I teoremi sulle derivate: Lagrange e Cauchy

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1 ed il Safety Tutor Monfalcone, 31 maggio 2018

2 ed il Safety Tutor Ricordiamo quanto afferma il teorema di Rolle Teorema di Rolle Data una funzione f(x) tale che f(x) è continua nell intervallo [a, b] f(x) è derivabile in (a, b) f(a) = f(b) allora esiste almeno un punto c, a < c < b, per il quale risulta f (c) = 0 e vediamone una generalizzazione

3 ed il Safety Tutor (Teorema del valor medio) Data una funzione f(x) tale che f(x) è continua in un intervallo chiuso [a, b] f(x) è derivabile in (a, b) allora esiste almeno un punto c, a < c < b, per cui vale: f (c) = b a

4 ed il Safety Tutor Dimostrazione Consideriamo i due punti A(a, f(a)) e B(b, f(b)) del grafico della funzione f(x) e la retta passante per questi, che ha equazione y = f(a) + f(b) f(a) b a (x a). Definiamo la seguente funzione: g(x) = f(x) f(a) b a (x a) g(x) è differenza di funzioni continue in [a, b] e derivabili in (a, b), quindi è continua in [a, b] e derivabile in (a, b).

5 ed il Safety Tutor g(a) = f(a) f(a) g(b) = f(b) f(a) b a (a a) = f(a) f(a) 0 = 0 (b a) = f(b) f(a) f(b)+f(a) = 0 b a Quindi g(a) = g(b) Valgono tutte e tre le ipotesi del teorema di Rolle, lo possiamo applicare a g(x): esiste almeno un punto c, a < c < b, tale che g (c) = 0. g (x) = f (x) f(b) f(a) b a, da g (c) = 0 segue che f (c) = f(b) f(a) b a

6 ed il Safety Tutor Un applicazione: il Safety Tutor Mentre l Autovelox rileva la velocità istantanea dei veicoli nei tratti in cui è presente il dispositivo, il Safety Tutor misura la velocità media tra due centrali di rilevamento poste anche a diversi chilometri di distanza. Che c entra questo con il teorema di Lagrange?

7 ed il Safety Tutor s(t) legge oraria del moto dell automobile s(t 1 ) s(t 0 ) t 1 t 0 velocità media nell intervallo di tempo [t 0, t 1 ] ci dice che esiste un istante c (t 0, t 1 ) nel quale s (c) = s(t 1) s(t 0 ) t 1 t 0 In c la velocità istantanea assume lo stesso valore della velocità media con la quale è stato percorso il tratto di strada. Quindi se la velocità media è superiore al limite consentito, si ha che nel percorrere l intero tragitto ci sarà stato sicuramente un istante in cui è stata raggiunta quella velocità multa!

8 ed il Safety Tutor Primo corollario del teorema di Lagrange Sia f(x) una funzione derivabile in un intervallo I e tale che f (x) = 0 per ogni x I. Allora f(x) è costante in I.

9 ed il Safety Tutor Secondo corollario del teorema di Lagrange Se f(x) e g(x) sono due funzioni derivabili in un intervallo I e tali che f (x) = g (x) per ogni x I, allora esiste una costante c R tale che f(x) = g(x) + c per ogni x I. Dimostrazione Consideriamo F (x) = f(x) g(x). Dalle ipotesi segue F (x) = f (x) g (x) = 0 per ogni x I, quindi per il corollario precedente si ha che F (x) è costante in I. Allora F (x) = c = f(x) g(x) e dunque f(x) = g(x) + c.

10 ed il Safety Tutor Date due funzioni f(x), g(x) tali che f(x) e g(x) sono continue nell intervallo [a, b] f(x) e g(x) sono derivabili in (a, b) g (x) 0 per ogni x appartenente ad (a, b) allora esiste almeno un punto c, a < c < b, in cui si ha g(b) g(a) = f (c) g (c) si può ottenere da quello di Cauchy in cui la funzione g(x) è g(x) = x.

11 ed il Safety Tutor Dimostrazione Consideriamo la funzione seguente: F (x) = g(x) [] f(x) [g(b) g(a)] Da continuità e derivabilità di f(x) e g(x) segue che anche F (x) è continua in [a, b] e derivabile in (a, b). F (a) = f(b)g(a) f(a)g(b) = F (b) quindi per Rolle esiste c, a < c < b, tale che F (c) = 0. Allora g (c) [] f (c) [g(b) g(a)] = 0. Abbiamo g(b) g(a) (altrimenti per Rolle g (x) si dovrebbe annullare in un punto di (a, b), contrariamente all ipotesi) e possiamo dividere per g (c) [g(b) g(a)], da cui segue g(b) g(a) f (c) g (c) = 0