Matematica e Statistica per Scienze Ambientali

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1 Matematica e Statistica per Scienze Ambientali SUCCESSIONI - Appunti 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, 24 - Ottobre 2013

2 Successioni Una successione è una funzione S : N R, per esempio S(n) = 1 n S(n) = n 2 S(n) = Sq n S(n) = K n + S. È talvolta conveniente aggiungere lo zero al dominio, considerando quindi funzioni S : N + R o restringere il dominio escludendo qualche valore per il quale la regola di definizione non risulta definita. Le successioni, oltre che da formule matematiche chiuse come quelle degli esempi, possono essere definite per ricorrenza definendo una regola di aggiornamento per calcolare il valore della successione per l intero n in funzione del valore della successione per l intero precedente o, più in generale, per alcuni interi precedenti. È necessario assegnare i valori iniziali della successione, in numero pari al numero degli interi da cui dipende il valore al passo n, per esempio S(n) = 1.2 S(n 1), S(1) = 10 F(n) = F(n 1) + F (n 2), F(1) = 1, F(2) = 1.

3 Modello per la maturazione di un capitale Sia C un dato capitale iniziale. Una certa banca decide di concedere un tasso di interesse percentuale annuale pari ad a (per esempio, a potrebbe essere 12%). Dopo un anno, il capitale C cresce e diventa C(1) = C + a C = C(1 + a), dopo due anni diventa C(2) = C (1 + a) 2 e dopo n anni diventa C(n) = C (1 + a) n. Per a = 12% e per i primi 10 anni abbiamo C 1.12 C 1.25 C 1.40 C 1.57 C C 1.97 C 2.21 C 2.48 C 2.77 C 3.11 Per visualizzare i primi 30 coefficienti (1 + a) n con a = 12% plot((1+0.12)ˆ(1:30))

4 Progressione geometrica Il modello per la maturazione di un capitale con tasso annuo fisso, è un esempio di progressione geometrica, ovvero di successione della forma S(n) = S q n dove S = S(0) è la quantità iniziale della variabile S e q è la ragione, che è legata all interesse a del modello di maturazione del capitale, dalla formula q = (1 + a). In una progressione geometrica si ha che la variabile S aumenta quando q > 1 (ovvero a > 0) e diminuisce quando 0 < q < 1 (ovvero ( 1 < a < 0).

5 Tempo di raddoppio e tempo di dimezzamento Tempo di raddoppio Il tempo di raddoppio di una progressione geometrica S(n) = S q n con q > 1, si ottiene risolvendo l equazione in n, S q n = 2S ed è quindi n = log 2. L equazione non fornisce un espressione intera di log q n e si intende quindi, in presenza di un fenomeno discreto, di approssimare la soluzione al più piccolo intero maggiore del valore considerato. Tempo di dimezzmento Per 0 < q < 1, la formula n = log 2 permette di calcolare il tempo log q di dimezzamento (si ricordi che log(1/2) = log 2). Nelle espressioni per il tempo di raddoppio e per il tempo di dimezzamento, il logaritmo può essere inteso indifferentemente in base 10, in base e o in una base qualsiasi.

6 Ripartizione del tasso di interesse Torniamo all esempio della maturazione di un capitale. Se vogliamo rivalutare il capitale dopo sei mesi invece che dopo un anno, sembra ragionevole incrementare il capitale iniziale di un fattore a/2 invece che a, ovvero il capitale dopo sei mesi sarà C(1 + a/2) Il capitale aumenta nel secondo semestre di un fattore a/2, che viene applicato al capitale già maturato nel primo semestre, ovvero, dopo un anno C(1 + a/2)(1 + a/2) = C(1 + a + a 2 /4) Si osservi che questo schema di incremento suddiviso in semestri è più vantaggioso per il cliente di quello precedente, per un fattore a 2 /4. Riapplicando lo stesso schema di interesse composto, maturando gli interessi ogni mese abbiamo che dopo un anno il capitale diventa C(1 + a/12) 12 Se volessimo calcolare gli interessi ogni secondo, avremmo dopo un anno C(1 + a/( )) ( ). In generale, se calcoliamo l interesse dopo 1/n-mo di anno, la formula per l interesse composto dopo un anno è C(1 + a/n) n

