Università del Salento Corso di Laurea in Matematica APPUNTI DI GEOMETRIA II. Giovanni Calvaruso

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1 Università del Salento Corso di Laurea in Matematica APPUNTI DI GEOMETRIA II Giovanni Calvaruso

2 DISCLAIMER: Queste note sono realizzate ad esclusivo uso interno per il corso di Geometria II del Corso di Laurea in Matematica dell Università del Salento. Come tali, non hanno alcuna pretesa di completezza, e sono da intendersi come un puro supporto al corso stesso, che non può in alcun modo sostituirsi all apprendimento fornito dalle lezioni. L Autore ringrazia Alessandro Montinaro e Stefano Pascali per avergli messo a disposizione il proprio materiale didattico relativo rispettivamente ai Capitoli 1)-4) e 6). 1

3 PROGRAMMA DEL CORSO: ALGEBRA LINEARE: 1) Forme bilineari simmetriche ) Spazi euclidei 3) Endomorfismi simmetrici 4) isometrie, trasformazioni ortogonali, movimenti GEOMETRIA ANALITICA: 5) Coniche 6) Curve algebriche piane

4 3 BIBLIOGRAFIA ED APPROFONDIMENTI: G. CALVARUSO, sezione Materiale Didattico del sito web: calvaruso/homepage/ A. SANINI, Lezioni di Geometria, ed. Levrotto e Bella, Torino. A. SANINI, Esercizi di Geometria, ed. Levrotto e Bella, Torino. G. DE CECCO e R. VITOLO, Note di Geometria e Algebra (disp. Biblioteca). in G. CALVARUSO e R. VITOLO, Esercizi di Geometria ed Algebra Lineare (disp. in Biblioteca). R. MARINOSCI, Complementi di Geometria e Algebra (Coniche e quadriche) (disp. online). A. MONTINARO, Appunti del corso di Geometria ii (disp. online). S. PASCALI, Note di Geometria III (disp. online su Fiorini Notes ).

5 Indice 1 Forme bilineari simmetriche Forme Bilineari Forme Bilineari Simmetriche e Forme Quadratiche Duale di uno spazio vettoriale. Il Teorema di Rappresentazione di Riesz Diagonalizzazione delle forme quadratiche Spazi Vettoriali Euclidei 30.1 Definizione e relative proprietà Norma di uno spazio euclideo Basi ortonormali Endomorfismi Simmetrici Applicazione aggiunta Endomorfismi simmetrici o autoaggiunti Autovalori di un endomorfismo simmetrico Isometrie Isometrie. Spazi euclidei isometrici Trasformazioni ortogonali Trasformazioni ortogonali di ordine Trasformazioni ortogonali di ordine Movimenti Coniche Il piano euclideo ampliato e complessificato Complessificazione del piano euclideo ampliato Trasformazioni affini, metriche e proiettive Definizione e classificazione proiettiva Posizioni di una retta rispetto ad una conica Polarità definita da una conica Centro e diametri di una conica

6 5.6 Assi di una conica Equazioni canoniche Il cambiamento di coordinate Il metodo degli invarianti Fuochi ed eccentricità di una conica Studio di una conica Curve Algebriche Piane Definizione Riducibilità di una C n Coefficienti essenziali dell equazione di una C n Significato geometrico dell ordine di una C n Punti semplici e punti multipli di una C n Uso di coordinate omogenee Classificazione dei punti semplici Punti multipli Studio di una C n in O, X, Y Parabole osculatrici Studio di un punto cuspidale Genere di una C n e curve razionali Studio di una curva algebrica

7 Capitolo 1 Forme bilineari simmetriche In questo capitolo vengono analizzate le proprietà fondamentali delle forme bilineari su spazi vettoriali, con particolare riguardo a quelle simmetriche. 1.1 Forme Bilineari Definizione Sia V uno spazio vettoriale sul campo K 1. Un applicazione ϕ : V V K si dice forma bilineare su V se gode delle seguenti proprietà: 1. ϕ( x 1 + x, y) = ϕ( x 1, y) + ϕ( x, y) per ogni x 1, x, y V,. ϕ( x, y 1 + y ) = ϕ( x, y 1 ) + ϕ( x, y ) per ogni x, y 1, y V, 3. ϕ(λ x, y) = ϕ( x, λ y) = λϕ( x, y) per ogni λ K e x, y V. La forma bilineare ϕ si dice simmetrica se ϕ( x, y) = ϕ( y, x) per ogni x, y V, antisimmetrica se ϕ( x, y) = ϕ( y, x) per ogni x, y V. Proposizione 1.1. ϕ è antisimmetrica se e solo se ϕ( x, x) = 0 per ogni x V. DIM. Se ϕ è antisimmetrica, per y = x, si ha ϕ( x, x) = ϕ( x, x) e quindi (essendo il campo K di caratteristica ) ϕ( x, x) = 0. Viceversa, per ogni x, y V risulta 0 = ϕ( x + y, x + y) = ϕ( x, x) + ϕ( x, y) + ϕ( y, x) + ϕ( y, y) = ϕ( x, y) + ϕ( y, x) da cui segue ϕ( x, y) = ϕ( y, x). 1 In tutte queste note, quando si considera uno spazio vettoriale V su di un campo K, si sottintende sempre che il campo stesso non sia di caratteristica, ossia, non isomorfo a {0, 1}, per il quale diversi risultati (come la Prop. 1. o l identità di polarizzazione) non valgono.

8 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 7 Esempio L applicazione ϕ( x, y) = 0 per ogni x, y V è banalmente una forma bilineare, detta forma bilineare nulla. Essa è l unica ad essere sia simmetrica che antisimmetrica. Esempio Siano A = (a ij ) M n (K) e ϕ : K n K n K ( x, y) X t AY = n i,j=1 a ijx i y j, dove X e Y sono i vettori colonna delle componenti di x e y rispetto alla base canonica di K n. Allora ϕ è una forma bilineare. Infatti, siano x 1, x, y V. Allora, ϕ( x 1 + x, y) = (X 1 + X ) t AY = (X t 1 + X t )AY = X t 1AY + X t AY = ϕ( x 1, y) + ϕ( x, y). In modo analogo si prova che ϕ( x, y 1 + y ) = ϕ( x, y 1 ) + ϕ( x, y ). Infine, siano x, y V, λ K, allora ϕ(λ x, y) = (λx) t AY = λx t AY = λϕ( x, y) e analogamente ϕ( x, λ y) = λϕ( x, y). Si noti che se B = { e 1,... e n } è la base canonica di K n, posto ϕ( e i, e j ) = a ij per ogni i = 1,..., n, è facile vedere che ϕ è simmetrica A è simmetrica ϕ é antisimmetrica A è antisimmetrica Infine, se A = I n è la matrice unità di ordine n, si ottiene ϕ( x, y) = x 1 y 1 + x y x n y n, detta forma bilineare standard su K n. Esempio La forma bilineare ϕ( x, y) = X t J k Y = x 1 y k x k y n x k+1 y 1 x n y k, dove ( 0k i J k = k i k 0 k è detta forma alternante standard. ), Sia V uno spazio vettoriale sul campo K. Poniamo

