Introduzione al Metodo agli Elementi Finiti

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1 Introduzione al Metodo agli Elementi Finiti Finite Element Method, FEM Finite Element Analysis, FEA Finite Element, FE Applicazione all analisi strutturale Prof. Ciro Santus Dip. di Ingegneria Civile e Industriale (DICI), Università di Pisa Tel.: ciro.santus@ing.unipi.it

2 Metodo agli Elementi Finiti È un metodo per risolvere numericamente equazioni alle derivate parziali, su un dominio complesso. È particolarmente adatto all implementazione su calcolatore. Esistono altri metodi alternativi (numerici): - Metodo alle Differenze Finite, - Metodo degli elementi al contorno BEM, tuttavia hanno delle limitazioni rispetto al FEM. Quindi il FEM è diventato il metodo standard per risolvere problemi strutturali, ma anche termici, fluidodinamici, elettromagnetici ecc. Evoluzione del metodo a partire dagli anni 50. Attualmente esistono importanti SW commerciali, es.: ANSYS, ABAQUS

3 Dove posso trovare ANSYS, oltre al centro di calcolo??? Iniziativa di ANSYS per la divulgazione verso gli studenti universitari

4 ANSYS Free Student Product

5 ANSYS Free Student Product/ ANSYS Product ANYS APDL Salvataggio da SolidWorks

6 Soluzione approssima "piecewise solution" y = f ( x) y f( x) =?equazione differenziale x

7 Soluzione approssima "piecewise solution" y Si impongono equazioni di bilancio, si arriva ad un sistema di equazioni (lineare) lecuiincognitesono lealtezze h i h h 1 2 h i x

8 Soluzione approssima "piecewise solution" y Si ottiene la migliore approssimazione della funzione, con una certa discretizzazione h i h 2 h 1 x

9 Soluzione approssima "piecewise solution" y Migliore rappresentazione all'aumentare della discretizzazione x

10 Nodi & Elementi Geometria discretizzata Elemento, i-esimo Nodo, j-esimo Possibilità di gestire modelli da poche migliaia di elementi, fino a 10 6 elementi Calcolo deformazioni e tensioni, in ogni punto a partire dagli spost. nodali (Funzioni di Forma) Gradi di libertà del singolo nodo: Spostamenti nelle direzioni x,y,z

11 Funzioni di forma (Shape Functions) Funzioni di spostamento sul dominio dell elemento Spostamenti nodali

12 Vincoli e carichi Vincoli Forze esterne applicate, su alcuni nodi Soluzione: Calcolo degli spostamenti nodali: (deformata, prima incognita)

13 Soluzione del modello agli Elementi Finiti Il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali, si riduce ad un sistema (lineare), in cui le incognite sono gli spostamenti nodali. K u = f Numero molto elevato di incognite, comunque finito, ok per calcolatore La soluzione del modello consiste nella risoluzione di questo sistema. Tensioni e deformazioni vengono trovate, successivamente, mediante le funzioni di forma.

14 Problema reale Modello FEM Tipo di Elemento Analisi statica / dinamica: transitoria, armonica Modalità di applicazione vincoli/carichi Comportamento unilaterale/bilaterale del contatto Comportamento del materiale (modelli costitutivi) etc.

15 Scelta del tipo di elemento Elementi Trave (Beam) Il nodo rappresenta una sezione Elementi Guscio (Shell) Il nodo rappresenta uno spessore Elementi Solidi (Brick) Il nodo rappresenta un punto solido

16 Scelta del tipo di elemento Geometria 2D 3D Linee Elemento Elemento Trave 2D Trave 3D Aree Elemento solido piano Elemento (plane strain/stress) Guscio (shell) Volume --- Elem. solido (brick) ANSYS Wb

17 INTRODUZIONE AL CODICE ANSYS

18 ANSYS ANSYS APDL Classic ANSYS Workbench

19 BEGIN Level PREP7 SOLUTION POST1 Classic Workbench

20 ANSYS Classic definizione ELEMENT TYPE PREP7 definizione REAL CONSTANTS definizione MATERIAL PROPERTIES definizione GEOMETRIA MODELLO definizione MESH del modello applicazione VINCOLI E CARICHI SOLUTION Soluzione FEM POST1 PLOT visualizzazione grafica dei risultati LIST risultati in forma numerica

21 ANSYS Classic CREAZIONE DEL MODELLO Generazione diretta Modellazione solida Specificare direttamente la posizione dei nodi Definire gli elementi tramite le connessioni fra i nodi Uso di primitive geometriche (rettangoli, cerchi, poligoni, prismi, cilindri, sfere) Operazioni booleane sulle geometrie (somma, sottrazione, intersezione, ecc.) Ansys genera automaticamente i nodi e gli elementi

22 ANSYS Classic CREAZIONE DEL MODELLO modellazione solida Geometria Mesh Nodi ed elementi

23 Esempio: Modellazione solida con ANSYS Classic Anello elastico (plane stress) F b = 4mm D = 25mm s = 2mm Rigidezza =? Stato di tensione =?

