negli anni 50 Hofstadter utilizzò elettroni da MeV per sondare la

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1 Struttura tt degli adroni e modello a partoni Scattering elastico elettrone-protone. Sezione d'urto di Rutherford, di Mott e di Rosenbluth. Risultati dell'esperimento esperimento di Hofstadter. Invarianza dalla scala. Scattering anelastico elettrone-protone. Scaling di Bjorken. Funzioni di struttura. Ipotesi dei partoni. Relazione di Callan-Gross. Quark di valenza e quark del mare. Cenni alla violazione dello scaling. 1

2 Scattering elettrone- protone Scattering elastico: negli anni 50 Hofstadter utilizzò elettroni da MeV per sondare la distribuzione di carica dei nuclei. I risultati degli esperimenti mostrarono che il protone non è una particella puntiforme e permisero di misurarne la dimensione. Scattering anelastico: nel 1967 Friedman, Kendall e Taylor iniziarono una serie di esperimenti a SLAC con elettroni fino a 0 GeV per studiare la struttura interna del protone ed andare alla ricerca dei quark. Gli esperimenti mostrarono che il protone è composto da particelle puntiformi.

3 Scattering elastico elet.-protone protone: variabili cinematiche e k=(e,k) p=(m,0) e k'=(e',k') p'=(e,p ) r r Nello scattering si misurano solo le grandezze relative all elettrone, vale a dire: energia iniziale E energia finale E angolo di diffusione Dalla conservazione del quadrimpulso si ha: E E M E' ; p' k k' k p k' p' E ; p k p k' p' kk pp k p k' k ' p' p ' k' p ' m m k p m m k' p ' e p e p r r k' k p ' p ' Valida solo per urti elastici 3

4 Scattering elastico elet.-protone protone: variabili cinematiche e k=(e,k) p=(m,0) e k'=(e',k') p'=(e,p ) r r E r EM E' p' r k k' k p k' p EM-0 E' E k' p E'( EM E') k' ( k k' ) r r ' E ' kk s EM E ' E E ' M 'co k ' Trascurando la massa dell elettrone si ha: E' k' m e 0 ; k=e ; k' =E' E' E E 1 1cos M E' E E M 1 sin N.B. E =E per M 4

5 Scattering elettrone-protone: quadrimpulso trasferito Si assume che nell interazione venga scambiato un solo fotone. k'=(e',k') k=(e,k) e e q p e Dalla conservazione del qudrimpulso si ha: K K' q q K K' q K K' K K K' K' K K' m K K' K K' e q EE' KK'cos EE' 1cos4 EE'sin Si preferisce utilizzare la variabile positiva Q Q q 4 EE' sn i N.B. questa relazione è valida anche per uno scattering anelastico, dove E ed E sono variabili indipendenti. Nel caso di scattering elastico si ha: E' E E M 1 sin 5

6 Setup di Hofstadter (1956) Nel Hofstadter e collaboratori eseguirono diversi esperimenti per misurare la dimensione e la struttura di diversi nuclei. Nel 1956 Hofstadter e McAllister utilizzarono un bersaglio gassoso di idrogeno o elio per studiare la dimensione del protone e del neutrone. Fascio: elettroni da 188 MeV Bersaglio: protoni o elio Spettrometro per misurare l angolo dell elettrone diffuso. L angolo varia da 35 a 138 6

7 Esperimento di Hofstadter: energia dell elettrone diffuso E' Il grafico mostra la correlazione tra l energia dell elettrone diffuso e l angolo di diffusione. E' E E 1 sin M Nello scattering elastico E e non sono variabili indipendenti Q=4EE'sin Ad angoli diversi corrisponde un Q diverso 7

8 Alcuni valori di E e Q E(GeV) (gradi) E (GeV) Q (GeV ) E' E E 1 sin M Q =4EE'sin 8

9 Risultati di Hofstadter p =.79 Protone puntiforme I dati suggeriscono che il protone ha una struttura. Hofstader e McAllister ricavarono che il protone ha un raggio medio di: 13 r = cm 9

10 Formula di Rutherford Consideriamo dapprima la diffusione Coulombiana di un elettrone da parte di un protone in quiete. e p p i q p f e p Se l elettrone fosse senza spin e il protone avesse massa infinita, avremmo lo scattering di Rutherford: Notare la dipendenza 1/p d d p (sin 4 i 4 )-1 L impulso trasportato dal fotone vale: q p p q p p p p i f i f i f Se il protone ha massa infinita, l elettrone conserva la sua energia cinetica: pi pf q 1 cos 4 sin pi pi Inoltre: d = sind = d-cos pd i dq dq cos d = pi d dq 4 4 q Formula di Rutherford 10

