MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

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1 MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE Anno Accademico Francesco Pellicano Professore Associato di Meccanica Applicata alle Macchine

2 Biografia dell autore Francesco Pellicano è nato a Roma il9 luglio del 966. Si è laureato in Ingegneria Aeronautica nel 99 ed ha ottenuto il Dottorato di Ricerca in Meccanica teorica e Applicata nel 996, presso il Dipartimento di Meccanica e Aeronautica, Università di Roma La Sapienza. È stato ricercatore presso il Dipartimento di Scienze dell Ingegneria (poi divenuto Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Civile) dell Università di Modena e Reggio Emilia, dal 996 al 003. È Professore Associato di Meccanica Applicata alle Macchine dal gennaio 004. La sua attività di ricerca si sviluppa sui seguenti settori: vibrazioni di strutture e sistemi meccanici; stabilità biforcazione, dinamica nonlineare e caos; interazione fluido struttura; meccanica degli ingranaggi; metodi di previsione in Oceanografia. L attività didattica ha riguardato i seguenti settori: Meccanica Applicata alle Macchine; Vibrazioni; Analisi dei segnali. È stato coordinatore di progetti di ricerca nazionali ed internazionali. Ha svolto attività di ricerca industriale nei settori: stabilità dei veicoli; sperimentazione e testing dinamici; ingranaggi. È revisore di oltre dieci riviste scientifiche internazionali e di progetti di ricerca. È membro dell international advisory editorial board della rivista internazionale: Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Elsevier. Ha pubblicato oltre circa 90 lavori scientifici, tra cui un libro ed oltre 30 articoli su rivista internazionale.

3 Dedicato a mia moglie Roberta

4 Introduzione... Esempi di meccanismi... Convenzioni...5 Capitolo Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà Nomenclatura...6. Gradi di libertà Coppie cinematiche Coppie elementari (inferiori) e coppie superiori Contatto tra elementi cinematici Gradi di libertà di sistemi di di corpi rigidi nel piano Esempi Casi speciali Troubleshooting guide...4 Capitolo Statica dei meccanismi Introduzione...5. Equazioni di equilibrio Somma vettoriale di forze ed equilibrio alla traslazione, caso piano Momenti e prodotti vettoriali Equilibrio di un corpo rigido nel piano, forze Equilibrio di un corpo rigido nel piano, 3 forze Equilibrio di un meccanismo piano, 3 forze Equilibrio di un corpo rigido nel piano, 4 forze Equilibrio di un meccanismo piano, 4 forze Equilibrio di un corpo rigido nel piano, forze parallele Esercizi Esercizio Esercizio Esercizio Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati Parallelogrammo Quadrilatero articolato Inversione cinematica Inversione geometrica e punti morti Circuiti Analisi di posizione Analisi di posizione mediante loop closure equations : analisi esatta e numerica Esempio numerico Esempio Esempio Esercizi proposti Proprietà cinematiche del corpo rigido Moti relativi Cinematica del corpo rigido: centro di istantanea rotazione Analisi cinematica dei meccanismi articolati Quadrilatero articolato: metodo grafico Approccio analitico: manovellismo di spinta centrato Analisi cinematica mediante funzioni complesse Applicazione del principio dei lavori virtuali...64 Capitolo 4 Richiami di dinamica del corpo rigido Dinamica del corpo rigido: equazioni fondamentali e casi notevoli i

5 4. Energia cinetica del corpo rigido Metodo delle masse di sostituzione Dinamica del manovellismo di spinta Azioni statiche Azioni dinamiche Compensazione delle forze d inerzia Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti Attrito radente: teoria Coulombiana Cenni su: usura e teorie sull attrito Semplice modello per la valutazione dell usura: ipotesi di Reye Attrito volvente Rendimenti Definizioni Rendimenti di macchine in serie ed in parallelo Attrito di strisciamento nelle coppie elementari Coppia prismatica Piano inclinato: rendimento e moto retrogrado La coppia rotoidale Esempi Equilibrio delle ruote Coppia elicoidale Distribuzione delle pressioni di contatto Pattino piano Coppia rotoidale di spinta Ceppo puleggia Cuscinetti volventi...0 Capitolo 6 Vibrazioni meccaniche Considerazioni generali Esempi di sistemi ad g.d.l L oscillatore armonico smorzato Oscillazioni forzate armoniche Trasmissibilità Forze trasmesse al basamento Eccitazione sismica....4 Capitolo 7 Dinamica dei rotori Squilibrio statico Squilibrio dinamico Macchina equilibratrice Velocità critiche flessionali....3 Capitolo 8 Trasmissioni mediante ruote dentate (cenni) Ruote di frizione Rotismi ordinari...37 Capitolo 9 Lubrificazione (cenni) Viscosità...4 Appendice A. Moto del corpo rigido...48 A. Rotazioni finite A. Angoli di Eulero...50 A.. Teorema di Eulero...54 A.. Teorema di Charles...54 A. Rotazioni infinitesime...54 A.3 Derivata di un vettore...55 ii

6 A.4 Espressione del vettore velocità angolare in funzione degli angoli di Eulero...56 Bibliografia...58 Indice Analitico...59 iii

7 Introduzione Introduzione Il presente testo di Meccanica Applicata alle Macchine è rivolto ad allievi dei corsi di Ingegneria Meccanica, Ingegneria dei Materiali ed Accademia Militare di Modena, Nuovo Ordinamento Didattico, secondo anno, Facoltà di Ingegneria (sede di Modena), Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia, che frequentano il Corso Meccanica delle Macchine. Tale testo si focalizza sullo studio dei meccanismi e delle macchine; in particolare si forniscono le nozioni di base per affrontare l analisi e la progettazione cinematica e dinamica. La base di partenza per poter affrontare questo testo consiste nelle conoscenze di analisi matematica e di meccanica teorica. Alcuni concetti base di cinematica, statica e dinamica del corpo rigido sono ripresi dai corsi di base ed estesi a meccanismi composti da più corpi rigidi. Il testo tratta i seguenti argomenti: analisi cinematica dei meccanismi, includendo metodologie teoriche e numeriche per l analisi di posizione, velocità ed accelerazione; analisi dinamica del corpo rigido con alcune applicazioni pratiche; vibrazioni di sistemi ad un grado di libertà; squilibrio, equilibratura e velocità critiche dei rotori; cenni di tribologia ed usura; cenni di lubrificazione; cenni di trasmissioni mediante ruote dentate. Il testo è disponibile unicamente in formato elettronico nel sito ( è possibile scaricarlo e stamparlo. L assenza di versioni cartacee permette di aggiornare rapidamente il testo, si prega pertanto il lettore di segnalare eventuali errori, di cui mi scuso, e/o suggerire variazioni e miglioramenti. Se ne consente l utilizzo per fini personali di tipo non commerciale. La riproduzione parziale o totale è vietata, secondo le norme vigenti.

8 Introduzione Esempi di meccanismi Un esempio di meccanismo è il quadrilatero articolato (Fig. I.), esso è un meccanismo largamente utilizzato nelle applicazioni pratiche ed è composto da 4 membri collegati da 4 coppie rotoidali (cerniere). Nelle figure che seguono sono indicati alcuni interessanti esempi applicativi di larga diffusione. Sospensione automobilistica Applicazione del quadrilatero articolato. Meccanismo a 4 membri (four bar linkage) 3 Cuscinetto ruota 4 pneumatico Sospensione automobilistica reale Meccanismo a più membri sviluppato nello spazio tridimensionale

9 Introduzione PINZA CON MECCANISMO ARTICOLATO PER AUMENTARE L EFFETTO LEVA (GUADAGNO MECCANICO) vite di regolazione d 4 CERNIERE (COPPIE ROTOIDALI) 4 MEMBRI (ELEMENTI DEL MECCANISMO) SOSPENSIONI MONO- AMMORTIZZATORE PROGRESSIVE Meccanismi a più membri con coppie rotoidali Figura I.. Esempi di meccanismi: quadrilatero articolato. Un altro importante meccanismo è il manovellismo di spinta (Fig.I.), presente per esempio nella quasi totalità dei motori per autotrazione. In tale meccanismo è importante determinare il moto del pistone (velocità ed accelerazioni massime), le forze di inerzia e prevedere dispositivi per la compensazione (contrappesi all albero ed eventualmente contralberi di equilibratura). Manovellismo di spinta Figura I.. Esempi di meccanismi: manovellismo di spinta 3

10 Introduzione Anche se non saranno trattati in questo corso è utile menzionare meccanismi molto importanti come le camme, utilizzati nella trasformazione del moto. In figura sono indicati i meccanismi a camma utilizzate per l alzata valvole nei motori endotermici. Meccanismi con camme: coppie superiori Figura I.3. Esempi di meccanismi: meccanismi con camme. Gli esempi di meccanismo appena visti possono essere rappresentati mediante degli schemi che rappresentano gli aspetti cinematici del sistema, cioè le leggi di moto dei vari membri. Si può descrivere la cinematica, cioè determinare le leggi di moto del sistema; si possono inoltre calcolare tutte le azioni statiche e dinamiche che nascono sui vari corpi. 4

11 Introduzione Convenzioni. Si indicano alcune convenzioni usate nel testo. Simbolo corsivo es. p scalare Simbolo grassetto minuscolo es. v vettore Simbolo grassetto maiuscolo es. A matrice Prodotto vettoriale (punto) Prodotto scalare Si faccia attenzione poiché talvolta il grassetto maiuscolo è usato anche per i vettori. 5

12 Capitolo Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà. Capitolo Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà. In questo primo capitolo si introduce il concetto di meccanismo o macchina e dei suoi componenti essenziali. Attraverso dei semplici esempi si definiscono le coppie cinematiche ed il loro impiego all interno dei meccanismi. Mediante l uso di coppie cinematiche il meccanismo viene creato partendo da un insieme di corpi rigidi. Questo assieme, detto meccanismo, sarà caratterizzato innanzitutto dal numero di gradi di libertà che globalmente possiede. In questo capitolo si fornisce una metodologia elementare per il calcolo dei gradi di libertà, includendo alcuni esempi e mostrandone i limiti di applicabilità.. Nomenclatura Macchina o meccanismo Sistema meccanico il cui scopo è la trasformazione di energia (esempio: potenza all albero di un motore potenza alla ruota di un motociclo) Membri Organi che compongono un meccanismo Elemento cinematico In un meccanismo i vari organi possono essere in contatto tra loro, la zona di contatto può avere varie forme e permette particolari moti relativi. La zona di contatto è detta elemento cinematico. Coppie cinematiche L insieme di due elementi cinematici a contatto è detto coppia cinematica. Figura.. vincolamento mediante sfere. Gradi di libertà Il numero dei gradi di libertà (gdl) di un corpo rigido nello spazio è pari a 6: 3 coordinate di un punto del corpo, 3 angoli di Eulero. In Fig.. si trova un esempio di un corpo avente 0 gdl, forma parallelepipeda e vincolame nto tramite 6 sfere fisse nello spazio e a contatto con le facce del solido. Ovviamente il vincolamento proposto impedisce il movimento soltanto verso le sfere stesse, esse infatti sono un vincolo anolonomo. Similmente alla precedente situazione si può realizzare un vincolo che permetta una pura rotazione. Nella Fig.. è proposto uno schema realizzato mediante 5 puntalini, essi eliminano 5 gdl, il gdl rimanente è la rotazione indicata in figura.. Lo stesso tipo di rotazione si può ottenere mediante uno schema che non preveda contatti su punti, ma su linee (vedasi Fig..3). Infatti i Figura.3. vincolamento mediante appoggi più sfere 6 Figura.. vincolamento mediante sfere

13 Capitolo Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà. contatti su punti provocano elevate pressioni di contatto con relative deformazioni e problemi di usura, perciò in generale sono sconsigliabili eccetto che per particolari applicazioni in cui gli sforzi siano molto bassi..3 Coppie cinematiche. Generalmente però si cerca di realizzare dei vincoli che garantiscano un contatto su delle superfici, in modo da ottenere delle pressioni sufficientemente basse. Questi tipi di vincoli si realizzano mediante superfici combacianti o meno tra i corpi a contatto: essi sono detti coppie cinematiche. In Fig..4 vediamo le sei coppie inferiori, secondo la definizione di Uicker et al (003), la descrizione può essere trovata in Tabella.. a) b) c) θ θ z s s z z d) e) f) θ z θ z s z θ z θ x s y s x θ y Figura.4. Coppie inferiori (Uicker et al. 003). TABELLA. Coppie inferiori Coppia. Simbolo Variabile Gradi di libertà Moto relativo Rotoidale R θ z Circolare Prismatica P s z Rettilineo Eleicoidale S θ z o s z Elicoidale Cilindrica C θ z e s z Cilindrico Sferica G θ x, θ y, θ z 3 Sferico Piana F s x, s y, θ z 3 Planare In Tabella. sono riassunte le sei coppie inferiori secondo Uicker et al (003). Coppia rotoidale. Questa coppia si realizza sagomando opportunamente i due corpi a contatto con una forma circolare cilindrica: un albero ed un foro. E permessa la rotazione dell albero nella sede. Si noti che l albero potrebbe anche traslare se non ci fosse un opportuno dispositivo. 7

14 Capitolo Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà. Coppia prismatica. Questa coppia si realizza sagomando opportunamente i due corpi a contatto con una forma cilindrica non circolare; in questo modo si permette la traslazione lungo l asse, ma non la rotazione. La coppia lascia un gdl. Coppia elicoidale. In questo caso i corpi sono sagomati (esternamente ed internamente) secondo un elicoide. La coppia lascia un solo gdl, ma il moto che permette è di rototraslazione. Il moto di traslazione è legato alla rotazione: per ogni giro l albero avanza di una quantità p detta passo..4 Coppie elementari (inferiori) e coppie superiori. Le tre coppie viste precedentemente fanno parte delle coppie elementari, in questa classe di coppie rientrano anche coppie che lasciano o 3 gdl (si veda lo schema in basso). Tutte le coppie elementari sono caratterizzate da un contatto tra superfici rigide combacianti. Altri tipi di coppie sono dette coppie superiori e sono caratterizzate da contatti tra superfici rigide non combacianti (contatti su punti o linee) oppure tra superfici non rigide. Le superfici che formano una coppia cinematica sono dette superfici coniugate. Nel caso di meccanismi piani il moto si sviluppa parallelamente ad un piano, in tal caso le proiezioni delle superfici coniugate su tale piano si dicono profili coniugati..5 Contatto tra elementi cinematici. Tra due superfici o profili a contatto si possono verificare tre tipi di moto:. Puro rotolamento: non c è velocità relativa tra il membro ed il nel punto P, tale punto varia di posizione sui profili dei membri e (Fig..5). Figura.5. Puro rotolamento P. Puro strisciamento: c è velocità relativa tra il membro ed il nel punto P. In Fig..6, per esempio, tutti i punti della ruota hanno stessa velocità, perciò in P la velocità relativa è proprio v; in generale però non è detto che i corpi debbano essere in pura traslazione. Figura.6. Puro strisciamento P v 3. Rotolamento più striciamento: si tratta della combinazione dei moti precedenti. In questo caso si chiede soltanto che nel punto di contatto la velocità relativa sia tangente alle superfici (Fig..7). Figura.7. Rotolamento più strisciamento V P V P 8

15 Capitolo Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà. 4. Distacco e/o urto: in questo caso la componente della velocità del punto di contatto normale alle superfici è diversa per i due corpi. Si può determinare distacco o urto (Fig..8). Figura.8. Distacco e/o urto V P V P Esempio In queste figure si possono vedere due esempi applicativi di coppie superiori ed inferiori. Nel primo caso (Fig..9) si hanno due pulegge (membri e 3) su cui impegna una Figura.9. Cinghia cinghia, quest ultima è un elemento flessibile che si adagia sulle pulegge. Le pulegge a loro volta sono collegate ad un telaio (un supporto coppie elementari fisso) mediante coppie rotoidali (elementari). Per poter garantire un corretto collegamento tra le pulegge e 3 la cinghia deve essere opportunamente tesa, cioè deve essere garantito il contatto mediante una azione esterna (pretensionamento o altro); l accoppiamento è detto di forza. coppie superiori il membro 4 è il telaio 3 Nel secondo caso si hanno i due membri e ancora collegati al telaio mediante coppie rotoidali; il contatto diretto tra i due membri avviene in un punto (o anche una linea se si è in 3 dimensioni). E ovvio che, anche in questo caso, i due corpi devono essere mantenuti in contatto mediante una azione esterna: anche in questo caso l accoppiamento - è di forza. Figura.0. Camma-bilanciere coppia superiore Gradi di libertà di sistemi di di corpi rigidi nel piano Ogni corpo rigido nel piano ha 3 gdl ed ogni coppia tra due corpi lascia un certo numero di gradi di libertà nel moto relativo. Classifichiamo le coppie in base al numero di gdl che lasciano liberi ed in particolare teniamo conto del loro numero. c : numero di coppie che lasciano gdl, cioè ne sottraggono. c : numero di coppie che lasciano gdl, cioè ne sottraggono. Consideriamo un meccanismo formato da m corpi rigidi, tra cui per convenzione comprendiamo anche il telaio che, essendo fisso, ha 0 gdl. Il numero di gdl l è: = 3( m ) c c (formula di Grüber). Tale formula è estremamente semplice, quasi banale; essa è però di estrema utilità nell analisi preliminare dei meccanismi complessi. 9

