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1 Appunti di Antnn apitolo Antnn lmntai (III) APPIAZIONE AE ANTENNE FIIFORMI DEA TEORIA DEE INEE DI TRASMISSIONE... Intoduion... Riciami sulla toia dll lin... aso paticola: lin sna pdit... 5 Applicaion all antnn... 8 Valutaion dll pdit in una antnna... 9 Ultioi considaioni... Pat attiva dll impdna di ingsso di una antnna... ANTENNE BIONIHE... 4 Intoduion... 4 Dtminaion dl campo iadiato... 4 Uso di antnn biconic p lo studio di antnn filifomi... 3 nni alla aliaion concta di antnn biconic... 4 Applliicaiion allll antnn fiilliifomii dlllla toiia dllll lliin dii tasmiissiion Intoduion onsidiamo una antnna filifom dl tipo considato anc in pcdna: Vg - Possiamo pnsa qusta stuttua com ottnuta dfomando la stuttua ipotata nlla figua sgunt:

2 Appunti di Antnn apitolo Qusta non è alto c una lina di tasmission, di lunga finita, ciusa su un caico. Possiamo alloa pova ad usa il fomalismo classico dll lin di tasmission, all intno dll quali si popagano modi TEM, al fin di idntifica la distibuion dlla cont sull antnna stssa. P pima cosa, alloa, iciamiamo i conctti pincipali lativi all lin di tasmission. Riciami sulla toia dll lin Ripndiamo apidamnt alcuni conctti fondamntali lativi all lin di tasmission, la cui scmatiaion gnal può ss la sgunt: i sv un modllo lttico (a paamti distibuiti) di qusta stuttua. Possiamo consida il sgunt, lativo ad una lina di tasmission di lunga : I in V in - I() V() - V out - I out (sion di gnato) (sion di caico) ass gand c caattiano qusto tipo di stuttua sono solitamnt l impdna caattistica la vlocità di popagaion v dll ond lungo la lina.

3 Antnn lmntai pat III Sbbn sia impotant conosc il compotamnto dlla lina quando i sgnali di ingsso abbiano fom d onda abitai, è altttanto impotant studian il compotamnto in gim sinusoidal pmannt: ciò significa ipotia c la sognt sia sinusoidal monofqunial c ogni vntual sgnal tansitoio si sia stinto. In qust cicostan, è possibil isolv l quaion dll lin nl dominio dlla fquna, ossia in tmini di fasoi associati all tnsioni d all conti lungo la lina. Indicati, infatti, ispttivamnt con V() d I() tali fasoi (c quindi dscivono l andamnto spaial, ma anc tmpoal, dlla tnsion dlla cont lungo la lina), si tova c ssi sono dati dall sgunti quaioni: V() V V I() α α V quantità V V - sono costanti (in gnal complss) d il loo valo può ss dtminato solo dopo av spcificato la sognt d il caico connssi alla lina (si tatta cioè di fissa l condiioni al contono dl poblma). Il paamto α è la cosiddtta costant di attnuaion, associata all pdit lungo la lina, ossia all pdit sia ni conduttoi sia nl mo cicostant. In assna di pdit, isulta vidntmnt α. a costant α si misua in np/m. Il paamto è invc la costant di fas: ssa spim la vaiaion di fas subita dall onda nl suo popagasi lungo la lina. Si misua in ad/m. quaioni pima ipotat si possono anc isciv nlla foma sgunt: V α V() V f () Vb () V f () Vb () I() dov cioè si sono fatt l sgunti du posiioni: Vf () V Vb () V Qusto p vidnia c V f () è un onda pogssiva di tnsion, mnt V b () è un onda gssiva di tnsion. P compnd il significato di qust diioni, basta convti l spssioni di V() d I() nl dominio dl tmpo, tamit l classic fomul di antitasfomaion (bisogna moltiplica i fasoi p il tmin sponnial ω t, c tin conto dl gim sinusoidal, poi calcola la pat al dl podotto così ottnuto): v(, t) R i(, t) α α α ωt α ωt α ωt { V() } R{ V V } ωt { I() } V R α Facndo gli oppotuni passaggi su qust spssioni (tnndo conto c l quantità V, V - sono complss, p cui possidono un modulo d una fas), si tova immdiatamnt c ωt V α ωt 3

