La trasformata di Fourier

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1 Capitoo 4 La trasformata di Fourier 4. La trasformata di Fourier come imite dea serie di Fourier Sia f L R). Sviuppiamo f in serie di Fourier ne intervao π, π). Non possiamo dire nua sua convergenza dea serie di Fourier così ottenuta ad esempio, per a convergenza puntuae andrebbe richiesta a continuità dea f) ma possiamo comunque definire i coefficienti di Fourier c ) n π fξ) e in ξ dξ 2π π Se poi indichiamo con f x) a somma dea serie di Fourier di f si ha f x) n fξ) e in ξ. 4.) A meno che a funzione f non sia periodica, niente è garantito sua convergenza dea serie ad f a di fuori de intervao π, π). Se abbiamo intenzione di utiizzare e serie di Fourier per rappresentare andamento dea f su tutto R, più grande scegiamo più grande sarà intervao in cui a serie di Fourier segue andamento dea funzione di partenza. Definizione 4. Si dice supporto di na funzione a chiusura de insieme in cui a funzione è non nua. I supporto di f soitamente si indica con sprtf). Supponiamo per i momento che f sia a supporto compatto ovvero supponiamo che esista un vaore A > tae che fx) per ogni x tae che x > A. Scegiamo abbastanza grande in modo che sprtf) π, π). Poniamo Aora, F ξ) 2π fx)e ixξ dx. c ) n π fξ)e in ξ dξ fξ)e in ξ n ) dξ 2π π 2π F. La serie di Fourier.) può essere scritta come f x) n n ) F e i n x 4.2) 69

2 7 4.. LA TRASFORMATA DI FOURIER COME LIMITE DELLA SERIE DI FOURIER Quest utima può essere interpretata come somma di Riemann approssimazione di un integrae come somma de area di rettangoi) de integrae In atre paroe a.3) è i imite per dea.2). F ξ) e ixξ dξ. 4.3) F n/) n i ξ e e i x ξ Fξ ) ξ n Figura 4. L area de rettangoo ombreggiato è n ) F e i n x. Poiché ξ n/ e dξ /, a.2) è a somma di Riemann de integrae.3). n n+ In base a queste considerazioni possiamo ricavare una maniera per rappresentare tutte e funzioni integrabii su R anche se non periodiche) in maniera simie e serie di Fourier) utiizzata ne capitoo precedente per e funzioni periodiche. Definizione 4.2 Sia f L R), chiamiamo trasformata di fourier di f a funzione fξ) fx) e ixξ dx. Indichiamo inotre con F operatore di trasformazione che ad una funzione f L R) associa a sua trasformata di Fourier; in atre paroe, Ffx))ξ) fξ). Utiizzeremo anche a notazione Ffx))ξ) f) b ξ). L operatore F è definito per tutte e funzioni f L R). Per quanto riguarda immagine di F osserviamo che f) Inotre, e ixξ fx) fx) per ogni ξ, da cui fξ) fx) dx e quindi f) f L R). e ixξ fx) dx f L R) ξ R. Quindi fξ) è una funzione imitata. Inotre, a trasformata di Fourier di una funzione integrabie gode di acune proprietà di regoarità. Ad esempio, se fx) è regoare e a supporto compatto, si può verificare che fξ) e a sua derivata f ξ) sono continue ed integrabii. Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei. Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore.