16 Capitolo Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà. Vedremo in seguito però che in alcuni casi la formula. non funziona a causa della particolare conformazione del meccanismo, essa va usata perciò con cautela..6. Esempi Il quadrilatero articolato è composta da quattro membri, di cui uno fisso e tre mobili, collegati tra loro mediante coppie rotoidali (Fig..), il numero di gradi di libertà si calcola come segue: c =4 m=4 l=3 (4-) - 4= Figura.. Quadrilatero articolato 3 4 Applicazione: sospensione automobilistica a quadrilateri deformabili. Ipotesi: Pneumatico fisso e asse della ruota bloccato. Calcolo dei gradi di libertà: m=4, c =4, l=3 (4-) - 4= 3 Movimento della ruota rispetto al telaio 4 0

17 Capitolo Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà. Applicazione: autogru. Ipotesi: corpo vettura fisso, soltanto la pala è mobile, soltanto il moto piano è ammesso. Calcolo dei gradi di libertà: m=, c =5, l=3 () 5=3

18 Capitolo Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà.

19 Capitolo Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà..6. Casi speciali Figura.a. Meccanismo a croce. Figura.b. Meccanismo a croce: schema geometrico Figura.c. Meccanismo a croce modificato: 0 gradi di libertà nominali. A O A M O α ψ 3 α M 3 5 M 4 B 4 B Consideriamo il meccanismo in Fig..a, il numero di gradi di libertà è: l=3 (4-) - 4=. Il punto M si trova in mezzeria sul membro (Fig..b) AM = AB / ; il triangolo AOB è rettangolo e dunque: AO + OB = AB inoltre: AB AM ' = cosα OM ' = ABcosα AM ' = AM ' MM ' MM ' = tanα = = tanψ AM ' OM ' il triangolo AOM è dunque isoscele. Dalla OM ' = AM ' segue OM = AM e dunque OM = cost. Quest ultima affermazione permette di creare un meccanismo avente apparentemente 0 gdl, ma effettivamente funzionante come un sistema ad gdl. Introduciamo un quinto membro incernierato in O ed M (Fig..c), si ha: l=3 (5-) - 6=0 Il sistema sembra ipervincolato. In verità però, dato che il punto M si muove su una circonferenza ( OM = cost ), ciò è compatibile col fatto che il membro 5 è incernierato in O ed M e ruota attorno ad O. Il vincolo aggiunto è perciò soltanto apparente. 3

20 Capitolo Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà..6.3 Troubleshooting guide. 4

21 F F 3 Capitolo Statica dei meccanismi. Capitolo Statica dei meccanismi.. Introduzione In questo capitolo si richiamano alcuni concetti di statica elementare e si forniscono alcuni metodi per l analisi statica dei meccanismi. In particolare si fissa l attenzione ai meccanismi aventi un solo grado di libertà, sui quali si applicano metodologie per l analisi statica grafica.. Equazioni di equilibrio Consideriamo un corpo sottoposto all azione di un sistema di N forze (Fig..), tale corpo è in equilibrio se valgono le seguenti relazioni: N N F = 0, M = 0. i i= i= i F F i Isoliamo ora l N-esima forza, se valgono le. si può scrivere che la risultante delle prime N- forze N è: Frisultante = FN = F i. i= Scegliamo ora un punto generico P (Fig..) e consideriamo il momento risultante del sistema di N- forze: N ( ri Fi) = rn FN = M risultante. i= Figura. 5

22 Capitolo Statica dei meccanismi. F r r F P r N r 3 F N F 3 Figura. Si noti che per parlare di momento risultante abbiamo dovuto considerare un polo di riduzione dei momenti. Il momento risultante dipende infatti dal polo, come dimostra l equazione.. E interessante notare che, per ciò che concerne l equilibrio, una forza può essere traslata lungo la propria linea di azione senza che ciò abbia conseguenze; uno spostamento lungo una direzione diversa comporta cambiamenti nello stato di equilibrio... Somma vettoriale di forze ed equilibrio alla traslazione, caso piano. Consideriamo 4 forze nel piano, sommiamo graficamente le 4 forze. Utilizziamo dapprima la regola del parallelogrammo, considerando la somma delle prime due forze: F=F +F ; come è noto la risultante delle due forze in questione si ottiene semplicemente componendo un parallelogrammo come indicato in Figura.3, la risultante è su una delle F F 3 F diagonali del parallelogrammo stesso, essa è indicata dal + F F vettore che congiunge l inizio del primo vettore sommato con F la fine del secondo. Sommiamo ora ad F il vettore F 3 seguendo lo stesso procedimento: F =F +F +F 3 ; aggiungiamo infine l ultimo vettore, ottenendo il vettore risultante dalla somma dei quattro vettori considerati: F =F + F + F 3 + F 4. Dalla figura.3 si evince che la somma si può ottenere direttamente facendo inseguire i vettori componendo una F 3 poligonale; il vettore risultante si ottiene subito congiungendo l inizio con la fine della poligonale. Consideriamo ora il seguente problema: si vuole trovare il F vettore che equilibri il precedente sistema di 4 forze. Si F richiede pertanto: R+F =0, cioè R=-F. Il sistema di quattro forze R+F + F + F 3 + F 4 è in equilibrio, cioè R+F + F + F 3 + F 4 =0. Tale stato di equilibrio nel piano si concretizza in una poligonale chiusa (Fig..4). F =F + F + F 3 F 4 Figura.3. Risultante R Figura.4. Equilibrio F 4.. Momenti e prodotti vettoriali. Dato un polo P il momento risultante di un sistema di forze rispetto al polo stesso è: M = r F.3 i Cerchiamo ora di capire il significato del prodotto vettoriale nell applicazione alla statica. In Figura.5 è raffigurato un sistema di forze, un polo di riduzione dei momenti, i raggi vettori corrispondenti e gli angoli α i tra le forze ed i raggi vettori stessi. i 6

23 Capitolo Statica dei meccanismi. F r r F α P F i r i r 3 F 3 Figura.5 Prodotto vettoriale. Consideriamo ora genericamente un prodotto vettoriale tra due vettori u e u, fissiamo un sistema di coordinate in modo tale che il piano (x, y) corrisponda con il piano formato dai due vettori. Sia α l angolo compreso tra i due vettori e β il suo complementare. Il prodotto vettoriale si può rappresentare come un vettore ortogonale al piano (x, y), figura.6. z u u u β α y x u Figura.6 Indichiamo i due vettori mediante le componenti nel sistema di coordinate (x,y,z): il prodotto vettoriale è: u cos β 0 u = usin β, u = u i j k 0 0 u u = ucos β usin β 0 = 0 = u 0 uu cosβ uu sinα Questa relazione mostra che il prodotto vettoriale è un vettore ortogonale al piano formato dai due vettori u u ed avente modulo pari all area del parallelogrammo che si costruisce sui due vettori; il 7

24 Capitolo Statica dei meccanismi. verso infine è individuabile facilmente con la regola della mano destra: si ponga la mano a pugno e si immagini che le dita dal mignolo all indice seguano i due vettori, in modo circolare parallelamente al piano formato dai vettori stessi, partendo dal primo vettore del prodotto: il pollice, immaginato con una freccia, darà direzione e verso del prodotto vettoriale (Figura.7). u u u u Momento di una forza. Figura.7. Regola della mano destra. Consideriamo una forza F e calcoliamo il suo momento rispetto ad un generico punto P (Fig..8). Per far ciò fissiamo un sistema di riferimento x,y,z, con il piano x,y coincidente con il piano formato dal vettore F e dal vettore r congiungente il punto P con il punto di applicazione della forza F. Il momento della forza F rispetto al polo P è M=r F, che, espresso per componenti risulta essere: M = 0 = 0 = 0.6 Fr sin ( π α ) Fr sinα Fd Il momento è dato dunque, in modulo, dal modulo della forza per la distanza della sua linea di azione rispetto al polo P. E perciò ovvio che la scelta del vettore r è arbitraria, infatti per applicare il prodotto vettoriale si può scegliere qualunque vettore r che unisca il polo P con un generico punto giacente sulla retta di azione della forza F. (π-α) F α r d=r sinα P Figura.8 8

25 Capitolo Statica dei meccanismi. Esercizio. Un corpo rigido, Figura.9, è collegato al telaio mediante una coppia rotoidale; esso è soggetto ad una forza applicata al corpo su punto posto a distanza d dal centro O della coppia rotoidale. Sapendo che la linea di azione della forza passa per O, trovare il sistema di forze necessario per mantenere il corpo in equilibrio. F d O Figura.9. Scomposizione delle forze. Il calcolo del momento di una forza rispetto ad un punto può essere effettuato mediante un approccio diverso. Scomponiamo la forza F nelle sue componenti ortogonale F e parallela F al raggio r; dato che il momento M =r F =0 (dimostrare per esercizio) si ha che M=r F. Dalla scomposizione si ha inoltre che F =F sinα, la componente verticale del momento M è M=M z =Fr sin α. Ricordando l equazione.6 e la figura.8 si ha anche M=F d. F F α F r P Figura.0..3 Equilibrio di un corpo rigido nel piano, forze. Consideriamo un corpo sottoposto all azione di due forze applicate in due punti; il corpo è in equilibrio se Equilibrio alla traslazione. Le due forze hanno stesso modulo, direzione e verso opposto (F =-F come da figura.). Equilibrio alla rotazione. Le due forze giacciono sulla stessa linea di azione. F F Figura.. Caso corretto: corpo in equilibrio. La prima osservazione deriva dalla prima delle equazioni., così come la seconda osservazione deriva dalla seconda delle.. 9

26 Capitolo Statica dei meccanismi. E utile un approfondimento su questo caso banale; immaginiamo che le due forze abbiano due diverse N rette di azione, come indicato in figura.; per la si ha ovviamente F =-F, ma allora M i= i 0, infatti le due forze formano una coppia M=F d 0! F d F N M i= i 0 Figura.. Caso errato: corpo non in equilibrio. Se un corpo è soggetto all azione di due sole forze agenti su due punti, allora entrambe le forze devono giacere sulla retta passante per i due punti di applicazione...4 Equilibrio di un corpo rigido nel piano, 3 forze. Esaminiamo ora alcuni casi di corpi soggetti all azione di tre forze. Due forze note, una incognita. Un corpo soggetto a due forze note non è inizialmente in equilibrio (figura.3) e si vuole trovare una terza forza che permetta l equilibrio statico. Ci si riduca al caso piano, in questo caso le equazioni di equilibrio, scritte in termini scalari diventano: Fxi = 0 Fyi = 0 Mzi = Mi = 0.7 Nel caso piano interessa solamente la componente lungo z dei momenti, perciò in seguito si ometterà il pedice z. Le.7 costituiscono un sistema di tre equazioni; le incognite del problema sono: la retta di azione ( incognite) e la componente su tale retta ( incognita). 0

27 Capitolo Statica dei meccanismi. b F a P a F b Figura.3. Corpo soggetto a due forze. Dalle prime due delle equazioni.7 si ha l equilibrio alla traslazione, indicato graficamente in figura.4. Si noti che in questa costruzione le forze sono state traslate rispetto alla propria retta di azione, ciò è lecito solamente se si analizza l equilibrio alla traslazione; nel caso dell equilibrio alla rotazione le forze possono traslare solamente lungo la propria retta d azione. F a F F b Figura.4. Equilibrio alla traslazione. Mediante la costruzione di figura.4 il vettore F è individuato, ma la retta di azione non è ancora nota completamente, poiché conosciamo solamente l inclinazione. Si individuino le rette di azione delle due forze e se ne trovi il punto di intersezione P. Le forze F a e F b hanno momento nullo rispetto la punto P, infatti la distanza della loro retta d azione da P è nulla. Allora, per l equilibrio alla rotazione, anche la retta d azione di F deve passare per P (Fig..5).

28 Capitolo Statica dei meccanismi. F b F a P a F b Figura.5. Corpo soggetto a tre forze. Se un corpo in equilibrio è soggetto all azione di tre sole forze, allora le rette di azione di esse devono incontrarsi in un punto. Due forze note solamente in direzione, noto il punto di applicazione della terza forza. In questo caso le informazioni in nostro possesso non permettono di risolvere il problema, infatti solamente le direzioni di due forze ed il punto di applicazione della terza (P F ) sono noti, figura.6. Dall equilibrio alla rotazione si ottiene immediatamente la retta di azione della terza forza, essa deve passare per P e P F. Direzione nota Direzione nota P Direzione incognita P F Figura.6. Corpo soggetto a tre forze...5 Equilibrio di un meccanismo piano, 3 forze. Il meccanismo in figura è composto da 4 membri, di cui uno è il telaio; sono presenti tre coppie rotoidali, inoltre i membri 3 e 4 rappresentano la schematizzazione di un martinetto idraulico, tali membri possono scorrere reciprocamente lungo il proprio asse ed il loro accoppiamento può essere schematizzato mediante una coppia prismatica. Il numero di gradi di libertà è perciò pari a. Senza entrare in dettaglio nella descrizione del martinetto idraulico possiamo dire che in esso possono nascere delle forze interne tra i membri 3 e 4 lungo l asse del martinetto stesso. In definitiva il sistema composto dai corpi 3 e 4 può sopportare forze anche in direzione assiale. Il membro è soggetto al proprio peso e a due forze provenienti dai membri e 3. Esaminiamo il sistema composto dai membri 3 e 4, tale sistema è soggetto a due sole forze esterne provenienti dai

29 Capitolo Statica dei meccanismi. membri e attraverso le coppie rotoidali, la retta di azione di tali forze è dunque comune e passa per i centri delle coppie stesse. Nota la direzione della forza che il membro esercita sul 3, per il principio di azione e reazione è nota anche la direzione della forza esercitata dal membro 3 sul. Dall intersezione delle rette di azione della forza peso F p e F 3, (forza che il membro 3 esercita sul ) si determina il punto P. La forza F, avrà una retta di azione passante per la coppia che unisce il membro al telaio e per il punto P. Trovate le direzioni delle forze si ricavano le forze stesse mediante la soluzione grafica delle equazioni di equilibrio alla traslazione, figura.7. F 3, F p F, P G 3 F p 4 Figura.7. Meccanismo...6 Equilibrio di un corpo rigido nel piano, 4 forze. In questo caso un corpo è sottoposto all azione di quattro forze, di cui una è nota mentre le altre tre sono note in direzione, Figura.8. Direzione F F P Direzione F 4 Retta ausiliaria P Direzione F 3 Figura.8. Corpo soggetto a quattro forze. Anche se le tre forze F, F 3 e F 4 non sono note, possiamo pensare alla risultante R =F +F, la cui retta di azione passa per il punto P (infatti rispetto a questo punto sia le due forze, che la risultante danno momento nullo), similmente facciamo per R =F 3 +F 4, la cui retta di azione passa per il punto P. Dato 3

30 Capitolo Statica dei meccanismi. che l equilibrio alla traslazione richiede che F +F +F 3 +F 4 =0, allora R = -R. Considerando le due risultanti abbiamo idealmente ridotto il sistema di quattro forze ad un sistema di due sole forze applicate nei punti P e P ; ma questo problema è già stato analizzato e sappiamo che la retta di azione delle due forze deve passare per i due punti di applicazione; questa retta è chiamata retta ausiliaria. Dalle relazioni precedenti, e conoscendo la retta ausiliaria (Fig..9), possiamo scrivere: F +F +R =0; Direzione F F F R P Direzione F 4 Retta ausiliaria P Direzione F 3 Figura.9. Retta ausiliaria. nota R ricaviamo R =-R e calcoliamo le due restanti forze (Fig..0): Direzione F F F F 4 F 3 Direzione F 4 Retta ausiliaria Direzione F 3 Figura.0. Retta ausiliaria...7 Equilibrio di un meccanismo piano, 4 forze. Analizziamo il problema rappresentato in figura.: si tratta di un autocarro che traina un rimorchio in salita. E nota la forza peso Q e sono note le direzioni delle reazioni delle ruote (ortogonali al terreno) e della forza di trazione (per semplicità immaginata parallela al terreno). Si tratta del problema delle quattro forze applicato al sistema rimorchio (telaio più ruote). Si individua la retta ausiliaria (linea verde) accoppiando la forza peso con la reazione di sinistra e la forza di trazione con la reazione di destra. 4

31 Capitolo Statica dei meccanismi. Q Direzione F Direzione F Q F F T Figura.. Retta ausiliaria...8 Equilibrio di un corpo rigido nel piano, forze parallele. I metodi visti nei paragrafi..4 e 5 non sono applicabili nel caso in cui tutte le forze siano parallele, infatti l intersezione delle rette di azione diventa il punto improprio. Trattiamo il problema per via analitica, consideriamo due forze come in figura., e calcoliamo la risultante R=F +F. La posizione della risultante è data dalla coordinata x e può essere determinata uguagliando il momento dato dal sistema di forze F e F ed il momento della risultante R. P P d P x F F y R Figura.. Forze parallele. Scegliamo P come polo di riduzione dei momenti il cui verso è positivo in senso antiorario, i momenti del sistema e del risultante sono: M Pi = Fd.8a M R = Rx.8b 5

32 Capitolo Statica dei meccanismi. combinando le relazioni si ha: x = Fd F + F.9 Si noti che x può assumere valore negativo a seconda del segno delle componenti delle forze, in tal caso la risultante sarebbe applicata su un punto esterno al segmento PP. Alternativamente si può procedere per via grafica: si aggiunga al sistema iniziale un sistema a risultante nulla (in termini di forze e momenti), cioè due forze uguali in modulo e direzione, ma contrarie in verso; in figura.3 tali forze sono indicate in rosso e sommate a due a due alle forze che costituiscono il sistema. Si procede poi per via grafica come già noto. P P P F F R Figura.3. Forze parallele. 6

33 Capitolo Statica dei meccanismi..3 Esercizi.3. Esercizio. 3 F,3 F p F,3 Figura.4. Esercizio..3. Esercizio. 3 F 3, F F, Figura.5. Esercizio. 7