4 Appunti di Antnn apitolo v(, t) V V i(, t) α α cos cos α ( ωt ) V cos( ωt ) V α ( ωt ) cos( ωt ) Qust spssioni sono vidntmnt dl tutto analog ta loo. onsidiamo alloa solo l spssion dlla tnsion. Essa ci dic quanto sgu: α l onda pogssiva è V cos( ωt ) : al csc dl tmpo t, è ncssaio aumnta il valo di al fin di mantn costant l agomnto dl osno; così facndo, si sgu il movimnto di un punto dll onda. Possiamo dunqu affma c si tatta di un onda c si muov lungo la diion positiva dll ass, cioè si diig dalla sognt vso il caico: da qui il tmin pogssiva; α vicvsa, l onda gssiva è V cos( ωt ) : al csc dl tmpo t, s vogliamo sgui un punto dll onda dobbiamo diminui il valo di (al fin smp di mantn costant l agomnto dl osno). Si tatta quindi di un onda c si muov lungo la diion ngativa dll ass (dal caico vso la sognt): da qui il tmin gssiva. Si dfinisc adsso cofficint di iflssion p la tnsion la sgunt quantità: Vb () V α Γ () V () V f Si tatta dunqu dl appoto ta l onda gssiva qulla pogssiva di tnsion isulta quindi vaiabil con la sion c si consida sulla lina. S considiamo, in paticola, la sion di caico (), si ottin Γ Vb () V Γ() V () V f α Facndo qualc passaggio in più ( ), si tova c il cofficint di iflssion al caico è Γ Qusta laion è molto impotant, in quanto ci dic c, quando, isulta Γ : si tatta dlla condiion di adattamnto ta lina caico, in coispondna dlla qual non c è onda gssiva lungo la lina, ma solo onda pogssiva: V() V V I() α α V () f Vf () Bisogna impo la condiion V()/I()Z, usando l spssioni gnali V() I() calcolat p, fa qualc smplic manipolaion algbica 4

5 Antnn lmntai pat III iò significa c tutta la potna disponibil al caico vin ffttivamnt cduta al caico stsso, sna c una quota pat di ssa (appsntata appunto da Γ ) toni indito vso la sognt ( ). E possibil spim il cofficint di iflssion nlla gnica sion in funion dl cofficint di iflssion al caico: si tova infatti c Γ () Γ α() () Qusta spssion isulta molto util p dtmina la iflssion dll ngia in una qualsiasi sion dlla lina, nota la iflssion in coispondna dl caico (cioè noto Γ ). Si può inolt utilia Γ() p spim in alto modo i fasoi dlla tnsion dlla cont lungo la lina: infatti, in bas all spssion appna ipotata p Γ() si tova facilmnt c α V() V [ Γ() ] Vf ()[ Γ() ] V α Vf () I() [ Γ() ] [ Γ() ] Si dfinisc impdna di ingsso in una gnica sion dlla lina il appoto ta i fasoi dlla tnsion dlla cont in qulla sion: in () V() I() Γ() Γ() Nl caso di lina adattata (), abbiamo dtto c Γ, da cui consgu anc c Γ() quindi c l impdna di ingsso, p una qualsiasi sion dlla lina, coincid con l impdna caattistica dlla lina ( quindi anc con qulla di caico). a potna mdia c attavsa, pocdndo vso dsta (dal gnato al caico), una gnica sion dlla lina è data da Pmdia () R * { V()I ()} dov I * () è il complsso coniugato dl faso dlla cont. aso patiicolla:: lliin sna pdiit P smplicità, supponiamo c la lina non psnti pdit. In qusto caso, com si è dtto, isulta nulla la costant di attnuaion α quindi l vai quaioni assumono una foma sn alto più smplic. Intanto, l spssioni dlla tnsion dlla cont divntano l sgunti: Non bisogna comunqu dimntica c la potna disponibil al caico è mino di qulla fonita dalla sognt, a causa dll attnuaion lungo la lina. 5

6 Appunti di Antnn apitolo V() V V I() V V V () V () f Vf () Vb () Il cofficint di iflssion p la tnsion, nlla gnica sion, divnta alloa b Vb () V Γ () V () V f In paticola, in coispondna dl caico si a c Γ Vb () V Γ() V () V f da cui quindi si dduc c Γ () Γ () Ovviamnt, isulta smp va l quaion Γ. Inolt, l impdna di ingsso alla gnica sion isulta ss in () () ( ) ( ) () ( ) ( ) V() I() Γ() Γ() Γ Γ () () () () A qusto punto, al fin di smplifica l nost notaioni, ci convin ffttua un piccolo cambio dl sistma di ifimnto, c consist smplicmnt nllo sposta la sion in coispondna dl caico (p cui la sion dl gnato divin -): I in V in - I() V() - V out - I out - (sion di gnato) (sion di caico) ass 6

7 Antnn lmntai pat III osì facndo, l spssioni dl cofficint di iflssion alla gnica sion dlla impdna di ingsso alla stssa sion divntano vidntmnt l sgunti: Γ() Γ in () ( ) ( ) ( ) ( ) Abbiamo sostanialmnt ottnuto di limina la lunga da qust spssioni: infatti, il cambio di ifimnto coispond a sostitui - con. In paticola, è possibil smplifica l spssion di in() splicitando i du tmini sponniali tamit l fomul di Eulo facndo qualc ultio manipolaion algbica: alla fin di tutto qusto, si ottin c in () tg tg ( ) ( ) Imponiamo adsso la condiion di adattamnto dl caico, ossia imponiamo c isulti : abbiamo già ossvato c, in qusta condiion, non c è iflssion dll ngia in coispondna dl caico (il c significa c non c è l onda iflssa) l impdna di ingsso in() è costant pai all impdna caattistica dlla lina. Un alta condiion paticola, c ci svià spsso nllo studio dll antnn, è quando il caico dlla lina è di valo infinito, ossia è un cicuito apto:. In qusto caso, sostitundo nll spssion di in(), toviamo c in () tg tg ( ) ( ) tg tg ( ) ( ) tg ( ) tg( ) impdna di ingsso, ancoa vaiabil con, isulta puamnt immaginaia, il c significa c il gnato non isc a foni ngia. Vdiamo cosa succd alla cont lungo la lina. Avndo supposto c il caico sia un cicuito apto, non abbiamo alcuna cont in coispondna dlla sion di caico (), p cui possiamo impo la condiion al contono p cui I(). Andando alloa nll spssion gnal dl faso I() dlla cont, abbiamo c I() I I I() I I I I da cui quindi scatuisc c il faso dlla cont è I() I I I ( ) I ( ) I sin( ) Qusta è sostanialmnt una pima confma di quanto abbiamo tovato in pcdna con alti mtodi: ancoa una volta, infatti, la distibuion dlla cont sulla stuttua isulta ss di tipo sinusoidal. Passando nl dominio dl tmpo tamit l solit fomul di antitasfomaion, ottniamo c l andamnto spaio-tmpoal dlla cont è i(, t) R ωt ωt ωt { I() } R{ I sin( ) } I sin( ) R{ } I sin( ) sin( ωt) 7