9 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 8 1. B(V) = {ϕ : V V K ϕ è una forma bilineare};. B s (V) = {ϕ : V V K ϕ è una forma bilineare simmetrica}; 3. B a (V) = {ϕ : V V K ϕ è una forma bilineare antisimmetrica}. Proposizione Valgono i seguenti fatti: i. B(V) è uno spazio vettoriale su K rispetto alle seguenti operazioni: (a) (ϕ 1 + ϕ )( x, y) := ϕ 1 ( x, y) + ϕ ( x, y) per ogni ϕ 1, ϕ B(V); (b) (λϕ)( x, y) := λϕ( x, y) per ogni λ K e ϕ B(V); ii. B s (V) e B a (V) sono sottospazi vettoriali di B(V); iii. La somma di B s (V) e B a (V) è una somma diretta. DIM. I punti (i) e (ii) sono semplici verifiche. Per il punto (iii), sia ϕ B a (V) B s (V). Allora, ϕ( x, y) = ϕ( y, x) = ϕ( y, x), e quindi ϕ = 0. Osservazione Siano ϕ B(V n ) e B = { e 1,..., e n } una base di V n. Se x = x 1 e x n e n e y = y 1 e y n e n, dalla bilinearità di ϕ segue che ϕ( x, y) = n x i y j ϕ( e i, e j ). i,j=1 Quindi, ϕ è univocamente determinata dai valori che essa assume su tutte le coppie di vettori della base B. Sia A = (a ij ) una matrice di ordine n a coefficienti in K, dove abbiamo posto a ij = ϕ( e i, e j ) per ogni i, j = 1,..., n. Allora, ϕ( x, y) = n a ij x i y j = X t AY i,j=1 dove X e Y sono i vettori delle componenti di x e y rispetto alla base B. Quindi ϕ è univocamente determinata dalla matrice A. Definizione La matrice A è detta matrice associata a ϕ rispetto alla base B e la si denota con M B (ϕ). Lemma Siano V n uno spazio vettoriale sul campo K, B = { e 1,..., e n } una base e ϕ B(V n ). Allora, 1. ϕ B s (V n ) se e solo se M B (ϕ) è simmetrica;

10 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 9. ϕ B a (V n ) se e solo se M B (ϕ) è antisimmetrica. DIM. ϕ B s (V n ) se e solo se a ij = ϕ( e i, e j ) = ϕ( e j, e i ) = a ji per ogni i, j = 1,..., n, quindi se e solo se A è una matrice simmetrica. ϕ B a (V n ) se e solo se a ij = ϕ( e i, e j ) = ϕ( e j, e i ) = a ji per ogni i, j = 1,..., n, quindi la matrice A è antisimmetrica. Esercizio Verificare se le seguenti applicazioni sono forme bilineari. In tal caso, determinarne la matrice associata rispetto alla base canonica del corrispondente spazio vettoriale. (1) ρ : R R R, ((x, y), (x, y )) xx (x + y )y; () ρ : R R R, ((x, y), (x, y )) X t Y Y t X; (3) ρ : R, R, R, (( ) ( )) x y x y, z t z t xx + zy tt ; (4) ρ : R R R, ((x, y), (x, y )) x x + y(y ). Siano M n (K) = K n,n lo spazio vettoriale delle matrici di ordine n a coefficienti nel campo K, S n (K) il sottospazio di M n (K) delle matrici simmetriche di ordine n e A n (K) il sottospazio di M n (K) delle matrici antisimmetriche di ordine n. Teorema Siano V n uno spazio vettoriale sul campo K e B = { e 1,..., e n } una base, allora: Ψ : B(V n ) M n (K), ϕ M B (ϕ) Ψ Bs(V n) : B s (V n ) S n (K), ϕ M B (ϕ) Ψ Ba(V n) : B a (V n ) A n (K), ϕ M B (ϕ) sono isomorfismi di spazi vettoriali. DIM. Segue dalla definizione della matrice M B (ϕ) che Ψ è un applicazione iniettiva. Siano ora A M n (K), x = x 1 e x n e n e y = y 1 e y n e n. Sia ϕ( x, y) = n i,j=1 a ijx i y j = X t AY, dove X e Y rappresentano i vettori colonna delle componenti di x e y rispetto alla base B. Allora ϕ B(V n ) è l unica forma bilineare tale che Ψ(ϕ) = M B (ϕ) = A per l Osservazione Pertanto Ψ è

11 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 10 bigettiva. Infine, siano λ, µ K, ϕ 1, ϕ B(V n ), A 1 = M B (ϕ 1 ) e A = M B (ϕ ). Allora (λϕ 1 + µϕ ) ( x, y) = λϕ 1 ( x, y) + µϕ ( x, y) = λx t A 1 Y + µx t A Y = X t (λa 1 ) Y + X t (µa ) Y = X t (λa 1 + µa ) Y e quindi M B (λϕ 1 + µϕ ) = λm B (ϕ 1 ) + µm B (ϕ ), ossia, Ψ(λϕ 1 + µϕ ) = λψ (ϕ 1 ) + µψ (ϕ ). Pertanto, Ψ è un isomorfismo di spazi vettoriali. Infine, Ψ Bs(V n) e Ψ Bs(V n) sono isomorfismi di spazi vettoriali poiché Ψ è un isomorfismo e vale il Lemma Teorema dim B(V n ) = n, dim B s (V n ) = n(n+1) e dim B a (V n ) = n(n 1) ;. B(V n ) = B s (V n ) B a (V n ). DIM. L asserto 1. segue dal Teorema , in quanto B(V n ) = M n (K), B s (V n ) = S n (K) e B a (V n ) = A n (K). L asserto. segue dal fatto che dim B(V n ) = n = n(n + 1) + n(n 1) = dim B s (V n ) + dim B a (V n ) e che la somma di B s (V) e B a (V) è diretta per la Proposizione Come conseguenza del punto. del precedente Teorema, ogni forma bilineare ϕ su V n è somma di un unica forma bilineare simmetrica ϕ s e di un unica forma bilineare antisimmetrica ϕ a, il che motiva la particolare attenzione che viene dedicata a tali speciali forme bilineari. Inoltre, si osservi che se B è una fissata base di V n, allora { MB (ϕ s ) = 1 (M B(ϕ) + M B (ϕ) t ), M B (ϕ a ) = 1 (M B(ϕ) M B (ϕ) t ). Definizione Siano A, B M n (K). Allora A e B si dicono congruenti se e solo se esiste P GL(n, K) tale che B = P t AP. Si osservi che: 1. Se A, B M n (K) sono congruenti, allora rg(a) = rg(b) (segue, per esempio, dal Teorema del rango per applicazioni lineari tra spazi vettoriali).

12 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 11. La congruenza è una relazione di equivalenza su M n (K). Proposizione Sia ϕ B(V n ) e siano B 1, B due basi di V n. Allora M B1 (ϕ) e M B (ϕ) sono congruenti. DIM. Siano B 1 { = { e 1,..., e n }, B = e 1,..., e n} due basi di V n e P = (p ij ) GL(n, K) la matrice di passaggio dalla base B alla base B 1 ( e j = n h=1 p hje h). Se x, y V, allora X = P X e Y = P Y, dove X e X sono i vettori colonna delle componenti di x rispetto alle basi B 1 e B, Y e Y sono i vettori colonna delle componenti di y rispetto alle basi B 1 e B. Se A = M B1 (ϕ) e A = M B (ϕ), allora ϕ( x, y) = (X ) t A Y = (P X) t A (P Y ) = X t (P t A P )Y e quindi A = P t A P. Pertanto M B1 (ϕ) e M B (ϕ) sono congruenti. Esempio La forma bilineare simmetrica su R 3 definita da ϕ : R 3 R 3 R, ϕ( x, y) = x 1 y 1 + 3x y + x 1 y 3 + x 3 y 1 ha associata rispetto alla base canonica B = { e 1, e, e 3 }, la matrice A = Sia ora B = { v 1, v, v 3 } un altra base di R 3 con v 1 = (1, 1, 0), v = (1, 0, 1), v 3 = (0, 1, 1). La matrice simmetrica associata a ϕ rispetto tale base è: 4 4 B = Le matrici A e B sono congruenti. infatti, B = P t AP, dove P = 1 0 1, è la matrice che rappresenta il cambiamento di base. Definizione Data ϕ B(V n ), si definisce rango di ϕ il numero rg(ϕ) = rg (M B (ϕ)), dove B è una qualsiasi base di V n. Si osservi che la definizione è ben posta, poiché se B 1 e B sono due basi distinte di V n, allora M B1 (ϕ) e M B (ϕ) sono congruenti per la Proposizione e quindi hanno lo stesso rango.