11 Sezione d urto di Mott e p p i q p f e p = angolo di scattering dell elettr. M = massa del protone E = energia dell elettrone incidente Consideriamo ora la spin dell elettrone e consideriamo il rinculo del protone. Il protone viene ancora consi- derato come una particella puntiforme priva di spin. Otteniamo in questo modo la sezione d urto di Mott. cos d d d E Mtt o d Rutherford 1 sin M Dalla formula si vede che per = la sezione d urto è nulla. Questo è in relazione con l elicità dell elettrone elettrone e nell aver considerato il protone privo di spin. L elettrone deve fare uno spin-flip, che non può essere fatto se il protone ha spin zero. 11

12 Sezione d urto di Dirac La sezione d urto di Mott tiene conto solo dell interazione elettrica tra la carica dell elettrone e quella del protone, ma non tiene conto dell interazione tra gli spin. La sezione d urto può essere migliorata introducendo nel calcolo anche lo spin del protone, considerato come una particella puntiforme di Dirac di spin ½. L elettrone interagirà i pertanto t sia con la carica che con il momento magnetico del protone (che sappiamo essere diverso da quello previsto da Dirac per una particella puntiforme). L interazione Linterazione magnetica è associata allo spinflip del protone, quindi viene privilegiato lo scattering a 180 o. La sezione d urto si può scrivere come: d d Q 1+ tan d Dirac d Mott M Interazione magnetica: importante a grandi angoli e a grandi valori di Q 1

13 Momento magnetico q L m Momento magnetico di una particella con carica q, massa m e momento angolare orbitale L qh =gg S m S=spin; g=rapporto giromagnetico. Classicamente g=1 La teoria di Dirac prevede che l elettrone abbia g= (ed ovviamente spin 1/) eh e= m e -5 ev T Magnetone di Bohr Sostituendo nella formula la massa dell elettrone con la massa del protone, abbiamo il magnetone nucleare eh N= m N -8 ev T I valori misurati del momento magnetico del protone e del neutrone sono: g = =+.79 ; p P n N N n= N= 1.91N Se fossero state due particelle di Dirac avvremmo avuto: P = N ; n = 0 Quindi la parte anomala del momento magnetico, espressa in termini di magnetone nucleare, vale: g P = 1.79 ; = n 13

14 Sezione d urto di Dirac con momento magnetico anomalo Rosembluth eseguì il calcolo della sezione d urto tenendo conto del momento magnetico anomalo del protone e considerando il protone come una particella NON puntiforme. Questo comporta l introduzione di due fattori di forma che tengano conto della distribuzione della carica e della corrente all interno del protone. Qui sotto riportiamo l espressione della sezione d urto di Rosembluth nel caso in cui q0. In questo caso la sezione d urto differisce da quella di Dirac soltanto per la presenza del momento magnetico anomalo. d d Q Q tan d d Mott 4M M Rosemb. q0 Come si vede, a parità di Q trasferito si ha: d d d d Rosemb. d Dirac d q0 Mott Ma la verità sta nel mezzo, quindi occorre introdurre dei fattori di forma nella sezione d urto. 14

15 Perché occorre un fattore di forma Un fotone può sondare delle dimensioni simili alla sua lunghezza d onda. Oggetti la cui dimensione è molto minore di vengono visti dal fotone come puntiformi. = q Se una carica è effettivamente puntiforme, il fotone la vedrà sempre come tale qualunque sia la sua lunghezza d onda. Quindi non interviene nel processo una scala che differenzi gli effetti della non puntiformità della carica. Al contrario, quando la carica NON è puntiforme ed ha una dimensione simile a, il fotone non interagirà con la carica in toto, ma con le sue singole parti e si avrà un fenomeno di interferenza. Questo comportamento viene descritto dal fattore di forma che tiene conto della distribuzione della carica. 15

16 Fattore di Forma iqr F( q ) ( r) e dv ( r ): densita' di carica d d F q d d misurata Mott Dalla misura sperimentale della sezione d urto, e dal suo confronto con la sezione d urto puntuale di Mott (ad esempio), si ricava F(q ) e da questa la distribuzione della carica all interno di un nucleo (o del protone). 1 Fq ( ) 1 q a a: fattore di scala NB.. Fq ( ) 1 16

