SISTEMI DI NUMERAZIONE

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1 Università degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Ingegneria Medica SISTEMI DI NUMERAZIONE Come nei calcolatori sono rappresentati i numeri

2 Numeri I numeri rappresentano il modo simbolico per descrivere su un supporto qualunque valori quantitativi. Fin dall antichità gli esseri umani hanno avuto bisogno di quantificare cose e gli eventi. Anche gli animali hanno un loro modo di quantificare e qualificare Ci sono popolazioni che ancora usano solo rappresentazioni limitate a piccoli valori Molte popolazioni hanno ideato proprie modalità di rappresentazione delle quantità Slide 2 di 72

3 Numerale è una stringa di simboli che rappresentano un numero Numerali 124 BF189 AH MCMLXXXVIII (1988) Il valore non è definibile se non si conoscono le regole che sono state definite per le modalità di rappresentazione NUMERI Maya - Babilonesi - Egizi - Etruschi Sistemi additivi e sistemi posizionali Slide 3 di 72

4 Numerazione Maya Slide 4 di 72

5 Numerazione Babilonese Slide 5 di 72

6 Numerazione Egizia Slide 6 di 72

7 SISTEMI ADDITIVI Sono basati su un set di simboli base Sistemi di numerazione Il valore del numero risulta dalla somma o differenza di una sequenza di tali simboli posizionati in modo opportuno Nella rappresentazione è insita una operazione matematica non costante Risulta a volte impossibile rappresentare tutti i numeri Per i Maya ci sono 20 simboli base costituiti da 3 ripetuti Per i Babilonesi 60 costituiti da 2 simboli ripetuti Per i romani i simboli base sono 7 (I V X L C D M) Slide 7 di 72

8 Sistemi di numerazione NUMERAZIONE ROMANA I II III IV V VI VII simboli usati e loro peso I uno V cinque X dieci L cinquanta C cento D cinquecento M mille Il simbolo può avere valore positivo o negativo a secondo che preceda un simbolo minore o uguale oppure segua un simbolo di peso maggiore. IV (4=-1+5) VI (6=5+1) XL (40=-10+50) LX (60=50+10) Poi ci sono altre regole.. Slide 8 di 72

9 NUMERAZIONE ROMANA M CM LXXX VIII (1988) M = 1000 CM = 900 ( ) LXXX = 80 ( ) VIII = 8 ( ) Sono presenti vari settori Settore unità da I a IX (da 1 a 9) Settore decine da X a XCIX (da 10 a 99) Settore centinaia da C a CM (da 100 a 999) Settore migliaia da M a MMMCM (da 1000 a 3999) IV = IV *1000= 4000 L = L *1000 = Slide 9 di 72

10 SISTEMI POSIZIONALI o Arabi Sistemi di numerazione Vi troviamo due condizioni fondamentali: 1 - E definito un insieme di simboli base 2 - Ad ogni simbolo è associato un peso, che NON cambia mai. Il valore del numero è funzione del valore assegnato al simbolo e della posizione in cui il simbolo stesso si trova nel numerale SIMBOLOGIA della CIFRA decimale Slide 10 di 72

11 Criterio di rappresentazione-numeri Naturali Il peso di ogni singolo simbolo è relazionato al precedente ed al successivo dall aggiunta o dalla sottrazione del peso unitario = 4 = precede 5 segue Giunti all ultimo simbolo si ricomincia dal primo simbolo con il riporto di una unità nella PRIMA colonna a sinistra (incremento di significatività) = 0 con il riporto di 1 = = 0 con il riporto di 1 che sommato a 1(decine) da 2(decine) = 20 e così via fino a = 0 unità con il riporto di 1(decine) che sommato a 9 da 0 con il riporto di 1(centinaia) = 100 Slide 11 di 72

12 Sistema decimale 24 D = 2x10 (1) + 4x10 (0) = Rappresentazioni numeriche 4735 D = 4x10 (3) + 7x10 (2) + 3x10 (1) + 5x10 (0) = La costruzione di un qualsiasi numero può essere effettuata aggiungendo allo 0 più a destra l unità tenendo presente che ogni volta che si arriva a 9, l ulteriore valore è dato dall aggiunta (riporto) nella colonna a sinistra di 1 e riazzerando il simbolo a destra. Esempio: migliaia centinaia decine unità Perché gli uomini hanno scelto un sistema decimale! Perché hanno 10 dita! Slide 12 di 72