8 Appunti di Antnn apitolo Abbiamo dunqu una dipndna sinusoidal sia dal tmpo sia dallo spaio l du dipndn non sono lgat ta loo. In alt paol, non siamo più in psna di un onda c si popaga lungo la stuttua, ma di una oscillaion punto p punto. om è noto, si pala in qusti casi di onda di cont di tipo staionaio. Il numo di nodi di tal onda è tanto maggio quanto maggio è la lunga dlla stuttua. Qusto discoso, valido p la cont, è ovviamnt idntico p la tnsion, a patto di icoda c la tnsion la cont sono sfasat nllo spaio di π/. Applicaion all antnn A qusto punto, così com anticipato all iniio, possiamo pnsa di stnd all antnn i discosi appna conclusi sull lin di tasmission. Infatti, possiamo vd una smplic antnn filifom com una lina di tasmission in cui i du conduttoi sono stati divaicati fino a giac sullo stsso ass (cioè l ass dll antnna): Dobbiamo cidci s a snso applica alla nuova stuttua quanto vist p l lin. Si possono alloa fa l sgunti ossvaioni: in pimo luogo, possiamo ss cti dl fatto c, divaicando i du conduttoi dlla lina, ottniamo una situaion divsa da qulla dlla lina di tasmission, p cui l quaioni saanno lggmnt divs; in paticola, non avmo più una impdna caattistica costant sion p sion com p l lin, ma ssa vaià al vaia di ; inolt, il poblma fos maggio è appsntato dal fatto c, con il modllo dll lin di tasmission, non siamo in gado di tn conto dl tasfimnto di ngia dalla sognt all antnna: infatti, abbiamo visto pima c una lina di tasmission apta in coispondna dl caico psnta una impdna di ingsso smp immaginaia, il c significa c la sognt non può tasfi ngia attiva. In alt paol, mnt sappiamo c una antnna iadia potna, una lina apta divaicata non smba in gado fa la stssa cosa. Si tatta, vidntmnt, di un limit dl modllo utiliato: il modllo dll lin di tasmission è valido al fin di individua l andamnto dlla cont lungo l antnna, ma non va assolutamnt bn p discosi lativi al tasfimnto dll ngia dalla sognt all antnna stssa. 8

9 Antnn lmntai pat III Valutaion dll pdit in una antnna Abbiamo dtto in pcdna c il cicuito quivalnt di un appaato tasmttito, intso com l insim di una sognt di sgnal, dll antnna da ssa alimntata di conduttoi p il collgamnto, è in gnal dl tipo sgunt: A sinista abbiamo la sognt c alimnta l antnna, appsntata con il suo quivalnt di Tvnin; a dsta abbiamo l impdna appsntativa dll antnna: volndo fa una analisi dl tutto gnal, bisogna includ, nlla suddtta impdna, sia l impdna di ingsso Z antr adx va popia dll antnna sia una sistna R pdita c tnga conto di tutt l pdit c si anno nl tasfimnto di potna dalla sognt all antnna. Occupiamoci alloa dllo studio dll pdit di potna sulla stuttua mtallica (non pftta) di una antnna filifom dl tipo considato ni pcdnti paagafi. sion tasvsal lmnto di cont Vg - lmnto di cont J d onsidiamo una gnica sion di uno di du bacci dll antnna. All intno di ciascun condutto sco una cont con dnsità J (faso, valido p ω ). S il condutto foss pftto, qusta cont sabb localiata solo sulla sua supfici; al contaio, ssndo il condutto non pftto, ssa psnta una cta pntaion p fftto pll, caattiata da una pofondità δ (dtta appunto spsso di pntaion) tal p cui si possa sciv 9