13 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 1 1. Forme Bilineari Simmetriche e Forme Quadratiche Definizione 1..1 Siano ϕ B s (V) e x, y V. I vettori x e y sono ortogonali (rispetto a ϕ) se e solo se ϕ( x, y) = 0. In tal caso scriveremo x y. Un vettore x V si dice isotropo se e solo se x x. Esempio 1.. Il vettore x = (0, 0, 1) è isotropo per la forma bilineare simmetrica dell Esempio Definizione 1..3 Siano ϕ B(V) e S V. Si definisce ortogonale di S l insieme S = { y V : x y per ogni x S}. Proposizione 1..4 S è un sottospazio vettoriale di V. DIM. Siano λ, µ K e u, w S. Allora, per ogni x S, risulta: ϕ( x, λ u + µ w) = ϕ( x, λ u) + ϕ( x, µ w) = λϕ( x, u) + µϕ( x, w) = 0. Pertanto, λ u + µ w S. Definizione 1..5 Il sottospazio V è detto nucleo di ϕ, e si denota con ker(ϕ). Indicheremo con I ϕ = { x V : ϕ( x, x) = 0} l insieme dei vettori isotropi di ϕ (detto anche cono di luce.) La seguente proposizione è di immediata verifica. Proposizione 1..6 Per ogni ϕ B(V), ker(ϕ) I ϕ. Inoltre, I ϕ non è in generale un sottospazio vettoriale (non essendo chiuso rispetto alla somma). Tuttavia, I ϕ è un cono, in quanto se x I ϕ e λ K, allora λ x I ϕ. Definizione 1..7 Un sottospazio U di V si dice singolare se U U {0}; totalmente singolare se U U.

14 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 13 Due sottospazi U e W si dicono ortogonali se U W. Dalla simmetria di ϕ segue che: U W W U Se U e W sono ortogonali e uno è supplementare dell altro, allora scriveremo V = U W. Lemma 1..8 Siano ϕ B s (V), U e W sottospazi di V. Se W è finitamente generato, allora U è ortogonale a W se e solo se U è ortogonale ai vettori di una base (o di un sistema di generatori) B = { e 1,..., e k } di W. DIM. Sia u U. Ovviamente, se U è ortogonale a W, allora ϕ( u, e i ) = 0 per ogni i = 1,..., k. Viceversa, sia w W un arbitrario vettore. Essendo B = { e 1,..., e k } una base (o un sistema di generatori) di W, si ha w = k i=1 w i e i, per cui ( ) k k ϕ( u, w) = ϕ u, w i e i = w i ϕ( u, e i ). i=1 Pertanto, se ϕ( u, e i ) = 0 per ogni i = 1,..., k, allora ϕ( u, w) = 0 quale che sia w, e quindi u W. Teorema 1..9 Se ϕ B s (V n ), allora V n = ker(ϕ) S, dove S è un sottospazio non singolare di V n. DIM. Sia S un qualsiasi sottospazio supplementare di ker(ϕ) in V n. Allora V n = ker(ϕ) S. Poiché tutti i vettori di ker(ϕ) sono ortogonali a tutti i vettori di V n, vale che V n = ker(ϕ) S. Ora proviamo che S è non singolare. Sia x S S, sicché x y per ogni y S. Per ogni w V n = ker(ϕ) S esistono k ker(ϕ) e s S, per cui w = k + s. Ma allora ϕ( x, w) = ϕ( x, k) + ϕ( x, s) = 0. Pertanto, x ker(ϕ) S e quindi x = 0, essendo S un supplementare di ker(ϕ). i=1 Teorema Per ogni ϕ B s (V n ): rg(ϕ) = n dim ker(ϕ). DIM. Siano B = { e 1,..., e n } una fissata base di V n e A = M B (ϕ). Sia f End(V) tale che A = M B (f). Proviamo che ker(ϕ) = ker(f). Per ogni vettore x denotiamo con X il vettore colonna delle componenti di x rispetto a B. In particolare, E i denoterà il vettore colonna delle componenti di e i rispetto alla

15 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 14 base B (quindi, E i ha componenti tutte nulle tranne la i-esima, che è uguale a 1). Allora, per il Lemma 1..8 avremo: y ker(f) AY = 0 I n AY = 0 E t iay = 0 per ogni i = 1,.., n X t AY = 0 e quindi ker(f) = ker(ϕ). Applicando il Teorema del rango, concludiamo che rg(ϕ) = rg(a) = rg(f) = dim V n dim V n. Definizione ϕ B s (V) si dice non degenere se ϕ( x, y) = 0 per ogni y V = x = 0. La seguente caratterizzazione è immediata conseguenza del Teorema precedente. Corollario 1..1 ϕ B s (V n ) è degenere se e solo se ker(ϕ) { 0}(equivalentemente, se rg(ϕ) n). Esempio Consideriamo la forma bilineare simmetrica su R 3 definita da: ϕ( x, y) = x 1 y 1 + x 1 y + x y 1 + 3x y + x 3 y + x y 3 + x 3 y 3. Tale forma bilineare è degenere. Infatti, sia A = la matrice associata a ϕ rispetto alla base canonica B. Risulta che rg(a) =. Inoltre, sia f End(R) tale che A = M B (f). Determiniamo ker(ϕ) = ker(f): x x = 0, 0 1 x 3 0 da cui troviamo ker(ϕ) = ker(f) = L(1, 1, ). Infatti, il vettore x = λ(1, 1, ) appartiene a ker(f), e quindi ϕ( x, y) = 0 y R 3, cioè x ker(ϕ). D altra parte, rg(ϕ) = e quindi ker(ϕ) = ker(f) = L(1, 1, ) (si veda la dimostrazione del Teorema 1..10). Definizione Sia ϕ B s (V). Si chiama forma quadratica associata a ϕ, l applicazione Q : V K x ϕ( x, x).

16 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 15 Proposizione Se Q è la forma quadratica associata a ϕ, allora, per ogni λ K e x, y V: 1. Q(λ x) = λ x;. ϕ( x, y) = 1 {Q( x + y) Q( x) Q( y)}. DIM. L asserto 1. è banalmente vero per la bilinearità di ϕ. Ora, essendo ϕ bilineare e simmetrica, si ha Q( x + y) = ϕ( x + y, x + y) = Q( x) + Q( y) + ϕ( x, y), da cui l asserto. segue banalmente (tenendo conto del fatto che K ha caratteristica diversa da ). La formula. della Proposizione è detta formula di polarizzazione, e ϕ è detta forma polare di Q. Dalla precedente proposizione si evince la seguente Proposizione C è una corrispondenza biunivoca tra le forme bilineari simmetriche e le forme quadratiche di uno spazio vettoriale qualsiasi. Infatti, ogni forma bilineare definisce la corrispondente forma quadratica. Viceversa, ogni forma bilineare è la forma polare di un unica forma quadratica. Sia B = { e 1,..., e n } una base di V n e sia A = M B (ϕ) con ϕ B s (V n ). Siano Q la forma quadratica associata a ϕ e x = x 1 e x n e n il generico vettore di V n. Allora: n Q( x) = a ij x i x j = X t AX. i,j=1 Quindi, anche Q viene individuata in modo univoco da A (fissando la base B). Pertanto, chiameremo matrice associata alla forma quadratica (rispetto a B), la matrice M B (Q) = A = M B (ϕ), e rango di Q il numero rg(q) = rg(ϕ) = rga. Il seguente risultato si ottiene immediatamente dai precedenti Teorema e Proposizione Proposizione Le matrici simmetriche di ordine n sono in corrispondenza biunivoca con le forme quadratiche di V n (poiché lo sono con le sue forme bilineari simmetriche).