7 Proprietà di (1 + a/n) n Supponiamo a = 1, il fattore (1 + 1/n) n è crescente e il suo centomilionesimo valore è (1 + 1/ ) = che coincide con il numero di Neper e fino alla sesta cifra decimale. In effetti lim (1 + n 1/n)n = e. In generale, ( lim (1 + n a/n)n = lim (1 + a/n) n/a) a = e a. n Una maniera più efficiente per calcolare e a è utilizzare la serie e a a n = n! In particolare n=0 e = /2 + 1/6 + 1/ /n! +... Approssimando la serie con i primi undici termini otteniamo un numero con le stesse prime sette cifre decimali di e. sum(1/factorial(0:10))

8 Calcoli approssimati tramite serie Serie esponenziale Serie per il logaritmo log e (1 + x) = e x = n=0 x n n! ( 1) n+1 x n x < 1 n n=1 Serie binomiale (1 + x) α = n=0 ( ) α x n n x < 1, α C

9 Progressione aritmetica Una progressione aritmetica è un modello di evoluzione temporale del tipo S(n) = a n + k Il modello è parametrico e i parametri sono a (ragione) e k (termine iniziale). Esempio Uno stipendio di 1000 euro aumenta del 1.5% ogni anno rispetto al valore iniziale S(0): S(1) = %1000 S(2) = ( %1000) + 1.5%1000 = %1000 In questo esempio, a = 1.5% 1000 e k = S(n) = n 1.5%1000

10 Analisi grafica di una progressione aritmetica plot(c(0,20),c(500,1500),t="n") a=15;k=1000;n=0:20 points(n,a*n+k) a=-15;k=1000;n=0:20 points(n,a*n+k,pch="+") a=20;k=1000;n=0:20 points(n,a*n+k,pch="-") a=-20;k=1000;n=0:20 points(n,a*n+k,pch="*") a=25;k=1000;n=0:20 points(n,a*n+k,pch=";") a=-25;k=1000;n=0:20 points(n,a*n+k,pch=" ") a=10;k=1000;n=0:20 points(n,a*n+k,pch="]") a=-10;k=1000;n=0:20 points(n,a*n+k,pch="[")

11 Progressione geometrica Una progressione geometrica è un modello di evoluzione temporale del tipo C(n) = C q n Il modello è parametrico e i parametri sono C (termine iniziale) e q (ragione). Esempio Uno stipendio di 1000 euro aumenta del 1.5% ogni anno rispetto al valore dell anno precedente: C(1) = 1000( %) C(2) = C(1)( %) = 1000( %) 2 C(n) = 1000( %) n In questo esempio, q = e C = 1000.

12 Analisi grafica di una progressione geometrica plot(c(0,20),c(500,1500),t="n") q=1.010;c=1000;n=0:20 points(n,c*qˆn,pch="]") q=1.015;c=1000;n=0:20 points(n,c*qˆn) q=1.020;c=1000;n=0:20 points(n,c*qˆn,pch="+") q=1.025;c=1000;n=0:20 points(n,c*qˆn,pch=";") q=0.990;c=1000;n=0:20 points(n,c*qˆn,pch="[") q=0.985;c=1000;n=0:20 points(n,c*qˆn,pch="*") q=0.980;c=1000;n=0:20 points(n,c*qˆn,pch="-") q=0.975;c=1000;n points(n,c*qˆn,pch=":")

13 Confronto progressione geometrica/aritmetica q=1.015;c=1000; curve(c*qˆx,from=0,to=20,lwd=3,xlab="",ylab="") a=15;k=1000; curve(a*x+k,add=true,col="violet",lwd=3,xlab="",ylab="")

14 Modelli per la propagazione delle epidemie Assunzioni La malattia è trasmessa per contatto tra un individuo infetto e un individuo suscettibile. Non esiste periodo latente. La malattia è trasmessa istantaneamente per contatto. Tutti gli individui suscettibili sono ugualmente suscettibili e tutti gli individui infetti sono ugualmente infettivi. La popolazione non può diminuire per migrazioni e non può aumentare nè per migrazioni nè per nascite. Le morti dovute alla malattia verranno considerate introducendo un nuova classe di individui. Il modello descrive l evoluzione ad istanti discreti del numero degli Infetti (I(n)), dei Suscettibili (S(n)) e dei Non più Infettivi R(n).