13 Sistema decimale-numeri Naturali Tutti gli infiniti valori interi positivi sono ottenuti da combinazioni ordinate di un numero definito di cifre. Ogni singola cifra assume quindi un peso nel numero, che è funzione della sua posizione D = 7* * * * D = 4* * * * D = 3* * * * *10 0 Slide 13 di 72

14 SISTEMI DI NUMERAZIONE RIPORTO 1 ma con errore OVERFLOW Slide 14 di 72

15 Realizziamo ora, come esempio una nostra base numerica del tutto arbitraria formata da solo 3 simboli & di peso 0 $ di peso 1 di peso 2 Numerazione ternaria Base 3 Base 10 scriviamo i valori che possiamo rappresentare con quattro cifre partendo da zero si ottiene la seguente tabella dove nella colonna di sinistra è rappresentato il numero espresso con la nostra base ternaria, mentre nella colonna di destra il numero espresso in base decimale Slide 16 di 72

16 L elettronica nel calcolo Elettronicamente si possono realizzare dispositivi in grado di effettuare operazioni matematiche. Dispositivi analogici Sommatore Amplificatore Integratore Derivatore Moltiplicatore Questa tecnologia è però imprecisa e risente in modo pesante di varie condizioni al contorno Alimentazione, temperatura, rumore elettromagnetico, caratteristiche dei singoli componenti nel tempo. Slide 17 di 72

17 Rappresentazione Binaria Anche i calcolatori sono realizzati con tecnologie elettroniche ma le modalità con cui rappresentano le informazioni sono diverse. I circuiti che li compongono vengono fatti funzionare come interruttori elementari, dando così luogo a due soli stati possibili circuito APERTO o CHIUSO 0 o 1 Falso o Vero Dato che si tratta di una convenzione potremmo stabilire la corrispondenza 0=Chiuso 1=Aperto 0 = Vero 1=Falso V grd cc Slide 18 di 72 10

18 Rappresentazione Binaria Questa condizione può essere sfruttata per definire una base di numerazione diversa da quella decimale con una base di due soli simboli che possiede le stesse proprietà e segue le stesse regole dell algebra. Con opportuni insiemi di interruttori e circuiti adeguati si possono Rappresentare e memorizzare i numeri e altro Rappresentare funzioni da eseguire Slide 19 di 72

19 Nel sistema binario il set di simboli base è composto solo da 0 e 1 Utilizzando ad esempio una combinazione di 4 cifre binarie ( interruttori ) Perché i computer adottano un sistema binario! Rappresentazione Binaria Perché un circuito può avere 2 soli stadi stabili aperto o chiuso! ottine quattrine duine Decimale unità Slide 21 di 72

20 Rappresentazione Binaria Il valore della combinazione sarà allora : 1011 B 1* * * *2 0 = B binario = 11 D decimale Così come per il sistema decimale, possiamo stabilire di lavorare con un numero prefissato di cifre 999 tre cifre cinque cifre 9 una cifra La singola cifra prende il nome di BIT (Binary Digit) Slide 22 di 72

21 Rappresentazione Binaria Con 4 cifre decimali si conta da 0 a 9999 avendo a disposizione combinazioni Con k cifre a disposizione posso rappresentare (10 k ) numeri e si conta da 0 a (10 k -1) Con 4 cifre binarie si conta da 0 a 1111 (15 D ) avendo a disposizione 16 combinazioni (2 4 ) Con 8 cifre binarie da 0 a (255 D ) avendo a disposizione 256 D combinazioni (2 8 ) Con k cifre a disposizione posso rappresentare (2 k ) numeri e si conta da 0 a (2 k -1) Slide 23 di 72

22 Ripetizione dei simboli OTTINE QUATTRINE DUINE Slide 24 di 72

23 Numero di rappresentazioni Con 4 bit si ottengono 16 diverse configurazioni 2 4 Il quesito può essere posto anche in modo diverso Se ho bisogno di disporre fino a K (configurazioni o K-1 valori) quante cifre binarie devo utilizzare? Dato che 2 4 = 16 2 n = K n >= log 2 K (parte intera superiore di) n, numero di cifre binarie necessarie per rappresentare un determinato valore decimale K K= log 2 K = 19, cifre binarie (bit) n = Log 2 (10 D ) (D-1 cifre decimali rappresentabili) Slide 25 di 72