17 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 16 Si noti che ogni forma quadratica individua un polinomio omogeneo di grado nelle variabili x 1,..., x n. Viceversa, il generico polinomio omogeneo P (x 1,..., x n ) = n i,j=1 q ijx i x j, individua la forma quadratica Q( x) = n q ij x i x j, i,j=1 dove x è il vettore di componenti x 1,..., x n rispetto ad una fissata base B di K n. La forma quadratica Q, rispetto alla base B, ha associata la matrice A = (a ij ), dove a ii = q ii e a ij = a ji = q ij / per i < j. Chiaramente, se P 1 (x 1,..., x n ), P (x 1,..., x n ) K[x 1,..., x n ] individuano la stessa forma quadratica, le matrici associate a tali polinomi sono congruenti. Infine, è facile vedere che se ϕ B s (V) è la forma polare di Q, fissato un generico sottospazio W di V n, la forma indotta da ϕ su W è esattamente la forma polare della restrizione di Q a W. 1.3 Duale di uno spazio vettoriale. Il Teorema di Rappresentazione di Riesz Definizione Sia V uno spazio vettoriale sul campo K. Una 1-forma su V è una qualsiasi applicazione lineare θ : V K. Lo spazio vettoriale V = Lin(V, K) formato da tutte le 1-forme su V, si chiama (spazio vettoriale) duale di V. Sappiamo che due spazi vettoriali di dimensione finita sullo stesso campo K sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione, e di conseguenza, V n = Lin(V n, K) è isomorfo a V n. Un isomorfismo esplicito tra V n ed il suo duale è descritto nel seguente risultato, di facile verifica. Teorema 1.3. Siano V n uno spazio vettoriale di dimensione finita su K e B = { e 1,..., e n } una sua fissata base. Per ogni fissato indice j {1,..., n}, l applicazione θ j : V n K x = n i=1 x i e i x j definisce una 1-forma su V. L insieme B = { θ 1,..., θ n} forma una base di V n (detta base duale di B), e l applicazione lineare F : V n V n, completamente determinata da F ( e i ) = θ i per ogni i = 1,...,, n, è un isomorfismo di spazi vettoriali.

18 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 17 DIM. Basta provare che θ 1,..., θ n sono linearmente indipendenti ed anche un sistema di generatori di Vn. Per il primo punto, basta considerarne una combinazione lineare nulla λ 1 θ λ n θ n = o, ed osservare che 0 = o( e j ) = (λ 1 θ λ n θ n )( e j ) = λ j per ogni indice j. Per il secondo punto, basta osservare che, per ogni ω Vn, risulta ω = n ω( e i )θ i, i=1 che si dimostra facilmente calcolando ω( x) per un arbitrario vettore x = i x i e i V n, e ricordando che x j = θ j ( x) per ogni indice j. Si noti che l isomorfismo tra V n ed il suo duale, descritto nel precedente Teorema, non è canonico, in quanto dipende dalla particolare base scelta. Diversa è la situazione per quanto riguarda lo spazio biduale di V n. Definizione Sia V uno spazio vettoriale sul campo K. Lo spazio vettoriale V = (V ) si chiama (spazio vettoriale) biduale di V. Teorema Sia V uno spazio vettoriale su K. Per ogni vettore x V, l applicazione x : V K θ x (θ) := θ( x) definisce una 1-forma su V, canonicamente associata a x. Se V n ha dimensione finita, allora F : V n Vn x x è un isomorfismo canonico di spazi vettoriali. In generale, se V ha dimensione infinita, allora il suo biduale V contiene propriamente un sottospazio vettoriale isomorfo a V. Passiamo ora al Teorema di Rappresentazione di Riesz, il quale mette in corrispondenza biunivoca gli elementi V n e quelli del suo duale, rispetto ad una fissata forma bilineare simmetrica non degenere di V n, ed ha importanti applicazioni in diversi settori della Matematica.

19 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 18 Teorema (di rappresentazione di Riesz) Sia ϕ una forma bilineare simmetrica non degenere su V n. Allora, Φ : V n Vn x φ x, dove φ x V è la 1-forma completamente determinata da φ x ( y) = ϕ( y, x), è un isomorfismo di spazi vettoriali. In particolare, per ogni θ V n esiste uno ed un solo x V n che rappresenta θ, ossia, tale che θ = φ x. DIM. Proviamo che Φ è lineare. Siano v 1, v V n, allora Φ( v 1 + v ) = φ v1 + v. Per ogni w v n si ha per cui φ v1 + v ( w) = ϕ( w, v 1 + v ) = ϕ( w, v 1 ) + ϕ( w, v ) = φ v1 ( w) + φ v ( w), Φ( v 1 + v ) = Φ( v 1 ) + Φ( v ). Analogamente si prova che Φ(λ v) = φ λ v e, per ogni w V n, quindi φ λ v ( w) = ϕ( w, λ v) = λϕ( w, v) = λφ v ( w), Φ(λ v) = λφ( v). Pertanto Φ è lineare. Se x ker Φ, allora φ x è la forma nulla, cioè ϕ( x, y) = 0 per ogni y V n. Di conseguenza, x ker(ϕ), da cui concludiamo che x = 0, essendo per ipotesi ϕ non degenere. Quindi Φ è iniettiva, e pertanto bigettiva, in quanto dim V n = dim V n. Corollario Siano ϕ una forma bilineare simmetrica non degenere su V n e S un sottospazio di V n. Allora, per ogni θ S esiste x V n tale che θ( y) = ϕ( x, y) per ogni y S. DIM. Siano θ S e B 0 = { e 1,..., e k } una base di S. Per il Teorema della base incompleta, B 0 si può estendere ad una base di V n. Consideriamo θ V n, determinata da θ( e i ) = θ( e i ) per i = 1,..., k, θ( e i ) = 0 per i = k + 1,..., n. Per Teorema di rappresentazione di Riesz, esiste x tale che θ( y) = ϕ( x, y) e quindi in particolare, θ( y) = ϕ( x, y) per ogni y S.

20 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 19 Osservazione Nel Corollario 1.3.6, il vettore x non è univocamente determinato, poiché θ S si può estendere ad una forma di V n in diversi modi. Teorema Siano ϕ B s (V n ) non degenere e S un sottospazio di V n. Allora: (1) dim S + dim S = dim V n ; () S = S. DIM. (1): Consideriamo Φ : V n S x φ x, dove φ x S è definita da φ x ( y) = ϕ( x, y), per ogni y S. Chiaramente, Φ è ben posta. Inoltre, Φ è lineare poiché ϕ è bilineare. Proviamo che Φ è suriettiva: sia θ S. Per il Corollario 1.3.6, esiste x V n tale che θ( y) = ϕ( x, y) = φ x ( y), per ogni y x, per cui θ = φ x = Φ( x). Proviamo ora che ker Φ = S. Infatti: x ker Φ φ x è la forma nulla su S φ x ( y) = 0 ϕ( x, y) = 0 x S. per ogni y S per ogni y S Dal Teorema del rango, tenendo conto del fatto che dim S = dim S, segue che dim V n = dim ImΦ + dim ker Φ = dim S + dim S = dim S + dim S. (): S S per la definizione di ortogonale di un sottoinsieme. D altra parte, quando S è un sottospazio, dal punto (1) abbiamo dim S = dim V n dim S = dim V n (dim V n dim S) = dim S, e quindi S = S. Proposizione Siano ϕ B s (V n ) e W un sottospazio di V n. 1. Se W è totalmente singolare, allora W W. In particolare, dim W n.. Se W non è singolare, allora V n = W W.