17 Sezione d urto di Rosenbluth La sezione d urto di Rosembluth tiene conto dell interazione elettrica e magnetica dell elettrone con il protone. Occorrono due fattori di forma, uno elettrico (G E ) ed uno magnetico (G M ). Più avanti faremo vedere il calcolo esplicito di Rosembluth. d d Rosembluth Q E M d G G 4M Q + G M tan d Mott Q M 1+ 4M In pratica la formula è riscritta nel modo seguente: d d d d Ros Mott. A(Q )+B(Q ) tan Dove: Q GE G M Q A = 4M ; B = G Q M 1+ 4M M 17

18 Misura dei fattori di forma I fattori di forma G E e G M possono essere determinati facendo una serie di esperimenti a diversi valori di Q e misurando la sezione d urto differenziale d/d in funzione di d d d d exp Mott Q =.5 GeV c Slope = B(Q ) A(Q ) tan tan A = G Q 4M Q 1+ 4M E G M ; B = Q M G M Il fattore di forma magnetico, ad un dato valore di Q, viene determinato direttamente dalla slope, e quindi da questo risultato, e dal valore dell intercetta, si ricava il fattore di forma elettrico. 18

19 Legge di scala dei fattori di forma I risultati sperimentali mostrano che i fattori di forma del protone e del neutrone sono legati da una relazione molto semplice: G (Q ) G (Q ) G (Q ) = ; G (Q ) = 0 p n p M M E = p n n E Q L andamento può essere descritto da una formula di tipo dipolo: G(Q ) = 1 Q 1+ m dove m = 0.71 GeV La formula di dipolo è compatibile con la distribuzione di carica esponenziale: e r -mr 0.8 fm 19

20 Scattering elastico elet.-muone e k k ' e p q ( k k') p ' - - (Quadrimomento trasferito) L interazione Linterazione è elettromagnetica. Il diagramma di Feynman fondamentale è dato dallo scambio di un solo fotone. L elemento di matrice del processo si ottiene considerando l interazione corrente-corrente, corrente, tra la corrente di Dirac dell elettrone e quella del muone. e M u k' u k fi u p' u p q Per trovare la sezione d urto occorre fare il modulo quadro di M fi. Dato che il proiettile (elettrone) ed il bersaglio (muone) non sono polarizzati, occorre mediare sugli spin dello stato iniziale e sommare su quelli dello stato finale. 4 8 e fi 4 [ ' ' ' ' M k p k p k p k p q p p k k -m ' M ' m M ] m= massa dell elettrone; M= massa del muone 0

21 Scattering elastico elet.-muone k=(e,k) e e k'=(e',k') q=(,q) p=(m,0) p' Variabili cinematiche nel sistema di riferimento in cui il muone è fermo Valutiamo di nuovo M fi nel sistema di riferimento in cui il muone è fermo, trascurando la massa dell elettrone. Ricordiamo che: q=k-k'=p'-p p'=k-k'+p 8e 1 1 Mfi q k p k ' p k ' p k p M q 4 q 4 Sperimentalmente si misurano soltanto le grandezze relative all elettrone (Energia (E,E ) ed angolo di scattering ), le quali inserite in M fi, danno: M 8e q q M 4 fi EE' M cos sin 4 Per ottenere la sezione d urto differenziale per lo scattering dell elettrone nell angolo solido d e di energia compresa nell intervallo E e E +de, occorre aggiungere all elemento di matrice M fi, il fattore relativo allo spazio delle fasi d 4 E ' cos q sin q 4 dde' q M M 1

22 Scattering elastico elet.-muone Nello scattering elastico vi è una relazione tra l energia e l angolo dell elettrone diffuso: E' = E E 1+ 1 cos Mc Integrando la sezione d urto differenziale rispetto ad E, si ottiene: d 1 q cos sin d 4 E M 4E sin 1 sin M Questa può essere riscritta nella forma seguente: d d d q 1- tan d Mott M dove cos d d Mott 4 E 4E sin 1 sin M L equazione della sezione d urto differenziale gioca un ruolo molto importante dello studio della struttura del protone attraverso lo scattering elettrone protone. Si tenga inoltre presente che il termine sin (/) nella sezione d urto di Mott deriva dall interazione dello spin dell elettrone con il momento magnetico del muone.