15 Modello banale I(n) = I(n 1) + b I(n 1) b=1; I= n=24 II=c() for(i in 1:n){ I2=I+b*I II=rbind(II,I2) I=I2 } Il comportamento asintotico di crescita infinita e sempre più rapida degli infettivi non è realistico.

16 Modello classico semplice I(n) = I(n 1)+b S(n 1) I(n 1) S(n) = S(n 1) b S(n 1) I(n 1) N=1;b=1;I= ;;S=N-I;n=24 IS=c() for(i in 1:n){ I2=I+b*I*S S2=S-b*I*S IS=rbind(IS,c(I2,S2)) I=I2;S=S2 } plot(c(0,n),c(0,n),t="n") points(1:n,is[,1],pch="i") points(1:n,is[,2],pch="s") Il comportamento asintotico è realistico. Il modello può applicarsi a malattie infettive da cui non si guarisce ma neppure si muore.

17 Modello d Kermack-McKendrick I(n) = I(n 1) + b S(n 1) I(n 1) c I(n 1) S(n) = S(n 1) b S(n 1) I(n 1) R(n) = R(n 1)+c I(n 1) N=1;b=1;c=0.2;I= ;R=0;S=N-I-R;n=40 ISR=c() for(i in 1:n){ R2=R+c*I I2=I+b*I*S-c*I S2=S-b*I*S ISR=rbind(ISR,c(I2,S2,R2)) I=I2;S=S2;R=R2 } plot(c(0,n),c(0,n),t="n") points(1:n,isr[,1],pch="i") points(1:n,isr[,2],pch="s") points(1:n,isr[,3],pch="r")

18 Perché un modello per la diffusione delle epidemie? Se abbiamo un modello parametrico possiamo 1 Determinare i parametri per avere il miglior fitting con i dati iniziali 2 Prevedere come possiamo agire sulla diffusione della malattia agendo sui parametri (per esempio, una campagna di sensibilizzazione abbassa il valore di b; un nuovo farmaco aumenta il calore di c). 3 Valutare costi benefici dell azione Esempio 1 N=1;b=1;c=0.2;I= ;R=0;S=N-I-R;n=40 La stima iniziale. 2 N=1;b=0.7;c=0.2;I= ;R=0;S=N-I-R;n=40. Effetto di una campagna di prevenzione. 3 N=1;b=1;c=0.5;I= ;R=0;S=N-I-R;n=40. Effetto di un farmaco migliore

19 Esperimenti plot(c(0,n),c(0,n),t="n") isr=function(n=1,b=1,c=0.2,i= ,r=0,n=40){ S=N-I-R ISR=c() for(i in 1:n){ R2=R+c*I I2=I+b*I*S-c*I S2=S-b*I*S ISR=rbind(ISR,c(I2,S2,R2)) I=I2;S=S2;R=R2 } return(isr) } points(1:n,isr()[,1],col="blue",t="l") points(1:n,isr(b=0.7)[,1],col="red",t="l") points(1:n,isr(c=0.4)[,1],col="black",t="l")

20 Tempo di raddoppio di una progressione geometrica. Sia S(n) = Cq n una progressione geometrica di ragione q > 1. Il tempo di raddoppio τ è il tempo necessario perchè il termine generale raddoppi rispetto al termine iniziale, ed è quindi definito dalla condizione Cq n = 2C, da cui, prendendo il logaritmo in base due di entrambi i membri, log 2 q τ = 1 e quindi, τ = 1/ log 2 q. Poiché q n = 2 log 2 q n, ogni progressione geometrica di ragione q maggiore di 1 si può scrivere nella forma C2 n pur di dividere l unità di tempo rispetto alla quale la ragione è q per log 2 q. Per esempio, se una progressione geometrica si scrive C(n) = C 8 n dove l unità di tempo è l ora, ovvero se in un ora il termine generale si ottuplica, allora in venti minuti, cioè un terzo di ora, raddoppia, e infatti log 2 8 = 3. In altre parole, un fenomeno di accrescimento esponenziale si può sempre scrivere nella forma C2 n prendendo come unità di tempo il periodo di raddoppio.