34 Capitolo Statica dei meccanismi..3.3 Esercizio 3. Si consideri il meccanismo in figura.6 (scala :). Al membro 4 è applicata una coppia pari a 00 Nm; si determini la forza da applicare al membro 6 (indicata qualitativamente in figura) per mantenere il sistema in equilibrio. F=? M=00N m Ω Figura.6 Determinazione dei gradi di libertà Applicando la regola di Grüber n = 3(m ) c c si ottiene n = 3(6 ) 7 = dove le coppie c sono: 6 coppie rotoidali e una coppia prismatica. Equilibrio del membro 4 Sulla manovella (membro 4) agiscono: il momento motore noto M, una forza proveniente dal telaio F 4 (reazione vincolare della cerniera) e una forza dal membro 3 (F 34 ). La direzione delle forze F 4 e F 34 non è nota a priori, occorre valutare l equilibro alla rotazione del membro 3. Sul membro 3 agiscono 3 forze (F 3, F 43, F 53 ). Le direzioni delle forze F 3 e F 53 sono note, infatti i membri e 5, per essere rispettivamente in equilibrio, devono scambiare forze dirette lungo l asse. La direzione della forza F 43 (uguale e contraria alla F 34 ), per garantire l equilibrio alla rotazione del membro 3, deve necessariamente passare per il punto P di incontro delle rette indicanti le direzioni di F 3 e F 53 (Fig..7) 8

35 Capitolo Statica dei meccanismi. F=? 5 dir F 53 P 3 6 dir F 3 4 M=00N m Ω Figura.7 Ora è possibile determinare il modulo forze F 34 e F 4 costituenti la coppia che va ad equilibrare il momento M noto (supponiamo d=5cm): F = F4 M d 00N m = 0.05m 34 = = 000N I versi delle due forze devono essere tali da generare una coppia con momento opposto al momento M dato (solo così il membro 4 sarà in equilibrio) come mostrato in figura.8. F=? 5 3 F 34 6 d 4 M=00N m F 4 Ω Figura.8. 9

36 Capitolo Statica dei meccanismi. Per quanto riguarda la rappresentazione grafica dei moduli delle forze, una volta scelta la lunghezza della freccia corrispondente a 000N, l intensità delle altre forze sarà rapportata a questa lunghezza (es. a una freccia che graficamente risulta lunga la metà corrisponde un intensità di 000 N). Equilibrio del membro 3 Sul membro 3 agiscono 3 forze di direzione nota (vedi considerazioni precedenti); la forza F 43 è nota anche in modulo e verso (opposto a quello della F 43 ). La determinazione dei moduli incogniti si ottiene semplicemente chiudendo il triangolo delle forze agenti sul membro 3 (Fig..9). F 3 F 43 (nota) F 53 5 F=? P M=00N m Ω Figura.9 Equilibrio del membro 5 Sul membro 5 agiscono solo due forze: quella proveniente dal membro 3 e quella dal membro 6. Il membro 5 risulta in equilibrio solo sotto l azione di due forze uguali e contrarie e dirette lungo l asse (Fig..30). 30

37 Capitolo Statica dei meccanismi. F=? F F 65 4 M=00N m Ω Figura.30 Equilibrio del membro 6 Sul membro 6 agiscono tre forze: la forza incognita F (di cui è nota la direzione), la forza F 56 (completamente nota) e la reazione vincolare F 6 (con direzione ortogonale alla direzione di scorrimento del pistone). Per determinare il modulo di F occorre chiudere il triangolo delle forze agenti sul pistone. F=? 3 5 F 6 6 F F 56 (nota) 4 M=00N m Ω Figura.3 3

38 Capitolo Statica dei meccanismi. Esercizio suggerito: considerando lo stesso meccanismo, si determini il momento da applicare al membro per mantenere il sistema in equilibrio, sapendo che sul pistone agisce una forza nota di 000 N con direzione indicata in figura.3. 3

39 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. In questo capitolo sono fornite alcune informazioni di base sui meccanismi articolati piani. Si affronteranno problematiche relative alla analisi di posizione, di velocità ed accelerazione. 3. Parallelogrammo. Il meccanismo è composto di 4 membri collegati mediante 4 coppie rotoidali; essi hanno stessa lunghezza (intesa come distanza tra le coppie di un elemento) a coppie di membri non collegati direttamente (vedere figg. 3.). Se fissiamo un membro (telaio) il moto dei membri adiacenti sarà una rotazione, mentre quello del membro opposto sarà una traslazione pura. Questo meccanismo articolato trova molte applicazioni tra cui possiamo citare: tecnigrafi e pantografi. Trasla senza ruotare O O Figura 3.a. Parallelogrammo articolato 3 4 Una variante di questo meccanismo è l antiparallelogrammo: esso è composto dagli stessi membri e stesse coppie del parallelogrammo, ma è in una seconda configurazione. Il membro opposto al telaio non trasla, ma compie un moto di rototraslazione rispetto ala telaio stesso. rototraslazione O O Il passaggio dal parallelogrammo si ha quando quest ultimo si trova in una particolare Figura 3.b. Anti-parallelogrammo articolato configurazione: tutte le coppie rotoidali sono sulla stessa retta; questo è detto punto morto ed qui il parallelogrammo può trasformarsi in antiparallelogrammo

40 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. 3. Quadrilatero articolato. Si tratta di un meccanismo piano composto da 4 membri e 4 coppie rotoidali. In figura 3.a è riportato un esempio in cui: uno dei membri è fissato (telaio); un membro può compiere una rotazione completa (manovella); un membro può compiere una rotazione non completa, alterna, (bilanciere); un membro compie un moto di rototraslazione (biella). Il meccanismo ha un solo grado di libertà se si fissa un membro (telaio). a) Manovella (movente) Biella Bilanciere (cedente) b) c) Biella (manovella) Biella Manovella Manovella Bilanciere Bilanciere Figura 3.. Quadrilatero articolato. Si possono però presentare altre situazioni, come quelle rappresentate in figura 3.b,c. In un caso (Fig. 3.b) abbiamo manovelle ed una biella, due membri possono perciò compiere una rotazione pura completa. In un altro caso (Fig. 3.c) nessun membro può compiere una rotazione pura completa ed abbiamo bilancieri ed una biella. La differenza di comportamento dipende da come sono dimensionati i membri, in particolare dalla loro lunghezza. Definizioni. Manovella: membro adiacente al telaio che può compiere un moto rotatorio continuo. Bilanciere: membro adiacente al telaio che può compiere solo un moto rotatorio alterno (sono impossibili rotazioni pari a π). Biella: membro non adiacente al telaio che in generale compie un moto di rototraslazione. Distinguiamo vari casi: Bilanciere-manovella. Doppio bilanciere. Doppia manovella. I vari casi si possono distinguere dalla conformazione dei vari membri, in particolare dalla lunghezza di essi, dove per lunghezza intendiamo la distanza tra le due cerniere appartenenti ad un membro. 34

41 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. Criterio di Grashof. La somma della lunghezza del membro maggiore e del minore di un quadrilatero articolato piano non può essere maggiore della somma delle lunghezze degli altri due membri, se si vuole permettere un moto rotatorio continuo tra due membri qualsiasi del meccanismo. Si noti che il criterio di Grashof è scritto in termini di moti relativi, si prescinde perciò dall esistenza di un telaio. Si può tradurre il criterio di Grashof in formule; definiamo le seguenti lunghezze: ) = lunghezza del membro maggiore ) s = lunghezza del membro minore 3) p, q = lunghezze dei membri rimanenti. ) + s < p + q : meccanismo di Grashof, 4 possibilità; a) Manovella-bilanciere: il membro più corto è la manovella, il telaio è uno dei membri adiacenti. b) Doppia manovella: il membro più corto è telaio. c) Bilanciere manovella: il membro più corto è cedente (analogo al caso a)). d) Doppio bilanciere: il membro opposto al più corto è telaio. ) + s > p + q : 4 meccanismi non - Grashof; a) si hanno tre bilancieri, definiti dalla scelta del telaio, non è possibile il moto rotatorio continuo. 3) + s = p + q : possibilità di inversione del moto; 4) = q, s = p : caso particolare del punto 3), a) parallelogrammo o deltoide (due membri corti adiacenti); In seguito si rappresentano i casi menzionati: movente s s Figura 3.3a. Manovella bilanciere ( + s < p + q) Figura 3.3b. Doppia Manovella ( + s < p + q) 35

42 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. movente s movente s È possibile la rotazione completa della biella Figura 3.3c. Bilanciere Manovella ( + s < p + q) Figura 3.3d. Doppio Bilanciere ( + s < p + q) Figura 3.3e. Quadrilatero non Grashof. Triplo Bilanciere ( + s > p + q) Figura 3.3f. Meccanismo con condizione limite ( + s = p + q) Dobbiamo introdurre i seguenti concetti: o Inversione o Punti morti o Circuiti Che descriviamo in seguito mediante degli esempi. 3.. Inversione cinematica. È il processo in cui si fissano diversi membri di una catena cinematica per creare diversi meccanismi. Il meccanismo resta lo stesso, ma fissando il telaio in modo diverso si ottengono diversi tipi di moto. Un esempio è il quadrilatero rappresentato nella figura in basso e fa riferimento al seguente caso: l+s<p+q. 36

43 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. s s a) b) s s c) d) Un altro caso è quello rappresentato in figura 3.4, la catena è composta di 4 membri collegati con due coppie rotoidali ed una prismatica. A seconda di come si fissa il telaio si hanno diversi meccanismi: manovellismo di spinta, glifo oscillante ed altro. 3 Figura 3.4. Quadrilatero articolato: inversione cinematica a) Manovellismo di spinta b) Inversione del manovellismo di spinta: guida rotante c) Inversione del manovellismo di spinta: guida oscillante d) Inversione del manovellismo di spinta: guida fissa Figura 3.5. Inversioni del manovellismo di spinta 3.. Inversione geometrica e punti morti. Nell inversione geometrica di un quadrilatero articolato si ha che il meccanismo passa per una posizione in cui tre cerniere sono allineate. Da questo punto il meccanismo può avere due diverse configurazioni a parità di posizione del movente. Si noti che ciò avviene perché il movente è il bilanciere, mentre se il movente è la manovella, la posizione degli altri membri è univoca. 37

44 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. cedente biella cedente biella movente movente a) prima inversione geometrica b) seconda inversione geometrica biella cedente movente c) punto morto: biella e cedente sono allineati Figura 3.5. Inversione geometrica e punti morti di un quadrilatero articolato. Figura 3.6. Due circuiti di un quadrilatero articolato manovella-bilanciere. 38

45 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati Circuiti. In tutti i quadrilateri di Grashof sono sempre possibili due tipi di movimento ottenibili staccando fisicamente biella e manovella (o altri due membri) e ricollegandole in una nuova configurazione Meccanismi di Grashof manovella bilanciere e doppia manovella non raggiungono mai un punto morto e le due inversioni geometriche cadono in due circuiti differenti; i meccanismi bilanciere manovella o doppio bilanciere hanno due punti morti su entrambi i circuiti (Fig. 3.6). I meccanismi non-grashof hanno un solo circuito avente inversione geometrica. 3.3 Analisi di posizione. Un problema importante da affrontare nello studio dei meccanismi è l analisi di posizione. Consideriamo un meccanismo ad un grado di libertà: data la posizione del cedente si vuole determinare la posizione di tutti gli altri membri. Storicamente si eseguiva una analisi grafica, di cui un esempio è riportato in figura 3.7: sono note le traiettorie circolari dei punti A e B, si disegna la biella su un foglio trasparente che si sovrappone al disegno originale, a questo punto, facendo coincidere i punti A e B della biella, con due punti qualsiasi delle traiettorie circolari tracciate, si determinano le posizioni della biella stessa e di tutti i suoi punti. L analisi grafica, nella sua semplicità è piuttosto laboriosa, è però molto diretta e intuitiva. Analisi esatta. o Si imposta l analisi in modo rigoroso e si ottiene una soluzione in forma chiusa in termini di funzioni elementari. o Il tipo di soluzione non è generale, per ogni meccanismo serve uno studio dedicato. o La soluzione si ottiene soltanto per alcuni meccanismi. o Non è automatizzabile Analisi di posizione mediante loop closure equations : analisi esatta e numerica. Questo tipo di analisi consiste in una parte iniziale analitica che può fornire anche una soluzione esatta in casi semplici; nella seconda parte si mostra come l approccio è generalizzabile, mediante soluzione numerica, a qualunque tipo di meccanismo. o Metodo numerico approssimato o Impostazione generale y o Procedimento facilmente r 3 automatizzabile r 4 Consideriamo il quadrilatero articolato rappresentato in figura 3.8. Il membro è telaio e il è movente. Nell analisi di posizione le incognite sono gli angoli di rotazione dei membri 3 e 4, le lunghezze dei membri sono note. Rappresentiamo i 4 membri con 4 vettori passanti per le due cerniere di ogni Figura 3.7. Analisi di posizione: approccio grafico. 39 r ϑ r Figura 3.8. Analisi di posizione: loop closure equations. ϑ 3 ϑ 4 x

46 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. membro. I 4 vettori formano un ciclo chiuso (closed loop) che possiamo scrivere: r + r 4 = r + r 3 3. scriviamole per componenti: r + r 4 cos ϑ 4 r cos ϑ r 3 cos ϑ 3 = 0 3.a r 4 sin ϑ 4 r sin ϑ r 3 sin ϑ 3 = 0 3.b Le 3. si possono risolvere esattamente, data la semplicità del meccanismo. Ricaviamo cos ϑ 3, sinϑ 3 dalle 3., ne calcoliamo il quadrato e sommiamo: = r 3 r r ( r 4 sin ϑ + r 4 cosϑ r r 4 sin ϑ r r cosϑ cosϑ 4 ) 4 sinϑ sinϑ + r 4 + r 4 cos ϑ + r 4 cos ϑ + r r 4 cosϑ da cui: ( r r4 sinϑ ) sinϑ4 ( r r4 cosϑ r r4 ) cosϑ4 = r + r + r4 r3 r r cosϑ che formalmente si può scrivere come: A sinϑ 4 + Bcosϑ4 = C 3.5 la cui soluzione è: 4 arccos BC ± A A + B ϑ C =± A + B 3.6 Come si vede si hanno in generale 4 soluzioni, in generale complesse; ovviamente saremo interessati solamente alle soluzioni reali. Dalla 3.6, tramite una delle 3., si ricava l ultima incognita. Ma non basta, anche in caso di soluzioni reali, le operazioni compiute per arrivare alla 3.6 possono portare a soluzioni spurie. Per eliminarle si può procedere come segue: si ricava ϑ 3 dalla 3.a (attenzione: cos(ϑ 3 )= cos(-ϑ 3 ); si hanno due soluzioni per ϑ 3 ) e si controlla che la 3.b sia verificata. Si può anche usare la 3.b estraendo ϑ 3 (attenzione: sin(ϑ 3 )= sin(π-ϑ 3 ); si hanno due soluzioni per ϑ 3 ) e si verifica la 3.a. Vediamo che anche la soluzione di questo semplicissimo caso si presenta piuttosto laboriosa. E ovvio che per meccanismi più complessi tale approccio è improponibile. Soluzione numerica. E possibile pensare ad una soluzione approssimata delle equazioni di chiusura. Scriviamo le 3. in forma vettoriale: f( ϑ) f ( ϑ) = = f( ϑ) dove ϑ=[ϑ 3, ϑ 4 ] T. Dal confronto tra la 3.7 e le 3. si individuano facilmente le funzioni f, f. Chiamiamo ϑ la soluzione della 3.7. Cerchiamo una soluzione approssimata mediante il metodo di Newton. Selezioniamo arbitrariamente un vettore ϑˆ ; tale vettore sarà detto dato iniziale. Indichiamo con Δϑ la differenza tra ϑ e ϑˆ : ϑ = ϑ ˆ + Δϑ

47 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. scriviamo ora l equazione di chiusura: ( ) = f ( ϑ + Δϑ) 0 f ϑ ˆ = 3.9 Linearizziamo la 3.9 sviluppando f in serie di Taylor: dove D () f è la matrice Jacobiana di f: ϑ ( ϑ + Δϑ) = f ( ϑˆ ) + ( f ) Δϑ + 0 = ˆ f ˆ D = 3.0 ϑ ϑ ϑ f, ϑ f 3, ϑ4 Dϑ () f = 3. f, ϑ f 3, ϑ4 la matrice Jacobiana, calcolata per ϑ = ϑ ˆ è rinominata A, per semplicità di notazione, essa a questo punto è una matrice numerica. A = D ϑ() f ϑ= ϑˆ 3. Dalla 3.0 possiamo scrivere: f ( ϑ ˆ ) + A( ϑ ϑˆ ) = ε 3.3 La linearizzazione della f non fornisce ovviamente la soluzione, ma possiamo impostare un procedimento iterativo iniziando con il calcolo in prima approssimazione della soluzione che si ottiene imponendo ε = 0: ϑ = ϑˆ A ( ϑˆ ) prima approssimazione f 3.4 Il procedimento si può generalizzare impostando un calcolo iterativo: ϑ ( ϑˆ ),,... ˆ n+ = ϑn n f n n = A 3.5 Il calcolo inizia con un dato iniziale arbitrario ϑ = ϑˆ n, la scelta di questo dato è critica per ciò che concerne la convergenza a soluzione del procedimento. Se si è sufficientemente vicini alla soluzione, nel dominio di convergenza, allora si converge verso la soluzione; in caso contrario si può divergere con andamenti oscillanti, casuali non stazionari o crescenti. Si possono utilizzare diversi criteri di convergenza per determinare quando bloccare il processo iterativo: f ( ϑn ) ε 3.6 ϑ ϑ δ n+ n dove ε e δ sono delle costanti opportune. Nel problema analizzato la matrice Jacobiana è: r3 sinϑ3 r4 sinϑ4 Dϑ () f = 3.7 r3 cosϑ3 r4 cosϑ4 4