10 Appunti di Antnn apitolo J (,) J () In patica, quindi, in coispondna dlla gnica sion, la dnsità di cont a una dcscita sponnial man mano c si va più in pofondità all intno dl condutto, a pati dal valo J () c si a in supfici ( 3 ). onsidiamo un gnico lmntino di cont: δ d d J() d ds d d Esso ci sv p calcola la cont total nl condutto in coispondna dlla sion : possiamo infatti sciv, sommando su tutti gli infiniti lmnti di cont in coispondna dlla sion, c sommando la su tutta sion tasvsal δ di(,) J(,)dS I() J(,)dS J () SUP SUP d d Possiamo anc fa qualcosa di mglio, al fin di anda a calcola dittamnt la potna dissipata. Infatti, applicando la smplic dfiniion, possiamo sciv c la sistna incontata dalla dnsità di cont nll attavsa l lmntino di condutto è d dr σ dd dov vidntmnt σ è la conducibilità (supposta costant su tutto il condutto), d lo spsso attavsato da J dsdd l aa. Qusta sistna ci consnt di calcola la potna dissipata p fftto Joul sull lmntino in qustion, ossia quindi la dnsità di potna dissipata: p dfiniion, possiamo intanto sciv c tal potna è dp dr di dov la cont è stata pima valutata com di(,) δ J(,)dS J () d Sostitundo, dunqu, l spssioni di dr di, ottniamo dp δ δ () () d d d J σ dd d d J σ d d 3 Da nota, dunqu, la doppia dipndna di J da da.

11 Antnn lmntai pat III Intgando alloa dp su tutta la lunga dll antnna, ottniamo la potna totalmnt dissipata dall antnna stssa: P tot,diss π σ dp antnna J () J () σ δ δ d d d d d π σ J σ ()d π δ J () d δ d d d A pscind oa dai calcoli, c psuppongono comunqu la conoscna dll andamnto di J (), il calcolo dlla potna dissipata consnt poi di calcola la coispondnt sistna di pdita, c isulta ss di poci Ω (ad smpio Ω) p l antnn mglio aliat. Ulltiioii consiidaiionii impdna vista guadando dnto i tminali di una antnna è un paamto impotant da conosc al fin di pogtta un cicuito c fonisca adattamnto ta l antnna stssa la lina di tasmission c l pota l alimntaion (povnint dalla sognt). A livllo idal, l impdna di ingsso dovbb ss una sistna (costant) pai alla sistna di adiaion, nl qual caso l antnna può ss connssa dittamnt ad una lina di tasmission c abbia impdna caattistica Z pai alla sistna di adiaion. Ad smpio qusta condiion idal di funionamnto è ottnuta con il dipolo in λ/ su una banda pò molto isttta. Indiciamo con Z ant l impdna di ingsso dll antnna supponiamo c tal antnna sia accoppiata ad una sognt di sgnal tamit una lina di tasmission con impdna caattistica Z. Ai tminali dll antnna, avmo una iflssion di ngia quantificata dal sgunt cofficint di iflssion: Γ ant Z Z ant ant Z Z Qusta iflssion, indic di disadattamnto, si taduc in una onda gssiva lungo la lina di tasmission, caattiata dal appoto d onda staionaio Γ ROS Γ ant ant Gnalmnt, si considano accttabili valoi dl ROS infioi a.5: ad smpio ROS.5 coispond a Γ ant. o, quivalntmnt, ad un cofficint di iflssion dlla potna di.4, c è tutto sommato accttabil. Il calcolo dll impdna di ingsso di una antnna è difficil in quanto icid una accuata spssion dlla cont di ccitaion dll antnna (p la pat dissipativa) dl isultant campo lttico in ona vicina (p la pat attiva). a sistna di adiaion può invc ss calcolata facilmnt non a una sttta dipndna dalla distibuion di cont. Esist una spssion gnal c lga l impdna di ingsso di una antnna alla potna adiata P ad, alla potna dissipata P d d alla ngia attiva immagainata dal campo lttomagntico vicino:

12 Appunti di Antnn apitolo Z ant P ad P d ω I ( W W ) m dov W m W sono l ngi mdi, ispttivamnt, magntica d lttica immagainat nl campo lttomagntico vicino I la cont di ingsso ai tminali dll antnna. Qulla spssion mosta c, quando W W m sono uguali, la pat attiva di Z ant scompa sussist pciò una sota di condiion di isonana. P una antnna a dipolo sttto, qusto accad ad smpio quando la lunga dll antnna stssa è possima ad un multiplo di λ/. In gnal, dunqu, studiando l andamnto di Z ant al vaia dl appoto /λ, dov è la lunga dll antnna (supposta filifom), si individuano qui valoi appunto di /λ in coispondna di quali si isc ad aa quasi compltamnt la pat attiva dll impdna di antnna. Infin, p quanto iguada la potna total P d dissipata dall antnna in consguna dlla sua stuttua non pfttamnt mtallica, può ss calcolata con il mtodo sposto nl pcdnt paagafo. Pat attiva dll impdna di ingsso di una antnna Il pocdimnto illustato nl paagafo pcdnt consnt dunqu di calcola la sistna di pdita di una antnna. Dobbiamo poi calcola la pat attiva dll impdna di ingsso dlla stssa antnna, p fa qusto, abbiamo visto pima c possiamo usa il modllo dll lin di tasmission: Abbiamo ad smpio visto c, data una lina di tasmission lunga con caico (com appsntato in figua), l impdna di ingsso alla gnica sion isulta ss in () tg Essa isulta puamnt immaginaia, p cui tin conto popio dlla pat attiva dll impdna di ingsso dll antnna. S calcoliamo qusta impdna p -, ottniamo popio l impdna di ingsso dll antnna (in qusto caso la pat attiva): X in ( ) tg ( ) ( ) tg( ) π tg λ

