Risultati esame scritto Fisica 2-13/02/2017 orali: 21/02/2017 alle ore presso aula C

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1 Risultati sam scitto Fisica - 3//7 oali: //7 all o. psso aula gli studnti intssati a visiona lo scitto sono pgati di psntasi il giono dll'oal maticola voto nc nc ammsso 4899 nc 4889 ammsso 8463 nc ammsso 8 7 ammsso ammsso 3 7 ammsso ammsso ammsso ammsso ammsso 89 ammsso 563 nc nc non classificato ( < )

2 sam di Fisica oso ntatno di ng. nfomatica Biomdica 3//7 Polma ia dato un filo infinito avnt szion cicola di aggio a con dnsità di caica p unità di lunghzza unifom pai a (caica positiva). Una paticlla di massa m caica ngativa q uota su un piano ppndicola al filo con moto cicola unifom con aggio R>a, avnt il cnto dl filo com cnto dll oita (vdi figua). ) imosta ch la vlocità v dlla paticlla ch uota non dipnd dal aggio R dll oita. ) tmina il potnzial lttostatico gnato dal filo infinito in funzion dlla distanza dal filo, (), p a imponndo p a. 3) Nl caso in cui la paticlla aia aggio dll oita intono al filo pai a R.5 a (dov è il numo di Npo), si dtmini l ngia total dlla paticlla, facndo uso dll spssion di () dtminata al punto pcdnt. [i spimano i isultati in funzion di paamti ch sono ncssai fa:, m, q, a, in funzion dlla distanza dll costanti univsali ov ncssaio. Polma ia dato il cicuito dlla figua, antato in ingsso da un gnato di tnsion altnata di cui sono noti, ispttivamnt ampizza pulsazion dlla tnsion oscillant. ono inolt noti i valoi dll induttanz dll capacità. ) tmina l impdnza complssa total,, dl cicuito calcolan il modulo,, la fas. ) tmina l ampizza dlla cont (in modulo) ch cicola nl cicuito in funzion di, calcola p quali valoi si ha isonanza, p qual valo si ha antiisonanza. 3) l quadato di antiisonanza si può spim com cominazion lina di quadati dll di isonanza: dov sono cofficinti lgati agli lmnti dl cicuito. tmina l spssioni di. 4) tmina il valo dl modulo di p p, appsnta gaficamnt l andamnto dl modulo di in funzion di. [i spimano i isultati in funzion di paamti ch sono ncssai fa:,,,,,, ov ncssaio dll costanti univsali. Polma 3 ia dato un condnsato piano con piast cicolai di supfici collgato ad un gnato di tnsion continua, la cui diffnza di potnzial è pai a. a dimnsion latal dll piast è molto maggio dlla distanza fa ss, ovvo siamo in condizioni di condnsato piano a piast infinit. a distanza fa l piast è inizialmnt pai a ½, ma un azion mccanica stna muov una dll du piast in modo ch la distanza dipnda dal tmpo t scondo la fomula (t) /[sin(t), con la pulsazion paamto noto. i assumano tascuaili tutt l sistnz lttich siano tascuaili gli fftti di odo dl condnsato. ) tmina l spssion dlla cont, G (t), ch attavsa il gnato in funzion dl tmpo t. ) imosta ch la cont di spostamnto all intno dl condnsato, (t), è ugual alla cont G (t) dl punto ). 3) tmina l spssion dl campo magntico B all intno dl condnsato, in funzion dl tmpo t dlla distanza dall ass passant p i cnti dll du piast. 4) tmina l spssion dlla potnza istantana ogata dal gnato, W G (t), qulla dlla potnza istantana assoita dal condnsato, W (t), in funzion dl tmpo t; spiga pché la potnza istantana ogata dal gnato non coincid con la potnza istantana assoita dal condnsato. [i spimano i isultati in funzion di paamti,,,, in funzion dl tmpo t, dlla distanza dll costanti univsali ov ncssaio.