48 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. Flow chart Input dati sistema Loop iterativo ϑ = n ϑ ˆ Valore di primo tentativo f ϑ = ϑ ˆ n = n Calcolo ϑˆ ; D f ( ) ϑ ( ) ˆ ϑ= ϑ SI NO n>n max Calcolo la nuova stima della soluzione ( ( ) ) ( ˆ ϑ ) ϑ = ϑ f f ϑ n+ n D ϑ= ϑˆ n=n+ ricordiamo che ϑ=ϑ ˆ n ϑ ϑ + n n δ NO NO ( ) f ϑ n ε SI SI Salva i risultati Abort Figura 3.9. Diagramma di flusso del procedimento iterativo. 4

49 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati Esempio numerico. Consideriamo il quadrilatero articolato rappresentato in Figura 3.8; imponiamo le seguenti dimensioni: r =7m, r = 3m, r 3 = 8m, r 4 =6m; imponiamo al movente (membro ) una determinata posizione: ϑ = 60. Il meccanismo è di Grashof, pertanto abbiamo una unica configurazione per ogni circuito: da un punto di vista matematico ci aspettiamo due soluzioni. Dalla soluzione esatta 3.6 otteniamo: ϑ 4 = ± ; ϑ 4 = ±.368 ; di cui sono accettabili ϑ 4 = ; ϑ 4 = Vediamo come sono state scartate le soluzioni spurie: Ricaviamo ϑ 3 dall equazione 3.a e dalla 3.b: verifichiamo che siano reali; verifichiamo che si ottenga lo stesso valore da entrambe le equazioni. Ricordiamo che cos(ϑ 3 )=cos(-ϑ 3 ) e sin(ϑ 3 )=sin(π-ϑ 3 ). Dalla 3.a otteniamo: ϑ 3 =arcos[ (r + r 4 cos ϑ 4 r cos ϑ )/ r 3 ] Dalla 3.b otteniamo: ϑ 3 = arcsin[( r 4 sin ϑ 4 r sin ϑ ) / r 3 ϑ 4 = ϑ 4 = ϑ 4 =.368 ϑ 4 =-.368 ϑ 3 =±.8 ϑ 3 =.8 ϑ 3 =(80-.8) ϑ 3 =±.8 ϑ 3 =( i) ϑ 3 =(90+5.5i) ϑ 3 =±73.38 ϑ 3 =7.987 ϑ 3 =( ) ϑ 3 =±73.38 ϑ 3 = ϑ 3 =( ) Tabella. 3. Quadro delle soluzioni e identificazione di quelle complesse e/o spurie. Dalla Tabella 3. vediamo che alcune soluzioni per ϑ 3 sono complesse, quindi spurie; inoltre vediamo che ad una certa soluzione ϑ 4 non sempre corrisponde una unica soluzione per ϑ 3 ciò indica che siamo in presenza di una ulteriore soluzione spuria. Al termine della analisi teorica ricaviamo pertanto due soluzioni, corrispondenti ai due circuiti del meccanismo in esame. ϑ 4 = ϑ 3 =.8 ϑ 4 =-.368 ϑ 3 = Tabella. 3. Soluzioni corrette per i due circuiti. 43

50 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. Approccio numerico. Utilizziamo il procedimento numerico precedentemente descritto. Un primo tentativo è eseguito imponendo i seguenti valori iniziali: ϑˆ =[0,00 ] T. ϑ 3 ϑ 4 f f Tabella. 3.3a. Convergenza della soluzione sul primo circuito. In tabella 3.3a si vede come la soluzione converge rapidamente alla prima soluzione di tabella 3.. Per cercare la seconda soluzione (secondo circuito) si esegue un secondo tentativo imponendo i seguenti valori iniziali: ϑˆ =[-50,00 ] T. ϑ 3 ϑ 4 f f Tabella. 3.3b. Convergenza della soluzione sul secondo circuito. Dalla soluzione esatta 3.6 abbiamo ottenuto: ϑ 4 = ; ϑ 4 =

51 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. PRIMO CIRCUITO 6 4 y ϑ3=.8 ϑ4= x SECONDO CIRCUITO 6 4 ϑ3= ϑ4=-.368 y x Figura 3.0 Due circuiti ottenuti numericamente. 45

52 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati Esempio. Si consideri il meccanismo rappresentato in figura 3.a, l equazione di chiusura è: r + r 4 = r + r 3 3.7b r +r a +r 5 = r b 3.7c O 3 r 5 ϑ 5 5 r b y r a α 6 3 r 3 ϑ 3 r 4 O r ϑ r O 4 ϑ 4 x Figura 3.a. Analisi di posizione su un meccanismo complesso: loop closure equations. Definiamo i vettori presenti nelle 3.7b,c: r rcosϑ r3cosϑ3 r4cosϑ4 r =, r =, r3 =, r 4 = 0 rsinϑ r3sinϑ3 r4sinϑ4 3.7d r5cosϑ5 r a cos( α + ϑ3 ) xo 3 r5 =, ra =, r b = r5sinϑ5 r a sin ( α + ϑ3 ) yo 3 3.7e dove con r i i=,...,5 si indicano, al solito, i moduli dei vettori r i, similmente per r a ; mentre le componenti del vettore r b sono date semplicemente dalle coordinate, note, del punto O 3. Le equazioni 3.7b,c, combinate con le 3.7d,e, determinano un sistema di 4 equazioni scalari trascendenti che permettono di risolvere il problema nel caso in cui ad esempio il movente sia il membro (ϑ noto)e le incognite sono perciò: ϑ 3, ϑ 4, ϑ 5, r Esempio. Si consideri il meccanismo rappresentato in figura 3.b, l equazione di chiusura è: Definiamo i vettori presenti nelle 3.7f,g: r + r 4 = r + r 3 3.7f r +r a +r 5 = r b 3.7g 46

53 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. r rcosϑ r3cosϑ3 r4cosϑ4 r =, r =, r3 =, r 4 = 0 rsinϑ r3sinϑ3 r4sinϑ4 3.7h r5cosϑ5 r a cos( α + ϑ3 ) xd r5 =, ra =, r b = r5sinϑ5 r a sin ( α + ϑ3 ) axd + b 3.7i dove con r i i=,...,5 si indicano, al solito, i moduli dei vettori r i, similmente per r a ; mentre le componenti del vettore r b sono date semplicemente dalle coordinate, note, del punto D. Le equazioni 3.7f,g, combinate con le 3.7h,i, determinano un sistema di 4 equazioni scalari trascendenti che permettono di risolvere il problema nel caso in cui ad esempio il movente sia il membro (ϑ noto)e le incognite sono perciò: ϑ 3, ϑ 4, ϑ 5, x D. y=a x-b 6 D r 5 ϑ 5 5 y 3 r 3 r b r a α ϑ 3 r 4 O r ϑ r O 4 ϑ 4 x Figura 3.b. Analisi di posizione su un meccanismo complesso: loop closure equations. 47

54 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati Esercizi proposti. Trovare numericamente le soluzioni mancanti dell esercizio precedente. Trovare le due possibili configurazioni di un parallelogrammo, avente uno dei membri più lunghi come telaio ed uno di quelli più corti come movente. Trovare le due possibili configurazioni di un meccanismo non Grashof. Analizzare il meccanismo in figura 3.c utilizzando le dimensioni del disegno Figura 3.c. Meccanismo a 6 membri. 48

55 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. 3.4 Proprietà cinematiche del corpo rigido. Si faranno alcuni richiami sui metodi ed i concetti utili all analisi delle velocità e delle accelerazioni dei corpi rigidi e di sistemi articolati. Dopo un richiamo al teorema generale dei moti relativi, si mostrano le applicazioni al corpo rigido Moti relativi. Consideriamo un sistema di riferimento fisso (O, x, y, z) ed un sistema mobile (O, x, y, z ) di cui è conosciuto il moto (fig. 3.). Ci chiediamo ora come si possa determinare il moto assoluto di un punto P il cui moto è noto nel sistema di riferimento mobile. Ω P z y z O x O y x Figura 3.. Moti relativi. La posizione del punto è data da: OP=OO +O P 3.8 La velocità dop v p = si può scrivere come: dt v p = v O + Ω r + v pr 3.9 dove: r=o P v O è la velocità dell origine del sistema mobile. Ω è la velocità angolare del sistema mobile, supposta nota. v pr è la velocità di P nel sistema mobile. v O + Ω r= v Pt è detta velocità di trascinamento. La velocità di trascinamento è la velocità che avrebbe P se appartenesse ad un corpo rigido solidale al sistema mobile. 49

56 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. Per le accelerazioni abbiamo: a p = a O + Ω r + Ω (Ω r) + Ω v pr + a pr 3.0 dove: accelerazione di trascinamento accelerazione di Coriolis accelerazione relativa a O è la accelerazione dell origine del sistema mobile (trascinamento) Ω r è l accelerazione tangenziale ed è dovuta alla accelerazione angolare del sistema mobile (trascinamento). Ω (Ω r) è l accelerazione centripeta, ed è dovuta alla pura rotazione (trascinamento). Ω v pr è l accelerazione di Coriolis, è dovuta al fatto che il punto P si muove in un sistema rotante. a pr è l accelerazione relativa a O + Ω r + Ω (Ω r) = a Pt è detta accelerazione di trascinamento. Nel moto del corpo rigido, se si fissa il sistema di riferimento mobile solidale al corpo stesso, le accelerazioni di Coriolis e relativa saranno nulle. Diamo semplici interpretazioni dei termini di accelerazione visti: Tutti i termini della 3.0 sono nulli eccetto r e la accelerazione angolare (Fig. 3.3a). E il caso di un corpo rigido incernierato, inizialmente fermo, che ha una accelerazione angolare: nell istante iniziale ogni suo punto ha una accelerazione pari a Ω r un direzione tangente alla traiettoria circolare di P. Si è posto il sistema mobile con origine sulla coppia rotoidale e solidale al corpo rigido. E ovvio che la situazione rappresentata in figura 3.3a si verifica in un solo istante, infatti, poiché è presente una accelerazione angolare, l istante successivo la velocità angolare sarà diversa da zero P r Ω r Ω=0 Ω 0 Figura 3.3a. Accelerazione angolare. Tutti i termini della 3.0 sono nulli eccetto la velocità angolare ed il vettore r (Fig. 3.3b). E il caso di un corpo rigido incernierato, in moto rotatorio uniforme: ogni suo punto ha una accelerazione diretta verso il centro di rotazione e pari Ω r, detta accelerazione centripeta. Si è posto il sistema mobile con origine sulla coppia rotoidale e solidale al corpo rigido. P r Ω r Ω 0 Ω = 0 Figura 3.3b. Accelerazione centripeta. 50

57 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. Accelerazione di Coriolis. Un primo modo di spiegare questa accelerazione è il seguente. Immaginiamo che un uomo si trovi al polo Nord, la sua velocità è nulla se non consideriamo la traslazione della Terra nel suo moto attorno al Sole. Spostiamo ora l omino all equatore (non importa come), la sua velocità è Ωr, qualcosa dovrà aver prodotto una accelerazione che ha fatto aumentare la velocità da 0 a Ωr. Si noti che nel percorso dal polo Nord all equatore la velocità relativa alla terra dovrà per forza aver avuto una direzione non parallela all asse terrestre e quindi l accelerazione di Coriolis deve essere non nulla lungo il percorso. v=0 Ω Figura 3.3c. Accelerazione di Coriolis. v=ωr 5

58 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati Accelerazione di Coriolis e fenomeni fisici. Non è superfluo aprire una parentesi per descrivere l importanza dell accelerazione di Coriolis nei fenomeni meteorologici. A causa della rotazione terrestre e dunque alla accelerazione di Coriolis (ed alla conseguente forza di inerzia), una massa d aria che si muova ad esempio da Nord verso Sud (emisfero Boreale o Settentrionale) con velocità iniziale diretta lungo un meridiano, sarà deviata verso Ovest. Più in generale si può dire che l effetto della forza di Coriolis causa una deviazione verso destra se si guarda il fenomeno da un sistema di riferimento mobile con la massa d aria. Si noti che ciò avviene non solo per le masse d aria, ma anche per le correnti oceanografiche. Lo stesso fenomeno riguarda le rotte degli aerei o delle navi, le cui rotte devono essere opportunamente modificate per tener conto della deviazione di Coriolis verso destra (emisfero Boreale). Nell emisfero Australe la situazione è opposta: cioè la deviazione vista da un sistema mobile è verso sinistra. Questo effetto di deviazione delle masse d aria è la causa della circolazione ciclonica. Ad Ciclone esempio nella figura a sinistra è rappresentato un uragano che si è manifestato a Sud di Cuba: la rotazione oraria è causata dalla forza di Coriolis. Tutti i cicloni nell emisfero Boreale hanno rotazione oraria, mentre tutti i cicloni nell emisfero Australe hanno rotazione antioraria. E opportuno sottolineare che gli effetti di Coriolis si risentono Tornado solamente su grandi scale spaziali (qualche centinaio di chilometri), infatti i cicloni possono arrivare anche a 3000 km di diametro. Al contrario, fenomeni come i Tornado (trombe d aria) non sono influenzati dall accelerazione di Coriolis, poiché hanno dimensioni dell ordine di qualche centinaio di metri. Un altro interessante fenomeno osservato in astrofisica è rappresentato dalla forma a spirale delle galassie. Per studiare il moto delle galassie sono stati sviluppati modelli fluidodinamici in cui la forza di Coriolis riveste un ruolo importante. GALAXY N o Domanda (anche d esame): La rotazione del flusso che si determina durante lo svuotamento di un lavabo dipende dalla forza di Coriolis? Se si: la rotazione ha sempre lo stesso verso, e quale sarebbe? Se no: da cosa dipende tale rotazione? 5

59 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati Cinematica del corpo rigido: centro di istantanea rotazione. Consideriamo il moto di un corpo rigido nel piano (Fig. 3.4) ed applichiamo la 3.0 immaginando che il sistema mobile sia solidale al corpo, l origine O coincida con un punto del corpo P di cui è nota la velocità e che sia nota anche la velocità angolare del corpo. Sia Ω la velocità angolare del corpo: poiché siamo nel piano essa è ortogonale al piano stesso, con verso uscente per rotazione antioraria e entrante per rotazione oraria v S (regola della mano destra). CS Sia inoltre v p la velocità del punto P, quindi dell origine C S del sistema mobile. Calcoliamo la velocità di un generico punto S, v PS P x considerando che nella 3.0 si deve porre r=ps oltre che O P v M ovviamente v pr = 0. y M v S = v P + Ω PS 3. Consideriamo ora un punto M tale che PM v P, la velocità di tale punto avrà la stessa direzione di quella di P, perciò possiamo lavorare solamente sulla componente nella direzione di v P, cioè con quantità scalari. Detta d = PM si ha: Figura 3.4. Centro di istantanea rotazione. Possiamo allora determinare il particolare punto C tale che v M = v P + Ω d 3. PC v P e v c = 0. v C = v P + Ω x = dove abbiamo indicato x = PC, nota che x va preso col segno. Il punto C è detto centro di istantanea rotazione ed ha le seguenti proprietà: o La velocità del centro di istantanea rotazione è 0. o Il centro di istantanea rotazione in generale non è fisso nel corpo. o La velocità di ogni punto del corpo è ortogonale al raggio vettore che unisce il centro di istantanea rotazione con il punto in esame o Noti il centro di istantanea rotazione e la velocità angolare di un corpo, possiamo calcolare tutte le velocità del corpo stesso o Note le velocità di due punti di un corpo rigido (in D) il centro di istantanea rotazione si trova dall intersezione delle normali alle due velocità. Infatti: v S = Ω CS 3.4 e dunque: v S Ω e v S CS. 53

60 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. Esempio: il quadrilatero articolato. Consideriamo il quadrilatero in figura 3.5. I punti A e B compiono una traiettoria circolare rispetto ai centri O e O 3 ; A e B appartengono però anche al membro e le loro velocità dovranno essere ortogonali alle congiungenti col centro di istantanea rotazione, indicato in figura con C 4. Troviamo quest ultimo tracciando le linee ortogonali alle velocità di A e B (ortogonali a O A e O 3 B) e trovando il punto di intersezione. C,4 Direzione della velocità di B rispetto al membro (v BA ) Direzione di v B Direzione di v A B A 3 C 3, O O Direzione della velocità di O 3 rispetto al membro (v O3,O ) Figura 3.5. Centri di istantanea rotazione relativi nel quadrilatero articolato. Ragionando in termini relativi possiamo dire che C 4 è il centro di istantanea rotazione relativo del membro rispetto al 4. In maniera analoga possiamo perciò trovare anche C 3, cioè il centro di istantanea rotazione relativo del membro 3 rispetto al. Si noti che C ij C ji (es. si pensi al moto relativo del membro rispetto al 3, pensato fisso, e si ripeta la procedura). Nel caso in figura il punto C 4 ha velocità nulla nell istante considerato. I membri e 3 hanno velocità relativa nulla nel punto C 3 (per capirlo si immagini di estendere per esempio la dimensione del membro fino a C 3 e di fissare il 3, questo particolare punto dell avrà velocità nulla; lo stesso si può dire invertendo il ragionamento). Indichiamo con: o Ω velocità angolare del membro o Ω 3 velocità angolare del membro 3 considerate positive se il moto è antiorario. Possiamo scrivere: Ω 3 OC 3 3 = Ω OC Velocità assoluta di C 3 (C 3 ) Velocità assoluta di C 3 (C 3 ) Si noti infatti che rispetto al sistema di riferimento assoluto solidale al 4, il punto C 3 non ha velocità nulla in quanto è un centro di istantanea rotazione relativo. 54