3 4.2. PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER Proprietà dea trasformata di Fourier Proposizione 4. inearità de operatore di trasformazione) L operatore di trasformazione è ineare: se f, g L R), se a, b R si ha Faf + bg) a Ff) + b Fg); in atri simboi, af + bg) b a f + bĝ. Dimostrazione È una diretta conseguenza dea inearità de integrae. Proposizione 4.2 riscaamento) Sia f L R) e sia c R, c. Aora Ffcx))ξ) fcx)) b ξ) c fξ/c). 4.4) Dimostrazione Sia c >. Poniamo y cx e cambiamo variabie ne integrae che definisce a trasformata di f: fcx)) b ξ) fcx) e ixξ dx Se c <, procedendo in modo anaogo, fcx)) b ξ) fcx) e ixξ dx fy) e iy ξ c fy) e iy ξ c fy) e iy ξ c c dy c dy c fξ/c). c dy c fξ/c). In entrambi i casi i risutato ottenuto è queo dea.4). Osservazione 4. L integrabiità di f non garantisce integrabiità di f. Infatti, se fx) χ [,] x) si ha: { se x > se x Figura 4.2 La funzione χ [,] x). fξ) χ [,] x) e ixξ dx e ixξ dx x iξ e ixξ 2 x ξ e iξ e iξ 2i 2 ξ sinξ). Si noti che mentre fx) L R) atrettanto non si può dire di fξ) dato che sinξ) ξ dξ. Osserviamo infine che quanto descritto non è in contraddizione con e affermazioni fatte aa fine de paragrafo precedente dato che a funzione f non è continua. Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei. Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore.

4 PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER Osservazione 4.2 L operatore di trasformazione F è continuo come operatore da L R) in L R) con L R) indichiamo o spazio dee funzioni imitate per quasi tutti gi x R). Questa proprietà è una conseguenza de fatto che operatore d integrazione è continuo. In atri termini, se f n è una successione di funzioni integrabii convergente ad una certa f ne senso di L, ovvero tae che im n f n f L R), aora f n converge ad f ne senso che im n f n f L R). Stando attenti ad attribuire aa frase i significato appena precisato, possiamo affermare che i imite dee trasformate di Fourier dee f n è a trasformata de imite dee f n. Esempio 4. Cacoiamo a trasformata di Fourier dea funzione fx) χ [a,b] x). Procedendo anaogamente a quanto fatto ne osservazione. si ha: b a se ξ fξ) iξ e iaξ e ibξ ) se ξ. Si noti che fξ) è una funzione continua e tae che im ξ fξ), infatti fξ) < 2/ξ per ξ. Se b a, a trasformata di fx) è 2a se ξ fξ) 2. sinaξ) se ξ ξ A questo risutato saremo potuti arrivare anche in base aa proprietà di riscaamento proposizione.2): osserviamo che χ [ a,a] x) χ [,] x/a) e quindi χ[ a,a] x) ) bξ) χ[,] x/a) ) bξ) a χ[,] x) ) baξ) 2a se ξ ovvero o stesso risutato ottenuto precedentemente per via diretta. a 2 sinaξ) se ξ aξ Esempio 4.2 Cacoiamo a trasformata di Fourier di fx) e x. Procedendo per via diretta, daa definizione di trasformata segue fξ) e x e ixξ dx e x+iξ) dx + e x+iξ) e x iξ) dx + iξ e x+iξ) ) + iξ x+ x ) + ) e x iξ) dx + iξ e x iξ) x ) 2 iξ + ξ 2. x+ Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei. Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore.

5 4.2. PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER 73 Anche in questo caso avremo potuto procedere in maniera aternativa: siano { { e x x f x) x <, f x > 2x) e x x. Aora, fx) f x) + f 2 x) inotre f 2 x) f x). Possiamo cacoare per via diretta f ξ). Sfruttando a proprietà di riscaamento, + iξ fξ) f ξ) + f 2 ξ) f ξ) + ) f ξ f ξ) + f ξ) + iξ + iξ 2 + ξ 2. Proposizione 4.3 Se f L R) aora f è continua ed infinitesima per ξ, cioè im ξ fξ). Dimostrazione Abbiamo visto cfr. esempio.) che a proprietà è vera per e funzioni caratteristiche degi intervai. Per a inearità de operatore di trasformazione vae anche per tutte e oro combinazioni ineari. Se f L R), daa definizione di integrae di Riemann sappiamo che possiamo approssimare f con funzioni a scaini. Sfruttando a proprietà di passaggio a imite dea trasformata segue enunciato. Proposizione 4.4 Sia f L R) e sia fξ) a sua trasformata di Fourier. Aora: i) Se fx) è pari aora fξ) è reae. ii) Se fx) è dispari aora fξ) è immaginaria pura. iii) Se fx) è reae aora f ξ) fξ). Dimostrazione Dimostriamo ad esempio a ii). Supponiamo che fx) f x). Aora fξ) fx)e ixξ dx fx)e ixξ dx + fx)e ixξ dx + 2fx) eixξ + e ixξ 2 fx)e ixξ dx dx 2 fx)e ixξ dx fx) cosxξ) dx R. La i) e a iii) si dimostrano procedendo in maniera anaoga. I dettagi sono asciati per esercizio. Coroario 4. Come banae conseguenza dea proposizione precedente, i) Se f L R) è reae e pari aora fξ) è reae e pari. ii) Se f L R) è reae e dispari aora fξ) è immaginaria pura e dispari. Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei. Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore.