21 Tempo di dimezzamento di una progressione geometrica. Se 0 < q < 1, log 2 q è negativo, e non si parla di tempo di raddoppio, ma di tempo di dimezzamento, definito come il tempo τ necessario a dimezzare il termine iniziale. Analogamente, il tempo di dimezzamento è τ = 1/ log 2 q e un fenomeno di decadimento esponenziale si può sempre scrivere nella forma C(1/2) n quando l unità di tempo è il periodo di dimezzamento. Per esempio, se il tempo di dimezzamento di un isotopo radioattivo è 5700 anni, il tempo necessario a ridurre un certo quantitativo di tale isotopo allo 0.2% della quatità iniziale è log 2 (2/1000) 9 periodi, ovvero circa 50, 000 anni.

22 La successione di Fibonacci Formula iterativa: F(n) = F(n 1) + F (n 2) F (1) = 1, F(2) = 1. Formula chiusa: F(n) = φn ( φ) n 5 dove φ = è la sezione aurea, cioè l unica soluzione positiva dell equazione φ = 1 + 1/φ.

23 Implementazione Formula iterativa fib=function(n){ A=1;B=1 if(n==1)return(a) if(n==2)return(b) for(i in 3:n){ C=A+B A=B B=C } return(c) } Formula chiusa fib.2=function(n){ fi=(1+sqrt(5))/2 return((fiˆn-(-fi)ˆ(-n))/sqrt(5)) }

24 Somma della progressione aritmetica, di quella geometrica e dei quadrati degli interi n i = i=1 n(n + 1) 2 Dim: Abbiamo n i=1 (i + 1)2 n i=1 i2 = n i=1 (2i + 1) = 2 ( n i=1 i) + n, e anche n i=1 (i + 1)2 n i=1 i2 = (n + 1) 2 1. Uguagliando i due secondi membri segue l asserto. n i 2 = i=1 n i=1 n(n + 1)(2n + 1) 6 q i = 1 qn+1 1 q

25 Limiti di successioni Esempi lim 1/n = 0 n + lim n = + n + ( lim ) n = e n + n

26 Limiti di successioni Esempi lim 1/n = 0 n + lim n = + n + ( lim ) n = e n + n lim n + s(n) = a

27 Limiti di successioni Esempi lim 1/n = 0 n + lim n = + n + ( lim ) n = e n + n lim n + s(n) = a Per quanto vicino io possa immaginare di andare ad a, la mia successione va definitivamente ancora più vicino.

28 Limiti di successioni Esempi lim 1/n = 0 n + lim n = + n + ( lim ) n = e n + n lim n + s(n) = a Per quanto vicino io possa immaginare di andare ad a, la mia successione va definitivamente ancora più vicino. ɛ > 0 N n > N s(n) a < ɛ

29 Limiti di successioni Esempi lim 1/n = 0 n + lim n = + n + ( lim ) n = e n + n lim n + s(n) = a Per quanto vicino io possa immaginare di andare ad a, la mia successione va definitivamente ancora più vicino. ɛ > 0 N n > N s(n) a < ɛ lim n + s(n) = +

30 Limiti di successioni Esempi lim 1/n = 0 n + lim n = + n + ( lim ) n = e n + n lim n + s(n) = a Per quanto vicino io possa immaginare di andare ad a, la mia successione va definitivamente ancora più vicino. ɛ > 0 N n > N s(n) a < ɛ lim n + s(n) = + Per quanto lontano io possa immaginare di andare, la mia successione va definitivamente ancora più lontano.