61 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. Dalla 3.5 possiamo determinare il rapporto di trasmissione (velocità angolare del cedente velocità angolare del movente): τ Ω OC 0 se C e' esternoaoo = = Ω OC 3 3 < 0 se C3 e' interno a OO Esempio: coppie superiori. In figura 3.6 rappresentiamo due un sistema meccanico composto da 3 membri collegati tramite due coppie rotoidali ed una coppia superiore (contatto superficiale tra i membri e ), cioè C =, C =, perciò il sistema ha un grado di libertà. Direzione di v M (M solidale al ) Direzione di v O M O O C, 3 Figura 3.6. Centri di istantanea rotazione relativi in coppie superiori. Si noti la forma particolare dei corpi e : le protuberanze che essi hanno sono simili ai denti delle ruote dentate che si usano diffusamente in meccanica nei sistemi di trasmissione di potenza. Le ruote dentate hanno però un certo numero di denti disposti su una circonferenza ed equi-spaziati angolarmente, in modo da poter garantire la trasmissione del continua moto. In questo esempio fissiamo il membro, ne consegue che il 3 ha moto rotatorio ed il ha moto rototraslatorio. Consideriamo il punto M di contatto tra i denti: in questo punto la velocità relativa tra i membri e è tangente alle superfici a contatto in M. La velocità del punto O è a O O. Il centro di istantanea rotazione del membro si trova tracciando le normali alle velocità di due punti qualsiasi, ad esempio v M e v O. Chiamiamo C questo punto, dato che esso è anche il centro di istantanea rotazione relativo in un moto più generale. Fissiamo ora il membro 3: il punto C ora è effettivamente un centro di istantanea rotazione relativo Ω OC del membro rispetto all, vale la 3.6 (secondo caso): τ = =. Perciò, se disegniamo i Ω OC profili in modo che C rimanga fisso durante il moto, allora il rapporto di trasmissione è costante. Ciò si realizza normalmente con profili ad evolvente di cerchio. 55

62 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. 3.5 Analisi cinematica dei meccanismi articolati. Sono trattati i metodi per l analisi di velocità ed accelerazione di meccanismi articolati. Si assume già risolto il problema dell analisi di posizione. Vedremo l applicazione del teorema dei moti relativi ad un approccio di risoluzione qualitativa grafica; inoltre si imposterà una metodologia analitica su un caso semplice di interesse pratico. Nell impostazione grafica, e solo per quanto riguarda le velocità, si farà uso di una convenzione: i vettori velocità saranno ruotati di 90 (specificare di volta in volta se in senso orario o antiorario) rispetto agli originali. Vediamo un esempio: in figura 3.7 abbiamo un corpo rigido collegato al telaio mediante una coppia rotoidale; il moto avviene a velocità angolare costante, perciò la velocità di un punto generico P è ortogonale ad OP. Nella convenzione suddetta si rappresenta il vettore velocità ruotato di 90. Si noti che nel disegno si è rappresentato il vettore v direttamente con il vettore OP, cioè in questa rappresentazione i vettori sono ruotati di 90 e normalizzati rispetto a Ω Quadrilatero articolato: metodo grafico. Consideriamo il quadrilatero articolato in figura in cui sia imposta la velocità angolare del membro costante. Iniziamo con il punto A, la sua velocità vale: C 3 v A =Ω O A 3.7 ed in modulo: v A = O A Ω 3.8 P Velocità reali Poiché Ω è ortogonale al piano su cui giace il P meccanismo, v A sarà B ortogonale a O A rimanendo nel piano. 3 A Utilizzando la convenzione 4 dei vettori ruotati di 90 e normalizzati rispetto a Ω v A rappresentiamo v A mediante il vettore O A. Abbiamo Ω=cost dunque ruotato v A in senso O O antiorario e la rappresentiamo a meno di Ω, al termine della Figura 3.8. Uso del centro di istantanea rotazione. analisi tutti i vettori velocità andranno ruotati di 90 in senso orario e moltiplicati per Ω onde ottenere risultati quantitativi. O v= Ω OP Ω Velocità convenzionali P v= Ω OP Figura 3.7. Convenzione dei vettori ruotati. O Ω 56

63 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. Dalla figura 3.9 otteniamo immediatamente la direzione di v B poiché il membro 4 è incernierato in O ; otteniamo inoltre la direzione di v P ortogonale al segmento C 3 P. Fissiamo un sistema di riferimento mobile solidale al membro 3 ed origine in A. Determiniamo la velocità di B di cui è nota la direzione; ricordiamo la 8.: Sistema di rif. Solidale al 3 v B Ω=cost y v A x Figura 3.9. Determinazione grafica delle veolcità. P 3 B v p = v O + Ω r + v pr 3.9 qui ovviamente v pr = 0, inoltre v O = v A e definiamo la seconda parte della velocità di trascinamento v BA = Ω r. Quest ultima, per come è definita, sarà ortogonale ad AB; ricordiamoci però che stiamo usando la v BA convenzione dei vettori ruotati perciò nella rappresentazione grafica v BA sarà parallela ad AB. Possiamo riscrivere la 3.9: v B v A v B =v A +v BA 3.30 nella 3.30 sono note le direzioni di tutti i vettori, restano incognite le componenti di v B e v BA cioè due grandezze scalari; l equazione 3.30 è vettoriale bidimensionale, perciò ci fornisce equazioni scalari: il problema si può Figura 3.0. risolvere. Tracciamo allora v A, dai due estremi di questo vettore facciamo passare le parallele alle direzioni dei vettori v B e v BA, troviamo il punto di intersezione e chiudiamo la poligonale, come da disegno in figura 3.0. Con lo stesso ragionamento scriviamo: da cui: v P =v A +v PA 3.3a v P =v B +v PB 3.3b v A +v PA =v B +v PB 3.3 Costruiamo graficamente l uguaglianza 3.3. Tracciamo i vettori v A e v B partendo da uno stesso punto (Fig. 3.). Immaginando di sommare ad essi v PA e v PB rispettivamente, dalle estremità di v A e v B facciamo passare le direzioni di v PA e v PB. Trovato il punto di intersezione N il vettore O N rappresenta v P a meno della direzione (convenzione vettori ruotati) e di Ω: v B v PB v P N v PA v A Direzione v PA Direzione v PB v P = ΩO N 3.33 O v P reale Figura

64 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. Approccio alternativo. Procediamo come in precedenza al calcolo di e v B mediante approccio grafico (Fig. 3.). Abbiamo poi calcolato anche v BA graficamente, inoltre sappiamo che essa vale in modulo: v BA = Ω 3 AB ; da cui ricaviamo Ω 3 dopo aver misurato i vettori direttamente dal disegno: Sistema di rif. Solidale al 3 S v B Ω =cost v BA y A v A x P 3 O O Figura 3.. Direzione v PA Ω 3 v BA (reale) B 4 v BA Ω3 = 3.34 AB ricordando che i vettori rappresentati nella figura sono proprio i vettori delle velocità a meno di Ω =Ω=cost, possiamo scrivere anche: Ω v SA 3 = BA = 3.35 Ω ΩAB AB Avendo poi fissato l origine del sistema mobile (solidale al membro 3) in A, il verso della Ω 3 si ottiene facilmente confrontando la v BA, nella sua direzione reale, con il punto A. In pratica si deve immaginare che questa parte di velocità di trascinamento si può ottenere fissando l origine degli assi mobili O, cioè il punto A, e facendo ruotare il membro 3 attorno ad esso. Nel caso specifico si ottiene una Ω 3 antioraria. Una volta ottenuta la Ω 3 in modulo e verso è immediato ottenere le velocità di ogni punto del membro 3: v P =v A +v PA =Ω 3 AP 3.36 Accelerazioni. Analogamente a quanto fatto per le velocità riprendiamo la 3.0, ipotizzando il sistema mobile solidale al membro 3 ed eliminando ovviamente le accelerazioni di Coriolis e relativa, dato che studiamo il moto di punti fissi nel sistema (x,y ): a p = a O + Ω r + Ω (Ω r) 3.37 si noti che la accelerazione centripeta si può scrivere in D in forma semplificata Ω (Ω r)= -Ω r. Abbiamo quindi: a A =AO Ω, che graficamente sarà rappresentata dal vettore AO ; dunque a A AO a meno di Ω. Inoltre: Dir a BAt a B =a A +a BA 3.38 dove a B a O della 3.37; mentre a BA = a BAn + a BAt con: a BAn = Ω 3 BA; a BAt = Ω 3 AB (attenzione che AB=-BA). L accelerazione di B si può a sua volta scomporre nelle sue componenti radiale (centripeta) e tangenziale: a B =a Bn +a Bt

65 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. dove a Bn =Ω 4 BO e a Bt = Ω 4 O B. Dir a Bt B Dir a BAn A a BAn 3 Ω=cost a Bt a A a BAt a Bt O O Figura Dir a Bn In definitiva abbiamo: a Bn +a Bt =a A +a BAn +a BAt 3.40 Note in direzione L equazione vettoriale 3.40 contiene perciò due sole incognite, poiché essa rappresenta un sistema di equazioni, allora possiamo avere soluzione. In figura 3.4 rappresentiamo la soluzione grafica: si parte dai dati, cioè dai vettori noti: a Bn, a A, a BAn ; essi sono sommati seguendo l equazione 3.40, cioè si sommano a A, a BAn (si inseguono, vedi figura) e la loro somma termina sulla fine di a Bn ; a questo punto si tracciano le direzioni note di a Bt e a BAt partendo dall inizio dei vettori a Bn, a BAn ; chiudendo la poligonale graficamente si risolve la 3.40 e si trovano i vettori incogniti. Misurando i vettori incogniti ed utilizzando le a BAt = Ω 3 AB e a Bt = Ω 4 O B si possono determinare le accelerazioni angolari di tutti i membri. Note le accelerazioni angolari si possono determinare le accelerazioni di tutti i punti utilizzando la a Bn a BAn a A a Bt Figura 3.4. a BAt 59

66 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. 3.6 Approccio analitico: manovellismo di spinta centrato. Il manovellismo di spinta è un meccanismo che trova larghissima diffusione nelle applicazioni meccaniche. Ne è un esempio notevole il suo impiego nei motori endotermici; in figura 3.5 per esempio è riportato lo schema di un motore bicilindrico ad L di costruzione Ducati. Il meccanismo, nella sua versione più semplice monocilindrica, è composto di un membro rotante (manovella), Manovella Pistone Biella Figura 3.6. incernierato al telaio (basamento motore) ed a un Figura 3.5. membro intermedio (biella); la biella a sua volta è incernierata ad un membro detto pistone che può avere moto traslatorio alterno poiché è collegato al telaio (cilindro) mediante una coppia prismatica (Fig. 3.6). Lo scopo di questo tipo di meccanismi può essere vario: pura trasformazione di un moto rotatorio in un moto alterno; trasformazione di potenza generata da una forza che agisce sul pistone, in una potenza all albero (motore endotermico); trasformazione di una potenza all albero in energia di compressione di un gas (compressore); o altro. Ci occuperemo ora degli aspetti cinematici del meccanismo: data la velocità angolare costante della manovella, determinare il moto di tutti gli altri membri. Il manovellismo di spinta centrato che studiamo è rappresentato in figura 3.7. Il sistema ha gdl, perciò il suo stato può essere completamente rappresentato attraverso l unica coordinata angolare ϕ(t) della manovella. Indichiamo con l e r la lunghezza della biella e della manovella. Indichiamo con s B la posizione del pistone partendo dal punto morto superiore (ϕ =0), indichiamo poi con punto morto inferiore la posizione (ϕ =π). La posizione generica del pistone sarà: per il teorema dei seni abbiamo anche: Figura 3.7. s B =l+r+l cos γ -r cos ϕ 3.4 l sin γ =r sin ϕ 3.4 considerando che γ è sempre > π/ e dunque cos γ < 0, dalla 3.4 otteniamo: cosγ = λ sin ϕ 3.43 dove λ=r / l. Otteniamo: sb = r + λ sin ϕ rcosϕ λ λ 3.44 Consideriamo ora la 3.44 nel caso in cui λ <<; in particolare consideriamo il termine e facciamone lo sviluppo in serie di Taylor, ricordando che: λ sin ϕ 60

67 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. X X = + X + = X X = 0 ponendo X=λ sin ϕ si ha: λ sin ϕ λsin ϕ λ λcosϕ λ sin ϕ = + + = + = + λ λ e dunque: sb λ λ r + cosϕ cosϕ Valor medio Prima armonica Seconda armonica La 3.47 mostra come la legge di moto del pistone può essere sviluppata in una serie di funzioni armoniche di ϕ, il cui primo termine è ovviamente il valor medio. Il moto del pistone è perciò periodico, ma non armonico. Utilizzando la 3.47 otteniamo ora delle espressioni semplificate per velocità ed accelerazione: dsb dsb dϕ λ vb = = rω sinϕ + sin ϕ dt dϕ dt 3.48 λ ab rω [ cosϕ + λcos ϕ] + rω sinϕ + sin ϕ 3.49 dove d ϕ =Ω. dt Si noti che le espressioni trovate sono valide anche per velocità angolare non costante. 3.7 Analisi cinematica mediante funzioni complesse. Si introduce una metodologia molto utile per lo studio dei meccanismi piani. Questa metodologia si basa sull utilizzo della rappresentazione dei vettori piani mediante numeri complessi. Vediamo un esempio pratico: Consideriamo un corpo incernierato ad un telaio (Fig. 3.8). La posizione del punto P sul membro è data dal vettore r P. Il vettore r P può essere rappresentato nel piano complesso mediante un numero complesso avente come parte reale la componente orizzontale e come parte immaginaria la componente verticale (Fig. 3.9). Indichiamo con r P tale numero complesso e ricordiamo le formule di Eulero: rp = a+ jb ( j = ) Figura 3.9. rp = rp ( cosϑ + jsinϑ) j rp = rp e ϑ dove le componenti si possono esprimere come: Figura

68 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. a= r cos ϑ, b= r sinϑ 3.5 P P la velocità complessa si esprime semplicemente: ponendo ω = ϑ si ha: j / dato che j = e π si ha anche: v dr dt d dt ( j ϑ r () t P e ) P P = = 3.5 v j r e ϑ j P = ω P 3.53 P P j( + /) v = ω r e ϑ π 3.54 Il vettore velocità è dunque un vettore ruotato di π/ rispetto al vettore posizione (Fig. 3.30). Si lascia per esercizio il calcolo delle sue componenti mediante la 3.54 e le formule di Eulero. Determiniamo ora l accelerazione complessa: Figura d jϑ jϑ jϑ ap = v P = ( jω rp e ) = j ω rp e ω rp e 3.55 dt come si vede l accelerazione complessa è composta di due termini sfasati di π/ (vedasi figura3.3), che corrispondono all accelerazione tangenziale e centripeta. Esercizio. Si determini modulo e direzione dell accelerazione. Figura 3.3. Esempio: manovellismo di spinta. Applichiamo la metodologia suvvista ad un manovellismo di spinta centrato (Fig. 3.3). La chiusura vettoriale fornisce l equazione: r =r +r che in forma complessa si scrive: Figura 3.3. r r r r e + r jϑ jϑ3 = + = e si noti che r è reale, perciò si è omessa la rappresentazione complessa (Fig. 3.33). Figura

69 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. Dalla 3.57 ricaviamo: Re : Im : r = r 0 = r cosϑ + r sinϑ + r 3 3 cosϑ sinϑ da cui otteniamo: r = ϑ3 arcsin sinϑ r ovviamente anche la derivata di r è reale: r = = jω r e jω r jϑ + jω r e 3 3 cosϑ ω r jϑ 3 sinϑ + jω r 3 3 cosϑ ω r sinϑ considerando che la parte immaginaria della 3.60 è nulla, possiamo scrivere: ω r cosϑ + ω3 r3 cosϑ3 = da cui: ω r ω cosϑ 3 = 3.6 r3 cosϑ3 infine per l accelerazione si ha: r = r r 3 ( ω cosϑ + ω sinϑ ) ( ω cosϑ + ω sinϑ ) nella 3.63 è già stata imposta nulla la parte immaginaria, ciò implica però: ( ω sinϑ ω cosϑ ) r ω sinϑ ω = 3.64 r3 cosϑ3 cosϑ3 63

70 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. 3.8 Applicazione del principio dei lavori virtuali. Nel Capitolo è stata studiata la statica di meccanismi utilizzando le leggi di Newton, tale approccio si rivela abbastanza laborioso, dato che per determinare le forze esterne che assicurino l equilibrio, si devono calcolare tutte le forze interne (vincolari). Un approccio alternativo è basato sul principio dei lavori virtuali, tale approccio è sostanzialmente un bilancio energetico: il lavoro svolto dalle forze esterne motrici è pari a quello delle forze esterne resistenti più l eventuale lavoro perduto per attrito. È chiaro che per applicare il principio dei lavori virtuali occorre effettuare una analisi della cinematica del meccanismo, cioè occorre sapere quale è il moto dei membri soggetti a forze esterne. Consideriamo il quadrilatero articolato rappresentato in figura 3.34, il meccanismo è sottoposto all azione di una forza esterna P agente sul membro 4 e ad una coppia esterna M agente sul membro : data P vogliamo trovare M. Il punto Q di applicazione della forza P dista 5cm dal centro di rotazione del membro 4 (attenzione il disegno non è in scala :). Per applicare il principio dei lavori virtuali occorre imporre un atto di moto compatibile con i vincoli ed imporre che il lavoro totale compiuto dalle forze esterne sia nullo. Facciamo dunque ruotare idealmente il membro di un angolo infinitesimo, di conseguenza il membro 3 subirà una rototraslazione ed il membro 4 una rotazione. Il carico P si può scrivere come: 9.9 N P = 77.N A causa della rotazione dθ si una rotazione dθ 4 e conseguentemente uno spostamento del punto Q. Il vettore dr sarà dato da: 4.65cm dr = dθ4( k R ) = dθ4.84cm cm dθ P P 4 dθ 3 M θ =35 O dr O 4 4 Q θ 4 =68.4 R= OQ 4 Figura Principio dei lavori virtuali. Il bilancio energetico sarà dato dunque da: Mdθ + P dr = Mdθ dθ4 N cm = 0 N cm otteniamo: 64

