Collana di Fisica e Astronomia

Transcript

1 Collana di Fisica e Astronomia A cura di: Michele Cini Stefano Forte Massimo Inguscio Guido Montagna Oreste Nicrosini Franco Pacini Luca Peliti Alberto Rotondi

2 Giampaolo Cicogna Metodi Matematici della Fisica 123

3 GIAMPAOLO CICOGNA Dipartimento di Fisica "E. Fermi" Università degli Studi di Pisa Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.com Springer-Verlag Italia, Milano 2008 ISBN ISBN (ebook) Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all uso di figure e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla riproduzione su microfilm o in database, alla diversa riproduzione in qualsiasi altra forma (stampa o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. Una riproduzione di quest opera, oppure di parte di questa, è anche nel caso specifica solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d autore, ed è soggetta all autorizzazione dell Editore. La violazione delle norme comporta sanzioni previste dalla legge. L utilizzo di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati ecc., in quest opera, anche in assenza di particolare indicazione, non consente di considerare tali denominazioni o marchi liberamente utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sul marchio. Riprodotto da copia camera-ready fornita dall Autore Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampa: Grafiche Porpora, Segrate, Milano Stampato in Italia Springer-Verlag Italia s.r.l., Via Decembrio, Milano

4 Prefazione Questo libro trae la sua origine dagli appunti preparati per le lezioni di Metodi Matematici della Fisica tenute al Dipartimento di Fisica dell Università di Pisa, e via via sistemati, raffinati e aggiornati nel corso dei (molti) anni di insegnamento. Tuttavia, questi appunti sarebbero rimasti nella loro primitiva stesura senza l aiuto di Emilio d Emilio (a cui desidero rivolgere un caloroso e amichevole ringraziamento) che ha voluto ricopiare il manoscritto originale, per conferirgli una veste tipografica presentabile. Ringrazio anche Mariella Loffredo e mia moglie, che hanno riletto con grande cura l intero testo. Un ringraziamento infine a tutti gli studenti che mi hanno segnalato sviste e imprecisioni nelle precedenti versioni. Per alcuni anni il testo è stato stampato e distribuito agli studenti di Pisa dal Servizio Editoriale dell Università; finalmente, grazie anche all incoraggiamento di Giuseppe Gaeta, questo libro, nuovamente riorganizzato e ulteriormente arricchito, è infine approdato alla Casa Editrice Springer Italia. Ringrazio la sig.a Marina Forlizzi per la sua assistenza nella preparazione del testo in conformità agli standard di Springer. La stesura originale di queste lezioni risale al tempo in cui era in vigore il Vecchio Ordinamento degli studi, in cui il corso di Metodi Matematici della Fisica era un unico corso istituzionale che doveva coprire tutta la materia. Con l avvento del Nuovo Ordinamento e la presenza di diversi Moduli di Metodi Matematici, si è presentato il problema di come frazionare e adeguare la materia. È stato subito deciso di mantenere sostanzialmente la vecchia impostazione, preferendo cioè privilegiare una esposizione completa e senza interruzioni di ciascun argomento; la divisione del libro in Prima e Seconda Parte è semplicemente dovuta a comodità di esposizione e non significa nè intende suggerire che gli argomenti da svolgere in un Primo Modulo debbano necessariamente coincidere con la Prima Parte e quelli del Secondo con la Seconda Parte. Anzi, una buona alternativa può essere quella di anticipare la presentazione di alcuni argomenti di base in modo da renderli immediatamente utilizza-

5 VI Prefazione bili,comelaseriedifouriereleprimeproprietà degli operatori negli spazi di Hilbert, insieme con le nozioni preliminari della trasformata di Fourier (i primi paragrafi del Capitolo 2 e del Capitolo 4, rispettivamente). Questi argomenti possono poi venire opportunamente sviluppati e approfonditi, insieme con varie altre nozioni e con tecniche matematiche più raffinate, in Moduli successivi. Un altra scelta, per esempio, può essere quella di anticipare il Capitolo 3, che è dedicato alle funzioni di una variabile complessa e che è sostanzialmente indipendente dai primi due Capitoli. Per quanto riguarda il contenuto degli altri Capitoli, resta solo da specificare che il Capitolo 1 è semplicemente un ripasso guidato e finalizzato agli sviluppi successivi, di nozioni che dovrebbero essere in buona parte già ben note, mentre il Capitolo 5 è dedicato alla teoria e alle applicazioni delle distribuzioni (soprattutto le distribuzioni temperate). L Appendice A infine è una presentazione delle prime nozioni di teoria dei gruppi, delle algebre di Lie e delle simmetrie in vista delle loro applicazioni alla fisica. L intento generale di questo libro è di fornire una presentazione per quanto possibile semplice e diretta dei metodi matematici basilari e rilevanti per la Fisica. Anche allo scopo di mantenere questo testo entro i limiti di un manuale di dimensioni contenute e di agevole consultazione, sono stati spesso sacrificati i dettagli tecnici delle dimostrazioni matematiche (o anzi le dimostrazioni per intero) e anche i formalismi eccessivi, che tendono a nascondere la vera natura dei problemi e la via più adatta per affrontarli. Al contrario, si è cercato di evidenziare per quanto possibile le idee sottostanti ai diversi procedimenti. Anche le applicazioni proposte sono quelle che meglio epiùdirettamente illustrano i procedimenti stessi, tralasciando altre applicazioni (Meccanica Quantistica, Elettromagnetismo, Equazioni alle Derivate Parziali, Funzioni Speciali, tanto per fare qualche esempio) che sconfinano in differenti discipline. In conclusione, l obiettivo principale èquellodimettere in condizione chi ha letto questi appunti di acquisire gli strumenti adatti e le conoscenze di base che gli permettano di affrontare senza difficoltà anche testi ben più avanzati e impegnativi. Pisa, Aprile 2008 Giampaolo Cicogna