24 Conversione Decimale - Binario La conversione da decimale a base 2 si attua attraverso divisioni successive per due ed utilizzando la presenza del resto (intero superiore del decimale), per costruire la sequenza di BIT. 73 D 73 / 2 = 36,5 resto 1 1+ LSB 36 / 2 = 18 no resto 0 18 / 2 = 9 no resto 0 9 / 2 = 4,5 resto 1 4 / 2 = 2 no resto 0 2 / 2 = 1 no resto 0 1 / 2 = 0,5 resto 1 0 = fine ( ) MSB Slide 26 di 72

25 Codifica Ottale La numerazione ottale, base 8 (otto simboli pesati) per rappresentare in modo più sintetico i numeri binari. Pensiamo a come rappresentiamo i numeri decimali XXX.XXX.XXX.XXX,XXX ottale ottale ottale ottale Slide 27 di 72

26 Codifica Esadecimale La numerazione esadecimale base 16 (sedici simboli pesati) nasce per la necessità di rappresentare un numero binario di 4 cifre, con un unico simbolo pesato, i 6 pesi che hanno valori superiori al 9, dal 10 al A B C D E F Slide 28 di 72

27 Posizione delle cifre e peso / Codifica 8 cifre Decine M Unità M Centin. K Decine K Unità K Centinaia Decine Unità BINARIO 128-ine 64-ine 32-ine 16-ine Ottine Quattrine Duine Unità OTTALE ine 8 7 ine ine 4096-ine 512-ine 64-ine Ottine Unità ine 64-ine 32-ine 16-ine Ottine Quattrine Duine Unità ESADECIMALE ine ine ine ine ine 256-ine 16-ine Unità Slide 29 di 72

28 Numerazione Esadecimale Un numero esadecimale è composto dai 10 simboli numerici e da 6 lettere che assumo pesi da 10 a 15 per un totale di 16 diversi simboli Così il numero base 16 A3CD H = A* * C* D*16 0 = = 10* * * *1 = È uguale al numero base 10 Dec, 8 Ottale, 2 Bin A3CD H A3CD H = D = O A3CD H = B Calcolatrice Slide 30 di 72

29 Conversione Decimale - Esadecimale La conversione da decimale a base 16 si attua attraverso divisioni successive per sedici prelevando il resto simboli pesati. 895 D quoziente parte intera 895 / 16 = 55 resto = 15 (895-55*16) F LSB 55 / 16 = 3 resto = 7 (55-16*3) 7 3 / 16 = 0 resto = 3 3 MSB 0 = fine (3 7 F) 3*16^2 + 7*16^1 + F = = 895 Slide 31 di 72

30 Numerici Codifica dei dati Tipologia dei dati Numeri naturali interi razionali - irrazionali 0,1,2,3,4,5,. ; -5,-4,-3,,0,1,2,3,4,5,.; ½ ; ¼, 1/8, 1/10 \ 1/3 0,5 ; 0,25 ; 0,125 ; 0,1 ; \ 0,3333 ; Pgreco Non numerici (Alfabetici o Alfanumerici) A a B b C c é ì ~ Š µ ä { } Й П, 00150, Codifica di informazioni complesse (giorni settimana, mesi anno, patologie,..) Istruzioni +, -, *, /, carica, deposita, trasferisci, confronta, salta, salta su condizione,.. Slide 32 di 72

31 Rappresentazione a numero finito di bit Nell utilizzo dei sistemi informatizzati è di questione fondamentale stabilire il numero di bit (cifre) da utilizzare per la rappresentazione dei numeri. Tale numero di bit ci permette di stabilire il massimo \ minimo valore rappresentabile per rilevare le condizioni di errore di OVERFLOW \ UNDERFLOW Slide 33 di 72

32 Errori di rappresentazione Numeri a precisione finita numero di cifre stabilite es. 2 es. numero di cifre definito a priori (es. 2) = 03? (103) errore chiusura o overflow) 0,33-1/3 = 0, errore di underflow) Associazione nelle operazioni (Proprietà associativa) =? 70+(80-60)= = 90 (70+80)-60 = = -10 Errori di arrotondamento / troncamento È possibile rappresentare esattamente un numero decimale? SI - Se la parte decimale è multiplo di frazioni di 2 fino al numero di bit che uso per la rappresentazione binaria multiplo di ½ per 1 bit o ¼ per 2 bit o 1/8 per 3 bit etc Slide 34 di 72

33 Rappresentazione dei decimali I decimali si rappresentano con lo stesso criterio posizionale con cui rappresentiamo gli interi. S 2 * S 1 * S 0 *10 0 +S -1 *10-1 +S -2 *10-2 +S -3 *10-3 (D) (B) ½ ¼ 1/8 1/16.. 0,5 0,25 0,125 0, ,1011 B = ,5 + 0, ,0625 5,6875 D Rappresentazione in virgola fissa esempi Slide 35 di 72

