a Dina, luce di un sorriso che l'ombra della vita non può spegnere

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1 a Dina, luce di un sorriso che l'ombra della vita non può spegnere

2 C. Canuto, A. Tabacco Analisi matematica I Teoria ed esercizi con complementi in rete 3 a edizione ~ S p r i n g e r

3 CLAUDIO CANUTO Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino, Torino ANITA TABACCO Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino, Torino ISBN Springer Milan Berlin Heidelberg New York ISBN (ebook) Springer Milan Berlin Heidelberg New York Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.com Springer-Verlag Italia, Milano 2008 Quest'opera è protetta dalla legge sul diritto d'autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall'art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Via Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, segreteria@aidro.orge sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all'utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge Riprodotto da copia camera-ready fornita dagli Autori Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampato in Italia: Signum Srl, Bollate (MI) Springer-Verlag Italia Srl, Via Decembrio 28,20137 Milano

4 Prefazione I nuovi Ordinamenti Didattici hanno imposto un ripensamento globale della struttura e dei contenuti degli insegnamenti universitari italiani e, corrispondentemente, del materiale didattico di supporto. In molti corsi, in particolare in quelli di base, è necessario portare gli allievi ad acquisire un insieme non piccolo di concetti e di conoscenze operative avendo a disposizione un numero ridotto di crediti sovente compressi in poche settimane. Si pone quindi il problema di effettuare delle scelte sui contenuti, sul linguaggio usato e sul livello di approfondimento con cui viene trattata la materia. Il presente testo intende essere di supporto ad un primo insegnamento di Analisi Matematica in quei corsi di studio (quali ad esempio Ingegneria, Informatica, Fisica) in cui lo strumento matematico è parte significativa della formazione dell'allievo. I concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale in una variabile sono presentati con l'obiettivo primario di addestrare lo studente ad un loro uso operativo, ma critico. La filosofia che ha ispirato l'impostazione generale è stata quella di semplificare e alleggerire il materiale rispetto ai testi in uso prima della riforma, senza però rinunciare al rigore espositivo e scadere in un mero prontuario di regole e formule. In questa prospettiva, il testo presenta tre diversi livelli di lettura. Il livello intermedio corrisponde, per ciascuno degli argomenti trattati, alla totalità del materiale qui presentato. I concetti sono dapprima introdotti in modo discorsivo e poi rigorosamente definiti; successivamente, si discutono le varie proprietà matematiche ad essi collegate e si delineano le metodologie di calcolo che ne derivano. I teoremi e le proprietà più importanti sono accompagnati dalla relativa dimostrazione. Un livello di lettura più essenziale prevede l'omissione di tutte le dimostrazioni riportate, che a tale scopo sono facilmente distinguibili, e di quelle parti di testo presentate sotto la voce "Osservazione". Per facilitare lo studente, le formule assolutamente fondamentali, e quelle comunque importanti, sono state messe in rilievo mediante l'uso del colore, rispettivamente ciano e grigio. Alcune tabelle, nel testo e al fondo del libro, riassumono formule di uso frequente. Non si è invece voluto

5 VI Prefazione stabilire una classifica di importanza tra i teoremi, per lasciare al docente la libertà di operare eventuali scelte in tal senso. Un terzo livello di lettura, basato sull'accesso ad un sito web, permette all'allievo più motivato ed interessato di approfondire la sua preparazione sulla materia. Riteniamo infatti che gli obiettivi generali dei nuovi Ordinamenti Didattici siano compatibili con la possibilità, per gli studenti capaci e volenterosi, di acquisire una formazione solida e completa, secondo la migliore tradizione universitaria italiana. Nel libro si trovano vari riferimenti alle sezioni di un testo virtuale disponibile in rete, contenenti complementi e approfondimenti degli argomenti di volta in volta trattati. In tal modo, tutti gli enunciati presenti nel testo cartaceo vengono ad essere corredati dalla rispettiva dimostrazione. Per consentire un approccio morbido alla materia, nei primi due capitoli si è scelta una esposizione più discorsiva, in cui definizioni e proprietà sono sovente inglobate nel testo; nei capitoli successivi, la veste grafica mette in luce in modo più evidente tali strutture. Deliberatamente, di alcune definizioni e teoremi non si fornisce la forma più generale possibile, al fine di privilegiare l'immediatezza di comprensione da parte dello studente. Gli enunciati sono in genere immediatamente seguiti da numerosi esempi; lo stesso vale anche per la descrizione dei procedimenti di calcolo. Varie osservazioni fanno da complemento all'esposizione principale, mettendo in luce, fra l'altro, casi particolari ed eccezioni. Un rilevante numero di esercizi viene fornito al termine di ogni capitolo, permettendo all'allievo di valutare immediatamente lo stato delle conoscenze acquisite. Gli esercizi sono raccolti in gruppi che riprendono i principali argomenti trattati nel capitolo e sono ordinati per difficoltà crescente. Di tutt.i gli esercizi viene fornita la soluzione; per oltre la metà di essi, si delinea il procedimento risolutivo. Nel testo saranno usate le seguenti convenzioni grafiche: le definizioni appaiono su sfondo grigio, mentre gli enunciati su sfondo ciano; gli esempi sono segnalati da una barra verticale in colore; gli esercizi di cui si fornisce la soluzione sono indicati con un riquadro nel testo (ad esempio [ili). Questo volume è dedicato all'amica Dina Giublesi, per molti anni preziosa collaboratrice, di cui sempre ricordiamo la luminosa figura. Siamo riconoscenti ai molti colleghi e studenti che ci hanno permesso, con i loro consigli, suggerimenti ed osservazioni, di migliorare l'esposizione ed arricchire i contenuti di questa terza edizione. Torino, giugno 2008 Claudio Canuto, Anita Tabacco