6 PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER Osservazione 4.3 Sia f è a trasformata di Fourier di una funzione f L R). È sempre possibie individuare due funzioni reai a e b tai che fξ) aξ)+ibξ). Se f è una funzione reae, per i coroario precedente aξ) e ibξ) sono rispettivamente e trasformate di Fourier di una funzione reae pari f P x) e di una funzione reae dispari f D x). In definitiva, ogni funzione f L R) può sempre essere scomposta nea somma di una funzione pari e di una funzione dispari: fx) f P x) + f D x) fξ) aξ) + ibξ) fp ξ) aξ) fd ξ) ibξ) Le funzioni f P x) ef D x) prendono i nome di parte pari e parte dispari di f rispettivamente. Esempio 4.3 Consideriamo a funzione di Heaviside: Hx) χ [, ) x). Sia { gx) 2e x 2e x se x Hx). se x < Si verifica facimente che g P x) e x e che g D x) sgnx)e x. Cacoare e trasformate di Fourier di g, g D e g P verificando che ĝ P ξ) R, che ĝ D ξ) è immaginaria pura e che ĝξ) ĝ P ξ) + iĝ D ξ). Facendo i cacoi, ĝξ) 2 e x e ixξ dx 2 x + iξ e x+iξ) 2 + iξ 2 iξ + ξ 2. In base a osservazione.3 concudiamo che ĝ P ξ) Re ĝξ)) 2 + ξ 2, ĝ Dξ) i Im ĝξ)) 2iξ + ξ 2. x La verifica di questo risutato per via diretta è asciata a ettore. Proposizione 4.5 di trasazione o di ritardo) Sia f L R) e sia f a sua trasformata di Fourier. Se x R, a funzione fx x ) è trasformabie secondo Fourier ed ha ixξ come trasformata e fξ). Dimostrazione Poniamo y x x ; aora F[fx x )]ξ) e ixξ fx x ) dx e ixξ e ix x)ξ fx x ) dx e ixξ e iyξ fy) dx e ix ξ fξ). Esempio 4.4 Cacoiamo a trasformata di Fourier di { se a x < fx). se x a Scriviamo f conveniente: vedi figura.3) in una forma più fx) χ [ a,] x) + χ [,a] x) χ [ a 2, a 2 ] x + a 2 ) + χ [ a 2, a 2 ] x a 2 ). a Figura 4.3 a Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei. Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore.