23 Scattering elastico elet.-protone e p k protone k ' e q ( k k') p ' protone Il vertice protone-fotone non è il vertice di Dirac perché il protone non è una particella puntiforme L elemento di matrice è sempre dato dall interazione corrente-corrente Corrente dell elettrone: 1 M J J prot q elec. fi. ' elec. J eu k u k Il protone deve obbedire all equazione di Dirac, tuttavia la struttura complicata del protone si manifesta nel vertice di accoppiamento fotone-protone che è diverso da quello fotone-elettrone elettrone. La corrente del protone si scrive come: prot. ' J eu p u p J deve essere un quadrivettore di Lorentz. La forma più generale che si possa scrivere per, seguendo la decomposizione di Gordon, è: M F 1( q ) F( q ) i q Int. elettrica Int. magnetica 3

24 Sezione d urto di Rosenbluth F1( q ) F( q ) i q M ; i, k=1.79 magnetoni nucleari; è la parte anomala del momento magnetico ( p =.79 magnetoni nucl.) M è la massa del protone N.B. non ci sono termini in 5 perché l interazione elettromagnetica conserva la parità. Se q 0, il fotone virtuale ha una grande lunghezza d onda e non è sensibile ai dettagli della struttura del protone; quindi esso viene visto come una particella puntiforme. In questi limiti si deve avere: lim F( q ) 1 e l im F ( q ) 1 q 1 0 q 0 Dall ampiezza si può calcolare la sezione d urto, sommando sugli spin finali e mediando su quelli iniziali; in questo modo si ottiene la sezione d urto di Rosenbluth d d q F 1(q ) - F (q ) d d 4M Ros. Mott q - F 1(q )+ F (q ) tan M 4

25 Fattori di forma del protone Se il protone fosse puntiforme come il muone, k sarebbe nullo e F 1 (q ) sarebbe uguale a 1 per tutti i valori di q, in modo da riottenere il vertice di Dirac. In questo modo riotteniamo le formule trovate in precedenza per lo scattering elettrone-muone muone. d d d q 1- tan d Mott M La formula può essere scritta in un altro modo introducendo i fattori di forma elettrico e magnetico del protone: q G = F + 4M E 1 F ; G M = F 1 + F lim G = 1 ; limg = 1 + = E q 0 M p q 0 ( p = momento magnetico del protone) q GE G M d d 4M q - G M tan d d Mott q M 1-4M In pratica la formula è riscritta usando la variabile: Q = q d d d d Ros. A(Q )+B(Q ) tan Mott N.B. Q > 0 Q GE G M 4M Q Dove: A = ; B = G Q M 1+ 4M M 5

26 Invarianza di scala Consideriamo un fattore di forma di tipo dipolo: 1 F(Q ) Q 1 nucleo In questa espressione nucleo stabilisce la scala del fenomeno che si sta studiando; il comportamento delle sezioni d urto, attraverso il fattore di forma, dipende dai valori relativi di Q e della scala nucleo Se Q << F( Q) 1 In questa situazione il fotone ha una lunghezza d onda molto lunga e non è sensibile ai dettagli della struttura interna del bersaglio; la diffusione avviene e come se questi fosse puntiforme. nucleo All aumentare di Q la sezione d urto elastica puntiforme diminuisce attraverso il fattore 1/Q Tuttavia, se immaginiamo che ci sia un altra scala nucleone, ma Q << nucleone, non verrà rivelata nessuna struttura interna del nucleone. Avremo in questo modo una diffusione quasi elastica da parte dei nucleoni costituenti il nucleo. Il quasi elastico si riferisce al fatto che i nucleoni non sono liberi e risentono del moto di Fermi. Lo scattering quasi elastico avviene per x1/n, dove N è il numero di costituenti del nucleo. Il fattore di forma della sezione d urto quasi elastica è indipendente da Q, cioè non dipende dalla scala (invarianza di scala; scaling) 6

27 Invarianza di scala Quando la carica NON è puntiforme ed ha una dimensione simile a, il fotone non interagirà con la carica in toto, ma con le sue singole parti e si avrà un fenomeno di interferenza. Supponiamo ora che l oggetto non sia costituito da una distribuzione continua di carica, bensì da N cariche puntiformi. Quando la lunghezza d onda del fotone diventa molto minore dell oggetto iniziale, esso interagirà con la singola carica puntiforme. L interazione avverrà solo con una carica puntiforme e quindi non si ha un fenomeno di interferenza come nel caso di una distribuzione continua di carica (non serve il fattore di forma). Inoltre all aumentare della lunghezza d onda del fotone, l interazione avviene sempre con una carica puntiforme, quindi non interviene nessuna scala ulteriore (invarianza di scala). 7

28 Scattering elec. 400 MeV su NBQ N.B.Q aumenta all aumentare di x'=q /m =1 p x'=q 4/(4m ) p x=q /m x'=4x=1 x=0.5 0 =45 x X=0.5 Il picco anelastico diminuisce i i poco all aumentare di Q Il picco elastico diminui- i i sce all aumentare di Q 0 =60 8