71 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. dθ M = N cm dθ Resta da determinare il rapporto dθ 4 / dθ, ma ricordando la 3.6 e ricordando che le velocità angolari sono date da ω i =dθ /dt; si ottiene: dθ4 ω4 P4O = = = dθ ω PO 4 4 da cui si ottiene facilmente M=83. N cm 65

72 Capitolo 4 Richiami di dinamica del corpo rigido. Capitolo 4 Richiami di dinamica del corpo rigido. In questo Capitolo si richiamano alcuni semplici concetti di dinamica del corpo rigido. Si seguono le notazioni di (H. Goldstein, 986). 4. Dinamica del corpo rigido: equazioni fondamentali e casi notevoli. La risultante F delle forze applicate al corpo deve essere pari alla variazione della quantità di moto Q del corpo stesso. mentre il risultante dei momenti applicati (rispetto al polo A) è: dq F = 4. dt dk A M A = + v A Q dt 4. La quantità di moto è: Q = vρdv (quantità di moto) 4.3 V l integrale è esteso al volume del corpo, v(x, y, z) è la velocità di un punto generico del corpo, ρ è la densità del corpo. Il momento della quantità di moto è: K A r vρdv 4.4 = V se si tiene conto che il corpo è in moto rototraslatorio si può scrivere: Q = mv + Ω S 4.5 A dove il punto A è un punto del corpo scelto (Fig. 4.) per calcolare il momento statico S A : A S A = rρ dv 4.6 V le relazioni suvviste discendono dalla ben nota: A r P V v = v A + Ω r Figura si noti che dal momento statico si può ricavare il baricentro (Fig. 4.): 66

73 Capitolo 4 Richiami di dinamica del corpo rigido. A r G G S A m = r G = V rρ dv V ρ dv 4.8 Figura 4.. Il momento della quantità di moto si può scrivere: K = S v J Ω 4.9 A A A + A dove J A è la matrice d inerzia: J Ax J Axy J Axz J A = J Ayx J Ay J Ayz 4.0 J Azx J Azy J Az La matrice d inerzia è sempre simmetrica, anche se nella 4.0 ciò non è evidenziato, infatti: ( ), ( ), ( ) J = r r ρdv J = r r ρdv J = r r ρdv Ax x Ay y Az z V V V ( ), ( ), ( ) J = r r ρdv J = r r ρdv J = r r ρdv Axy x y Axz x z Ayz y z V V V 4. per esprimere le 4. si è considerato il sistema di riferimento rappresentato in figura 4.3 con origine in A. z r z r r y y r x x Figura

74 Capitolo 4 Richiami di dinamica del corpo rigido. Casi particolari. A fisso (per esempio O) In questo caso v A =0 ed otteniamo: K = J Ω 4. O O A G (baricentrale) In questo caso S A =0 ed otteniamo: K = J Ω 4.3 G G In entrambi i casi A fisso o A G (baricentrale) si ha: In tali casi abbiamo: K = JΩ 4.4 dk d A M A = = dt dq F= = mag dt ( J Ω) A dt 4.5 Si noti che la seconda delle 4.5 è vera sempre. Perciò se A è fisso o A G (baricentrale) si ha: ( J Ω) d A MA = = JAΩ + Ω K A 4.6 dt la 4.6 fa riferimento agli assi corpo, in particolare la derivata indicata col punto ( Ω ) deve essere fatta rispetto agli assi corpo. Assi principali di inerzia Se gli assi corpo sono principali di inerzia allora: J = 0, J = 0, J = Axy Axz Ayz cioè la matrice di inerzia è diagonale, in tal caso la 4.6 diventa: ( ) M = J Ω J J Ω Ω Ax Ax x Ay Az y z ( ) M = J Ω J J Ω Ω Ay Ay y Az Ax x z ( ) M = J Ω J J Ω Ω Az Az z Ax Ay x y 4.8 Caso: Ω x =Ω y =0, asse z baricentrico e principale di inerzia (J Axz =J Ayz =0) JAx JAxy J 0 Axz i j k 0 K Ay JAyx JAy JAyz Ω z = JAz 0 +Ω z + KAx JAzx JAzy J Az KAx KAy K Az 0 Ω z Ω z 4.9 ma: 68

75 Capitolo 4 Richiami di dinamica del corpo rigido. perciò K Ay = K Ax =0, dunque: 0 KA = JΩ = J Az Ω z 0 M = JΩ + Ω K = JΩ + Ω ( JΩ) = J Az 0 Ω z da aggiungere sempre la seconda delle Caso: Ω x =Ω y =0, asse z baricentrico ma non è principale di inerzia JAx JAxy J 0 Axz i j k J Axz K Ay M = JAyx JAy JAyz Ω z =Ω z JAyz +Ω z + KAx JAzx JAzy J Az KAx KAy K Az 0 Ω z J Az 4. ma: J Axz KA = JΩ =Ωz J Ayz 4.3 J Az perciò J Axz J Ayz M =Ω z JAyz +Ω z + JAxz 4.4 J 0 Az Vediamo che, al contrario del caso di asse principale di inerzia, si ha che anche in caso di rotazione a velocità angolare costante si determina un momento. Questo è il tipico esempio dello squilibrio dinamico di un rotore. Caso: Ωx=Ωy=0, asse z principale di inerzia, ma non baricentrico Al solito i momenti di deviazione (o prodotti di inerzia) sono nulli, cioè la matrice d inerzia è diagonale. F= ma G 4.5 dove in modulo m a G =m r Ω z, r è la distanza del baricentro dall asse di rotazione. Per i momenti si ha: M x =M y =0, M z =J z Ω 4.6 z Caso: moto parallelo ad un piano contenente due assi principali di inerzia (piano di simmetria) Questo è il caso di riferimento per i meccanismi piani. F = mx, F = my, M = JΩ 4.7 x G y G z z 69

76 Capitolo 4 Richiami di dinamica del corpo rigido. Assale ferroviario Nei treni (Fig. 4.4) le ruote di un assale sono rigidamente collegate tra loro e montate su un telaio. In figura 4.5 è rappresentato uno schema di un assale ferroviario. L assale è composto di due ruote collegate rigidamente ad un asse che a sua volta potrà essere collegato al telaio del treno mediante coppie rotoidali oltre che ovviamente dei sistemi di sospensione volti a migliorare comfort e caratteristiche dinamiche del treno. Vogliamo studiare le azioni dinamiche di un assale in curva. Innanzitutto fissiamo un sistema di coordinate fisso (ξ, η, z) e mobile solidale all assale (x, y, z); entrambi sono baricentrali e l asse comune z coincide con l asse dell assale (Fig. 4.5). Figura 4.4. y η Ω η Ω z t x ξ Ω z z Figura 4.5. Assale ferroviario L assale è inoltre simmetrico rispetto all asse z, c è una ulteriore simmetria rispetto ai due piani fisso o mobile. Viste le forti simmetrie gli assi (x,y,z) sono principali d inerzia oltre che baricentrali. Poiché il treno è in curva all assale sono imposte due velocità angolari: una velocità angolare Ω z dovuta all avanzamento (si ha anche in moto rettilineo), una velocità angolare Ω η attorno all asse verticale fisso dovuta alla curva. Scriviamo la velocità angolare sugli assi corpo: 70

77 Capitolo 4 Richiami di dinamica del corpo rigido. Ω =Ω sin Ω t, Ω =Ω cos Ω t, Ω =Ω x η z y η z z z Ω =Ω Ω cos Ω t, Ω = Ω Ω sin Ω t, Ω = 0 x η z z y η z z z 4.8 Il momento necessario a mantenere in moto l assale è: dove: M = JΩ + Ω K 4.9 J Ax 0 0 J = 0 J Ay 0, 0 0 J Az J x 0 0 Ωx J xωx K = JΩ = 0 Jy 0 Ω y = JyΩy J z Ωz J zωz inoltre: i j k Ω K = Ω Ω Ω 4.3 x y z Ω J Ω J Ω J x x y y z z si noti che J x =J y per la simmetria rispetto al piano (x,y), perciò: Da cui otteniamo: ( J J ) z y ΩΩ y z Ω K = ( Jx Jz) ΩxΩz ( ) η cos ( ) M = J Ω + J J Ω Ω = J Ω Ω Ω t+ J J Ω cosω t Ω x x x z y y z x z z z y η z z ( ) sin ( ) M = J Ω + J J Ω Ω = J Ω Ω Ω t+ J J Ω sin Ω t Ω 4.33 M y y y x z x z x η z z x z η z z z = 0 che si semplificano: M = J Ω cosω t Ω x z η z z M = J Ω sin Ω t Ω M y z η z z z = Le 4.34 danno le componenti di M sugli assi mobili; riproiettando sugli assi fissi (Fig. 4.6) si ha: M M M ξ η z = J ΩΩ = 0 = 0 z η z

78 Capitolo 4 Richiami di dinamica del corpo rigido. y η J Ω cosω t Ω z η z z x Ω z t J Ω Ω z η z ξ J Ω sin Ω t Ω z η z z Figura 4.6. In definitiva otteniamo un momento avente come unica componente quella sull asse ξ; ciò implica che questo momento esterno da applicare per mantenere l equilibrio dinamico si oppone ad un effetto ribaltante dovuto alle azioni giroscopiche dell assale. L assale tenderebbe a ribaltarsi verso l esterno della curva, cioè a sollevare la ruota interna. 4. Energia cinetica del corpo rigido. Calcoliamo l energia cinetica di un corpo rigido (Fig. 4.7), essa si ottiene semplicemente sommando tutti i contributi energetici di ogni elemento infinitesimo del corpo: ricordando che: si ha: T = v v ρ dv 4.36 V v= va + Ω r 4.37 A r Figura 4.7. P v V Ω S v Ω J Ω 4.38 T = mv A + A A + A vediamo dei casi interessanti: Caso: A fisso ( O) In questo caso v A =0 e si ottiene: Caso: A G In questo caso S G =0 e si ottiene: T = Ω JOΩ 4.39 Ω J Ω 4.40 T = mv G + G Caso di moto piano (piano x,y di simmetria) 7

79 Capitolo 4 Richiami di dinamica del corpo rigido. T = mvg + Ω JG 4.4 se inoltre si ha rotazione attorno ad un asse z : v G =rω ; e dunque: T = Ω ( mr + JG) = Ω Jz' 4.4 abbiamo ritrovato il teorema del trasporto. 4.3 Metodo delle masse di sostituzione Si tratta di un approccio classico usato nelle applicazioni tecniche molto utile per analizzare la dinamica di un corpo rigido mediante una formulazione che si presti all intuito fisico. Si sostituisce il corpo rigido con un certo numero di masse puntiformi, rigidamente collegate tra loro (Fig. 4.8); si impone poi che il sistema di masse sia dinamicamente equivalente al corpo studiato. Lasciamo per ora indeterminato il numero delle masse, ma consideriamo fisse le loro posizioni nel sistema di riferimento solidale al corpo. Per l equivalenza si deve avere: pari massa m= m i 4.43 z stessa posizione del baricentro m i mx i i = 0, my i i = 0, mz i i = m... y stessa inerzia rotazionale x m Figura 4.8. J m y z J m x z J m x y x = i( i + i ), y = i( i + i ), z = i( i + i ), J = m x y, J = m x z, J = m y z xy i i i xz i i i yz i i i 4.45 Abbiamo scritto 0 equazioni, perciò se si utilizzano 0 masse il problema si può risolvere in quanto è di tipo algebrico lineare. Caso piano m= m i 4.46 mx i i = 0, my i i = Jz = mi( xi + yi ) 4.48 servono solo 4 masse. Se le masse sono allineate su una retta passante per il baricentro allora servono soltanto 3 masse. 73

80 Capitolo 4 Richiami di dinamica del corpo rigido. Uso di sole masse più un momento di inerzia fittizio nel caso piano Vediamo questo metodo attraverso una delle applicazioni più comuni: la biella di un manovellismo (4.0). B G A b a m b J 0 m a Figura 4.9. Masse di sostituzione: biella. Sia m b la massa della biella e J b il momento d inerzia baricentrico, inoltre l=a+b è la lunghezza della biella. L equivalenza dinamica ci fornisce le: da cui ricaviamo: mb = ma + mb 4.49 mb+ ma= B A A B 0 b ma + mb + J = J 4.5 b a m = A mb, mb mb, J0 Jb mbab l = l = Dinamica del manovellismo di spinta In questa lezione si studiano le azioni meccaniche agenti su un manovellismo di spinta, con particolare riferimento alle azioni di inerzia nascenti dal moto alterno del pistone. Tali azioni d inerzia sono di notevole importanza nella generazione delle vibrazioni indotte in tale tipo di meccanismo. L applicazione principale, come noto, è da riferirsi ai motori endotermici, per i quali, le vibrazioni prodotte influenzano notevolmente il comfort del veicolo. Nell analisi si scinderanno gli effetti statici dagli effetti dinamici in due analisi separate; tali effetti potranno in ogni caso essere sommati, poiché vale il principio di sovrapposizione degli effetti Azioni statiche. In un motore endotermico la forza motrice nasce sul cielo del pistone, dove agiscono le forze di pressione. In figura 4. si indica con P la risultante della pressione agente sul pistone; essa ha direzione parallela all asse della guida (cilindro). Figura

81 Capitolo 4 Richiami di dinamica del corpo rigido. Analizzando l equilibrio del pistone si vede che esso è caricato dal telaio (S 4 ) e dalla biella (S ). Dopo aver ricavato la S si ricava facilmente la S 3 dall equilibrio della biella, ed infine il momento motore M r. È chiaro che a causa della variazione della posizione della biella, a parità di P si avrà un momento motore variabile con l angolo di posizione della manovella. Inoltre si tenga presente che la forza P in generale varia a seconda della posizione del pistone. Il momento motore risultante è perciò variabile Azioni dinamiche. Ipotizziamo che la velocità angolare della manovella sia costante. Inoltre si procede all analisi delle varie forze di inerzia separatamente per i vari membri del meccanismo. Azioni di inerzia sulla biella. Utilizziamo il metodo delle masse di sostituzione. In particolare sostituiamo alla biella un sistema di due masse, posizionate sui centri delle coppie rotoidali, più un momento di inerzia fittizio. Ovviamente si ipotizza che il baricentro della biella si trovi sulla retta passante per le due coppie rotoidali (Fig. 4.). B G A m b J 0 m a b l a Figura 4.. Dinamica del manovellismo: inerzia biella. Ricordiamo le relazioni: b a m = A mb, mb mb, J0 Jb mbab l = l = 4.53 dove abbiamo definito: m b la massa della biella, J b il momento d inerzia baricentrico, l=a+b lunghezza della biella. Figura 4.3. Dinamica del manovellismo: azioni di inerzia. A causa del moto alterno del punto B (Fig. 4.3) nasce una forza di inerzia legata alla accelerazione di B ed alla massa equivalente m A della biella in B. Il punto A si muove invece di moto circolare uniforme, perciò nascerà una forza centrifuga legata all accelerazione centripeta di B ed alla massa equivalente della biella in A. 75

82 Capitolo 4 Richiami di dinamica del corpo rigido. Figura 4.4. Dinamica del manovellismo: coppia di inerzia. Come è noto la biella si muove di moto rototraslatorio non uniforme, essa sarà soggetta ad una accelerazione angolare; nascerà dunque una coppia di inerzia pari a J0γ e di verso opposto a γ. Ricordiamo le relazioni cinematiche relative al manovellismo di spinta: differenziando la 4.54 si ha: sinγ=r sinϕ 4.54 γ cosγ = λωcosϕ 4.55a γ cosγ γ sinγ = λω sinϕ 4.55b dove λ= r/. Se λ<< allora γ π, cosγ - e sinγ 0; utilizzando tali semplificazioni si ha: γ λωcosϕ, γ λω sinϕ 4.56a La coppia d inerzia, risultante dall accelerazione angolare della biella, si può scrivere in maniera equivalente come un sistema di due forze uguali in modulo e di verso opposto. In modulo tali forze si possono ricavare nel seguente modo: YA cos = J Ω 4.56b γ 0λ sinϕ Figura 4.5. Coppia equivalente. da cui: J0λΩ sinϕ J0rΩ sinϕ YA = cosγ Le forze di inerzia agenti sul punto B sono legate all accelerazione del pistone (eq. 3.49) ed alla somma della massa del pistone più la massa equivalente della biella in B. Consideriamo separatamente i vari contributi inerziali: F r si scarica direttamente sul perno di banco.. F a si scarica direttamente sul banco attraverso biella e manovella. Inoltre si scompone nella somma (S 4 + S ) Figura 4.6. Inerzie pistone e manovella. 76