21 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 0 DIM. Se W è totalmente singolare, allora dim W dim W. D altra parte, per il Teorema (1) risulta dim V n = dim W + dim W dim W, pertanto dim W n. Se W è non singolare, allora la somma di W con W è diretta, quindi per il Teorema 1.3.8,(1). V = W W Proposizione Siano ϕ B s (V) e X, Y due sottospazi di V. valgono i seguenti fatti: 1. Se X Y, allora Y X ;. (X + Y) = X Y ; 3. X + Y (X Y) ; 4. Se V è finitamente generato, allora X + Y = (X Y). Allora DIM. 1. Segue subito dalla definizione di ortogonale di un sottoinsieme (vale in effetti per gli ortogonali di sottoinsiemi arbitrari).. Poiché X, Y X + Y, dall asserto 1. abbiamo che (X + Y) X e (X + Y) Y. Quindi, (X + Y) X Y. Viceversa, proviamo che X Y (X + Y). Sia t X Y. Per ogni u X + Y esistono x X e y Y tali che u = x + y. Allora: ϕ( t, u) = ϕ( t, x + y) = ϕ( t, x) + ϕ( t, y). Ma t X Y, per cui ϕ( t, x) = ϕ( t, y) = 0, e quindi ϕ( t, u) = 0 per ogni u X + Y, vale a dire che t (X + Y). 3. Poiché X Y X, Y, si ha che X, Y (X Y) e quindi 4. Se V è finitamente generato, allora X + Y (X Y). dim(x + Y ) = dim X + dim Y dim(x Y ) e la conclusione segue dal punto 3. = dim V dim X + dim V dim Y dim(x Y ) = dim V dim X + dim V dim Y dim(x + Y) = dim V dim X dim Y (dim V dim(x + Y)) = dim V dim X dim Y + dim(x + Y) = dim V dim(x Y) = dim(x Y),

22 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 1 Esercizi ) Data la forma bilineare simmetrica ϕ : R 3 R 3 R ( x, y) 3x 1 y 1 + x 3 y 3 x 1 y x y 1 + (x 1 y 3 + x 3 y 1 ) + x y 3 + x 3 y, (a) Determinare la matrice associata a ϕ rispetto alla base canonica di R 3. (b) Stabilire se ϕ è degenere. (c) per a = (1, 3, 1) e b = (0, 1, ), calcolare ϕ( a, b), Q( a), Q( b). (d) Determinare L( a) e L( a, b). ) Data la forma quadratica Q : R 4 R x = (x 1, x, x 3, x 4 ) x 1 + 4x 3 + x 4 4x 1 x 3 + x x 4 3x 3 x 4, (a) Determinare la corrispondente forma bilineare simmetrica ϕ e la matrice associata rispetto alla base canonica di R 4. (b) Provare che ϕ è degenere e trovare ker(ϕ). (c) Determinare H (rispetto a ϕ), dove H = { x R 4 : x 1 x 4 = 0}. 3) Al variare di k R, si consideri la forma quadratica Q : R 3 R x = (x 1, x, x 3 ) x 1 x + kx 3 + x 1 x 3 + x x 3. (a) Determinare il valore di k per cui ϕ è degenere. (b) Per tale valore di k, determinare ker(ϕ). 4) Sia ϕ la forma bilineare simmetrica di R 3, avente come matrice associata rispetto alla base canonica A = k, k R. (a) Determinare il valore di k per cui ϕ è degenere. Per tale valore di k, determinare ker(ϕ).

23 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE (b) Determinare, per ogni valore di k R, il sottospazio H, dove H = { x R 3 : x 1 x x 3 = 0}. 5) Si consideri la forma quadratica Q : R 3 R x = (x 1, x, x 3 ) x 1 x + x 3 4x 1 x 3 x x 3. (a) Verificare che ϕ è degenere e determinare ker(ϕ). (b) Trovare L((1, 1, 0)). 1.4 Diagonalizzazione delle forme quadratiche Definizione Se ϕ B s (V n ), una base B = { e 1,..., e n } di V n si dice base ortogonale (per ϕ) se ϕ( e i, e j ) = 0 per ogni i, j = 1,..., n, i j. In questa sezione viene affrontato il problema dell esistenza di basi ortogonali, la cui rilevanza consiste nel fatto che se B = { v 1,... v n } è una base ortogonale di V n per ϕ, allora M B (ϕ) è una matrice diagonale, e quindi, posto a ii = ϕ( v i, v i ) per ogni indice i, risulta, per ogni x = i x i v i, ϕ( x, y) = a 11 x 1 y a nn x n y n, (1.4.1) Q( x) = a 11 x a nn x n, (1.4.) Definizione 1.4. L equazione (1.4.) (rispettivamente, (1.4.1)) si chiama forma canonica della forma quadratica Q (rispettivamente, della forma bilineare simmetrica ϕ). Lemma Se ϕ B s (V n ) è non degenere allora esiste una base ortogonale di V n per ϕ. DIM. Proviamo l asserto per induzione su n. (n = 1): la tesi è banalmente vera (ogni base è banalmente ortogonale). (n 1 n): iniziamo osservando che, poiché ϕ è non degenere, esiste e 1 V n vettore non isotropo. Infatti, se ϕ( x, x) = 0 per ogni x V n, allora, per la Proposizione 1.1., ϕ è anche antisimmetrica. Quindi, ϕ B s (V n ) B a (V n ) e, per la Proposizione (iii), ϕ = 0, che contraddice l ipotesi che ϕ è non degenere. Poniamo V 1 = L( e 1 ). Allora, V 1 è non singolare. Infatti, se V 1 fosse singolare, avremmo V 1 V1 (e dim V 1 = 1), per cui e 1 sarebbe isotropo, in contraddizione

24 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 3 con la scelta operata. Pertanto, V 1 V 1 = { 0}, ossia, la somma di V 1 e V 1 è diretta. Allora, dal Teorema 1.3.8,(1) abbiamo dim(v 1 V 1 ) = dim V 1 + dim V 1 = dim V n, per cui V n = V 1 V1. Sia ϕ 1 la forma indotta da ϕ su V1 Proviamo che ϕ 1 è non degenere. Infatti, se x 0 ker(ϕ 1 ), allora per restrizione. ϕ 1 ( x 0, y) = ϕ( x 0, y) = 0 (1.4.3) per ogni y V1. Dato v V n, esistono λ K e u V1 tali che v = λ e 1 + u, per cui ϕ( x 0, v) = ϕ( x 0, λ e 1 + u) = λϕ( x 0, e 1 ) + ϕ( x 0, u). Ma ϕ( x 0, e 1 ) = 0 poiché x 0 V 1, e ϕ( x 0, u) = 0 in quanto x 0 ker(ϕ 1 ). Quindi, x 0 ker(ϕ) e concludiamo che x 0 = 0, essendo ϕ non degenere. Pertanto, ϕ 1 è non degenere. Siccome dim V 1 = n 1, per l ipotesi induttiva esiste B 1 = { e,..., e n } base ortogonale di V 1 per ϕ 1 (e quindi tali vettori sono ortogonali rispetto a ϕ). Allora, B = { e 1 } B 1 è una base ortogonale di V n per ϕ. Ora usiamo il Lemma precedente per dimostrare il risultato generale. Teorema Per ogni ϕ B s (V n ) esiste una base ortogonale di V n. DIM. Sappiamo dal Teorema 1..9 che, data ϕ B s (V n ), si ha V n = ker(ϕ) S, con S sottospazio vettoriale non singolare. Sia ϕ 1 la forma indotta da ϕ su S. Poiché S è non singolare, ϕ 1 è non degenere (in quanto ker(ϕ 1 ) S S = { 0}). Allora, dal Lemma precedente, esiste una base ortogonale B S di S per ϕ 1. Se B 0 è una qualsiasi base di ker(ϕ), allora B = B 0 B S è una base ortogonale di V n per ϕ. Osservazione Una procedura esplicita per determinare la forma canonica di una forma quadratica (o della corrispondente forma bilineare simmetrica) si ottiene come applicazione del Teorema Spettrale sugli endomorfismi simmetrici, ed è descritta nell Osservazione In termini di matrici, il precedente Teorema si riformula nel modo seguente. Corollario Ogni A S n (K) è congruente ad una matrice diagonale.