29 Scattering anelastico elettrone-protone e k protone p e k ' q=(k-k'),q p ' adroni, massa invariante W Nello scattering elastico le particelle dello stato iniziale, elettrone e protone, conservano la propria identità. Se aumentiamo il quadrimpulso trasferito, q, dall elettrone al protone (e quindi l energia trasferita ), il protone può essere eccitato in un suo stato risonante, ad esempio la +, ritornando poi nel suo stato fondamentale emettendo un pione. e p e e p 0 Aumentando ancora di più il q trasferito, il protone perde completamente la sua identità e vengono prodotti al suo posto molti adroni. In ogni caso assumiamo che il meccanismo fondamentale dell interazione i sia lo scambio di un solo fotone. Sperimentalmente si misurano soltanto le grandezze relative all elettrone, ovvero la sua energia e l angolo di diffusione. La sezione d urto misurata in questo modo viene chiamata sezione d urto inclusiva. 35

30 Relazioni cinematiche e k protone p e k ' q 4 EE ' i q=(k-k'),q p ' 4 'sin adroni, massa invariante W p k p' k' Conservazione del quadrimpulso q k k' p' p Quadrimpulso trasportato dal fotone q (, q) ; p=(m,0) Il protone è fermo nel laboratorio p'=p+q p ' p q pq Consideriamo lo scattering elastico. In questo caso il protone rimane un protone, quindi p =M M p q pq q M Nello scattering elastico vi è una relazione tra l energia trasferita misurata nel laboratorio, ed il quadrimpulso trasferito q Consideriamo ora lo scattering anelastico, in questo caso e q sono variabili indipendenti: p' W p q=m W è la massa invariante degli adroni prodotti N.B. M e sono valutati nel laboratorio Q = q È una definizione, in questo modo Q >0 Q M M W 36

31 Relazioni cinematiche: x e Q Introduciamo una nuova variabile cinematica, x (variabile di Bjorken), che sarà molto importante nello studio dello scattering profondamente anelastico. x Q M (N.B. nello scattering elastico x = 1) Q xm Le regioni nelle quali sia Q che sono grandi si chiamano di scattering profondamente anelastico. Queste regioni sono molto importanti perché è dove si rivela la struttura interna del protone, il quale consiste di partoni puntiformi. Q W=M W X=1 Produzione di risonanze Regione proibita dalla cinematica X=0.75 X=0.50 X costante Q xm Scattering anelastico X=0.5 M W ' M Q M M W 37

32 Apparato sperimentale Vi erano tre spettrometri per misurare l angolo e l energia dell elettrone diffuso Nel lavoro di Friedman, Kendal, Taylor et al. del 1969, si riporta la misura della sezione d urto differenziale i anelastica, misurata a =6 e 10, e l energia dell elettrone incidente variava da 7 a 17 GeV. Il momento trasferito Q arrivava fino a 7.4 GeV 38

33 Esempio di scattering anelastico d dde' Risonanza 39

34 Sezione d urto doppio differenziale E(GeV) Q (GeV) d dde' =4 Risonanze varia poco al variare di Q W(GeV) 40

35 Confronto tra le sezioni d urto elastica e anelastica exp. M o t t =10 W=massa invariante Fattore di forma Q L energia dell elettrone incidente varia tra 7 e 17 GeV I dati si discostano chiaramente dalla sezione d urto elastica prevista, indicando l esistenza di particelle puntiformi all interno del protone. 41

36 Scattering anelastico elettrone- protone: sezione d urto La sezione d urto del processo di diffusione può essere scritta come: d 4 E' = S 4 dde' Q Dove S rappresenta la struttura del bersaglio. Nel caso dello scattering elastico e-, dove sia e che sono senza struttura, si ha: Q Q See cos sin M M dove M è la massa del muone. La esprime il fatto che e Q non sono variabili indipendenti. Nel caso della diffusione anelastica ep > ex, e Q sono variabili indipendenti, ed abbiamo pertanto: S epex = W(Q,)cos +W 1 (Q,)sin La struttura complessa del protone è riflessa dalla presenza di due funzioni di struttura W 1 e W, che per valori di Q inferiori a circa 1 (GeV/c), sono funzioni sia di Q che di. Bjorken ipotizzò che, se il protone fosse composto da particelle puntiformi, lo scattering quasi elastico dell elettrone con queste particelle, doveva esibire un invarianza di scala, cioè la sezione d urto doveva essere indipendente da Q, e dipendere solo dal rapporto x=q /M 4