24 Definizione elementi Introduzione di un tipo di elemento Elemento solido piano es. Plane 182

25 Definizione elementi Definizione keyoptions es.: - plane stress - plane strain - axisymmetric

26 Definizione proprietà di materiale Materiale: Elastico Lineare Isotropo Omogeneo Moduli di Young e Poisson

27 Modellazione solida, anello elastico, plane stress 1 AREAS TYPE NUM OC Y Z X

28 Mesh : nodi ed elementi 1 ELEMENTS OCT :12:25 O Y Z X Y Z X Infittimento della Mesh

29 Condizioni di vincolo 1 ELEMENTS Y Z X

30 Condizioni di vincolo Spostamento imposto su tutti i gradi di libertà = incastro.

31 Condizioni di carico: pressione sulla linea 1 ELEMENTS Y Z X

32 Condizioni di carico: pressione sulla linea uniforme p= 2MPa, b= 4mm 2 2 P = pb = 8 N/mm Alternativamente si può dare come input la forza F

33 Condizione di vincolo: incastro 1 ELEMENTS U 1 PRES-NORM 2 ELEMENTS U PRES-NORM 2 Condizioni di carico: pressione OCT :37:54 Y Z X Y Z X

34 Solution Calcola la soluzione

35 Postprocessing Rappresentazione deformata Listato numerico dei risultati Plot grafico dei risultati (tensioni eqv., tensioni principali, ecc.) Grafici dell andamento dei risultati su path definiti sul modello

36 Postprocessing: Plot results - Nodal Solution Componenti di spostamento Componenti di tensione

37 DAL SOLUTION B =1 ME=1 SOLUTION 1 (AVG) 1YS=0 X = (AVG) 0N = X = Postprocessing: Spostamento secondo Y OCT :57:55 OCT :57:55 Calcolo di rigidezza: MN MN Y Z X Y Z X MX Es.: F MX s = 1.5mm = Ps = 12 N = mm K F = = 52.6 N/mm

38 AL SOLUTION P=1 1 NODAL SOLUTION =1 E=1 STEP=1 V SUB =1 (AVG) = TIME=1 = SEQV (AVG) DMX = = SMN = SMX = Postprocessing: Tensione eq. von Mises OCT :41:12 OCT :41:12 MX MX Y Z Y X Z X MN MN

39 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 SY (AVG) RSYS=0 DMX = SMN = SMX = Postprocessing: sigma_y 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 SY (AVG) RSYS=0 DMX = SMN = SMX = Calcolo flessione, trave a forte curvatura (anello seeger) D_I, mm D_E, mm Spessore radiale, mm D_m, mm p, MPa Spessore assiale F, N M_f, Nmm A, mm^2 r_i, mm r_e, mm W, mm^ r_g, mm r_n, mm e, mm sigma_0, MPa c_i, mm c_e, mm sigma_i,b, MPa sigma_e,b, MPa sigma_t, MPa E Y MN MX Z X MN MX Z X Y Th.travi curve: = 97.8MPa OCT :53:09 sigma_i, MPa sigma_e, MPa Th.travi curve: = 77.6 MPa I

40 POST1 Postprocessing: sigma_y, utilizzo del path STEP=1 SUB =1 TIME=1 PATH PLOT NOD1=77 NOD2=235 SY ELEMENTS OCT :04: Baricentro G Asse neutro N Th.travi curve: = 77.6MPa I Th.travi curve: = 97.8MPa E DIST

41 MPa Analisi di convergenza Tensione Max FEM Valore teorico N Nodi

42 Elementi strutturali Trave a doppio T - appoggiata agli estremi

43 Trave a doppio T - Modello con elementi Trave Parametri geometrici da inserire

44 Trave a doppio T - Modello con elementi Trave Determinazione delle caratteristiche della sollecitazione mediante il comando ETABLE ETABLE, MZ1, SMISC, 6! Memorizza il momento nel nodo I dell elemento ETABLE, MZ2, SMISC, 12! Memorizza il momento nel nodo J dell elemento PLLS,MZ1,MZ2! Visualizza l andamento del momento flettente