13 Antnn lmntai pat III E vidnt c qusta spssion vaia al vaia dl appoto /λ. Potà ss una attana di natua sia capacitiva sia induttiva. Supponiamo, ad smpio, c la nosta antnna sia il classico dipolo in λ/, p cui cioè isulta λ/4: in qusto caso, abbiamo a dnominato la quantità tg(π/), c val notoiamnt. Di consguna, p qusta antnna, la pat attiva dll impdna di ingsso tnd ad ss nulla ( 4 ), il c significa c tal impdna di ingsso saà banalmnt la si dlla sistna di adiaion (c sappiamo ss di 73 Ω) dlla sistna di pdita (c abbiamo visto ss gnalmnt di Ω). In total, dunqu, l impdna appsntativa di una antnna a dipolo in λ/ isulta ss di cica 75 Ω. a conoscna di qusto valo è molto impotant: infatti, s vogliamo ottn il massimo tasfimnto di potna dal gnato all antnna, dovmo fa in modo, in bas al noto toma, c anc l impdna si dl gnato sia di 75 Ω, nl qual caso palmo di antnna accodata. è pò da fa una ovvia ossvaion: il discoso appna fatto val solo p una spcifica lunga d onda; vaiando la lunga d onda (cosa c avvà sn alto s il sgnal da tasmtt non è una sinusoid pua), vaiano anc i valoi di R pdita di X quindi l adattamnto vin a manca (in quanto l impdna si dl gnato è comunqu fissata al valo di 75 Ω). Di consguna, possiamo di quanto sgu: l antnna dv ss accodata alla fquna cntal f dl sgnal da tasmtt, in modo da gaanti adattamnto in coispondna di qulla fquna; p l fqun adiacnti, l adattamnto non ci saà quindi ci saanno dll iflssioni (quantificat da un cofficint di iflssion Γ ), tanto maggioi quanto più ci si allontana da f ; si dovà alloa fissa un massimo valo tollabil di Γ, il qual dtminà quindi la laga di banda dll antnna: saà possibil cioè tasmtt solo l intvallo di fquna, cntato su f, c gaantisca valoi dl cofficint di iflssion infioi a Γ,max. Possiamo anc fa un smplic smpio numico a suppoto di qust considaioni. onsidiamo, ad smpio, una fquna cntal di MH, cui coispond una lunga d onda di 3 mti. Volndo ottn, dalla nosta antnna filifom, un dipolo in λ/, dobbiamo dunqu impo c sia λ 3m.75m 4 4 omplssivamnt, avmo pciò bisogno di una antnna di.5 mti (ipatiti ta i du bacci), c in vità isulta ss un valo piuttosto gand. Ad ogni modo, qusto valo di influnà sia la sistna di pdita sia la pat attiva dll impdna di ingsso va popia, ossia R adx quindi dtminà la laga di banda dll antnna. 4 Diciamo tnd in quanto sappiamo c, nl momnto in cui divaiciamo i du conduttoi p passa dalla lina all antnna va popia, l quaioni utiliat ncssaiamnt cambiano quindi il modllo dll lin di tasmission divnta mno accuato. 3

14 Appunti di Antnn apitolo Antnn biiconiic Intoduion cosiddtt antnn biconic sono un tipico smpio di antnn p misu a laga banda, c cioè psntano sostanialmnt du caattistic: l impdna di ingsso (o di uscita a sconda dll utilio) è pssocé costant nlla banda di fquna in cui è pvisto l impigo; il diagamma di iadiaion è pssocé costant nlla banda di fquna in cui è pvisto l impigo. Qusto tipo di antnn sono di fqunt utilio, ad smpio, nl campo dlla compatibilità lttomagntica: infatti, nll pov di confomità dll missioni adiat all nomativ, si usano antnn biconic p fqun c vanno da 3 MH a MH, mnt si passa all antnn log-piodic p fqun comps ta MH GH. P fqun ancoa supioi, si usano invc dll antnn ad aptua, gnalmnt dl tipo a tomba piamidal. Vogliamo alloa studia in dttaglio l caattistic di qust antnn. Dtminaion dl campo iadiato P studia una antnna biconica, patiamo da una stuttua idal (non aliabil paticamnt) costituita da du coni di alta infinita ( di aptua ) con una piccola spaaion (c ciammo gola) in coispondna dl punto di alimntaion, com mostato nlla figua sgunt: 4