37 Scaling di Bjorken In altri termini, secondo lo scaling di Bjorken, le funzioni di struttura W 1 e W devono ridursi a quelle puntiformi: Q Q Q W 1 = - = - ; W m m m m è la massa della particella costituente. Ricordando che: le relazioni i come: 1 ax = a x Q Q mw1 Q, = 1- = m m possiamo riscrivere x 1- x Q W Q, = 1- = x m 1-x Come si vede queste funzioni di struttura sono funzioni solo di x (scaling di Bjorken). Possiamo dire che con l aumentare di Q, e quindi con il diminuire della lunghezza d onda del fotone, la diffusione elastica dal protone, che può essere considerata come l azione coerente di tutti i quark all interno del protone, viene sostituita dalla sovrapposizione incoerente della diffusione elastica dei singoli quark puntiformi. Q Riassumendo, nel limite Q, dove x =, si ha: m mw Q, F(x) ; W Q, F (x) 1 1 int. magnetica int. elettrica I dati sperimentali supportano questa ipotesi per Q > (1 GeV/c) 43

38 Evidenza dello scaling mw Q, 1 1 (int. magnetica) F (x) Q x = M M Q W Q, F (x) = (int. elettrica) Si vede sperimentalmente che F 1 e F sono delle funzioni monotone di una sola variabile 44

39 Scaling(delle(funzioni(di( struura( 0.4' 0.5 w 0 O. l x ' a ao X a 0 I ss~ o a 0 pa a s o 0 I I I I I I I 0 0 E=IO.O GeV 0 Eall. 5 GeV 0 E=16.0 GeV (a) ~ cp- O.l I I I I I I I I ω=1/x( Da9(dell esperimento(slac(a( due(differen9(angoli(e(energia( del(fascio(variabile( Evidenza(dello(scaling(( νw(q,ν)(!(f(x)( 4q (b) I I I I I I I I I I IO I I 5 I 4 I I I I I I 56789IO I I Gd 6'

40 Evidenza dello scaling W Q, F (x) x = 0.5 F non varia Q 45

41 Interpretazione dello scaling La prima interpretazione fisica dello scaling di Bjorken fu data da Feynman nel Feynman ipotizzò che il protone fosse formato da particelle puntiformi chiamate PARTONI. Feynman postulò che ciascun partone trasportasse una frazione x dell energia e della quantità di moto del protone. Ci sono diversi i tipi i di partoni. Un partone di tipo i ha il quadrimpulso: p=x i p m=x M (M è la massa del protone) i (P è il quadrimpulso del protone) Si può dimostrare che la frazione x del momento del partone è proprio uguale alla variabile x di Bjorken: Q x = M (Ricordiamo che è l energia trasferita dall elettrone al protone nel sistema del laboratorio) Da questa formula discende immediatamente che, mettendo m=xm, abbiamo: Q = = xm Q m che è la relazione che lega e Q per uno scattering elastico su una particella puntiforme di massa m 47

42 Dimostrazione: Consideriamo un sistema di riferimento in cui il protone ha una quantità di moto così grande che tutte le masse in gioco e tutti i momenti trasversi possono essere trascurati (infinite momentum frame). In questo S.R. il quadrimpulso del protone è: p (E,p) = (p,0,0,p) Il protone è visto come uno sciame di partoni, tutti con impulso trasverso nullo rispetto alla direzione di volo del protone, ed ognuno di essi avente una frazione x della quantità di moto, della massa e dell energia energia del protone. (xp+q) Quadrimpulso acquistato da partone dopo l urto (xp+q) m 0 (massa del partone) p =M 0 q x p + xp q + q =0 (massa del protone che può essere trascurata) p q è un invariante relativistico e può x p q essere calcolato in qualsiasi sistema di riferimento, ad esempio nel sistema del p = (M,0,0,0) 0 0) laboratorio dove il protone è fermo Mentre per il fotone si ha: q = (,q) dove E-E' è l energia trasferita dall elettrone al protone nel sistema del laboratorio. pq pq = M M q Q x c.v.d. M M N.B. è rigorosamente valida solo nell infinite momentum frame 48

43 Friedman: 49

44 Scattering elettrone-partone Partoni spettatori Assumendo che i partoni siano particelle puntiformi di spin ½ possiamo scrivere la sezione d urto differenzia- i le dello scattering elastico elettrone-partone partendo dalla formula dello scattering elettrone-muone. Nella formula dobbiamo rimpiazzare con e i, dove e i è la carica frazionaria del partone. d 4 E' Q Q = e 4 icos + ei sin dde' Q mi mi Se confrontiamo questa formula con quella della sezione d urto anelastica elettrone-protone: d 4 E' = W (Q,)cos +W (Q,)sin 4 1 dde' Q abbiamo, ricordando che m i =xm: W = e Q Q i 1 i - 4x M mi ; Q i W = e i - mi 50