83 Capitolo 4 Richiami di dinamica del corpo rigido. causando una forza che agisce sul mantello. Infine da un contributo inerziale alla rotazione della manovella e dunque una componente fluttuante che influisce sulla coppia all albero. 3. Y B si scarica sul mantello del cilindro (banco). 4. Y A si scarica sul perno di banco attraverso la manovella 3, inoltre da luogo ad un piccolo contributo inerziale alla rotazione della manovella e dunque una componente fluttuante che influisce sulla coppia all albero. Le maggiori sollecitazioni che arrivano al banco sono dovute a F r e S 43, in particolare di quest ultima è particolarmente importante la sua componente F a. Tali forze sono responsabili di grosse sollecitazioni sugli organi meccanici e vibrazioni Compensazione delle forze d inerzia. Per quanto detto in precedenza ci occupiamo della compensazione di F r e F a. Il bilanciamento della F r è molto semplice, tale forza è dovuta al moto rotatorio della manovella. Si ha una massa equivalente della biella concentrata in A ed una massa della manovella concentrata nel suo baricentro. Possiamo allora pensare ad una manovella conformata come quella in figura 4.7, dove il baricentro è all opposto dell occhio di biella rispetto all asse di rotazione. Matematicamente ciò significa imporre: b mb b mr m G+ mr b = 0, rg= r, 4.58 m m Figura 4.7. La 4.58 ci fornisce quantitativamente la posizione del baricentro; in sostanza ci permette di progettare il contrappeso. La compensazione di F a è più complessa, la sua forma analitica è: a F a mp + mb rω [ cosϕ + λcos ϕ] = FaI + FaII 4.59 La F a si compone perciò di due parti: una forza del primo ordine avente pulsazione pari a Ω (cos ϕ=cosωt) ed una forza del secondo ordine avente pulsazione pari a Ω. Figura 4.8. Compensazione forze di inerzia del primo ordine. Osservando la figura risulta immediato che la F ai può essere scomposta come la somma di due forze H aventi modulo costante e rotanti una in senso orario e l altra in senso antiorario. Il modulo di tali forze è: a H = mp + mb rω

84 Capitolo 4 Richiami di dinamica del corpo rigido. Delle due forze aventi modulo H, quella avente lo stesso verso di rotazione dell albero (ed anche la stessa velocità angolare ovviamente) si può bilanciare facilmente allo stesso modo visto in precedenza, cioè aggiungendo una opportuna massa al contrappeso della manovella. La seconda forza, quella controrotante, si può bilanciare mediante un albero separato avente stessa velocità angolare dell albero motore, ma verso opposto. La forza alterna F aii si può scomporre nello stesso modo della F ai ; si otterranno due forze controrotanti, aventi modulo costante. Tali forze però ruoteranno ad una velocità angolare doppia rispetto all albero motore. In tal caso l equilibratura si può ottenere mediante due alberi controrotanti ed aventi velocità angolare doppia rispetto a quella dell albero motore (Fig. 4.9). Figura 4.9. Compensazione forze di inerzia del secondo ordine. Nei motori pluricilindrici le forze del primo ordine sono spesso bilanciate naturalmente (caso del 4 cilindri in linea). In questi casi si ha la necessità di soli due alberi per avere l eliminazione delle forze del secondo ordine. Si tenga presente che la presenza di alberi di equilibratura complica molto la meccanica ed aumenta i costi, perciò la presenza di questi dispositivi non è molto diffusa nei mezzi di uso comune. 78

85 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. 5. Attrito radente: teoria Coulombiana Nel caso ideale (assenza di attrito) la forze che si scambiano due solidi sono ortogonali alla normale alle superfici nel punto di contatto (Fig. 5.). Ciò avviene anche se si determina moto di strisciamento tra i corpi. Nel caso reale, se tra i corpi c è una interazione mutua, allora la forza che si scambiano potrà essere non ortogonale alle superfici, pur restando sempre uguali e contrarie le forze che i due corpi si scambiano. Il modello di attrito più semplice è quello Coulombiano. Supponiamo che un corpo avente peso F n sia appoggiato su una superficie piana e che abbia una certa velocità v di traslazione (Fig. 5.). Dall azione di contatto tra le superfici nascerà: una forza di reazione uguale e contraria ad F n e una forza di attrito che si oppone al moto: v Figura 5.. T=f F n 5. Figura 5.. F n Dove f è detto coefficiente di attrito: esso è adimensionale e, nella teoria Coulombiana, è considerato costante, cioè non dipende dalla pressione agente sulle superfici, né dalla velocità relativa tra i corpi. Nella realtà le cose sono più complicate, ma spesso questa teoria semplificata può essere ritenuta ingegneristicamente accetabile. Ovviamente, per mantenere lo stato di moto uniforme, al corpo dovremo applicare dall esterno una forza uguale e contraria a T, altrimenti il corpo avrebbe un moto uniformemente ritardato. Riassumendo: o o o f non dipende dalla pressione di contatto (dalle forze normali e dall estensione della superficie di contatto) f non dipende dalla velocità relativa f dipende dai materiali e dallo stato di finitura delle superfici Si noti che la reazione complessiva del supporto può essere composta come in figura 5.3. Si ha che la risultante è inclinata di un angolo costante dato da: T tanϕ = = f 5. F n R ϕ T Figura

86 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. Per mantenere il corpo in moto uniforme occorre che il sistema di forze applicato al corpo sia equilibrato, cioè abbia risultante nulla e risultante dei momenti nulla (vedasi lo schema in figura). F n F F ϕ v Si noti che la forza di attrito T ha verso contrario alla velocità v: o le forze di attrito si oppongono al moto relativo compiono sempre lavoro negativo dissipano energia. R T Figura 5.4. Si noti che la condizione T=f F n è condizione limite: o o se F t >f F n il corpo accelera, per esempio può passare dalla quiete al moto relativo se F t <f F n il corpo decelera, per esempio può passare dal moto alla quiete, oppure, se è in quiete vi rimane indefinitamente. Pensando alla realtà, cioè a corpi tridimensionali, possiamo dire che: o o o se la forza che sollecita il corpo è interna ad un cono avente semi-apertura ϕ, allora lo stato finale sarà la quiete se la forza che sollecita il corpo è esterna ad un cono avente semi-apertura ϕ, allora si avrà aumento indefinito della velocità la forza che sollecita il corpo è su un cono avente semi-apertura ϕ, allora il corpo rimarrà indefinitamente nello stato in cui è. In realtà le cose sono un più complesse: f dipende sia dalla pressione che dalla velocità, in particolare da quest ultima nella distinzione tra moto e quiete. Un miglioramento al modello, ma senza troppe complicazioni è il seguente: o o o si indichi f a l attrito di primo distacco, cioè quello che si ha a velocità nulle o ridottissime si indichi f d l attrito di dinamico, cioè quello che si ha a velocità non nulle in genere si indichi f a > f d Di conseguenza definiremo due coni: uno di primo distacco ed uno dinamico, il secondo interno la primo. Per iniziare lo slittamento dovremo esercitare una certa forza tangenziale, poi, dato che le veocità aumentano subito, si avrà una riduzione della reazione di attrito T e, per mantenere un moto uniforme, dovremo ridurre la forza tangenziale esterna. Questo comportamento spiega bene perché nella frenata di una automobile, lo slittamento dei pneumatici determina un allungamento degli spazi di frenata. 80

87 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. f (coefficiente di attriti) Velocità [m/s] Figura 5.5. In figura 5.5 possiamo vedere un tipico andamento del coefficiente di attrito con la velocità: come si vede si ha una variazione continua; dato però che la scala delle ascisse è logaritmica, in verità si ha un brusco calo del coefficiente di attrito dalle bassissime velocità a velocità finite, dopodiché l andamento è pressoché costante. È da notare inoltre che, a rigore, il coefficiente di attrito dipende anche da: o Pressione: al diminuire della pressione si ha un incremento del coefficiente di attrito. Ciò spiega l impiego di pneumatici larghi sulle automobili, nel caso in cui si voglia aumentare l aderenza. o Temperatura: tende a diminuire con l aumento della temperatura in modo non lineare. 5. Cenni su: usura e teorie sull attrito. In questo paragrafo si fanno brevi cenni sui meccanismi fisici che generano le azioni di attrito. Quando due superfici di corpi reali entrano in contatto, il contatto stesso non avverrà su tutta la superficie, ma a causa della rugosità superficiale soltanto alcune zone entreranno in contatto. In queste zone si determinano delle forti pressioni, notevolmente più elevate di quella nominale. L attrito può essere giustificato dalle seguenti fenomenologie: Figura 5.6. o o Microgiunzioni dovute alle zone ad elevata pressione a causa della quale si può avere plasticizzazione e saldatura tra i materiali. La resistenza a rottura del materiale a taglio nelle zone di giunzione dà origine a forze tangenziali (attrito). Interazione meccanica sui fianchi delle asperità. Anche in questo caso la resistenza alla deformazione dà origine a forze tangenziali. Come si vede la presenza dell attrito è sempre legata anche a fenomeni di usura. Infatti, durante i processi descritti si ha una continua asportazione microscopica di materiale, che porta nel tempo ad una usura dei pezzi a contatto. L usura è un fattore molto importante che può determinare il degrado, fino alla rottura, di un componente di una macchina. A causa dell usura possono aumentare i giochi tra gli elementi 8

88 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. cinematici, con i seguenti possibili malfunzionamenti: perdita di precisione nella trasformazione del moto; urti tra i pezzi accoppiati, con conseguente innesco di altri fenomeni di rottura; vibrazioni, con conseguenti effetti di rumorosità e rotture a fatica; fenomeni di instabilità dinamica. Per ridurre attrito ed usura è possibile intervenire attraverso la lubrificazione degli organi. In sostanza si tratta di interporre del fluido (olio, grasso o altro) tra i corpi in contatto. La lubrificazione porta i seguenti benefici: o o o Riduzione delle microgiunzioni Riduzione delle zone in contatto diretto Riduzione della resistenza nelle zone di microgiunzione Nel caso in cui il fluido interposto non determini la completa separazione tra le due superfici, ma esistano sempre zone in cui i corpi vengono in contatto direttamente, si dice che si è in condizione di lubrificazione limite. Nella tabella 5. seguente si riportano alcuni valori del coefficiente di attrito. Tabella 5.. Coefficienti di attrito. Condizioni superfici Materiali coefficiente di attrito dinamico f d assenza lubrificazione lubrificazione limite di coefficiente di attrito di primo distacco f a acciaio/teflon 0.05 acciaio/acciaio ghisa/acciaio acciaio/nailon acciaio/bronzo fosforoso 0.3 (acciaio, ghisa)/materiale freni rame/rame bronzo/bronzo cromo/cromo PVC/acciaio acciaio/elastomeri.6-0 acciaio/acciaio acciaio/bronzo acciaio/metallo bronzine ghisa/acciaio Semplice modello per la valutazione dell usura: ipotesi di Reye. L ipotesi di Reye si enuncia molto semplicemente: VOLUME DI MATERIALE ASPORTATO LAVORO DELLE FORZE DI ATTRITO Cioè: V=K L p 5.3 8

89 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. 5.4 Attrito volvente. In questo paragrafo si tratta il problema delle dissipazioni che si determinano nel rotolamento: il rotolamento può avvenire tra superfici non combacianti. Il contatto si ha su un punto o su una linea nel caso di corpi perfettamente rigidi. In realtà tutti i materiali sono deformabili, il contatto si sviluppa perciò sempre su una area. Lo studio dei problemi di contatto è un argomento molto complesso che esula dagli obiettivi di questo corso. Qui si fanno alcuni cenni alla teoria di Hertz sulle deformazioni di alcuni tipi di corpi deformabili a contatto, sottoposti ad azioni di compressione, ma senza strisciamento. Figura 5.7. Sfera su sfera. Consideriamo due sfere di raggio R R sottoposte all azione di una forza di compressione Q (Fig. 5.8). Le due sfere si deformeranno nella zona di contatto, che passerà da un punto (corpi rigidi) ad una superficie circolare avente raggio r: Q =., ρ Eρ R r 3 = + R 5.4 nella deformazione i centri delle sfere si avvicineranno di una quantità a proporzionale a Q /3. sfere rigide Q sfere elastiche Q r Q Q Figura

90 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. Cilindri. In questo caso immaginiamo che due cilindri di raggio R R siano sottoposti ad un carico distribuito linearmente in direzione normale all asse e passante per il punto ideale di contatto (Fig. 5.9). Si avrà una distribuzione uniforme del carico che determina una deformazione nella zona di contatto. La superficie di contatto sarà ora rettangolare dove: Q b = Eρ con lo stesso significato dei simboli usati nella 5.4. Nel caso dei cilindri l avvicinamento degli assi è proporzionale alla risultante Q del carico. p=q/l p=q/l l l b Figura 5.9. Riassumendo: Sfere Raggio area di contatto r Q /3. Avvicinamento a Q /3. Cilindri Larghezza area di contatto b Q /. Avvicinamento a Q. 84

91 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. Effetti del rotolamento. Nel caso in cui due corpi perfettamente R elastici in contatto rotolino l uno sull altro, l andamento delle pressioni di contatto (vedi figura 5.0), è perfettamente identico al caso in cui non c è rotolamento: le pressioni di contatto hanno un andamento simmetrico rispetto alla normale alle superfici nel punto di contatto ideale. Il risultato è che la risultante del campo di pressione è normale alla superficie ed è applicata esattamente nel punto di contatto ideale. Da un punto di vista macroscopico, cioè considerando solamente le risultanti delle forze, la situazione è perfettamente analoga al rotolamento tra corpi perfettamente rigidi. In pratica non si ha Figura 5.0. nessun effetto dissipativo, poiché, per definizione, deformazioni elastiche non dissipano energia. La realtà è diversa, sappiamo bene che una ruota che rotola su un piano prima o poi si ferma. Cosa dissipa l energia cinetica? Sommariamente possiamo dire che una ruota che rotola liberamente su di un piano è soggetta a due azioni dissipative: effetti di attrito interno nei materiali che si deformano, dissipazioni di carattere fluidodinamico; ci occuperemo di una descrizione dei primi. Due corpi reali che si deformano possono avere i seguenti tipi di effetti dissipativi: Elasto-plastico: il corpo deformato riacquista solo parzialmente la posizione indeformata (si pensi ad un pneumatico che rotola su un terreno sabbioso, il terreno resta deformato). Isteresi: il corpo recupera la posizione iniziale, ma restituisce una forza minore rispetto a quanto speso in fase di deformazione di compressione. Q R Nel rotolamento, a causa degli effetti isteretici e/o di plasticità, si determina una dissimmetria nell andamento delle pressioni (Fig. 5.). La risultante delle azioni che il terreno esercita sulla ruota si sposta perciò in avanti, nel senso del moto, di una certa quantità δ. Per mantenere la ruota in moto uniforme occorre perciò esercitare una azione motrice, per esempio un momento: M = Q δ 5.6 Figura 5.. δ 85

92 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. Il lavoro compiuto da M equivale al lavoro dissipato dall attrito volvente: Si definiscono: f s coefficiente di attrito volvente δ parametro di attrito volvente. L p =M Θ = Q δ s / R = Q f s s 5.7 La 3.7 fa riferimento al lavoro compiuto da M in una generica rotazione Θ che corrisponde ad uno spostamento s. L ultima parte della 5.7 è formalmente uguale alla formula dell attrito radente, anche se il significato fisico dei simboli è completamente diverso, facendo riferimento a un fenomeno legato al rotolamento senza strisciamento. Tabella 5.. Valori di massima del coefficiente di attrito volvente Cuscinetti radiali orientabili a sfere Cuscinetti assiali a sfere Cuscinetti radiali rigidi a sfere Cuscinetti a rulli cilindrici Cuscinetti orientabili a rulli Cuscinetti a rulli conici Cuscinetti obliqui a sfere 0.00 Ruota su rotaia (D è il diametro ruota espresso in mm 0.06 D Pneumatico su strada 0.0 Fatica superficiale. Anche nel caso del rotolamento si può andare incontro a fenomeni di deterioramento dei materiali. La massima sollecitazione del materiale deformato si ha negli strati appena sottostanti la superficie di contatto. Con cicli ripetuti di sollecitazione si possono creare nel materiale delle fessurazioni e lo sfogliamento del materiale, questo fenomeno è detto vaiolatura o pitting. Anche se in generale la presenza di un lubrificante migliora l usura, la fatica superficiale può essere rilevante anche in caso di buona lubrificazione, poiché dipende soltanto dalle pressioni in gioco. È il caso delle ruote dentate: anche se la lubrificazione è garantita poiché sono generalmente a bagno d olio, se le pressioni di esercizio sono troppo elevate, si può avere vaiolatura. 86

93 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. 5.5 Rendimenti Macchine o Trasformano l energia (lavoro, potenza) In generale nelle macchine agiscono forze e/o coppie. Classificazione. Forze esterne: forze esercitate su un membro del meccanismo dall esterno. Forze interne: forze che i vari membri del meccanismo si scambiano reciprocamente. Forze motrici: forze esterne che compiono lavoro positivo. Forze resistenti: forze esterne che compiono lavoro negativo Definizioni. Nelle macchine si determinano delle perdite di energia la cui conseguenza è che non tutta l energia fornita alla macchina arriva all utilizzatore. Le cause delle perdite si possono genericamente identificare: Parti in movimento: corpi a contatto, moti relativi, strisciamenti ed attrito. Presenza di fluidi: lubrificazione, raffreddamento, perdite dovute alla visosità. Le forze di attrito compiono sempre lavoro negativo. L attrito è la causa della dissipazione di energia. Definizioni. L m lavoro compiuto dalle forze motrici L r lavoro compiuto dalle forze resistenti (utilizzatore) L p lavoro compiuto dalle forze di attrito Per convenzione il lavoro sarà considerato in valore assoluto. Equazione dell energia. Per un sistema possiamo scrivere l equazione del bilancio energetico: L m - L r - L p = ΔE 5.8 La somma dell energia fornita o sottratta ad un sistema meccanico si traduce in una variazione di energia interna. I lavori vanno presi in valore assoluto. ΔE è la variazione di energia interna (cinetica, potenziale, termica ecc.). Per ciò che concerne la presente trattazione si farà riferimento soltanto all energia cinetica, se non diversamente specificato. Regime assoluto. Consideriamo un sistema in cui ΔE sia costantemente nulla in un certo intervallo di tempo (di osservazione). In tal caso l equazione dell energia si riduce a: L m = L r + L p t (t, t ) REGIME ASSOLUTO 5.9 Regime periodico. Consideriamo ora un sistema in cui E fluttui periodicamente, ciò significa che ΔE fluttuerà e sarà nulla periodicamente. Se indichiamo con T il periodo di oscillazione dell energia si può scrivere: 87