15 Antnn lmntai pat III antnna è alimntata da una sognt di tnsion popio in coispondna dlla gola. P dtmina l iadiaion di qusta stuttua, convin adotta un sistma di coodinat sfic convin inolt suppo c lo spaio cicostant sia lo spaio libo. Ragioniamo inolt, com smp, nl dominio dlla fquna, p cui l quantità coinvolt sono di fasoi (olt c di vttoi nl caso si considino i campi o l dnsità di cont). Smplicmnt ossvando la stuttua ipotata in figua, si possono fa una si di ipotsi: in pimo luogo, è ciao c ni punti non appatnnti alla supfici di coni (mtallici) non ci sono sognti, p cui isulta J in tali punti; in scondo luogo, p motivi di vidnt simmtia dlla stuttua, è agionvol pnsa c il campo lttico abbia solo la componnt E E a H H a, così ( ) d il campo magntico abbia solo la componnt ( ) com ipotato nll ultima figua. Qusto è sattamnt qullo c abbiamo iscontato, in pcdna, p il campo lontano iadiato dal dipolo lmnta lttico o dall antnna a dipolo, con la diffna sostanial, pò, c, nl caso c stiamo considando adsso, il isultato è valido sia in campo vicino sia in campo lontano, popio p motivi di simmtia. Vdiamo alloa s l quaioni di Maxwll confotano qust nost ipotsi. Nl dominio dlla fquna, l quaioni da cui pati sono l solit: E ωµ H H ωε E Qust quaioni sono ovviamnt valid, punto p punto, in tutto lo spaio cicostant la stuttua. Dobbiamo vifica s la soluion appsntata dai vttoi E E a H H a è accttabil, ossia dobbiamo sostitui nll quaioni, vifica c ss siano soddisfatt da tal soluion vd com è ffttivamnt fatta qusta soluion in tmini di spssion analitica. i toviamo dunqu a dov calcola il oto dl campo lttico /o magntico in coodinat sfic: icodiamo alloa c ( E) ( E sin ) sin ( E) E ( E ) sin ( E) ( E ) E Appliciamo alloa qust t quaioni scalai al nosto caso: intanto, in bas alla pima quaion di Maxwll, sciviamo c dv isulta E 5

16 Appunti di Antnn apitolo ( E) ( E sin ) ( E) E ( E ) sin sin ( E) ( E ) E ωµ H E ωµ H ωµ H Abbiamo dl sto supposto c il campo lttico abbia solo la componnt, mnt il campo magntico a solo la componnt : di consguna, l quaioni si iducono a sin E ( E ) ωµ H Dalla pima quaion vin fuoi c il campo lttico non dv dipnd da ; la sconda quaion è isultata ss una idntità; la ta quaion, infin, ci dic c l du unic componnti dl campo sono lgat dalla laion ( E ) ( H ) ωµ Adsso dobbiamo fa lo stsso idntico agionamnto p il campo magntico, cioè a pati dalla sconda quaion di Maxwll: sviluppando alloa ancoa una volta il oto, ottniamo ( H) ( H sin ) ( H) H ( H ) sin sin ( H) ( H ) H ωε E ωε E H ωε E Imponndo anc qui c i du campi abbiano ciascuno una sola componnt, si tova c da cui quindi scatuisc c sin ( H ) ( H sin ) ωε E 6

17 Antnn lmntai pat III ( H sin ) ( H ) ωε (E ) In dfinitiva, dunqu, affincé sia ammissibil una soluion dl tipo ipotiato (cioè sostanialmnt una soluion TEM, con i du campi otogonali ta loo), dvono ss soddisfatti i sgunti 4 vincoli: E ( E ) ωµ ( H ) ( H ) ( H sin ) ωε (E D alta pat, smp p qustioni di simmtia possiamo sn alto itn c l du componnti dl campo siano indipndnti dalla coodinata : qusto significa c il to vincolo (appunto E indipndnt da ) è sicuamnt vificato, dualmnt, c il quato vincolo si tamuti nlla condiion p cui H (, ) f () sin Possiamo pciò sting a t il numo di quaioni di qul sistma: ( H ) ωε (E H f () sin ( E ) ωµ ( H ) Si tatta alloa di anda a calcola l du funioni E f() c soddisfano qusto sistma. Divando isptto ad la sconda quaion sostitundo la pima quaion in ciò c si ottin, isulta ( H ) ωε [ ωµ ( H )] da cui quindi, iaangiando, ottniamo ( H ) ω ε ( H ) µ ) ) 7

18 Appunti di Antnn apitolo Ricodando c ω εµ avndo tovato pima c quaion quival a ( f ()) ( f ()) H f (), qusta sin Qusta è una quaion in una foma a noi bn nota: la sua soluion è f () Potando il tmin a dnominato sostitundo nll spssion di H, abbiamo dunqu c H f () sin sin sin Una volta tovato il campo magntico, possiamo subito passa al campo lttico: infatti, in bas all quaioni tovat pima, abbiamo c E η ωε ωε sin sin ( H ) ( ( ) ( ) ) ωε sin ωε sin sin Abbiamo dunqu, ottnuto, ancoa una volta, l componnti dl campo com somma di un onda pogssiva (c si popaga allontanandosi dalla sognt) di un onda gssiva (c si popaga avvicinandosi alla sognt). Rstano poi da calcola l du costanti di intgaion, c pò p il momnto non ci intssano. i intssa invc maggiomnt calcola l impdna di ingsso dll antnna la sistna di adiaion, ond caattia l antnna stssa qualoa sia usata p tasmtt. P calcola i suddtti paamti, dobbiamo conosc com vaiano tnsion cont sulla stuttua. onsidiamo alloa du gnici punti A B situati sui du coni dlla stuttua, in posiion simmtica dal cnto a distana da qusto: A d l B 8

