La trasformata di Fourier

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1 CAPITOLO 4 La trasformata di Fourier 4 La trasformata di Fourier come imite dea serie di Fourier Sia f L R Sviuppiamo f in serie di Fourier ne intervao π, π Non possiamo dire nua sua convergenza dea serie di Fourier così ottenuta ad esempio, per a convergenza puntuae andrebbe richiesta a continuità dea f ma possiamo comunque definire i coefficienti di Fourier c n π fξ e in ξ dξ 2π π Se poi indichiamo con f x a somma dea serie di Fourier di f si ha f x n c n e in x 4 A meno che a funzione f non sia periodica, niente è garantito sua convergenza dea serie ad f a di fuori de intervao π, π Se abbiamo intenzione di utiizzare e serie di Fourier per rappresentare andamento dea f su tutto R, più grande scegiamo più grande sarà intervao in cui a serie di Fourier segue andamento dea funzione di partenza Definizione 4 Si dice supporto di una funzione a chiusura de insieme in cui a funzione è non nua I supporto di f soitamente si indica con sprtf Supponiamo per i momento che f sia a supporto compatto ovvero supponiamo che esista un vaore A > tae che fx per ogni x tae che x > A Scegiamo abbastanza grande in modo che sprtf π, π Poniamo F ξ fxe ixξ dx 2π Aora, c n π fξe in ξ dξ fξe in ξ n dξ 2π π 2π F La serie di Fourier 4 può essere scritta come f x n 69 n F e i n x 42

2 7 4 LA TRASFORMATA DI FOURIER COME LIMITE DELLA SERIE DI FOURIER Quest utima può essere interpretata come somma di Riemann approssimazione di un integrae come somma de area di rettangoi de integrae In atre paroe a 43 è i imite per dea 42 F ξ e ixξ dξ 43 F n/ e i n ξ n n n+ i x ξ Fξ e Figura 4 L area de rettangoo ombreggiato è n F e i n x Se ξ n/ e dξ /, a 42 è a somma di Riemann de integrae 43 ξ In base a queste considerazioni possiamo ricavare una maniera per rappresentare tutte e funzioni integrabii su R anche se non periodiche in maniera simie a quea, e serie di Fourier, utiizzata ne capitoo precedente per e funzioni periodiche Definizione 42 Sia f L R, chiamiamo trasformata di fourier di f a funzione fξ fx e ixξ dx Indichiamo inotre con F operatore di trasformazione che ad una funzione f L R associa a sua trasformata di Fourier; in atre paroe, Ffxξ fξ Utiizzeremo anche a notazione Ffxξ f b ξ L operatore F è definito per tutte e funzioni f L R Per quanto riguarda immagine di F osserviamo che f Inotre, e ixξ fx fx per ogni ξ, da cui fξ fx dx e quindi f f L R e ixξ fx dx f L R ξ R Quindi fξ è una funzione imitata Inotre, a trasformata di Fourier di una funzione integrabie gode di acune proprietà di regoarità Ad esempio, se fx è regoare e a supporto compatto, si può verificare che fξ e a sua derivata f ξ sono continue ed integrabii Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore

3 42 PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER 7 42 Proprietà dea trasformata di Fourier Proposizione 4 inearità de operatore di trasformazione L operatore di trasformazione è ineare: se f, g L R, se a, b R si ha Faf + bg a Ff + b Fg; in atri simboi, af + bg b a f + bĝ Dimostrazione È una diretta conseguenza dea inearità de integrae Proposizione 42 riscaamento Sia f L R e sia c R, c Aora Ffcxξ fcx b ξ c fξ/c 44 Dimostrazione Sia c > Poniamo y cx e cambiamo variabie ne integrae che definisce a trasformata di f: fcx b ξ fcx e ixξ dx Se c <, procedendo in modo anaogo, fcx b ξ fcx e ixξ dx fy e iy ξ c fy e iy ξ c fy e iy ξ c c dy c dy c fξ/c c dy c fξ/c In entrambi i casi i risutato ottenuto è queo dea 44 Osservazione 4 L integrabiità di f non garantisce integrabiità di f Infatti, se fx χ [,] x { se x > se x, per ξ, si ha: Figura 42 La funzione χ [,] x fξ χ [,] x e ixξ dx e ixξ dx x iξ e ixξ 2 x ξ e iξ e iξ 2i 2 ξ sinξ Si noti che mentre fx L R atrettanto non si può dire di fξ dato che sinξ ξ dξ Osserviamo infine che quanto descritto non è in contraddizione con e affermazioni fatte aa fine de paragrafo precedente dato che a funzione f non è continua Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore

4 72 42 PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER Osservazione 42 L operatore di trasformazione F è continuo come operatore da L R in L R con L R indichiamo o spazio dee funzioni imitate per quasi tutti gi x R Questa proprietà è una conseguenza de fatto che operatore d integrazione è continuo In atri termini, se f n è una successione di funzioni integrabii convergente ad una certa f ne senso di L, ovvero tae che im n f n f L R, aora f n converge ad f ne senso che im n f n f L R Stando attenti ad attribuire aa frase i significato appena precisato, possiamo affermare che i imite dee trasformate di Fourier dee f n è a trasformata de imite dee f n Esempio 4 Cacoiamo a trasformata di Fourier dea funzione fx χ [a,b] x Procedendo anaogamente a quanto fatto ne osservazione 4 si ha: b a se ξ fξ iξ e iaξ e ibξ se ξ Si noti che fξ è una funzione continua e tae che im ξ fξ, infatti fξ < 2/ξ per ξ Se b a, a trasformata di fx è 2a se ξ fξ 2 sinaξ se ξ ξ A questo risutato saremo potuti arrivare anche in base aa proprietà di riscaamento proposizione 42: osserviamo che χ [ a,a] x χ [,] x/a e quindi χ[ a,a] x bξ χ[,] x/a bξ a χ[,] x baξ 2a se ξ ovvero o stesso risutato ottenuto precedentemente per via diretta a 2 sinaξ se ξ aξ Esempio 42 Cacoiamo a trasformata di Fourier di fx e x Procedendo per via diretta, daa definizione di trasformata segue fξ e x e ixξ dx e x+iξ dx + e x+iξ e x iξ dx + iξ e x+iξ + iξ x+ x + e x iξ dx + iξ e x iξ x 2 iξ + ξ 2 x+ Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore

5 42 PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER 73 Anche in questo caso avremo potuto procedere in maniera aternativa: siano { { e x x f x x <, f x > 2x e x x Aora, fx f x + f 2 x inotre f 2 x f x Possiamo cacoare per via diretta f ξ Sfruttando a proprietà di riscaamento, + iξ fξ f ξ + f 2 ξ f ξ + f ξ f ξ + f ξ + iξ + iξ 2 + ξ 2 Proposizione 43 Se f L R aora f è continua ed infinitesima per ξ, cioè im ξ fξ Dimostrazione Abbiamo visto cfr esempio 4 che a proprietà è vera per e funzioni caratteristiche degi intervai Per a inearità de operatore di trasformazione vae anche per tutte e oro combinazioni ineari Se f L R, daa definizione di integrae di Riemann sappiamo che possiamo approssimare f con funzioni a scaini Sfruttando a proprietà di passaggio a imite dea trasformata segue enunciato Proposizione 44 Sia f L R e sia fξ a sua trasformata di Fourier Aora: i Se fx è pari aora fξ è reae ii Se fx è dispari aora fξ è immaginaria pura iii Se fx è reae aora f ξ fξ Dimostrazione Iniziamo daa i Supponiamo che fx f x Aora fξ fxe ixξ dx fxe ixξ dx + fxe ixξ dx + 2fx eixξ + e ixξ 2 fxe ixξ dx dx 2 fxe ixξ dx fx cosxξ dx R La ii e a iii si dimostrano procedendo in maniera anaoga I dettagi sono asciati per esercizio Coroario 4 Come banae conseguenza dea proposizione precedente, i Se f L R è reae e pari aora fξ è reae e pari ii Se f L R è reae e dispari aora fξ è immaginaria pura e dispari Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore

6 74 42 PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER Osservazione 43 Sia f è a trasformata di Fourier di una funzione f L R È sempre possibie individuare due funzioni reai a e b tai che fξ aξ+ibξ Se f è una funzione reae, per i coroario precedente aξ e ibξ sono rispettivamente e trasformate di Fourier di una funzione reae pari f P x e di una funzione reae dispari f D x In definitiva, ogni funzione f L R può sempre essere scomposta nea somma di una funzione pari e di una funzione dispari: fx f P x + f D x fξ aξ + ibξ fp ξ aξ fd ξ ibξ Le funzioni f P x ef D x prendono i nome di parte pari e parte dispari di f rispettivamente Esempio 43 Consideriamo a funzione di Heaviside: Hx χ [, x Sia { gx 2e x 2e x se x Hx se x < Si verifica facimente che g P x e x e che g D x sgnxe x Cacoare e trasformate di Fourier di g, g D e g P verificando che ĝ P ξ R, che ĝ D ξ è immaginaria pura e che ĝξ ĝ P ξ + iĝ D ξ Facendo i cacoi, ĝξ 2 e x e ixξ dx 2 x + iξ e x+iξ 2 + iξ 2 iξ + ξ 2 In base a osservazione 43 concudiamo che ĝ P ξ Re ĝξ 2 + ξ 2, ĝ Dξ i Im ĝξ 2iξ + ξ 2 x La verifica di questo risutato per via diretta è asciata a ettore Proposizione 45 di trasazione o di ritardo Sia f L R e sia f a sua trasformata di Fourier Se x R, a funzione fx x è trasformabie secondo Fourier ed ha ixξ come trasformata e fξ Dimostrazione Poniamo y x x ; aora F[fx x ]ξ e ixξ fx x dx e ixξ e ix xξ fx x dx e ixξ e iyξ fy dx e ix ξ fξ Esempio 44 Cacoiamo a trasformata di Fourier di { se a x < fx se x a Scriviamo f vedi figura 43 in una forma più conveniente: fx χ [ a,] x + χ [,a] x χ [ a 2, a 2 ] x + a 2 + χ [ a 2, a 2 ] x a 2 a Figura 43 a Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore

7 43 INVERSIONE DELLA TRASFORMATA DI FOURIER 75 Da osservazione 4 sappiamo che per a proposizione 42: per a proposizione 45: ancora per a proposizione 45: Infine, sommando e utime due espressioni: [ ] bξ χ[,] x sin ξ 2 ξ [ χ[ a 2, a 2 ]x ] bξ [ χ[,] 2 a x ] b ξ 2 ξ sin a 2 ξ [ χ[ x a 2, a 2 ] + a ] bξ 2 2 ξ eiξ a a 2 sin 2 ξ [ χ[ x a 2, a 2 ] a ] bξ 2 2 ξ e iξ a a 2 sin 2 ξ fξ 2 a {e ξ sin 2 ξ } iξ a 2 e iξ a 4i a 2 ξ sin2 2 ξ, da estendere con continuità per ξ Proposizione 46 moduazione Sia f L R e sia f a sua trasformata di Fourier Per ogni ξ R a funzione e iξx fx è trasformabie secondo Fourier e a sua trasformata è fξ ξ Dimostrazione Osserviamo innanzitutto che e iξx fx fx e quindi che e iξx fx L R e iξ x fx b ξ e iξx fxe ixξ dx e ixξ ξ fx dx fξ ξ Esempio 45 Possiamo sfruttare a 46 per cacoare e trasformate di Fourier di funzioni dea forma fx cosξ x o dea forma gx fx sinξ x Dae formue, [fx cosξ x] b ξ [ e iξ x + e iξx fx ] b ξ fξ ξ fξ + ξ Anaogamente, [fx sinξ x] b ξ 2i [ e iξ x e iξx fx ] b ξ fξ ξ 2i fξ + ξ 43 Inversione dea trasformata di Fourier Quando abbiamo introdotto a trasformata di Fourier abbiamo definito a funzione F ξ 2π per poi scrivere a serie di Fourier di f come fξ n fxe ixξ dx ei n x F n/ Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore

8 76 43 INVERSIONE DELLA TRASFORMATA DI FOURIER ed osservare che passando a imite per assume a forma F ξe ixξ dx 45 Abbiamo poi definito a trasformata di Fourier mediante a formua fξ 2πF ξ Questo procedimento suggerisce di utiizzare a 45 per ottenere una formua di inversione per a trasformata di Fourier Dimostreremo che, in un certo senso, fx 2π fξe ixξ dx Teorema 4 formua di inversione dea trasformata di Fourier Sia f L R una funzione di casse C a tratti, eventuamente modificata in modo che fx fx + + fx 2 per ogni x R Sia fξ a trasformata di Fourier di f Aora fx 2π vp fξe ixξ dξ λ 2π im fξe ixξ dξ 46 λ λ Con vp abbiamo indicato i vaore principae de integrae, definito da imite che compare nea 46 Dimostrazione Per prima cosa cacoiamo λ fξe ixξ dξ λ { } fte iξt dt e ixξ dξ 2π λ 2π λ Per poter scambiare ordine di integrazione dobbiamo verificare che a funzione t, ξ fte iξt x sia L R Questo però è vero poiché e iξt x e f L R Quindi, λ λ fξe ixξ dξ ft λ e iξt x dξ 2π λ sinλt x ft dt x fx + t sinλt dt + fx + t sinλt fx + t sinλt dt dt Facciamo vedere che quando λ i primo integrae tende a 2fx+ mentre i secondo tende a 2fx Per far questo si osservi che e che I fx + t sinλt sinλt dt sinλt dt 2 dt 2 fx + [fx + t fx + ] sinλt dt 47 Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore

9 43 INVERSIONE DELLA TRASFORMATA DI FOURIER 77 Dimostreremo che quest utimo integrae tende a zero per λ Sia T >, scomponiamo I in tre parti ne modo seguente I T fx + t fx + sinλt dt + T T fx + t sinλt fx + sinλt Indichiamo con I, I 2, I 3 i tre addendi a secondo membro dea 48; si ha I 2 fx + t dt, I 3 fx + sinλt π dt T T dt dt 48 poiché f L R e per a 47, per ogni ε > esitste T ε > tae che per ogni T > T ε, I 2 < ε e I 3 < ε Quindi, T fx + t fx + I 2ε + sinλt dt fx + t fx + gt L [, T ]; per i emma di Riemann-Lebesgue, I se λ In definitiva, se fissiamo T > T ε e passiamo a imite per λ nea 48, I ovvero im fx + t sinλt dt fx + 49 λ 2 Procedendo in maniera de tutto anaoga si dimostra che im λ fx + t sinλt Sommando a 49 e a 4 segue enunciato dt fx 4 2 Coroario 42 formua di duaità Sia f L R, di casse C a tratti e sia f a sua trasformata di Fourier Se fξ è tae che fξ fξ + + fξ, aora F[ 2 fξ]x 2πf x In atre paroe, fx 2πf x Dimostrazione Daa formua di inversione si ha: 2πf x fξe i xξ dξ f ξe ixξ dξ fx Lemma 4 di Riemann-Lebesgue Per ogni funzione g L si ha: [a,b] Z b im gx sinλx dx, λ a Z b im gx cosλx dx λ a Per una dimostrazione, che omettiamo, de emma di Riemann-Lebesgue si veda, ad esempio, GC Barozzi, Matematica per Ingegneria de Informazione, Zanichei, proposizione 32- Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore

10 78 44 TRASFORMATE DI FOURIER E DERIVAZIONE CONVOLUZIONI Esempio 46 La trasformata di Fourier di fx troviamo a cacoare integrae Usando a definizione, ci + x2 fξ e ixξ + x 2 dx per cacoare i quae non sono sufficienti tecniche eementari ed è necessario ricorrere aa teoria dei residui cfr 3 La formua di duaità ci permette di aggirare ostacoo e cacoare a trasformata di Fourier di f in maniera più sempice: ne esempio 43 abbiamo visto che a trasformata di Fourier di g P x e x 2 è ĝ P ξ Daa formua di + ξ2 duaità, b fξ x ξ 2ĝP 2 ĝ P ξ πg P ξ πe ξ In definitiva, F + x 2 ξ πe ξ 44 Trasformate di Fourier e derivazione Convouzioni Proposizione 47 trasformata dea derivata Sia f L R una funzione continua, derivabie e tae che f L R La funzione f è trasformabie secondo Fourier e F[f x]ξ iξ fξ Dimostrazione Daa definizione di trasformata, integrando per parti, F[f x]ξ e ixξ f x dx e ixξ fx + iξ e ixξ fx dx Dae ipotesi di regoarità di f i termine finito de integrazione per parti si annua, quindi F[f x]ξ iξ fξ Osservazione 44 La proposizione 46 continua a vaere anche ne caso di funzioni f con derivata sotanto continua a tratti Esempio 47 Cacoare a trasformata di Fourier dea funzione se x < a a + x se a x < g a x a x se x < a se x a a a a per a > Figura 44 La funzione g a x La derivata di g a x è g ax χ [ a,] x χ [,a] x; a parte i segno si tratta proprio dea funzione esaminata ne esempio 44 Quindi, g a b ξ 4i ξ sin2 a 2 ξ Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore

11 44 TRASFORMATE DI FOURIER E DERIVAZIONE CONVOLUZIONI 79 Per scrivere a trasformata di Fourier di g a x è sufficiente, a questo punto, appicare a proposizione 47: ĝ a ξ iξ g a b ξ 4 a ξ 2 sin2 2 ξ, mentre ĝ a a 2 Coroario 43 Se f, f, f n sono funzioni continue e integrabii du R ed f n è continua a tratti ed integrabie su R, aora F [ f n x ] ξ iξ n fξ Inotre, fξ o/ξ n per ξ Proposizione 48 derivata dea trasformata Supponiamo che e funzioni fx e xfx siano integrabii su R Aora a trasformata di Fourier fξ di fx è derivabie e si ha d dξ fξ F [ ixfx] ξ Dimostrazione d dξ fξ d e ixξ fx dx dξ Con quache cacoo si verifica che è possibie derivare sotto integrae Quindi, d dξ e ixξ fx dx e ixξ ixfx dx F [ ixfx] ξ Coroario 44 Supponiamo che a funzione fx L R sia tae che x n fx L R e quindi sia trasformabie secondo Fourier per un certo n > Aora a trasformata di Fourier fξ di fx è derivabie n vote e si ha d n dξ n fξ F [ ix n fx] ξ Se x n fx L R per ogni n N aora fξ C R Esempio 48 Cacoiamo a trasformata di Fourier dea gaussiana fx e x2 Usando a definizione, dovremo cacoare fξ integrae, in generae, non è agevoe; si verifica facimente però che f e x2 dx 2 e x2 +ixξ dx I cacoo di questo e x2 dx π Osserviamo però che f x 2xe x2 2xfx; se passiamo ae trasformate di Fourier di entrambi i membri: [f x] b ξ iξ fξ [xfx] b ξ i [ ixfx] b ξ i d dξ fξ Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore

12 8 44 TRASFORMATE DI FOURIER E DERIVAZIONE CONVOLUZIONI Di conseguenza, fξ è a souzione de probema di Cauchy g ξ + ξ 2 gξ g π Facendo i cacoi, fξ πe ξ 2 /4 ovvero, a trasformate di Fourier di una gaussiana è ancora una gaussiana Definizione 43 Siano f ed f 2 due funzioni integrabii su R Chiamiamo prodotto di convouzione di f ed f 2 espressione f f 2 x f tf 2 x t dt Si può dimostrare per a dimostrazione rimandiamo a testi più specifici che se f, f 2 L R anche f f 2 L R Ha quindi senso parare di trasformata di Fourier di un prodotto di convouzione Proposizione 49 trasformata de prodotto di convouzione Siano f, f 2 L R e sia f f f 2 i oro prodotto di convouzione Aora fξ f f 2 b ξ f ξ f 2 ξ Dimostrazione Daa definizione di prodotto di convouzione: { } fξ e ixξ f sf 2 x s ds dx Si verifica che vagono e ipotesi de teorema di Fubini e quindi che è possibie scambiare ordine di integrazione Quindi, { } fξ e ixξ f 2 x s dx f s ds { } e ixs f s { e ixs f s ds e ix sξ f 2 x s dx } f 2 ξ f ξ f 2 ξ ds Esempio 49 Consideriamo di nuovo a funzione impuso triangoare già vista ne esempio 47 g a x può essere scritta anche in forma di convouzione: g a x χ[ a 2, a 2 ] χ [ a 2, a 2 ] x χ ]sχ [ a 2, a 2 [ a 2, a 2 ]x s ds Passando ae trasformate, posto f x χ [ a 2, a 2 ]x, si ha: Ma f ξ 2 ξ sin a 2 ξ via ĝ a ξ f f x, e quindi fξ f ξ 2 e quindi fξ 4 ξ 2 sin2 a 2 ξ, come era già stato ricavato per atra Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore

13 45 TAVOLE RIASSUNTIVE 8 Coroario 45 Siano f, f 2 L R, di casse C a tratti Se f, f 2 L R, vae uguagianza F [ f xf 2 x ] ξ 2π f f 2 ξ 4 Dimostrazione Daa proposizione 49 scritta per e trasformate di f e f 2 e daa formua di duaità coroario 42, F [ f ξ f 2 ξ ] y f y f2 y 4π 2 f y f 2 y Passiamo ae trasformate di entrambi i membri e poniamo x y: F [ f x f 2 x ] ξ 4π 2 f f 2 b x bξ Si osservi poi che F ξ F [ f x ] ξ; appicando ancora a formua di duaità, F [ f x f 2 x ] ξ 4π 2 f f 2 bx b ξ f 4π 2 f b 2 ξ f 2π f 2 ξ, cioè a 4 45 Tavoe riassuntive Questa sezione è ancora da sistemare; per i momento pensateci da voi Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore

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