31 Limiti di successioni Esempi lim 1/n = 0 n + lim n = + n + ( lim ) n = e n + n lim n + s(n) = a Per quanto vicino io possa immaginare di andare ad a, la mia successione va definitivamente ancora più vicino. ɛ > 0 N n > N s(n) a < ɛ lim n + s(n) = + Per quanto lontano io possa immaginare di andare, la mia successione va definitivamente ancora più lontano. M > 0 N n > N s(n) > M

32 Somma di una serie Esempi + i=1 ( ) i 1 1 = 2 1 1/2 + i=1 2 i = /2 Ad una serie + i=1 a(i) è associata la successione s(1), s(2),..., s(n),..., definita ponendo s(n) = n a(i) i=1 + i=1 a(i) = b Se lim n + s(n) = b. + i=1 a(i) = + Se lim n + s(n) = +.

33 Problema di Basilea Il problema di Basilea è un famoso problema dell analisi, proposto per la prima volta da Pietro Mengoli nel 1644 e risolto da Eulero nel Il problema di Basilea chiede di scoprire la forma chiusa (cioè la formula) a cui tende la somma degli inversi di tutti i quadrati dei numeri naturali, cioè la somma precisa della serie infinita: i=1 1 i 2 Per calcolare un valore approssimato n=1:1000 sum(1/nˆ2) Il valore esatto di questa serie è π 2 /6.

34 Sulla somma degli inversi degli interi Dalla relazione n i=1 1 i = H n 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 }{{}}{{} + > > 1 + 1/2 + 1/2 + 1/ si evince che la serie armonica n i=1 1 i è divergente. H n si dice l h-esimo numero armonico. Legata alla successione dei numeri armonici è la costante di Eulero Mascheroni, definita da Le prime cifre di γ sono γ = lim n (H n log n). 0, Non è noto se la costante di Eulero Mascheroni è razionale.

35 La serie n=1 1/ns La funzione zeta di Riemann è definita come ζ(s) = 1/n s. n=1 In matematica, la funzione zeta di Riemann è una funzione che riveste una fondamentale importanza nella teoria analitica dei numeri e ha notevoli risvolti in fisica, teoria della probabilità e statistica. I primi risultati riguardanti questa funzione furono ottenuti da Leonhard Euler nel diciottesimo secolo, ma il nome deriva da Bernhard Riemann, che nel 1859, avanzò l ipotesi di una relazione tra gli zeri e la distribuzione dei numeri primi, la celebre congettura di Riemann

36 La approssimazione di Archimede di π

37 La successione di Archimede per il calcolo approssimato di π ( ) (l n /2) 2 + (l n /2) 2 = 2 4 (l n ) 2 L=1 n=10 for(i in 1:n){ L=sqrt(2-sqrt(4-Lˆ2)) } 3*2ˆn*L

38 Il principio di induzione matematica. Per dimostrare che n i=1 i2 = n(n+1)(2n+1) 6 si può procedere in questa maniera. Step 1 Il caso n = 1 è evidente. Step 2 Supponiamo che sia stata dimostrata la validità della formula per n. Cerchiamo di dimostrare che da questa ipotesi segue la validità della formula per n + 1, ovvero che vale n+1 i=1 i2 = (n+1)(n+2)(2n+3) 6. n+1 i 2 = (n + 1) 2 + i=1 n i 2 = (n + 1) 2 + i=1 n(n + 1)(2n + 1) 6 = 2n 3 + 9n n L ultima espressione coincide con (n+1)(n+2)(2n+3) 6, e lo Step 2 è verificato. Abbiamo verificato nello step 1 che la prima delle formule da dimostrare (n = 1) è vera. Nello step 2 abbiamo dimostrato che se la n-esima è vera, la (n+1)-esima è vera. Possiamo dedurne che le formule sono tutte vere, altrimenti ci sarebbe la prima non vera, ma siccome quella precedente sarebbe vera, per lo step 2 la prima non vera non può esistere. Questo è il principio di induzione.