45 Relazione di Callan-Gross I partoni che non partecipano allo scattering si comportano da spettatori. I contributi dei singoli quark alla sezione d urto differenziale dello scattering inelastico si sommano incoerentemente (non c e interferenza, si sommano le sezioni d urto e non le ampiezze). Ogni partone trasporta una frazione x dell impulso del protone, dove la frazione x può essere diversa da partone a partone. Indichiamo con f i (x) la probabilità che un partone di tipo i abbia la frazione x dell impulso del protone. analogamente Q Q W(Q 1, ) = e i i f(x) i - dx 4M x Mx ei MW 1(Q, ) = f i i(x) F 1( x) x= Q M Q W(Q, ) = ef(x) i i i - dx M x W (Q, ) = e xf (x) F i i i Confrontando le due relazioni si ha: ( x) xf 1(x) = F ( x) Questa si chiama relazione di Callan-Gross ed è valida solo per partoni di spin ½. Dalla sua verifica sperimentale si ricava che i partoni hanno spin ½ 51

46 Verifica sperimentale della relazione di Callan-Gross a Derived from Table XV of A.Bodek et al., Phys. Rev. D0 (1979) 1471 S=1/ S=0 xf 1(x) = F ( x) I dati supportano la presenza all interno del protone di particelle puntiformi cariche di spin ½ Si ricordi che la funzione di struttura F 1 è legata all interazione i magnetica, ed una particella di spin zero non interagisce magneticamente. 5

47 Struttura a quark del nucleone Lo scaling di Bjorken può essere riassunto nelle relazioni: ei MW 1(Q, ) F 1( x) = f i i(x) W(Q 1, ) F( x) = eixf(x) i I numeri quantici degli adroni derivano dalla loro composizione in quark; tuttavia se aggiungiamo coppie quark-antiquark, i numeri quantici non cambiano. Distinguiamo quindi i quark di valenza dai quark del mare. Utilizzando i numeri quantici dei quark u, d e s, possiamo scrivere per F, nello scattering elettroneprotone: ep 4 p p 1 p p 1 p p F = x u (x)+u (x) + d (x)+d (x) + s (x)+s (x) u p (x) è la pdf (probability density function) del quark u nel protone, cioè la probabilità che il partone abbia la frazione di impulso del protone compresa tra x e x+dx. Per lo scattering elettrone-neutrone si può scrivere: en 4 n n 1 n n 1 n n F = x u (x)+u (x) + d (x)+d (x) + s (x)+s (x) I quark u e d formano un doppietto di isospin, quindi per l invarianza delle interazioni forti per rotazioni nello spazio SU() di isospin, ci aspettiamo che: i p n u(x) = d(x) u(x) p n d(x)= u (x) d(x) p n s(x) = s(x) s(x) Più vincoli simili per le altre coppie qq più pesanti 53

48 Quark di valenza e quark del mare Per ogni quark possiamo scrivere in generale: q(x) = q (x) + q (x) v s valenza sea (mare) Dato che i quark di valenza del protone sono u e d, dobbiamo avere: q(x) v = 0 per s, s, u, d quindi nel protone i quark s (e gli altri quark più pesanti) e gli antiquark, devono appartenere al mare, mentre per i quark u e d si ha: u(x) = u ( x) + u (x) ; d(x) = d (x) + d(x ) v s v Se facciamo la semplificazione che i tre quark leggeri compaiono nel mare con la stessa frequenza e la stessa distribuzione in impulso, abbiamo: s u s(x) = d s(x) = s s(x) = u s(x) = d s(x) s(x) Con queste parametrizzazioni le funzioni di struttura del protone e del neutrone diventano: ep x 4 F = 4u v(x)+d v(x) xs(x) 9 3 en x 4 F = u v(x)+4d v(x) xs(x) 9 3 N.B. i quark del mare derivano dal fatto che questi interagiscono tra loro mediante lo scambio di gluoni, i quali a loro volta possono formare delle coppie virtuali quark-antiquark 54

49 Verifica dell esistenza dei quark del mare Valutiamo il rapporto tra le funzioni di struttura del neutrone e del protone in funzioni di x. Consideriamo due casi estremi: a) Quark del mare dominanti, ci aspettiamo che questo avvenga a piccolo x: F (x) F ( x) en ep 1 b) Consideriamo il caso in cui domini u v (ricordiamo che u indica la pdf di u nel protone e di d nel neut.) F (x) u +4d 1 F (x) 4u +d 4 en v v ep v v domina il mare Dominano i quark u 55