19 Antnn lmntai pat III 9 Dato c siamo in psna di un campo di tipo TEM (ossia con il vtto campo lttico otogonal al vtto campo magntico con tutti du otogonali alla diion di popagaion), possiamo dfini la diffna di potnial V() ta i du punti tamit la dfiniion classica dll lttostatica: tal tnsion saà pciò ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) η η π η η η η π π π π π cotg log cotg log cotg log tg log tg log tg log d sin d sin d E a d a E dl E V() B A Abbiamo dunqu tovato c anc la tnsion ta du punti a distana dal cnto dlla stuttua è la somma di un onda ditta d una invsa: ( ) η cotg log () V S invc appliciamo la lgg di Amp in foma intgal, siamo in gado di calcola anc la cont sulla supfici di coni (supposti di mtallo pftto, quindi con cont solo supficial): infatti, la cont abbacciata da una ciconfna di aggio si può calcola com cicolaion dl campo magntico lungo la stssa ciconfna, p cui abbiamo c ( ) ( ) π τ π π π d d sin sin sin d sin H a d sin a H d H I() In dfinitiva, abbiamo ottnuto du andamnti, p la tnsion la cont, nlla foma classica dll lin di tasmission, ossia com somm (psat da oppotuni cofficinti in gnal complssi) di un onda ditta d una invsa: π π η η I() cotg log cotg log V() In paticola, dato c stiamo considando una stuttua idalmnt illimitata, l onda iflssa non a motivo di sist, p cui sta solo il tmin ditto, così com accad p una lina di tasmission di lunga infinita (o p una lina ciusa su un caico ):

20 Appunti di Antnn apitolo I() - V() - In accodo al classico fomalismo dll lin di tasmission, calcoliamo i appoti ta i fasoi di tnsion cont con ifimnto all ispttiv ond ditt d invs: η log cotg V () η logcotg I () π π η log cotg V () η logcotg I () π π om pvisto, i du appoti cambiano solo p il sgno. Inolt, ssi sono indipndnti dal valo di (il c diva popio dal fatto di consida una stuttua idalmnt illimitata). Applicando adsso l smplic dfiniion, dduciamo c l impdna caattistica dlla stuttua biconica illimitata è V () V () η π logcotg logcotg logcotg I () I () π π Adsso andiamo a calcola l impdna di ingsso di qusta stuttua: tnndo conto c la stuttua è infinita quindi non psnta iflssioni, dobbiamo ancoa una volta calcola il appoto ta onda ditta di tnsion onda ditta di cont, ponndo in paticola : dl sto, avndo solo ond ditt, il valo di è ininflunt, p cui abbiamo c Z in logcotg Si tatta vidntmnt di una impdna puamnt sistiva (smp in vitù dll stnsion infinita), ta l alto indipndnt dalla fquna di lavoo. Notiamo dunqu c Z in dipnd solo dall aptua dl cono. Di solito, tal aptua vin sclta in modo da ottn adattamnto ta Z in la sistna caattistica R dlla lina di alimntaion (ad smpio i classici 5 Ω). Nl caso dlla stuttua idalmnt infinita, dato c Z in non dipnd da ω non ci sono poblmi, in quanto basta scgli oppotunamnt. Al contaio, nl caso la stuttua non sia illimitata, così com vdmo ta poco, Z in vin invitabilmnt a dipnd da ω, p cui l adattamnto pftto isulta valido solo p un valo di ω stsso. In qusti casi, p ottn un sufficint adattamnto su tutto l intvallo di fquna di intss, si insisc anc un adattato di impdna all ingsso dll antnna, di cui avmo modo di pala in sguito. Rstando, p il momnto, al caso dlla stuttua idal illimitata, si può dimosta c la sistna di adiaion R ad dll antnna coincid con il valo di

21 Antnn lmntai pat III Z in calcolato poco fa. P ottn qusto isultato, cominciamo p pima cosa a calcola la potna total iadiata dall antnna: ci basta calcola la dnsità di potna attiva iadiata (pai alla pat al dl vtto di Poynting) poi intgala su una sfa di aggio cntata sull antnna. Avndo ossvato c il campo lttomagntico podotto dalla stuttua è idntico (localmnt) a qullo di un onda piana unifom (cioè lo stsso podotto da un dipolo lttico lmnta), sappiamo c la dnsità di potna disponibil è total iadiata è p attiva E η, p cui sciviamo c la potna P ad π SUP η p attiva ds sin η SUP p attiva ds π π p attiva sin d πη sin dd π d d πη sin E η sin d π logcotg E η sin d dov ovviamnt abbiamo considato solo l onda ditta p l considaioni di cui sopa. P calcola adsso la sistna di adiaion, ci basta applica la dfiniion: dobbiamo cioè immagina c P ad sia la potna dissipata da una cta sistna R ad attavsata da una cont di valo fficac I ff I() / : P ad R ad I() R ad π π R ad onfontando qusta spssion con qulla icavata poco fa, abbiamo c π R ad πη logcotg R ad logcotg logcotg A qusto punto, dobbiamo ncssaiamnt passa dalla stuttua idal dscitta fino ad oa ad una stuttua al, di applicaion patica. Nlla patica, l antnn biconic sono aliat tamit coni toncati. Qusto toncamnto intoduc dll discontinuità agli stmi dlla stuttua qusto compota fnomni di iflssion p l ond c si popagano vso l stno lungo i coni stssi ( 5 ). S alloa facciamo nuovamnt ifimnto al modllo quivalnt in tmini di lina di tasmission, il toncamnto quival non solo ad av una lina di lunga finita, ma anc all intoduion di una impdna di caico appsntativa dllo spaio c assob potna (cioè appsntativa dl tasfimnto di potna dall antnna al mo cicostant): η π Z in 5 In patica, nascono nuovi modi non-tem nlla stuttua.