7 4.3. INVERSIONE DELLA TRASFORMATA DI FOURIER 75 Da osservazione. sappiamo che [ ] bξ) χ[,] x) sin ξ) 2. ξ per a proposizione.2: per a proposizione.5: ancora per a proposizione.5: [ χ[ a,a] x) ] bξ) 2 sin aξ) ξ [ χ[ a,a] x + a )] bξ) 2 2 ξ eiξ a 2 sin aξ) [ χ[ a,a] x a )] bξ) 2 2 ξ e iξ a 2 sin aξ) Infine, sommando e utime due espressioni: fξ) 2 ξ sin aξ) { e iξ } a 2 e iξ a 4i 2 ξ sin2 aξ). Proposizione 4.6 di prodotto per un esponenziae) Sia f L R) e sia f a sua trasformata di Fourier. Per ogni ξ R a funzione e iξx fx) è trasformabie secondo Fourier e a sua trasformata è fξ ξ ). Dimostrazione Osserviamo innanzitutto che e iξx fx) fx) e quindi che e iξx fx) L R). e iξ x fx) ) b ξ) e iξx fx)e ixξ dx e ixξ ξ) fx) dx fξ ξ ). Esempio 4.5 Possiamo sfruttare a.6 per cacoare e trasformate di Fourier di funzioni dea forma fx) cosξ x) o dea forma gx) fx) sinξ x). Dae formue??), [fx) cosξ x)] b ξ) 2 Anaogamente, [fx) sinξ x)] b ξ) 2i [ e iξ x + e iξx )fx) ] b ξ) fξ ξ ) + 2 fξ + ξ )). [ e iξ x e iξx )fx) ] b ξ) fξ ξ ) 2i fξ + ξ )). 4.3 Inversione dea trasformata di Fourier Quando abbiamo introdotto a trasformata di Fourier abbiamo definito a funzione F ξ) 2π per poi scrivere a serie di Fourier di f come fξ) n fx)e ixξ dx ei n x F n/) Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei. Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore.

8 INVERSIONE DELLA TRASFORMATA DI FOURIER ed osservare che passando a imite per assume a forma F ξ)e ixξ dx 4.5) Abbiamo poi definito a trasformata di Fourier mediante a formua fξ) 2πF ξ). Questo procedimento suggerisce di utiizzare a.5) per ottenere una formua di inversione per a trasformata di Fourier. Dimostreremo che fx) 2π fξ)e ixξ dx. Teorema 4. formua di inversione dea trasformata di Fourier) Sia f L R) una funzione di casse C a tratti, eventuamente modificata in modo che fx) fx + ) + fx ) 2 per ogni x R. Sia fξ) a trasformata di Fourier di f. Aora fx) 2π v.p. fξ)e ixξ dξ λ 2π im fξ)e ixξ dξ. 4.6) λ λ Con v.p. abbiamo indicato i vaore principae de integrae, definito da imite che compare nea.6). Dimostrazione Per prima cosa cacoiamo λ fξ)e ixξ dξ λ { } ft)e iξt dt e ixξ dξ. 2π λ 2π λ Per poter scambiare ordine di integrazione dobbiamo verificare che a funzione t, ξ) ft)e iξt x) sia L R). Questo però è vero poiché e iξt x) e che f L R). Quindi, λ fξ)e ixξ dξ ft) λ e iξt dξ 2π λ 2π 2π λ sinλt x)) ft) dt ξ) fx + t) sinλt) dt + fx + t) sinλt) fx + t) sinλt) Facciamo vedere che quando λ i primo integrae tende a 2fx+) mentre i secondo tende a 2fx ). Per far questo si osservi che dt. dt e che I fx + t) sinλt) sinλt) dt sinλt) dt 2 dt 2 fx + ) [fx + t) fx + )] sinλt) dt. 4.7) Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei. Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore.