3 oluzion polma Punto ): pplicando il toma di Gauss si può dimosta facilmnt ch il campo lttico gnato da un filo infinito con distiuzion di caica p unità di lunghzza unifom pai a con szion cicola di aggio a, è lo stsso dl filo infinito di szion tascuail p distanza a dall ass cntal dl filo: p a πε Una paticlla di massa m caica q ch uota di moto cicola unifom saà soggtta a foza cntipta, siccom l unica foza ch agisc sulla paticlla è la foza attattiva col filo, il pincipio dlla dinamica divnta: ma c q( R) v m R q πε R dov a c v /R è l acclazion cntipta, il campo lttico () è stato valutato alla distanza R a cui si tova la paticlla. i ottin alloa la vlocità v dlla paticlla p moto cicola unifom: q mv πε v q mπε om si vd l ultima spssion non dipnd dal aggio R dll oita cicola. Punto ): Poiché il filo si stnd adistanza, p calcola il potnzial lttostatico non possiamo utilizza la fomula tipica p il potnzial gnato da una caica infinitsima dq: dq d 4πε intga poi su tutt l caich infinitsim dl filo, pché in tal fomula si assum il potnzial () p. in qusto caso tal assunzion non è ammissiil pché a distanza aiamo una gand quantità di caica dato ch si tatta di filo infinito. P pot calcola il potnzial lttostatico è alloa ncssaio ico alla dfinizion opativa di potnzial lttostatico, ch è lgato all intgal di lina dl campo lttico (): ( ) dl dov sono du posizioni gnich, ispttivamnt inizial final di un cammino qualsiasi. ato ch il campo lttico () è adial a simmtia cilindica, il podotto scala sotto il sgno di intgal si iduc a: ( ) ( a) a d d πε dov nll ultimo passaggio aiamo imposto a p il pimo stmo di intgazion, p il scondo stmo di intgazion con gnica posizion a distanza dal cnto dl filo. P distingu dl scondo stmo di intgazion dalla vaiail di intgazion, qust ultima è stata indicata com '. Pocdndo con l intgal tnndo conto ch il tsto ichid di impo (a), si ottin ch:

4 ( a) πε πε a ln πε πε ln ln a a a d πε ln a Punto 3): ngia total dlla paticlla saà data dalla somma di ngia cintica K ngia potnzial lttostatica U: K U R K q ( R) dov nll ultimo passaggio si è tnuto conto dl fatto ch l ngia potnzial lttostatica è data gnalmnt dal podotto fa il valo dlla caica lttica il potnzial lttostatico in cui ssa è immsa. Utilizzando l spssion di () dtminata al punto ), p l ngia potnzial si ottin ch: q a U ( R) ln πε R P l ngia cintica si ossvi ch al punto ) è stata dtminata la quantita mv, da cui sgu la sgunt spssion p K: q mv πε K mv q 4πε ommando i du tmini K U(R) imponndo R.5 a com ichisto dal polma si ha la sgunt spssion p l ngia total : K U R q q a ln.5 4πε πε a q q ln 4πε πε ( ) q q q 4πε 4πε πε oluzion polma Punto ): l cicuito è composto da du impdnz in si,, mss in paalllo fa loo isptto al gnato di tnsion altnata. impdnza è data da:

5 nalogamnt p aiamo ch: l paalllo saà dato dal paalllo di : ultima spssion è un numo complsso con sola pat immaginaia. N cosgu ch modulo fas sono dati da: π Punto ): P calcola l ampizza dlla cont oscillant nl cicuito, applichiamo il mtodo di fasoi la lgg di Ohm gnalizzata ai fasoi: t t φ dov aiamo imposto fas nulla p la cont, fas pai a φ p la tnsion. Riaangiando la pcdnt spssion si ottin: π φ φ φ t t N sgu la sgunt spssion p l ampizza dlla cont:

6 Poiché si ha isonanza in un cicuito quando il modulo dll ampizza è massima, dall ultima spssion si vd ch il massimo si ottin p i valoi di ch annullano il dnominato: ato ch p il numato è divso da zo il dnominato è pai a zo, p ntami qusti valoi di l ampizza divg a alizzando la condizion di isonanza. i hanno alloa du isonanz p ; il fatto ch l ampizza divga a alla isonanza è dovuto all assnza di lmnti dissipativi (ch appsnta una condizion idal, ma non al). a condizion di antiisonanza si ottin quando il modulo dll ampizza è minimo. Ripatndo alloa dall spssion di : vdiamo ch si ottin il minimo dl modulo di quando il numato, smp in modulo, è minimo. tal poposito accogliamo il tmin nl numato: on qusto iaangiamnto si vd chiaamnt ch sist un valo di p il qual il numato è nullo (ovvo si ha il minimo dl modulo di ) in coispondnza dl qual si ha il valo di antiisonanza: a quanto dtto pima (ovvo dall considazioni fatt sul numato) si dduc immdiatamnt ch p. Punto 3): ostituiamo alla cominazion lina data dal tsto dl polma l spssioni tovat p, :

7 qusto punto possiamo mtt in vidnza sia a dsta ch a sinista i cofficinti di : N sgu alloa ch: Risostitundo l spssioni tovat p nlla cominazion lina p, si vd ch: n alti tmini il quadato dlla di antiisonanza è una mdia psata, con l induttanz, di quadati dll di isonanza. Qusto in paticola ci dic anch ch è compsa fa. Punto 4): tudiamo oa l andamnto di p : [ nvc p si ha la sgunt spssion: 4

8 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 Quindi il modulo dll ampizza tnd a zo sia p ch p. Qui di fianco è ipotato un gafico di in funzion di ch iassum anch i isultati di punti pcdnti. oluzion polma 3 Punto ): nch s l piast sono cicolai, siamo in psnza di un condnsato piano a facc infinit, la cui capacità è data da: ε dov è la distanza fa l piast. iccom p aiamo una dipndnza dal tmpo t, n sgu ch anch la capacità è funzion di t: ε ( t) t ε ( t) [ sin( t) ato ch il condnsato è collgato ad un gnato di potnzial costant nl tmpo, la diffnza di potnzial ai capi di è costant. civndo l quazion pincipal di condnsatoi si ha ch: Q t t ε [ sin( t) Q t ovvo la caica psnt sull piast dipnd dal tmpo t. Ovviamnt l diffnz di caica dq si muovono attavso i fili il gnato da una piasta all alta. N sgu ch la cont G ch attavsa il gnato è pai alla divata di Q(t) isptto al tmpo t: dq G ( t) dt ε d G ( t) [ sin( t) dt G ε ( t) cos( t) Punto ): a cont di spostamnto fa l piast dl condnsato è data dalla sgunt fomula: dφ ( t) ε dt

9 dov Φ è il flusso dl campo lttico intno al condnsato attavso la szion dl condnsato stsso. iccom all intno di un condnsato piano il campo lttico è unifom nllo spazio ppndicola alla szion, il flusso è smplicmnt il podotto dl modulo di p la supfici : Φ ato ch sono not sia la diffnza di potnzial ai capi dl condnsato ch la distanza (t) fa l piast, possiamo sciv un spssion p il campo lttico : ( t) t ( t) [ sin( t) da cui si icava la sgunt spssion p il flusso Φ : Φ t t Φ ( t) [ sin( t) a qust ultimo isultato possiamo icava la cont di spostamnto (t): dφ ( t) ε dt d ( t) ε [ sin( t) dt ε ( t) cos( t) onfontando col isultato dl punto ), si vd ch la cont di spostamnto la cont ch attavsa il gnato sono uguali, (t) G (t). Punto 3): P dtmina il campo magntico B all intno dl condnsato isogna consida ch il toma di mp funziona anch con la cont di spostamnto: B dl µ, ON dov la cicuitazion dl campo magntico B su un cammino chiuso (a sinista nlla pcdnt quazion) è lgata alla cont di spostamnto ch attavsa la supfici acchiusa dal cammino (cont di spostamnto concatnata al cammino:,on ). ato ch l piast sono cicolai vitualmnt infinit, la cont di spostamnto è unifommnt distiuita attavso la szion dl condnsato. l campo magntico gnato da tal cont è quindi analogo al campo B gnato all intno di una aa mtallica cilindica quando ssa è attavsata da una dnsità di cont unifom (paallla all ass dlla aa). P motivi di simmtia (analogamnt alla aa cilindica pcosa da dnsità di cont unifom), il campo magntico B giac su piani paallli all piast dl condnsato, è tangnt a ciconfnz ch hanno il cnto sull ass ch unisc i cnti dll piast, ha modulo unifom su tali ciconfnz. Nlla figua a lato la fccia lu indica qualitativamnt la cont di spostamnto (ch pò è distiuita su tutta la szion ) mnt la ciconfnza di aggio è il cammino chiuso su cui calcola la cicuitazion di B. pplicando il toma di mp con tali condizioni di simmtia, si ottin un spssion smplic p la cicuitazion di B:

10 B dl πb dov è il aggio dl cammino chiuso. P quanto iguada la cont concatnata a tal cammino, ossviamo ch la dnsità di cont di spostamnto, unifom su, è pai a: J da cui si ha ch la cont concatnata al cammino data da:, ON J π π Mttndo insim i du tmini dl toma di mp così dtminati si ottin un quazion p il campo magntico B: B dl µ, ON πb µ π B µ B(, t) µ ε cos( t) dov nll ultimo passaggio aiamo sostituito a l spssion dtminata pcdntmnt, aiamo msso in vidnza la dipndnza dl campo magntico B dalla posizion dal tmpo t, BB(,t). al la pna nota ch tal isultato è cotto nl caso di piast cicolai vitualmnt infinit, ma non almnt tali (ovvo non siamo nl caso idal di ). nfatti è solo nl caso di cicola con stnsion finita ch l ass passant p il cnto dll piast è un ass pivilgiato, isptto ad alti assi, da un punto di vista dll simmti. Nl caso idal di infinito, tutti gli assi ppndicolai a sono quivalnti fa loo. Punto 4): a potnza istantana ogata da un gnato, W G, è gnalmnt data dal podotto fa tnsion ai capi dl gnato cont ch attavsa il gnato: W t t W G G ε ( t) cos( t) G P quanto iguada il condnsato, aiamo ch l ngia lttica in sso accumulata è gnalmnt data da: U ( t) ( t) ε U ( t) [ sin( t) dov nll ultimo passaggio aiamo sostituito (t) con l spssion dtminata pcdntmnt. a divata di U (t) isptto al tmpo t, fonisc la potnza istantana W (t) assoita dal condnsato: du ( t) W dt W ε d dt [ sin( t)

11 W ε sin ( t) om si vd la potnza fonita dal gnato è il doppio di qulla assoita dl condsato, W G W. n un ilancio ngtico ch tnga conto di tutt l fom di ngia, doiamo consida la potnza assoita dal campo lttico (W ) all intno dl condnsato, ma anch la potnza assoita p podu sostn il campo magntico B(,t) all intno dl condnsato (ch non è inclusa in W ). i icodi infatti ch ovunqu sia psnt un campo magntico aiamo una dnsità di ngia u B p unità di volum pai a: u B B (, t) µ Quindi all intno dl condnsato ci saà anch ngia immagazzinata sotto foma di campo magntico, ci saà potnza assoita p il campo magntico. nfin isogna anch tn conto dlla potnza mccanica fonita dall stno nlla foma di oscillazion di una dll du piast dl condnsato. Quindi in un ilancio ngtico complto isogna tn conto dlla potnza mccanica fonita dall stno dlla potnza ogata dal gnato, la cui somma in assnza di dissipazioni saà pai alla potnza assoita dal condnsato p sostn il campo lttico alla potnza ncssaia a sostn il campo magntico. i consgunza la potnza ogata dal gnato, W G, qulla assoita p il campo lttico, W, non sono uguali fa loo.