34 Pesi cifre binarie Slide 36 di 72

35 Numeri interi I numeri interi sono l estensione ai valori negativi dei numeri naturali Si rappresentano con il segno (meno) davanti al numero Per i numeri espressi in binario scritto su carta non ci sono problemi è la stesso meccanismo, ma (pensiamo al supporto elettronico) Rappresentazione con bit di segno + = 0 - = 1 Rappresentazione complemento ad 1 (obsoleto) Rappresentazione complemento a 2 Slide 37 di 72

36 Rappresentazione con bit di segno 1 bit in più Se usiamo 5 bit, 1 bit per il segno e 4 bit per il numero Intervallo [-15, +15] È poco usata per l elevata complessità della circuiteria da realizzare Doppia rappresentazione dello zero Slide 38 di 72

37 Rappresentazione complemento a 1 Se usiamo 4 bit, 1 bit per il segno e 3 bit per il numero Intervallo [-7, +7] Per cambiare di segno si complementa bit a bit Doppia rappresentazione dello zero [-2 n-1 +1, +2 n-1-1] Il complemento si ottiene cambiando 0 in 1 e 1 in 0 per ogni cifra binaria 0101 complementato ad Slide 39 di 72

38 Rappresentazione complemento a 2 I valori negativi sono ottenuti complementando il valore positivo e sommando 1 Con 4 bit (1+3) Intervallo [-8, +7] UNICA rappresentazione dello zero [-2 n-1, +2 n-1-1] Slide 40 di 72

39 Rappresentazione complemento a 2 Intervallo più esteso di una unità Intervallo asimmetrico Intervallo [-8, +7] Il segno è associato alla sola cifra più significativa Si rappresentano i numeri (-2 n-1 +2 n ) Esempio complem = = = *(-2 3 )+ 0*(2 2 )+ 1*(2 1 ) +0*(2 0 ) = = -6 Slide 41 di 72

40 Interpretazione grafica numeri negativi Numeri reali positivi Con la codifica in C'2 ottiene una rappresentazione dei numeri negativi come continuazione rettilinea passante per lo 0 Negativi segnati Negativi C 1 e C 2 Slide 42 di 72

41 Operazioni algebriche Somma A+B+C+D+E = Risultato A+B=x x+c=y y+d=z z+e=r Sottrazione A-B-C-D=Risulatato A-(B+C+D) = Risultato B+C=x x+d=y A-y=R Moltiplicazione A * B = Risultato A+A+A+A+A+A.B volte = Risultato B+B+B+B+B..A volte = Risultato oppure. Divisione A / B = Risultato (procedura con somme e sottrazioni) Slide 43 di 72

42 Moltiplicare o dividere per la base In base 10 moltiplicare per 10 equivale ad effettuare lo spostamento di tutte le cifre di una posizione verso sinistra mentre dividere equivale a uno spostamento verso destra In base 2 vale la stessa regola quando si moltiplica o divide per potenze di 2 base 10 con 5 cifre cifra 4 cifra 3 cifra 2 cifra 1 cifra x / x 100 Errore Overflow / 100 base 2 con 5 cifre x / x 4 Errore Overflow / 4 Slide 44 di 72

43 in decimale Moltiplicare e dividere per la base /10 = /10 = 1234 /10 = *10 = 1230 *10 = 12300*10= Le cifre vengono spinte di una posizione verso destra se divido mentre vengono spinte verso sinistra se moltiplico In binario accade lo stesso Num B / /10 = /10 = *10 = *10 = Da 6 cifre a 3 Da 3 cifre a 6 Da 6 cifre a 4 Da 4 cifre a 6 Attenzione agli errori di troncamento Slide 45 di 72

44 Regole della somma: 0+0 = = 1 Operazione somma 1+0 = = 1 con riporto di 1 Le operazioni di somma possono aver bisogno di 1 bit in più (una cifra più significativa) Sommare i due numeri e a 5 bit riporti = 30 = (21) 53 con il 6 bit 21 con cinque bit Slide 46 di 72

45 Operazioni-Somma Le operazioni matematiche nel sistema binario si eseguono con le identiche modalità del sistema decimale Errore di overflow su numeri definiti positivi OVERFLOW 173 D 101 D 274 D 274 D > 255 D Slide 47 di 72