50 F per diverse composizioni del protone L interazione tra i quark ridistribuisce l impulso tra di loro 56

51 Verifica della forma di F Ricordiamo che: ep x 4 F = 4u v(x)+d v(x) xs(x) 9 3 en x 4 F = u v(x)+4d v(x) xs(x) 9 3 Sottraendo le due espressioni, togliamo il contributo dei quark del mare: F (x) F ( x) ep en ep en x F (x) () F (x) () = u v(x) () d v ( x) 3 57

52 Integrali delle funzioni di struttura: contributo del gluone Ricordiamo la forma di F : ep 4 p p 1 p p 1 p p F = x u (x)+u (x) + d (x)+d (x) + s (x)+s (x) en 4 n n 1 n n 1 n n F = x u (x)+u (x) + d (x)+d (x) + s (x)+s (x) () () () () () () Essa è del tipo xf(x), quindi dal suo integrale possiamo ricavare la frazione di impulso del protone trasportata dalle particelle cariche al suo interno; in questa valutazione si può trascurare il contributo della frazione di impulso trasportata dai quark s ep F dx = x(u+u)dx + x(d+d)dx f u + fd en F dx = x(d+d)dx d)dx + x(u+u)dx u)dx f d + f u (protone) (neutrone) 1 f= u x(u+u)dx 0 f u = Frazione dell impulso del protone trasportata da tutti i quark u e u ed 1 f f = d x(d+d)dx analogamente per f d 0 Le misure sperimentali danno: ep 4 1 F dx = f u + f d en 4 1 F dx = f d + f u f 0.36 u f 0.18 d Solo il 50% dell impulso del protone è trasportato dai quark e antiquark, il resto è trasportato dai gluoni 58

53 Sum rules Le funzioni di distribuzione di probabilità (pdf) dei quark devono soddisfare alcune regole di somma. Ad esempio, per il protone abbiamo: 1 u(x)-u(x) dx = () () 0 1 d(x)-d(x) dx = s(x)-s(x) dx = 0 0 quark u di valenza 1 quark d di valenza stranezza 0 Per confermare queste regole di somma, occorre analizzare lo scattering dei neutrini e degli antineutrini, che avviene per interazione debole tramite lo scambio di un W. Questo permette di distinguere i quark dagli antiquark. 59

54 Interazioni neutrino-nucleonenucleone A questo punto del corso diamo soltanto alcune formule che riguardano lo scattering neutrino (antineutrino) con il nucleone. Consideriamo soltanto le reazioni di corrente carica (scambio di un W); allora la conservazione della carica e del numero leptonico, fa si che si hanno le reazioni: d u ; u d u d ; d u Ricordiamo come abbiamo identificato le funzioni di distribuzioni di probabilità dei quark all interno del protone e del neutrone: p n d(x) = u(x) p n s(x) = s(x) p n u(x) = d(x) u(x) d(x) s(x) Per semplicità si usano bersagli isoscalari, ovvero con lo stesso numero di neutroni e di protoni. Si tenga presente che il neutrino misura d e u, mentre l antineutrino misura u e d p n d(x) + d(x) = d(x) + u(x) Q(x) p n u ()+ (x) u (x) () = u(x) ()+d() d(x) Q(x) Q() Nell interazione del neutrino (antineutrino) compare una terza funzione di struttura, F 3, dovuta all interferenza tra le correnti vettoriali e assiali. 60

55 Violazione dello scaling: F (x,q ) La violazione NON è dovuta ad una dimensione finita dei quark. Essa è dovuta alla continua interazione tra i partoni all interno del protone. 61

56 Processi(Drell+Yan((( Le(proprieta (delle(funzioni(di(stru7ura(sono( universali(e(non(dipendono(dalla(reazione( par9colare(studiata( Deve(essere(possibile(calcolare(sezioni(d urto( diverse(u9lizzando(le(funzioni(di(stru7ura(misurate( nel(deep(inelas9c(sca7ering.(prendiamo(ad( esempio(la(produzione(di(coppie(di(leptoni(in( collisione(adrone+adrone( Sezione(d urto(elementare(per(cos9tuen9( pun9formi:(

57 Processi(Drell+Yan((( Nel(modello(a(partoni:( Sperimentalmente(misuriamo( La(funzione(delta(assicura(il(constraint(cinema9co( τ=m /s(

58 Processi(Drell+Yan(( Ipotesi(di(scaling(in(questo( processo(:(

59 Modern(PDF(sets(

60 Impact(of(LHC(Drell+Yan(