La Matematica dei cambiamenti di stato

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II La Matematica dei cambiamenti di stato Giugno 2015 A. Romano 1

2 Esempi di cambiamenti di stato Solido liquido (fusione, solidificazione.). Liquido vapore (vaporizz., liquefazione). Solido vapore (sublimazione, sublimazione inversa). In ogni caso occorre descrivere l evoluzione di un sistema S che occupa un volume unione di due regioni contigue (fasi), anche non connesse, nelle quali S ha proprietà diverse. 2

3 Esempi 3

4 Due possibili descrizioni del cambiamento di stato Perché avviene? Come avviene? 4

5 Il calcolo delle variazioni Il problema della brachistocrona di G. Bernoulli: trovare la curva y = y(x), posta in un piano verticale, di estremi i punti (a,y(a)) e (b,y(b)), che sia percorsa nel più breve tempo da un punto pesante. 5

6 Il calcolo delle variazioni Il problema di Newton: trovare il profilo y = y(x), di un proiettile che rende minima la resistenza offerta dal mezzo in cui esso si muove. 6

7 Il calcolo delle variazioni L integrale b F y x = L x, y x, y x dx a che associa ad ogni funzione y(x), x ϵ [a,b], un numero reale, è detto un funzionale. Si vuole ricercare la funzione y(x) che rende minimo il funzionale. Siffatta funzione deve necessariamente soddisfare le equazioni di Eulero-Lagrange d dx L y nonché le condizioni ai limiti L y = 0 y a = y a, y b = y b. 7

8 Strato limite Il problema di Prandtl 8

9 Equazioni del modello Come si origina uno strato limite? Si consideri l equazione differenziale εy + x 0.5 y = 0 con le seguenti condizioni ai limiti y 0 = 2, y 1 = 0.5 9

10 Per ε =1 Strato limite

11 Per ε =0.01 Strato limite

12 Per ε = Strato limite

13 Formulazione matematica dell equilibrio di fase La termodinamica dei cambiamenti di stato riconduce l equilibrio di fase alla ricerca degli estremali del funzionale energia: i campi di densità e temperatura devono minimizzare l energia totale del sistema. 13

14 Equilibrio di fase (liquido-vapore) Siano V il volume occupato da S, x un generico punto di V e ρ(x) la densità di massa. Supponendo che la temperatura sia uniforme, ed indicando con e(ρ(x)) l energia per unità di massa, l energia totale di S assume un valore minimo al variare della densità ρ(x) (discontinua sull interfaccia), nonché del posizionamento di Σ, purché le variazioni siano a massa totale M costante 14

15 Equilibrio di fase (liquido-vapore) L energia totale E è un funzionale e la coppia di equilibrio (ρ(x), Σ), con ρ(x) discontinua su Σ, è un minimo vincolato di questo funzionale. Se la coppia (ρ(x), Σ) è un minimo di E necessariamente soddisfa le equazioni di Eulero-Lagrange del funzionale nonché le condizioni di Erdmann-Weierstrass su Σ. 15

16 Accordo con l esperienza Dalle equazioni di Eulero-Lagrange del funzionale energia e dalle condizioni di Erdmann-Weierstrass su Σ seguono risultati teorici in pieno accordo con l esperienza (regola di Maxwell, equazione di Clapeyron, ecc) soltanto quando Σ è una superficie piana. Perché quando Σ è curva la teoria non fornisce risultati in accordo con l esperienza? 16

17 La struttura di Σ La superficie Σ che separa le due fasi non è una semplice superficie di discontinuità per il campo di densità. 17

18 Due possibili descrizioni di Σ La superficie Σ è un sottile strato di transizione (strato limite). La superficie è una superficie di discontinuità dotata di proprietà materiali. 18

19 Il funzionale energia Il funzionale energia diventa E = α ρ 2 dv + e(ρ) dv V V Le corrispondenti equazioni di Eulero-Lagrange sono difficilissime da integrare.

20 Due possibili descrizioni di Σ La superficie è una superficie di discontinuità dotata di proprietà materiali. E = e Σ dv + e(ρ) dv Σ V Le equazioni di Eulero-Lagrange di questo funzionale si risolvono e forniscono le giuste condizioni di equilibrio anche con interfacce curve. 20

21 Distribuzione sperimentale dei domini V è un parallelepipedo con una faccia parallela all asse a di facile magnetizzazione. Sperimentalmente i domini di Weiss sono così distribuiti d a l l l

22 Cristallo ferromagnetico In assenza di campo magnetico esterno, le configurazioni di equilibrio di un cristallo ferromagnetico uniassiale corrispondono a minimi del funzionale energia: M 2 V m 2 dv + M 2 V β m x 2 +m y 2 dv dove m verifica il vincolo ed α<<1 (10-12 ) m m 1

23 Metodo delle interfacce Minimo del funzionale energia V 1 m 2 ( m 2 0 x x 2 M ) dv e d con il vincolo m m 1 Σ è l unione di tutte le pareti di Bloch ed e σ è l energia di superficie.

24 Risultati Se l energia di superficie dipende dalla normale e dal salto di m, allora, dalle equazioni di Lagrange e dalle condizioni di salto, segue che Le interfacce sono superfici piane; Le configurazioni possibili sono:

25 Configurazioni possibili d l l l L energia totale è funzione di l, l 1, l 2, d. Il minimo di energia si ha nella prima configurazione.