46 Operazioni prodotto Le operazioni di prodotto possono aver bisogno di 2n bit dove n è il numero bit stabiliti per la rappresentazione Moltiplicare i due numeri 111 e 011 a 3 bit * = * 3 = 21 Moltiplicare i due numeri 111 e 111 a 3 bit 7 * 7 = 49 3 bit = = Risultato 6 bit Slide 48 di 72

47 Regole della sottrazione: 0-0 = = = = 1 con prestito di 1 Sottrazione Le operazioni di sottrazione possono aver bisogno di 1 bit in più per il prestito Slide 49 di 72

48 Operazioni - sottrazione I numeri naturali non ammettono i negativi non è possibile sottrarre un valore più piccolo ad uno più grande Il minuendo deve essere sempre maggiore del sottraendo per non avere la condizione di overflow che porta con se il segno 15 6 = prestiti = prestiti ( ) 13 6 = prestiti Se non ho definito i numeri negativi il suo valore è sbagliato Slide 50 di 72

49 A B=C La sottrazione prevede un minuendo A un sottraendo B un risultato differenza C 9 4 = = 1 5 Sottrazione svolta come somma Lo stesso risultato si ottiene sommando il minuendo A al complemento del sottraendo B alla base numerica ed eliminando il riporto Complemento a 9 o a 2 6 è il complemento a 10 di (+1) = 3+1 = = = è il complemento a 10 di (+1) = 1+1 = 2 Slide 52 di 72

50 Complemento nella numerazione decimale = C' 9 (9-7) (9-8) (9-9) +1 = = = Se il minuendo è maggiore del sottraendo = ( )= - (+108) 722 C' 9 (9-7) (9-2) (9-2) +1 = =278 - ( ) = -(1 108) Slide 53 di 72

51 Sottrazione Nella numerazione binaria effettuare il complemento a due equivale a trasformare gli 1 in 0 e gli 0 in 1 e sommare 1 al risultato B (11 D ) il suo C2s è B + 1 B = B (-11 D ) Operazione da svolgere decimale Operazione svolta in complemento con base 10 Operazione da svolgere binario Complemento a 2 del sottraendo Operazione svolta in complemento con base 9 6 = (3+1) = = (1001+1) 1010 c' = = (87+1) = = ( ) c' = Slide 54 di 72

52 Numerali Un numerale è una stringa di cifre (sequenza di simboli) che può rappresentare un numero solo se viene specificata la base. Lo stesso numerale può rappresentare più valori se considerato scritto su basi numeriche diverse base centouno mila centodieci in decimale Valore decimale se. 46 D se letto come binario naturale -17 D se letto in complemento a 1-18 D se letto in complemento a D se letto in ottale D se letto in esadecimale Slide 55 di 72

53 Conversioni tra basi numeriche diverse La conversione tra basi numeriche diverse si può eseguire utilizzando la formula standard già vista in precedenza: Indicando con S il simbolo della base di origine, con c il valore del simbolo nella base di destinazione, con B valore nella base di destinazione: (S n-1 S n-2.. S 2 S 1 S 0 ) D = c n-1 x B n-1 + c n-2 x B n c 1 x B 1 + c 0 x B D = 5 x x x 10 0 base D = 101 x x x base D = 101 x x x D = D = dieci bit di codifica Slide 56 di 72

54 Slide 57 di 72 Conversioni tra basi numeriche diverse Osserviamo la relazione c n-1 x B n-1 + c n-2 x B n c 1 x B 1 + c 0 x B 0 c n-1 x B n-1 + c n-2 x B n c 1 x B 1 + c 0 x 1BcBxc.BxcBxc0112-n2-n1-n1-n Bcc.BxcBxc013-n2-n2-n1-n I resti C 0 C 1 C 2 C n-1 sono i valori da assegnare alla colonna i-esima del numero nella base B Ad ogni ripetizione il resto rappresenta il valore per quella cifra nella nuova base 1 n -3 n -2 n -2-1 n c.. B c B c Procedendo con divisioni successive con il divisore pari alla base B

55 Conversioni tra basi numeriche diverse Esempio: 439 D da convertire in binario Slide 58 di 72

56 Conversioni tra basi numeriche diverse Esempio: 573 D da convertire in ottale Slide 59 di 72

57 Conversioni tra basi numeriche diverse Esempio: 573 D da convertire in esadecimale Slide 60 di 72

58 Conversioni tra basi numeriche diverse Esempio: 6837 D da convertire in esadecimale Slide 61 di 72

59 Complessi ( 7 + 4i) Rappresentazioni numeriche Nell ambito dei numeri abbiamo la necessita di rappresentare numeri diversi dagli interi che sono un sottoinsieme di.. Reali Razionali (1/2, 3/4, 7/8) Interi (4,11,93) Di quante cifre abbiamo bisogno? 3, oppure 3,14 oppure 3, cifre 3 cifre 5 cifre Dove si trova la virgola? Slide 62 di 72