25 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 4 DIM. Sia ϕ B s (K n ) definita da ϕ( x, y) = X t AY, dove A = M B (ϕ) e B è la base canonica di K n. Per il Teorema precedente, esiste B base ortogonale di K n per ϕ. Se D = M B (ϕ), allora D è diagonale e, essendo congruente ad A, esiste P GL(n, K) tale che D = P t AP. Andiamo ora a specializzare i risultati sulle basi ortogonali a casi particolarmente rilevanti, dapprima assumendo che K sia un campo algebricamente chiuso (come C), e poi che K = R. Teorema Siano V n uno spazio vettoriale definito su un campo K algebricamente chiuso, e ϕ B s (V n ). Allora esiste una base ortogonale B di V n tale che ( ) Ir O M B (ϕ) = 1, (1.4.4) O O 3 dove r = rg(ϕ), I r è la matrice identità di ordine r, O 1 K r,n r, O K n r,r e O 3 K n r,n r sono matrici nulle. DIM. Sia ϕ B s (V n ). Allora, dal Teorema esiste una base ortogonale B 0 = { e 1, e,..., e n } di V n per ϕ, per cui, a a... 0 M B0 (ϕ) = a nn Sia r = rg(ϕ) = rg(m B0 (ϕ)). Dopo aver eventualmente riordinato gli elementi di B 0, avremo che a ii 0 per i = 1,..., r e a ii = 0 per i = r + 1,..., n. Poiché K è algebricamente chiuso, per ogni i = 1,..., r esiste α i K tale che α i = a ii. Costruiamo B = { v 1, v,..., v n }, ponendo v i = { α 1 i e i per i = 1,..., r, e i per i = r + 1,..., n. Allora, ϕ( v i, v j ) = 0 per i j o per i = j > r, mentre per i = j < r risulta ϕ( v i, v i ) = ϕ(α 1 i e i, α 1 i e i ) = α i ϕ( e i, e i ) = 1. Pertanto, B è una base ortogonale e M B (ϕ) è descritta come in (1.4.4). Corollario Siano K un campo algebricamente chiuso e A S n (K). Se r = rg(a), allora A è congruente ad una matrice diagonale della forma (1.4.4). DIM. Segue banalmente dal Teorema 1.4.7, procedendo come nel Corollario

26 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 5 Teorema (di Sylvester) Sia ϕ una forma bilineare simmetrica di rango r di uno spazio vettoriale reale V n. Allora esiste un intero 0 p r, dipendente solo da ϕ, ed una base B = { v 1,..., v n } di V n, tali che M B (ϕ) = I p I r p n r dove 0 denota la matrice nulla di ordini opportuni. (1.4.5) DIM. Sia B 0 = { e 1, e,..., e n } una base ortogonale di V n rispetto a ϕ, la cui esistenza segue dal Teorema Allora, a a... 0 M B0 (ϕ) = a nn Sia r = rg(ϕ) = rg(m B0 (ϕ)). Riordinando i vettori della base B 0, possiamo fare in modo che a ii 0 per i = 1,..., r e a ii = 0 per i = r + 1,..., n, e che inoltre i primi 0 p r siano positivi. Allora, esisteranno dei numeri reali α ii, tali che a ii = αii per i p e a ii = αii per p+1 i r. Costruiamo B = { v 1, v,..., v n }, ponendo { α 1 ii v i = e 1 per 1 i r, e i per r + 1 i n. Quindi, ϕ( v i, v j ) = 0 quando i j o i = j > r. Per i = j r risulta ϕ( v i, v j ) = 1 oppure 1, a seconda che i p o i > p rispettivamente. Pertanto, per ogni x = n i=1 x i v i v n avremo: Q( x) = x x p x p+1... x r. Rimane da provare che p dipende solo da ϕ e non dalla base scelta. Sia B = { w 1,..., w n } una base ortogonale di V n per ϕ, rispetto a cui si abbia, per ogni y = n i=1 y i w i V n, Q( y) = y y t y t+1... y r. Supponiamo per assurdo che t p. Allora, t > p oppure t > p. Essendo la situazione del tutto simmetrica rispetto alle due basi, senza perdere di generalità consideriamo il caso t < p. Consideriamo i sottospazi di V n S = L( v 1,..., v p ), T = L( w t+1,..., w n ).

27 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 6 Dalla formula di Grassmann si ha: dim(s T ) = dim S + dim T dim(s + T ) = p + n t dim(s + T ) p t > 0. Sia dunque x S T, x 0. Allora, per cui x = λ 1 v λ p v p = µ t+1 w t µ n w n, Q( x) = λ λ p > 0 e Q( x) = µ t+1... µ n 0, il che è assurdo. Pertanto, t = p e quindi la tesi. Si osservi che come conseguenza della dimostrazione del Teorema di Sylvester, date una forma bilineare simmetrica reale ϕ ed una sua qualsiasi base ortogonale { e 1,..., e n }, il numero degli e i per cui ϱ( e i, e i ) è positivo, negativo, nullo, non dipendono dalla particolare base. Procedendo come nel Corollario si ottiene il risultato seguente. Corollario Ogni A S n (R) è congruente ad una matrice diagonale della forma (1.4.5), dove r = rg(a) e p è un intero compreso tra 0 e r dipendente solo da A. Per il Teorema di Sylvester, se Q è una forma quadratica su uno spazio vettoriale reale V n, allora esiste una particolare base B = { v 1,..., v n } di V n rispetto alla quale, per ogni vettore x = i x i v i V n : Q( x) = x x p x p+1... x r (1.4.6) dove p ed r sono interi tali che 0 p r, che dipendono solo da Q. Definizione L espressione (1.4.6) si dice forma normale di Q. Gli interi p, r p ed n r si dicono rispettivamente indice di positività, di negatività e di nullità di Q. La terna (p, r p, n r) prende il nome di segnatura di Q. Una forma quadratica Q si dice definita positiva se Q( x) > 0 per ogni x V, x 0; semidefinita positiva se Q( x) 0 per ogni x V; semidefinita negativa se Q( x) 0 per ogni x V; definita negativa se Q( x) < 0 per ogni x V, x 0; indefinita se non è semidefinita positiva o negativa.

28 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 7 Analoga terminologia si applica alla forma bilineare simmetrica ϕ corrispondente a Q. Dal Teorema di Sylvester segue che le possibili forme normali delle forme quadratiche non nulle, distinte per segnatura, sono le seguenti: Forma quadratica Segnatura Definita positiva Q( x) = x x n (n, 0, 0) Semidefinita positiva Q( x) = x x r, r < n (r, 0, n r) Definita negativa Q( x) = x 1... x n (0, n, 0) Semidefinita negativa Q( x) = x 1... x r, r < n (0, r, n r) Non degenere Q( x) = x x p x p+1... x n (p, n p, 0) Indefinita Q( x) = x x p x p+1... x r (p, r p, n r) In particolare, per n =, se Q non è la forma nulla, si hanno le seguenti forme normali: Forma quadratica Segnatura Definita positiva Q( x) = x 1 + x (, 0, 0) Semidefinita positiva Q( x) = x 1, (1, 0, 1) Definita negativa Q( x) = x 1 x (0,, 0) Semidefinita negativa Q( x) = x 1, (0, 1, 1) Indefinita (non degenere) Q( x) = x 1 x (1, 1, 0) Per n = 3, e Q diversa dalla forma nulla, risulta: Forma quadratica Segnatura Definita positiva Q( x) = x 1 + x + x 3 (3, 0, 0) Semidefinite positive Q( x) = x 1 + x, (, 0, 1) Q(x) = x 1, (1, 0, ) Definita negativa Q( x) = x 1 x x 3 (0, 3, 0) Semidefinite negative Q( x) = x 1, (0, 1, ) Q( x) = x 1 x, (0,, 1) Indefinite non degeneri Q( x) = x 1 x x 3 (1,, 0) Q( x) = x 1 + x x 3 (, 1, 0) Indefinita degenere Q( x) = x 1 x (1, 1, 1) Se Q( x) = X t AX è una forma quadratica reale, allora Q è congruente ad una matrice della forma (1.4.5) per il Teorema di Sylvester. Pertanto è ben posta la seguente definizione:

29 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 8 Definizione Sia A S n (R). Allora A si dice definita positiva, semidefinita positiva, semidefinita negativa, definita negativa, non degenere o indefinita, se, rispettivamente, Q( x) = X t AX è definita positiva, semidefinita positiva, semidefinita negativa, definita negativa, non degenere o indefinita. Corollario Se A S n (R), allora A è definita positiva se e solo se esiste P GL(n, R) tale che A = P T P. DIM. Per il Teorema di Sylvester, A S n (R) è definita positiva se e solo se è congruente a I n, cioè A = P T I n P = P T P con P GL(n, R). Definizione Sia A K n,n. Per ogni k = 1,..., n, si chiama minore principale di ordine k il determinante della sottomatrice A k di A, ottenuta eliminando le ultime (n k) righe e le ultime (n k) colonne di A. Teorema (Criterio di Sylvester) A S n (R) è definita positiva se e solo se per ogni k = 1,..., n il minore principale di ordine k di A è positivo. DIM. Sia A S n (R) definita positiva. Consideriamo la forma quadratica su R n definita positiva Q(Y ) = Y t AY individuata da A rispetto ad una fissata base B di R n. Per k = 1,..., n, si consideri la forma quadratica su R k definita da Q k (X) = X t A k X. Per ogni x = (x 1,..., x k ) vettore di R k, si consideri il vettore di R n definito da x = (x 1,..., x k, 0,..., 0). Allora, Q k ( x) = X t A k X = k a ij x i x j = X t AX = Q( x). i,j=1 Pertanto, Q k è definita positiva poiché Q è definita positiva. Ma allora A k è definita positiva, e per il Corollario esiste P k GL(k, R) tale che A k = Pk T P k. Quindi, det A k = det ( Pk T P k) = det (Pk ) > 0 per ogni k = 1,..., n. Viceversa, supponiamo ora che per ogni k = 1,..., n il minore principale di ordine k di A sia positivo, e proviamo che A è definita positiva. Procediamo per induzione su n. (n = 1): l asserto è banalmente vero. (n 1 n): Si considerino la forma quadratica Q( x) = X t AX, il sottospazio Y di R n costituito dai vettori y = (y 1,...,...y n 1, 0) e la forma quadratica su R n 1 definita da Q n 1 (ȳ) = Ȳ t A n 1 Ȳ, con ȳ = (y 1,...,...y n 1 ). Segue dall ipotesi induttiva che Q n 1 è definita positiva. inoltre, Q( y) > 0 per ogni y Y, poiché Q n 1 (ȳ) = Q( y). Per il Teorema 1.4.7,

30 CAPITOLO 1. FORME BILINEARI SIMMETRICHE 9 esiste una base ortogonale B = { e 1,..., e n } di R n tale che, per ogni y = y i e i, si ha Q( y) = λ 1 y 1 + λ y λ n y n, con λ 1 λ... λ n. Dal Corollario segue che det A = (det P ) λ 1 λ λ n, dove P è la matrice di passaggio dalla base B alla base B. Sia quindi X = L( e 1, e ). Poiché dim Y = n 1 e dim X =, si ha dim X Y 1. Scegliamo quindi w X Y, w 0. Allora, Q( w) > 0, ed esistono w 1, w R tali che w = w 1 e 1 + w e. Dunque, ( ) 0 < Q( w) λ 1 w1 + λ w λ w 1 + w da cui segue che 0 < λ... λ n. D altra parte, 0 < det A e quindi 0 < λ 1 λ λ n, in quanto det A = (det P ) λ 1 λ λ n. Quindi, 0 < λ 1 λ... λ n. Ne segue che Q( y) = λ 1 y 1 + λ y λ n y n > 0 per ogni y 0, ossia, A è definita positiva. Esercizi ) Si determini la forma bilineare simmetrica ϕ B S (R 3 ), tale che ker(ϕ) = { x = (x 1, x, x 3 ) R 3 : x 1 x + x 3 = 0} e Q((1, 0, 1)) = 3. Determinare la segnatura di ϕ e la sua forma normale. ) Sia ϕ B S (R 3 ) avente come matrice associata rispetto alla base canonica B, la matrice h 1 A = 1 3 k, k 6 con k, h R. (a) Determinare h k per cui dim(ker(ϕ)) = 1 e u = (0, 1, 1) v = (, 0, 1). (b) Per tali valori di h k, trovare la forma canonica di Q = Q ϕ e classificarla. 3) Sia ϕ B S (R 3 ) tale che ker(ϕ) = L( u = (1,, 1), v = (1, 1, 0)) e Q( w) =, dove w = (1, 0, 1). (a) Determinare la matrice A associata a ϕ rispetto alla base canonica. (b) Classificare Q e trovarne la forma canonica. (c) Specificare la base rispetto alla quale sussiste tale forma canonica.

31 Capitolo Spazi Vettoriali Euclidei In questo capitolo lo studio delle forme bilineari simmetriche si specializza al caso particolare, ma particolarmente rilevante, degli spazi vettoriali euclidei..1 Definizione e relative proprietà Definizione.1.1 Sia V uno spazio vettoriale reale. Un prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica definita positiva, di V. La coppia (V,, ) si dice spazio vettoriale euclideo (o, in breve, spazio euclideo). Esempio.1. L applicazione : R n R n R ( x, y) x y = x 1 y x n y n è un prodotto scalare su R n, detto prodotto scalare standard. Esempio.1.3 Lo spazio di vettori geometrici di V 3, munito del prodotto scalare definito da: 0 se u = 0 o v = 0, u v = ) u v cos ( u, v se u 0 v, è uno spazio vettoriale euclideo. Esempio.1.4 Dalle proprietà degli integrali segue che (f, g) = b a f(x) g(x) dx. (.1.1) è un prodotto scalare su C R [a, b] (spazio delle funzioni continue da [a, b] in R). 30

32 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI 31. Norma di uno spazio euclideo Definizione..1 Sia (V,, ) uno spazio vettoriale euclideo. La funzione : V R, x x = x, x si dice norma indotta dal prodotto scalare,. il numero reale x 0 si dice norma del vettore x. Teorema.. (Disuguaglianza di Schwarz) Sia (V,, ) uno spazio vettoriale euclideo. Allora, per ogni v, w V risulta v, w v w, e l uguaglianza vale se e solo se v e w sono paralleli. DIM. Se w = 0, l asserto è banalmente vero. Quindi, supponiamo che w 0. Siano a = w, w e b = v, w. Allora 0 a v + b w, a v + b w = a v, v + ab v, w + b w, w = w, w v, v w, w v, w + v, w w, w = w, w ( w, w v, v v, w ) Poiché w 0, si ha w, w > 0 e quindi v, w v, v w, w, cioè v, w v w. Si noti che v, w = v, v w, w se e solo se a v + b w, a v + b w = 0 e ciò si verifica se e solo se v = (b/a) w, essendo a = w, w 0. Proposizione..3 La norma gode delle seguenti proprietà: 1. x 0 per ogni x V, e x = 0 se e solo se x = 0;. λ x = λ x per ogni λ R e x V; 3. x + y x + y per ogni x, y V (disuguaglianza triangolare). inoltre l uguaglianza vale se e solo se x e y sono paralleli. DIM. Gli asserti (1) e () seguono immediatamente dalla definizione di norma. Proviamo l asserto (3). Dalla disuguaglianza di Schwarz segue che se x, y V, allora x + y = x + x, y + y x + x, y + y x + x y + y ( x + y ) e quindi x + y x + y. Inoltre, vale l uguaglianza se e solo se x, y = x y e quindi se e solo se x e y sono paralleli.