45 Trave a doppio T - Modello con elementi Guscio Superfici medie

46 Trave a doppio T - Modello con elementi Guscio

47 Tipi di elemento

48 Tipi di elemento

49 Tipi di elemento

50 Tipi di elemento

51 ANSYS Workbench - Versione attuale: 19.2 Workbench, soluzione integrata CAD - FEM: - Possibilità di importare modelli 3D da tutti i CAD: Pro/E, OneSpace, SolidWorks, CATIA, Unigraphics - Applicazioni vincoli/carichi semplificata (alcune limitazioni) - Integrazione con altri moduli di calcolo (AUTODYN, CFX)

52 ANSYS Workbench - Versione attuale: 19.2 Corpi diversi Superficie di interfaccia Atomatica identificazione delle interfacce di contatto Modellazione semplice/veloce alcune limitazioni

53 Tipi di analisi Statica strutturale: - La struttura deve essere equilibrata (schema di vincolo iso- o più frequentemente iper- statica). - In caso di soluzione labile => errore modello unconstrained. - Può tollerare modello labile ma carico non applicato secondo la direzione di labilità. - Analisi non lineari: - non linearità di contatto, - non linearità di materiale. - Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell. - Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello. - Input: materiali, geometria, vincoli e carichi. - Output: spostamenti, tensioni, forze, momenti di reazione.

54 Tipi di analisi Analisi modale: - La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo da riprodurre del sistema. - Analisi lineare, non sono ammesse non linearità né di contatto né di materiale, in caso di non linearità di contatto, viene congelata la configurazione di contatto iniziale. - Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell. - Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello, ma si introducono dei limiti sui modi possibili visualizzabili. - Input: materiali, geometria, vincoli (no carichi). - Output: - Lista della frequenze proprie (o naturali), si può scegliere se mostrare le prime o quelle all interno di un intervallo di frequenze; - Modo di oscillazione associato a ciascuna frequenza propria; - Lo stato di tensione e la distribuzione degli spostamenti è definita a meno di uno scalare.

55 Tipi di analisi Risposta armonica: - La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo da riprodurre del sistema - Analisi lineare, non sono ammesse non linearità né di contatto né di materiale, in caso di non linearità di contatto, viene congelata la configurazione di contatto iniziale - Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell - Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello, ma solo se i carichi hanno le stesse simmetrie della geometria. - Input: materiali, geometria, vincoli, carichi ma soltanto di natura armonica (frequenza ampiezza e fase) - Output: - risposta armonica alla frequenza di eccitazione dei carichi applicati (spostamenti, tensioni, reazioni vincolari)

56 Tipi di analisi Transitorio dinamico (solutore implicito): - La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo da riprodurre del sistema. - Analisi non lineare (es. di contatto o di materiale) - Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell - Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello. - Input: materiali, geometria, vincoli, carichi (legge oraria), spesso anche velocità iniziali. - Output: - evoluzione del transitorio sia spostamenti, sia tensioni e reazioni vincolari. Implicito: transitori lenti (tempi dell ordine di 1 secondo o molto maggiore).

57 Tipi di analisi Transitorio dinamico (solutore esplicito): - La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo da riprodurre del sistema. - Analisi non lineare (es. di contatto o di materiale) - Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell - Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello. - Input: materiali, geometria, vincoli, carichi (legge oraria), spesso anche velocità iniziali. - Output: - evoluzione del transitorio sia spostamenti, sia tensioni e reazioni vincolari. Esplicito: transitori molto veloci (tempi inferiori o molto inferiori a 1 secondo). Tipicamente urti e analisi di crash.

58 Tipi di analisi Altre tipi di analisi: - Buckling (instabilità). - Fluidodinamica. - Termico (transiente / a regime). Analisi consecutive (one way coupling) Es.: (1) analisi termica, (2) analisi deformativa tensionale. Analisi accoppiate (two way coupling) Es.: accoppiamento fluido struttura. Analisi Euleriana: volume di controllo, prima incognita sono le velocità. Tutte le altre analisi meccaniche (anche problema termomeccanico) sono Lagrangiane: viene seguita la particella materiale, prima incognita gli spostamenti (anche nelle analisi dinamiche, es. di transitorio).

59 Analisi con fenomeni fisici accoppiati Es. one-way coupling: (1) analisi termica, (2) analisi strutturale