22 Appunti di Antnn apitolo - I() V() - a psna di qusto caico può o mno appsnta un poblma: s il caico foss adattato, alloa non ci sabbo ond iflss la situaion quivabb ancoa ad av una lina di lunga infinita, cui coispondbb quindi una impdna di ingsso puamnt sistiva; vicvsa, in assna di adattamnto, nascono dll ond iflss in coispondna dl caico, c ovviamnt si popagano nuovamnt vso la sognt; ottniamo, in qusta situaion, la fomaion di ond staionai sui coni, cui coispond la compasa di una pat immaginaia nll impdna di ingsso: tal impdna, quindi, non ssndo più al, isulta adsso dipnd dalla fquna. Volndo analia con maggio dttaglio la situaion, si può pocd nl modo sgunt: si scompon l onda ditta in du tmini, di cui uno ugual contaio all onda iflssa quindi compnsato da qust ultima, l alto coispondnt alla potna ffttivamnt tasmssa. A livllo quantitativo, si fa ifimnto smp al appoto d onda staionaio, notoiamnt dfinito nl modo sgunt: ρ ROS ρ dov ρ è il cofficint di iflssion sul caico. Mnt in psna di adattamnto si ottbb ROS, in assna di adattamnto (il c avvin paticamnt smp) si tollano valoi dl ROS non supioi ad.. Dato c il valo dl ROS dipnd dalla fquna, la laga di banda dll antnna è dfinita popio da qui valoi di fquna p i quali isulta ROS..

23 Antnn lmntai pat III Uso di antnn biconic p lo studio di antnn filifomi Risulta abbastana vidnt c, data una gnica antnna biconica, s considiamo l aptua molto piccola, possiamo appossimala ad una antnna filifom cilindica. Alloa, potmmo pnsa di studia una antnna filifom (dl tipo già studiato in pcdna) tamit una si di coni appossimanti. In paticola, qusto tipo di pocdimnto va bn p calcola in modo più igooso la pat attiva dll impdna di ingsso di una antnna filifom. 3

24 Appunti di Antnn apitolo nni alla aliaion concta di antnn biconic Diamo adsso di cnni sulla aliaion concta di qusto tipo di antnn. Anicé usa di coni vi popi, sia pu toncati, molto spsso si costuiscono antnn biconic usando di fili mtallici (di oppotuno spsso) c appossimano l pati di coni, com illustato nlla figua sgunt: Una ultio vaiant è qulla dll cosiddtt antnn a disco cono, illustata nlla figua sgunt: Si tatta dunqu di un cono (ovviamnt toncato) posto su un piano di massa cicola. Utiliando il pincipio dll immagini, com vidniato nlla figua stssa, si può dimosta c i campi gnati da una simil stuttua coincidono con qulli gnati da una antnna biconica. Si può anc vifica c la sistna di adiaion di una antnna di qusto tipo è la mtà di qulla di una antnna biconica, dato c, vidntmnt, in qusto caso vin iadiata mtà dlla potna isptto all antnna biconica popiamnt dtta. Un ultima vaiant è qulla dlla cosiddtta antnna a fafalla, mostata nlla figua sgunt: 4

25 Antnn lmntai pat III Abbiamo in qusto caso du lamin pian mtallic di foma tiangola. Talvolta, tali lamin possono ss sostituit da un filo c n dlimita il contono: qusto consnt di idu il pso dll antnna l oscillaioni dlla stuttua in psna di affic di vnto, ma a lo svantaggio di idu l ampia di banda isptto all uso dll lamin pian. Tipica applicaion dll antnn a fafalla iguada la icion di sgnali tlvisivi UHF. P conclud, icodiamo c una antnna biconica è una tipica stuttua bilanciata, c quindi ncssita di una alimntaion di tipo bilanciato (cont ugual ni du coni). Qusto, pò, appsnta un poblma quando la lina di tasmission c pota l alimntaion all antnna è ottnuta tamit un cavo coassial, c è invc una tipica stuttua sbilanciata. o sbilanciamnto dl cavo coassial è scmatiato nlla figua sgunt: cala dl coassial I I I anima dl coassial I dnaggio di cont (capacità paassita) piano di massa o sbilanciamnto consist nl fatto c, s I è la cont c, pcondo l anima dl cavo, giung ad uno di mostti dll antnna, la cont I c tona indito vso la sognt (attavso la cala povnint dall alto mostto dll antnna) isulta divsa da I, dato il dnaggio di cont c avvin ta la cala d un qualsiasi condutto mtallico posto in possimità di ssa. o sbilanciamnto dll alimntaion povoca un cattivo funionamnto dll antnna biconica, cui bisogna ncssaiamnt po imdio: dovmo pciò intpo, ta cavo coassial d antnna, un dispositivo di bilanciamnto. -mail: sandy@iol.it sito psonal: ttp://uss.iol.it/sandy succusal: ttp://digiland.iol.it/sandy 5