9 4.3. INVERSIONE DELLA TRASFORMATA DI FOURIER 77 Dimostreremo che quest utimo integrae tende a zero per λ. Sia T >, scomponiamo I in tre parti ne modo seguente I T fx + t) fx + ) sinλt) dt + T T fx + t) sinλt) fx + ) sinλt) ed indichiamo con I, I 2, I 3 i tre addendi a secondo membro dea.8); si ha I 2 fx + t) dt, I 3 fx + ) sinλt) π dt T T dt dt. 4.8) poiché f L R) e per a.7), per ogni ε > esitste T ε > tae che per ogni T > T ε, I 2 < ε e I 3 < ε. Quindi, T fx + t) fx + ) I 2ε + sinλt) dt. fx + t) fx + ) gt) L [, T ]); per i emma di Riemann-Lebesgue, I se λ. In definitiva, se fissiamo T > T ε e passiamo a imite per λ nea.8), I ovvero im fx + t) sinλt) dt fx + ). 4.9) λ 2 Procedendo in maniera de tutto anaoga si dimostra che im λ fx + t) sinλt) Sommando a.9) e a.) segue enunciato. dt fx ). 4.) 2 Coroario 4.2 formua di duaità) Sia f L R), di casse C a tratti e sia fhat a sua trasformata di Fourier. Se fξ) è tae che fξ) fξ + ) + fξ ), aora F[ 2 fξ)]x) 2πf x). In atre paroe, fx) 2πf x). Dimostrazione Daa formua di inversione si ha: 2πf x) fξ)e i x)ξ dξ f ξ)e ixξ dξ fx). Lemma 4. di Riemann-Lebesgue) Per ogni funzione g L si ha: [a,b] Z b im gx) sinλx) dx, λ a Z b im gx) cosλx) dx. λ a Per una dimostrazione, che omettiamo, de emma di Riemann-Lebesgue si veda, ad esempio, G.C. Barozzi, Matematica per Ingegneria de Informazione, Zanichei, proposizione Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei. Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore.

10 TRASFORMATE DI FOURIER E DERIVAZIONE. CONVOLUZIONI Esempio 4.6 La trasformata di Fourier di fx) troviamo a cacoare integrae. Usando a definizione, ci + x2 fξ) e ixξ + x 2 dx per cacoare i quae non sono sufficienti tecniche eementari ed è necessario ricorrere aa teoria dei residui cfr.??). La formua di duaità ci permette di aggirare ostacoo e cacoare a trasformata di Fourier di f in maniera più sempice: ne esempio.3 abbiamo visto che a trasformata di Fourier di g P x) e x 2 è ĝ P ξ). Daa formua di + ξ2 duaità, ) b fξ) x) ξ) 2ĝP 2 ĝ P ξ) πg P ξ) πe ξ. ) In definitiva, F + x 2 ξ) πe ξ. 4.4 Trasformate di Fourier e derivazione. Convouzioni Proposizione 4.7 trasformata dea derivata) Sia f L R) una funzione continua, derivabie e tae che f L R). La funzione f è trasformabie secondo Fourier e F[f x)]ξ) iξ fξ). Dimostrazione Daa definizione di trasformata, integrando per parti, F[f x)]ξ) e ixξ f x) dx e ixξ fx) + iξ e ixξ fx) dx. Dae ipotesi di regoarità di f i termine finito de integrazione per parti si annua, quindi F[f x)]ξ) iξ fξ). Osservazione 4.4 La proposizione.6 continua a vaere anche ne caso di funzioni f con derivata sotanto continua a tratti. Esempio 4.7 Cacoare a trasformata di Fourier dea funzione se x < a a + x se a x < g a x) a x se x < a se x a a a a per a >. Figura 4.4 La funzione g a x). La derivata di g a x) è g ax) χ [ a,] x) χ [,a] x); a parte i segno si tratta proprio dea funzione esaminata ne esempio.4. Quindi, g a) b ξ) 4i ξ sin2 aξ). Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei. Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore.

