^ ; + h sulla ima aabola, con a al, la tta tangnt a c in P ha quazion: ^a + h a^ ah " a a +, dov il cofficint angola a è stato ottnuto sostitundo a nlla divata di + Cchiamo il unto di c nl qual la tta tangnt ha cofficint angola a: l " a " " + a da cui ^+ ah ^+ ah+ a Zanichlli Edito,

16 Imoniamo ch la tta tangnt a c assi tal unto ^+ aa ; h: a a$ ^+ ah a + " a In conclusion, la tta tangnt a ntamb l aabol ha quazion: ^h^ h + " d isulta tangnt a c in A^ ; h a c in B^; h γ γ A C B Figua L du aabol c c si intscano in: ( " ' " ' " & " C^ ; h Calcoliamo l aa dlla gion limitata da c, c dalla tta tangnt: aa + ^h@ d + + ^h@ d ^ + + hd+ ^ + h d : + + D + : + D ` + + j` + j+ ` $ + $ j` + j La funzion assgnata s # # f^h * s # è ffttivamnt una funzion dnsità di obabilità, oiché è ovunqu f^h $ (la funzion si consida nulla al di fuoi dll intvallo [; ]) l intgal dfinito su [; ] val, infatti: f d d d ^ h ` j + B + B + Zanichlli Edito,

17 Il valo mdio dlla vaiabil casual coisondnt è: f d d d $ ^ h ` j + B + B +, Il valo mdiano dlla vaiabil casual è qul valo m, con m, tal ch la obabilità dll vnto X m è ugual alla obabilità dll vnto m X ; dtto altimnti, il valo mdiano m è tal cui: ^ X mh ^m X h m Noto ch ^ X h f^hd, dv ss: f^hd f^hd m Poiché f^hd ` jd, dv ss m Considato m, abbiamo: m m X fd d ^ h ^ h B m Imoniamo tal obabilità ugual a : m " m " m Il valo mdiano dlla vaiabil casual è m m I unti dllo sazio tidimnsional quidistanti da A^ ; ; h B^ ; ; h sono i unti dl iano ndicola al sgmnto AB assant il suo unto mdio Il sgmnto AB ha vtto di dizion: v^ ; ; z z h v^ ; ;h B A B A B A " Il unto mdio di AB è: M B+ A B+ A zb+ za a ; ; k " M` ; ; j Il iano ndicola ad AB assant M ha quazion: $ `+ j+ $ ` j$ ^z h " + z Diviamo du volt la funzion assgnata: sin ; l sin + cos ^cos sin h; m ^cos sin h+ ^sin cos h cos Sostituiamo nll quazion diffnzial vifichiamo ch ottniamo un idntità, ovvo un uguaglianza sm vificata ogni valo di : m + l + " cos + ^cos sin h+ sin " ^ cos + cos sin + sin h " Quindi sin è soluzion dll quazion diffnzial assgnata Zanichlli Edito,