33 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI 3 Definizione..4 La coppia (V, ) si dice spazio normato. Siano x, y vettori non nulli di uno spazio vettoriale euclideo V. x, y 1, ossia x y x, y 1 x y 1. Allora Poiché cos [0,π] : [0, π] [ 1, 1] è invertibile, esiste un unico θ [0, π] tale che cos θ = x, y. Allora x y ( ) ( x, x, y y) = arccos x y si definisce angolo convesso (non orientato) individuato da x e y. Pertanto, come nel caso dei vettori geometrici, in un qualsiasi spazio euclideo avremo v, w = x y cos ( x, y). (..1) Esempio..5 Si consideri il prodotto scalare standard di R 4 : x, y 1 = x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 + x 4 y 4. Siano x = (1, 1, 0, 1), y = (1, 1, 1, 0) e calcoliamo l angolo θ 1 individuato da essi rispetto a tale prodotto scalare. Avremo: ( ) x, y 1 θ 1 = arccos = arccos x 1 y 1 3. Ora, su R 4 si consideri il prodotto scalare definito da x, y = 1 x 1y x y + x 3 y 3 + x 4 y 4. (..) L angolo θ individuato dagli stessi vettori x, y è: ( ) x, y θ = arccos = arccos 1 x y θ = π 3. Si considerino, infine, i vettori w 1 = (1, 1, 1, 1) e w = (1, 0, 0, 1). Questi vettori sono ortogonali rispetto al prodotto scalare standard, mentre rispetto al prodotto scalare, determinano l angolo: ( ) w1, w θ = arccos w 1 w ( = arccos 1 ) 3.

34 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI 33 Teorema..6 Siano x, y due vettori di uno spazio vettoriale euclideo, allora: 1. (Teorema di Carnot) x + y = x + y + x y cos θ, dove θ é l angolo convesso (non orientato) individuato da x e y;. (Teorema di Pitagora) x + y = x + y se e solo se x ed y sono ortogonali. DIM. Dall uguaglianza (..1) abbiamo che x + y = x + y, x + y = x + y + x, y = x + y + x y cos θ, dove θ è l angolo convesso (non orientato) individuato da x e y. Inoltre, x + y = x + y se e solo se x, y = 0, cioè se x e y sono ortogonali. Un vettore x di uno spazio vettoriale euclideo (V,, ) si dice versore se x = 1. In particolare, se x 0, allora e := x si dice versore associato a x. x.3 Basi ortonormali Un insieme finito di vettori { v 1, v,..., v t } di V si dice ortogonale se v i, v j = 0 per ogni i, j = 1,..., t, con i j. Un insieme finito di vettori { v 1, v,..., v t } di V si dice ortonormale se è un insieme ortogonale e vale che v i = 1 per ogni i = 1,..., t. Se dim V = n, una base ortonormale è una base B = { e 1,..., e n } tale che e i, e j = δ ij per ogni i, j = 1,..., n. Proposizione.3.1 Se { v 1, v,..., v t } è un insieme ortogonale di vettori non nulli di V, allora { v 1, v,..., v t } è un insieme linearmente indipendente. Inoltre, se dim V = n, un insieme ortogonale di n vettori non nulli di V è una base ortogonale. DIM. Siano λ 1,..., λ t R tali che λ 1 v 1 + λ v +...λ t v t = 0. Allora per ogni j = 1,..., t risulta n n 0 = λ i v i, v j = λ i v i, v j = λ j, i=1 e quindi { v 1, v,..., v t } è un insieme linearmente indipendente. In particolare, se dim V = n, un insieme ortogonale di n vettori è linearmente indipendente massimale, cioè una base. i=1

35 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI 34 Se B = { e 1,..., e n } è una base ortonormale di V n, allora M B (, ) = I n, quindi, rispetto a tale base x, y = x 1 y x n y n. in altre parole la rappresentazione di, rispetto ad una fissata base ortonormale è la stessa del prodotto scalare standard dei vettori di R n rispetto alla base canonica di quest ultimo. Teorema.3. Ogni spazio vettoriale euclideo V n possiede basi ortonormali. DIM. Poiché, è definito positivo, segue dal Teorema di Sylvester che esiste una base B tale che M B (, ) = I n. Ovviamente, B è allora una base ortonormale di V n. Il seguente teorema descrive un algoritmo per costruire basi ortonormali a partire da basi di uno spazio vettoriale euclideo finitamente generato. Teorema.3.3 (di Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt) Sia { v 1,..., v n } una base di uno spazio vettoriale euclideo V n. Allora, l insieme { e 1,..., e n },dove e k = w k e w k { w1 = v 1, w k = v k k 1 v k, w j j=1, w w j, w j j, k, è una base ortonormale di V n. DIM. Dimostriamo per induzione su k che L( v 1,..., v k ) = L( w 1,..., w k ) e che w k 0 per ogni k = 1,..., n. Per k = 1 la tesi è banalmente vera. Supponiamo vera la tesi per k 1 e proviamola per k. Supponiamo per assurdo che w k = 0. Allora, v k = k 1 j=1 v k, w j w j, w j w j e pertanto v k L( w 1,... w k 1 ) = L( v 1,... v k 1 ) per l ipotesi induttiva. Quindi v k è combinazione lineare di v 1,... v k 1. Ma ciò è assurdo, poiché { v 1,... v k 1, v k } è un sottoinsieme della base { v 1,..., v n }, e quindi linearmente indipendente. Pertanto, w k 0. Si noti che v k = w k + k 1 j=1 v k, w j w j, w j w j e quindi v k L( w 1,..., w k ). Pertanto, L( v 1,..., v k ) L( w 1,..., w k ). D altra parte, risulta L( w 1,..., w k 1 ) L( v 1,..., v k 1 ) per l ipotesi induttiva e quindi w k L( w 1,..., w k 1, v k ) L( v 1,..., v k ). Pertanto L( v 1,..., v k ) = L( w 1,..., w k ).

36 CAPITOLO. SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI 35 Proviamo ora per induzione su k che w k è ortogonale a w j per ogni j = 1,..., k 1. Se k = abbiamo w, w 1 = v v, w 1 w 1, w 1 w 1, w 1 = v, w 1 v, w 1 w 1, w 1 w 1, w 1 = 0. Ora supponiamo vera la tesi per k 1 e proviamola per k. j = 1,...k 1 vale che w k, w j = v k k 1 i=1, Infatti, per ogni v k, w i w i, w i w k 1 v k, w i i, w j = v k, w j w i=1, i, w i w i, w j = v k, w j v k, w j w j, w j w j, w j = 0. Pertanto, abbiamo completato la dimostrazione per induzione. In particolare, per k = n concluderemo che { w 1,..., w n } è un insieme di n vettori, tutti non nulli, a due a due ortogonali. Quindi { w 1,..., w n } è una base ortogonale di V n per la Proposizione.3.1. Conseguentemente, { e 1,..., e n } è una base ortonormale di V n. Esempio.3.4 Consideriamo il prodotto scalare su R 4 definito da: x, y = 1 x 1y x y + x 3 y 3 + x 4 y 4. Applicando il procedimento di Gram-Schmidt ai vettori v 1 = (1, 1, 1, 1), v = (1, 1, 1, 1), v 3 = ( 1, 1, 1, 1), v 4 = (1, 0, 0, 1), otteniamo: w 1 = v 1, w = v v, w 1 w 1, w 1 w 1 = v w 1 = (,, 1, 1), 3 w 3 = v 3 v 3, w 1 w 1, w 1 w 1 v 3, w w, w w = v w w = (0, 0, 1, 1), w 4 = v 4 v 4, w 1 w 1, w 1 w 1 v 4, w w, w w v 4, w 3 w 3, w 3 w 3 = v w 1 1 w 1 w 3 = 1 (1, 1, 0, 0).