6 Complementi disponibili in rete All'indirizzo internet è disponibile un testo virtuale, contenente complementi e approfondimenti della materia qui trattata (ad esempio, vi si possono trovare le dimostrazioni degli enunciati non fornite nel presente libro). Il materiale è suddiviso nei seguenti argomenti: Principio di induzione NUl1l ro di epero FlIJw.ioni elementari Limiti Funzioni COl1tillU liccessi ni Seri numeriche Derivate Teorema li dc rit6pitai F\U17,ioni conv('sse viluppi di Taylor Integrale di Cauchy Integrale di Riemanll Integrali impropri Nel presente volume, il rinvio al testo elettronico complementare è segnalato dal simbolo '"'-", ad esempio '"'-" Numero di Nepero.

7 Indice 1 N ozioni di base l 1.1 Insiemi... l 1.2 Elementi di logica matematica Connettivi logici Predicati Quantificatori Insiemi numerici L'ordinamento dei numeri reali La completezza di lr Fattoriali e coefficienti binomiali Prodotto cartesiano Relazioni nel piano Esercizi Soluzioni 27 2 Funzioni Definizioni e primi esempi Immagine e controimmagine Funzioni suriettive e iniettive; funzione inversa Funzioni monotòne Funzioni composte Traslazioni, cambiamenti di scala, riflessioni Funzioni elementari e loro proprietà Funzioni elevamento a potenza Funzioni polinomiali e razionali Funzioni esponenziali e logaritmiche Funzioni trigonometriche e loro inverse Esercizi Soluzioni 61

8 X Indice 3 Limiti e continuità I Intorni Limiti di successioni Limiti di funzioni; continuità Limiti all'infinito Continuità. Limiti al finito Limiti destro e sinistro; punti di discontinuità Limiti di funzioni monotone Esercizi Soluzioni 89 4 Limiti e continuità II Teoremi sui limiti Teoremi di unicità e permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti; forme di indeterminazione di tipo algebrico Teorema di sostituzione Altri limiti notevoli; forme indeterminate di tipo esponenziale Proprietà globali delle funzioni continue Esercizi Soluzioni Confronto locale di funzioni. Successioni e serie numeriche Simboli di Landau Infinitesimi ed infiniti Asintoti Ulteriori proprietà delle successioni Serie numeriche Serie a termini positivi o' Serie a termini di segno alterno Esercizi Soluzioni Calcolo differenziale La derivata Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione Punti di non derivabilità Punti di estremo e punti critici di una funzione I Teoremi di Rolle e Lagrange Prima e seconda formula dell'incremento finito Intervalli di monotonia di una funzione Derivate di ordine superiore Convessità e flessi Estensione del concetto di convessità 198

9 Indice XI 6.10 Studio di funzioni Le funzioni iperboliche Il Teorema di de l'rapital Applicazioni del Teorema di de l'rapital Esercizi Soluzioni Sviluppi di Taylor e applicazioni Le formule di Taylor Sviluppi di Taylor notevoli Operazioni sugli sviluppi di Taylor Uso degli sviluppi di Taylor nello studio locale di una funzione Esercizi Soluzioni Rappresentazioni del piano e dello spazio Coordinate polari, cilindriche, sferiche Vettori nel piano e nello spazio Vettori applicati nell'origine Modulo e prodotto scalare Vettori applicati in un punto Numeri complessi Operazioni algebriche Coordinate cartesiane Forma trigonometrica e forma esponenziale Potenze e radici Equazioni algebriche Curve nel piano e nello spazio Cenni alle funzioni di più variabili Continuità Derivate parziali e gradiente Esercizi Soluzioni Calcolo integrale I Primitive e integrali indefiniti Regole di integrazione indefinita Integrazione di funzioni razionali Integrali definiti Integrale secondo Cauchy Integrale secondo Riemann Proprietà dell'integrale definito Media integrale Il Teorema fondamentale del calcolo integrale Regole di integrazione definita 349

10 XII Indice Applicazione al calcolo di aree Esercizi Soluzioni Calcolo integrale II Integrali impropri Integrali su intervalli illimitati Integrali di funzioni non limitate Altri integrali impropri Integrali curvilinei Lunghezza di un arco e ascissa curvilinea Integrali di linea Esercizi Soluzioni Equazioni differenziali ordinarie 403 Il.1 Definizioni generali Equazioni del primo ordine Equazioni a variabili separabili Equazioni lineari Equazioni omogenee Equazioni del secondo ordine riconducibili al primo Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine Funzioni lipschitziane Una condizione di risolubilità del problema di Cauchy Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti Esercizi Soluzioni 429 Tavole e formulari 441 Indice analitico 447