6 Indice Parte I Strutture vettoriali nella fisica 1 Spazi a dimensione finita Primiesempidistrutturevettoriali Spazivettoriali(adimensionefinita) Matricicometrasformazionilineari Cambiamentidibaseematriciunitarie Autovalorieautovettoridiunamatrice Diagonalizzazione di una matrice hermitiana Problemiagliautovalori:applicazioni Proiettoriedecomposizionespettralediunamatrice Considerazioni geometriche sulle trasformazioni del piano reale Gruppidisimmetrieegruppidimatrici Strutturevettorialieprincipiodisovrapposizione Spazi di Hilbert Equazionedid Alembert.Ondestazionarie Primiproblemiconcernentiglispaziadimensioneinfinita La serie di Fourier nell analisi elementare e le sue difficoltà Evoluzionetemporalediun ondaelastica L equazionedelcalore Prodottoscalareenorma:definizionegenerale Ilconcettodinormacome distanza Alcuneosservazionisullaintegrazionedellefunzioni Lo spazio L 2 (I) LospaziodiHilbert:definizionegenerale Sistemiindipendentieortonormali SeriediFourier Sistemicompleti Spazi separabili e lo spazio l Trasformazionilineari... 59

7 VIII Indice 2.16 Continuitàelimitatezzadiunatrasformazionelineare Una applicazione concernente il problema della corda elastica Operatore aggiunto. Operatori unitari. Proiettori Autovaloriedautovettori.Spettrodiunoperatore Problema di Sturm-Liouville L equazionedid Alembertinduedimensioni Equazione di Sturm-Liouville con punti singolari. Alcunefunzionispeciali EquazionediLaplaceefunzioniarmoniche Equazioniallederivateparziali.Ilmetododid Alembert Funzionali.TeoremadiRiesz Operatore aggiunto Operatorichiusi Varie nozioni di convergenza per successioni di vettori e operatori Operatoricompatti Parte II Funzioni di variabile complessa. Trasformate integrali. Distribuzioni 3 Funzioni di una variabile complessa Primedefinizioni.Condizionidiolomorfia Seriedipotenze Integrazionedellefunzionidivariabilecomplessa TeoremidiCauchy.Esistenzadituttelederivate Sviluppi in serie di Taylor-Laurent Zeridiunafunzioneolomorfa Singolaritàremovibili Puntisingolariisolati Calcolodeiresidui Puntoall infinito Residuoall infinito Puntididiramazione.Tagli IllemmadiJordan Funzioniarmonicheetrasformazioniconformi Trasformate di Fourier e Laplace Ancora sulle serie di Fourier come analisi in frequenza. Il fenomenodellarisonanza DallaseriediFourierall integraledifourier L analisiinfrequenzaeil principiodiindeterminazione La trasformata di Fourier in L 1 (R) ContinuitàdellatrasformatadiFourier DerivazioneetrasformatadiFourier...143

8 Indice IX 4.7 Trasformata di Fourier in L 2 (R) InversionedellatrasformatadiFourier AlcuneosservazionisullatrasformatadiFourier L impedenza dei circuiti elettrici e la trasformata di Fourier Proprietà della funzione di Green Alcune proprietà della delta di Dirac Relazionididispersione:introduzione TeoremadiTitchmarsh.TrasformatediHilbert RelazionididispersionediKramerseKronig Presenza di singolarità nella χ(ω).mezzi conduttori Modellodell elettronelegatoelasticamente Trasformata di Laplace: prime proprietà OlomorfiadellatrasformatadiLaplace InversionedellatrasformatadiLaplace AlcuneosservazionisullatrasformatadiLaplace La funzione Γ dieuleroedaltretrasformatedilaplace Applicazionialleequazioniallederivateparziali Elementi di teoria delle distribuzioni Distribuzionitemperate Convergenza debole fradistribuzioni Derivazionedelledistribuzioni TrasformatadiFourierperdistribuzionitemperate Distribuzioni di Schwartz e distribuzioni a supporto compatto Proprietàeapplicazionidelledistribuzioni Prodottoeconvoluzionefradistribuzioni FunzionidiGreen.Ilpotenzialecoulombiano FunzionidiGreenconcondizionialcontorno FunzionediGreenperilpotenzialenelsemipiano A APPENDICE. Introduzione alla teoria dei gruppi e alle proprietà di simmetria A.1 Alcunedefinizionigenerali A.2 Omomorfismitragruppi.Gruppiquoziente A.3 Rappresentazionidiungruppo A.4 Rappresentazionideigruppifiniti.Caratteri A.5 LemmadiSchur.Lesimmetrienellafisica A.6 Livellivibrazionalidisistemiconsimmetria A.7 GruppidiLie.Definizioniedesempigenerali A.8 AlgebrediLie A.9 GruppiealgebrediLieelororappresentazioni A.10Rappresentazionidifferenziali A.11 Gruppo delle rotazioni ed SU A.12 Alcune proprietà generali delle algebre...228

9 X Indice A.13Rappresentazionitensorialielorodecomposizione A.14Qualcheconseguenzafisica A.15IlgruppodiLorentz Riferimenti bibliografici Indice Analitico...239