11 4.4. TRASFORMATE DI FOURIER E DERIVAZIONE. CONVOLUZIONI 79 Per scrivere a trasformata di Fourier di g a x) è sufficiente, a questo punto, appicare a proposizione.7: ĝ a ξ) iξg a) b ξ) 4 ξ 2 sin2 aξ). Coroario 4.3 Se f, f, f n ) sono funzioni continue e integrabii du R ed f n) è continua a tratti ed integrabie su R, aora F [ f n) x) ] ξ) iξ) n fξ). Inotre, fξ) o/ξ n ) per ξ. Proposizione 4.8 derivata dea trasformata) Supponiamo che e funzioni fx) e xfx) siano integrabii su R. Aora a trasformata di Fourier fξ) di fx) è derivabie e si ha d dξ fξ) F [ ix)fx)] ξ). Dimostrazione d dξ fξ) d e ixξ fx) dx. dξ Con quache cacoo si verifica che è possibie derivare sotto integrae. Quindi, d dξ e ixξ fx) dx e ixξ ix)fx) dx F [ ix)fx)] ξ). Coroario 4.4 Supponiamo che a funzione fx) L R) sia tae che x n fx) L R) e quindi sia trasformabie secondo Fourier) per un certo n >. Aora a trasformata di Fourier fξ) di fx) è derivabie n vote e si ha d n dξ n fξ) F [ ix) n fx)] ξ). Se x n fx) L R) per ogni n N aora fξ) C R). Esempio 4.8 Cacoiamo a trasformata di Fourier dea gaussiana fx) e x2. Usando a definizione, dovremo cacoare fξ) integrae, in generae, non è agevoe; si verifica facimente però che f) e x2 dx 2 e x2 +ixξ dx. I cacoo di questo e x2 dx π. Osserviamo però che f x) 2xe x2 di entrambi i membri: 2xfx) e passiamo ae trasformate di Fourier [f x)] b ξ) iξ fξ) [xfx)] b ξ) i [ ix)fx)] b ξ) i d dξ fξ) Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei. Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore.

12 TRASFORMATE DI FOURIER E DERIVAZIONE. CONVOLUZIONI Di conseguenza, fξ) è a souzione de probema di Cauchy g ξ) + ξ 2 gξ) g). π Facendo i cacoi, fξ) πe ξ 2 /4 ovvero, a trasformate di Fourier di una gaussiana è ancora una gaussiana. Definizione 4.3 Siano f ed f 2 due funzioni integrabii su R. Chiamiamo prodotto di convouzione di f ed f 2 espressione f f 2 )x) f ξ)f 2 x t) dt Si può dimostrare per a dimostrazione rimandiamo a testi più specifiche se f, f 2 L R) anche f f 2 ) L R). Ha quindi senso parare di trasformata di Fourier di un prodotto di convouzione. Proposizione 4.9 trasformata de prodotto di convouzione) Siano f, f 2 L R) e sia f f f 2 i oro prodotto di convouzione. Aora fξ) f f 2 ) b ξ) f ξ) f 2 ξ). Dimostrazione Daa definizione di prodotto di convouzione: { } fξ) e ixξ f s)f 2 x s) ds dx. Si verifica che vagono e ipotesi de teorema di Fubini e quindi che è possibie scambiare ordine di integrazione. Quindi, { } fξ) e ixξ f 2 x s) dx f s) ds { } e ixs f s) { e ixs f s) ds e ix s)ξ f 2 x s) dx } f 2 ξ) f ξ) f 2 ξ). ds Esempio 4.9 Consideriamo di nuovo a funzione impuso triangoare già vista ne esempio.7. g a x) può essere scritta anche in forma di convouzione: g a x) χ[ a 2, a 2 ] χ ) [ a 2, a 2 ] x) χ ]s)χ [ a 2, a 2 [ a 2, a 2 ]x s) ds. Passando ae trasformate, posto f x) χ [ a 2, a 2 ]x), si ha: Ma f ξ) 2 ξ sin a 2 ξ ) via. ĝ a ξ) f f )x), e quindi fξ) f ξ)) 2. e quindi fξ) 4 ξ 2 sin2 a 2 ξ ), come era già stato ricavato per atra Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei. Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore.

13 4.5. TAVOLE RIASSUNTIVE Tavoe riassuntive Questa sezione è ancora da sistemare; per i momento pensateci da voi... Questo documento è disponibie gratuitamente a indirizzo mugei. Sono vietate a vendita e distribuzione non espressamente autorizzate da autore.

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15 Indice La trasformata di Fourier. La trasformata di Fourier come imite dea serie di Fourier Proprietà dea trasformata di Fourier Inversione dea trasformata di Fourier Trasformate di Fourier e derivazione. Convouzioni Tavoe riassuntive