60 Rappresentazione in virgola mobile (floating point) Risulta molto spesso più agevole rappresentare i numeri in formato diverso (normalizzato); in particolare con la virgola nella prima posizione utile a rappresentare un certo numero di cifre. La virgola viene spostata fintantoché la cifra delle unità è 0 (rappresentazione scientifica) mentre la prima cifra decimale è la cifra più significativa del numero, il tutto moltiplicato per una potenza di 10 elevata al numero di passi di cui si è spostata la virgola. Esponente con segno positivo quando si sposta verso sinistra, negativo quando si sposta verso destra 3726,567 = 3, * 10 3 oppure Mantissa Esponente Mantissa Esponente 0, * 10 4 Slide 63 di 72

61 Rappresentazione in virgola mobile (floating point) D 0, D - 0, D x 10 7 D 0, D x 10-5 D segno negativo segno positivo mantissa mantissa 7 esponente positivo -5 esponente negativo Slide 64 di 72

62 Rappresentazione in virgola mobile Lo stesso vale per la numerazione binaria tutti i numeri sono espressi in base ,01 B 0, B 0, dec x 2-3 0, dec - 0, B x 10 B 101 (5) 0, B x 10 B 1101 Complemento a 2 1, B 0, B 1 segno - 0 segno B mantissa B mantissa 101 (5) esponente positivo 1101 (-3) esponente negativo Slide 65 di 72

63 Numero di bit per le rappresentazioni Numeri in singola precisione 32 bit 24 per la mantissa il primo con segno 8 per l esponente di cui il primo è il segno Si rappresentano i numeri tra e e bit mantissa 0 7 bit esponente Modello ISO (internationl Organization for Standardization) OSI (Open System Interconnection protocols) e standard IEEE segno 8 bit esponente 23 bit mantissa Rappresentazione con bias pari a 127 per i valori 1 a 127 negativi e 128 a 254 positivi Slide 66 di 72

64 Eccesso o bias a 127 Questa rappresentazione permette di confrontare direttamente gli esponenti senza il segno per stabilire il più grande o piccolo I valori negativi sono il complemento ad 1 dei numeri positivi Slide 67 di 72

65 Bias di 127 La rappresentazione con eccesso a 127 permette di realizzare più facilmente la circuiteria di confronto all interno della CPU. Infatti Esponente 0,12567 * è più piccolo di = < 0,45871 * e 128 sono -0 e +0-4 = = 123 = = = 125 = Slide 68 di 72

66 Numero di bit per le rappresentazioni Numeri in doppia precisione 64 bit 53 per la mantissa il primo con segno 11 per l esponente Si rappres. i numeri tra e e Numeri in quadrupla precisione 128 bit 113 per la mantissa il primo con segno 15 per l esponente Slide 69 di 72

67 Esempio non standardizzato 52,6975 0, x 10 D ,1011 x 10 0 B convertito in binario shift della virgola calcolo dell esponente 0, x B 2 6 = 64 riconversione in decimale 0, D x 64 D = 52, S Mantissa 23 bit S Esponente 7 bit Slide 70 di 72

68 Esempio IEEE ,6975 0, x 10 D ,1011 x 10 0 B convertito in binario shift della virgola calcolo dell esponente 0, x B1 2 ( ) = 64 riconversione in decimale 0, D x 64 D = 52, S Esponente 8 bit Mantissa 23 bit Slide 71 di 72

69 Esempio di somma in virgola mobile Supponiamo di voler sommare i valori 5,5 e 2,625 = 8,125 5,5 2, ,1 * ,5 10,101 * , ,125 0,1011 * ,10101 * ,1011 * , * Risultato binario 1, * Decimale Binario Rappres. scientifica Allineamento esponenti Risultato 0, * 16 = 8,125 Con la mantissa a sei bit 0,5 *16= 8 0, * _ (0,5 + 0, ) * 16 Troncamento 0, * somma 0, , , Slide 72 di 72

70 ? Domande? Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 73 di 72

71 Università degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Ingegneria Medica Fine Lezione 3