94 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. L m = L r + L p, t=t, t +T, t +T, t +3T REGIME PERIODICO 5.0 Rendimento. In condizioni di regime (assoluto o periodico) su definisce il rendimento di una macchina: L r η = 5. Lm In condizioni ideali (L p = 0) non si ha perdita di energia e tutto il lavoro fornito raggiunge l utilizzatore. condizioni ideali η = Definiamo il lavoro motore in condizioni ideali, immaginando di fare riferimento ad un certo lavoro assorbito dall utilizzatore: condizioni ideali L m0 =L r 5. In condizioni reali una parte di energia si perderà per attrito, per fornire all utilizzatore sempre la stessa energia dovrà ovviamente variare (aumentare) il lavoro motore fornito dall esterno alla macchina. Possiamo allora riscrivere il rendimento in forma equivalente: condizioni reali Lm 0 η = 5.3 L m Nel caso in cui la forza (o coppia) motrice sia costante, e solo in questo caso, si può anche scrivere il rendimento in termini di forza: P 0 η = 5.4 P dove P 0 è la forza motrice in condizioni ideali, mentre P è quella in condizioni reali. Considerando le possiamo riscrivere il rendimento: Lp η = 5.5 L m 5.5. Rendimenti di macchine in serie ed in parallelo Schematizziamo le macchine come delle scatole aventi un ingresso (lavoro motore), un uscita (lavoro resistente) ed una perdita interna (lavoro perduto): 88

95 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. motore L m Macchina (es. riduttore) L r utilizzatore L p Figura 5.. Macchine in serie. Colleghiamo un motore (es un motore elettrico) ad un utilizzatore (es. una macchina utensile), immaginiamo però che il numero di giri del motore non sia adatto alla macchina utensile, perciò abbiamo bisogno di un sistema che riduca il numero di giri; immaginiamo inoltre che per motivi costruttivi la trasformazione del moto non possa essere eseguita con un unico dispositivo, ma si ha la necessità di successive trasformazioni. In astratto ciò si può genericamente indicare con lo schema delle macchine in serie come rappresentato in figura 5.3. η L m =L η η 3 η n m L motore T r =L m L r =L m3 L r(n-) =L mn L rn =L r T T 3 T n utilizzatore L p L p L p3 L pn Figura 5.3. Calcoliamo il rendimento globale di questo sistema: L r =η n L mn =η n η n- L m(n-) = η n η n- η n- L m(n-) = L m η k 5.6 Il rendimento delle macchine in serie è dunque il prodotto di tutti i rendimenti delle macchine che sono collegate in cascata. n n k= η = η k 5.7 k= Commenti: il rendimento di una macchina incide direttamente sul rendimento complessivo basta una sola macchina con basso rendimento per fare calare il rendimento complessivo Macchine in parallelo. Immaginiamo ora di avere un certo numero di utilizzatori che prendono potenza direttamente da un motore, ovviamente attraverso dei dispositivi di trasformazione: per esempio possiamo pensare a dei servizi che prendono potenza da un motore elettrico attraverso una serie di cinghie montate sull albero del motore. Mediante la solita schematizzazione a blocchi si può determinare il rendimento complessivo del sistema indicato in figura

96 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. L m η L r T U L p L m η T L r U motore L m3 η 3 T 3 L p L r3 U 3 L p3 L mn η n T n L rn U n L pn Figura 5.4. Esprimiamo il rendimento: n n n L η L η L rk k mk k mk k= k= k= η = = = n n Lm Lmk Lmk k= k= 5.8 Nella 5.8 compare una media ponderata dei rendimenti di tutte le macchine di trasformazione, dove il peso è il lavoro che attraversa la singola macchina. Ciò significa che il rendimento di una certa macchina influirà sul rendimento complessivo a seconda della potenza che la attraversa. Ad esempio, se una macchina avente basso rendimento, ma è collegata ad un utilizzatore che assorbe poca potenza, allora non ci sarà un grande degrado del rendimento complessivo. Questa caratteristica differenzia molto lo schema in parallelo da quello in serie dove una singola macchina poteva portare al degrado complessivo del rendimento del sistema. Moto retrogrado. Consideriamo il semplice schema alla nostra destra, inizialmente il motore fornisce coppia sufficiente a M r M m sollevare il peso P. Immaginiamo ora di ridurre la coppia motrice fino ad arrivare all arresto del corpo appeso al cavo. Ci chiediamo cosa accade se, riducendo ancora la trasmissione motore coppia motrice, al limite fino a zero, ma senza invertirla: il moto si inverte? Cioè il peso inverte la sua marcia ed inizia a scendere oppure si ferma dove è? Vedremo che tutto dipende dal rendimento della trasmissione. T η Notiamo che, se si inverte il moto, cioè siamo in condizione di moto retrogrado, l azione motrice e resistente si scambiano di ruolo: l azione motrice diventa P Figura 5.5. resistente e l azione resistente diventa motrice. Per chiarire questa situazione introduciamo un apice ai lavori: per quanto detto sull inversione si ha: L m lavoro motore retrogrado 90

97 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. L m = L r lavoro resistente nel moto diretto definiamo ora il rendimento nel moto retrogrado analogamente al moto diretto: L ' L' ' = L' L r r η = 5.9 m r considerando il lavoro perduto nel moto retrogrado L p si ha: L' p η ' = 5.0 L r considerando la definizione di rendimento nel moto diretto possiamo scrivere: η' L' p L L' m p k = = = η L L L η η r p p 5. dove si è definito k=l p / L p. Ricaviamo ora η : ( η) η + kη k η' = k = 5. η η Se si avesse η <0 il moto retrogrado sarebbe impossibile, considerando la 5. ciò avviene se: η + kη k < 0 moto retrogrado impossibile 5.3 si può dunque trovare il rendimento del moto diretto che impedisce il moto retrogrado: k η < 5.4 k + talvolta si può considerare che il rapporto k, in tal caso il moto retrogrado è possibile se η > 0.5. Queste considerazioni sono molto interessanti nelle applicazioni pratiche. Infatti a causa di una riduzione imprevista della potenza motrice in un impianto (dovuta magari a cali di potenza nella rete elettrica) si potrebbe avere una inversione del moto del sistema, con conseguenti situazioni pericolose. Se il rendimento del sistema è però sufficientemente basso, allora si può ritenere che l inversione del moto sia improbabile, e si può evitare l uso di sistemi di blocco di emergenza. Ovviamente affidarsi solamente a ciò non garantisce sicurezza assoluta, perciò in impianti delicati, come ad esempio gli ascensori, i sistemi di sicurezza sono sempre previsti. 9

98 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. 5.6 Attrito di strisciamento nelle coppie elementari Coppia prismatica. Consideriamo un albero supportato in due punti (Fig. 5.6), dove P è l azione motrice e Q è quella resistente. direzione R a direzione R b Q A v B forza motrice P? α Figura 5.6. Eseguiamo l equilibrio statico del sistema trascurando l attrito sui supporti. Dai punti di intersezione della retta di azione di P con quella di R b e della retta di azione di Q con quella di R a individuiamo una retta, detta retta ausiliaria. Si può dimostrare che la risultante di P + R b (con neretto indichiamo dei vettori) e quella di Q + R a si trovano sulla retta ausiliaria (Fig. 5.7). Dir. R a Dir. R b P A Dir. Q Retta ausiliaria B Figura

99 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. Il problema da risolvere è dato da tre vettori noti in direzione (P, R b,r a ) ed un vettore noto Q (Fig. 5.8). Componiamo i vettori P, R b definendo W = P + R b (ancora incogniti), tali vettori si dovranno comporre in B. Componiamo ora Q ed R a (nel punto A) definendo il vettore somma W = Q + R a. R a Ci siamo ridotti da un sistema di 4 forze agenti sull albero ad un sistema di sole due forze. Per l equilibrio alla traslazione deve essere W = -W mentre per l equilibrio alla rotazione i due vettori devono giacere sulla stessa linea d azione (la retta ausiliaria passante per i punti A e B). In figura si può vedere la soluzione grafica del problema. P W Q Figura 5.8. R b Perturbiamo lo stato del sistema considerando l attrito sui supporti. Immaginiamo una perturbazione sufficientemente piccola da non modificare il verso delle reazioni vincolari. In tal caso sappiamo che queste ultime dovranno inclinarsi di un angolo pari all angolo di attrito, in modo tale da compiere lavoro negativo (la componente si deve opporre al moto relativo tra i membri). Il problema si risolve come nel caso precedente, ma tenendo conto della diversa direzione delle reazioni vincolari. direzione R a direzione R b R a Q R b A v forza motrice P? α B Figura 5.9. Dalla figura 5.9 si vede che, avendo tenuto fissa l azione resistente Q l azione motrice P è aumentata, infatti abbiamo dovuto compiere del lavoro in più per bilanciare il lavoro perduto Piano inclinato: rendimento e moto retrogrado. Consideriamo il disegno in figura: un grave pesante Q viene trascinato da una forza P su di un piano inclinato. Per effetto dell attrito la reazione del piano non è ortogonale al piano stesso, ma inclinata dell angolo di attrito. Si vuole determinare P e la condizione per il moto retrogrado. 93

100 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. Consideriamo la normale alla reazione R e proiettiamo su di essa tutte le forze in gioco (Fig. 5.0). In tal modo abbiamo eliminato dal calcolo la reazione vincolare, di cui però teniamo conto per mezzo della sua retta di azione. R ϕ P α α ϕ Q Figura 5.0. Dall equilibrio otteniamo: Qsin( α + ϕ) = Pcosϕ 5.5 da cui: sin( α + ϕ) sinαcosϕ + cosαsinϕ P= Q = Q 5.6 cosϕ cosϕ nel caso ideale ϕ = 0, dunque: da cui otteniamo il rendimento: P0 = Qsinα 5.7 P0 cosϕ cosϕ η = = sinα = = P sin α cos ϕ + cos α sin ϕ cos ϕ + cotan α sin ϕ + f cotan α 5.8 si noti che abbiamo usato direttamente le forze, anziché il lavori, poiché esse in questo caso sono costanti. Moto retrogrado. Nel moto retrogrado Q diventa motrice, ϕ cambia segno e P cambia valore, perciò la chiameremo P, quest ultima da motrice diventa resistente. Per l equilibrio si possono usare gli stessi schemi: sin( α ϕ) sinαcosϕ cosαsinϕ P' = Q = Q sin( ϕ + π / ) cosϕ

101 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. Si ha moto retrogrado se P > 0; poiché ϕ < π/ si ha: P > 0 se ϕ < α 5.30a P = 0 se ϕ = ϕ a = α 5.30b Partendo dallo stato di quiete il moto retrogrado si avvia se α > ϕ a. Calcoliamo il rendimento nel moto retrogrado: P ' sinα cosϕ cosαsinϕ η ' = = = f cotanα 5.3 P cosϕ sinα 0 P è la forza che compie lavoro resistente, mentre P 0 è la forza del moto diretto che fornisce il lavoro pari a Q, cioè il lavoro motore nel moto retrogrado. nel caso limite ϕ a = α abbiamo: η ' = 0 η = = + tan ϕ / tanα a 5.3 Nel caso in cui la P non fosse stata parallela al piano, si sarebbe ottenuto un rendimento limite nel moto diretto leggermente diverso da 0.5, ma nel caso in cui l attrito fosse stato piccolo si sarebbe avuto un valore molto vicino. Dalla 5.3 si può notare che: η è pari al reciproco di η, dove va posto f anziché f La coppia rotoidale. La coppia rotoidale è in genere composta da un albero inserito in una sede avente diametro leggermente maggiore (gioco). Immaginiamo inizialmente che l albero sia in quiete rispetto alla sede e sia caricato da una forza N sull asse; la sede reagirà con una forza uguale e contraria, vedasi figura 5.). N N M Applichiamo ora un momento M all albero: R Figura 5.. `P β R P 95

102 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. L albero inizia a rotolare nella sua sede. R si inclina rispetto alla normale al punto di contatto che si sposta da P a P a causa del rotolamento; essa rimane sempre parallela a N, ma non più sulla stessa retta di azione. Quando β ϕ a inizia lo striciamento. Sappiamo che quando si determina strisciamento con velocità non infinitesime il coefficiente di attrito si abbassa. Il punto di contatto allora tornerà indietro fino a stabilizzarsi in modo tale che β = ϕ (coefficiente di attrito dinamico). Si è perciò instaurato un processo dinamico che potrebbe stabilizzarsi o meno su un punto fisso (equilibrio). Per semplicità abbiamo ipotizzato che ciò avvenga e quindi, dopo un transitorio trascurabile, si abbia β = ϕ. In condizioni stazionarie R sarà dunque inclinata di un angolo ϕ rispetto alla normale al punto di contatto. Essa si manterrà perciò ad una distanza fissa dal centro della coppia (trascuriamo il gioco) e quindi sarà tangente ad una circonferenza con centro il centro della coppia ed avente come raggio ρ questa distanza. In presenza di attrito le forze che si scambiano due membri collegati mediante una coppia rotoidale non passano per il centro della coppia (come nel caso ideale), ma sono sempre tangenti ad una circonferenza detta circolo di attrito in modo tale da compiere lavoro negativo (ci sono infatti sempre due possibilità di tangenza). Calcoliamo il momento necessario a mantenere il sistema in questa condizione dinamica stazionaria: M=N ρ= N R sinϕ N R tanϕ = N R f 5.3 N M ϕ R P ρ P Figura 5.3. Ogni coppia rotoidale è caratterizzata da un circolo di attrito avente raggio: ρ R f. 96

103 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti Esempi Consideriamo l esempio in figura 5.4 dove P è la forza motrice e Q è la forza resistente. Q a Q θ P R, R, ω b P Figura 5.4. Il rendimento del sistema in generale è: W M Qa W M Pb R Q η = = = 5.33 M P Dall equilibrio alla rotazione si ha: Pb + Qa + R,ρ = usando il teorema di Carnot abbiamo: R, = P + Q PQcosθ. Ipotizzando che l attrito sia sufficientemente piccolo e che la reazione non cambi in modulo a causa dell attrito scriviamo: R P + Q PQcosθ 5.35, 0 0 dove a P0 = Q 5.36 b da cui: a a R, Q + cosθ 5.37 b b infine otteniamo: 97

104 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. a ρ a a P= Q + Q + cosθ 5.38 b b b b il rendimento è: considerando la 5.38 si ha: L L P L L P R m0 0 η = = = 5.39 m m η = ρ a a + + cosθ a b b Equilibrio delle ruote. Ruota condotta. Consideriamo una ruota che rotola su un piano, trascinata mediante una coppia rotoidale posizionata nel suo centro. Questo schema si presenta per esempio nelle ruote non motrici di un automobile. Sulla ruota agiscono soltanto due forze: la reazione del terreno R e la reazione del supporto (membro 3) collegato alla ruota mediante la cerniera. Per l equilibrio della ruota queste due forze dovranno essere uguali e contrarie, inoltre dovranno giacere sulla stessa retta d azione. Il punto di applicazione della reazione del terreno sarà spostato in avanti, nel senso del moto, del parametro di attrito volvente. La reazione che la ruota riceve dal membro 3 passerebbe nel centro della cerniera in assenza di attrito. Nel caso attuale invece la reazione deve essere tangente al circolo d attrito, in modo tale da compiere lavoro negativo nel moto relativo della ruota rispetto al supporto. Si ha: R R 3 = 0. R 3 ω 3 R δ Figura 5.5. ω M Ruota motrice. In questo caso sulla ruota agisce un certo momento motore M. La direzione della reazione del terreno non può essere determinata dalla sola analisi dell equilibrio della ruota. Tutto ciò che possiamo dire è: la reazione del terreno passa per il punto determinato dal parametro δ la reazione del supporto della ruota è tangente al circolo di attrito in modo da compiere lavoro negativo (occhio perciò ai versi delle 98 R 3 3 b δ Figura 5.6. R

105 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. forze e delle velocità relative) le due forze sono uguali e contrarie, ma non passano per la stessa retta d azione, bensì formano una coppia avente braccio b tale che: M = R b. La direzione effettiva delle forze si potrà determinare attraverso l analisi complessiva del sistema in cui la ruota è inserita. Due controlli sono necessari in questo contesto: Verificare che la reazione del terreno abbia sempre una componente positiva nella direzione ortogonale al piano e orientata dal piano stesso alla ruota. Infatti il contatto ruota terreno determina una coppia superiore, che non può reagire ad azioni di distacco: la ruota deve sempre essere premuta sul terreno. Verificare che l inclinazione della reazione del terreno sia interna al cono di attrito, altrimenti si ha slittamento. Ruota frenata. In questo caso sulla ruota agisce un certo momento frenante M (si può riconoscere in figura 5.7, poiché, essendo discorde in verso alla velocità angolare, compie lavoro negativo). Analogamente al caso precedente, la direzione della reazione del terreno non può essere determinata dalla sola analisi dell equilibrio della ruota. Tutto ciò che possiamo dire è: la reazione del terreno passa per il punto determinato dal parametro δ la reazione del supporto della ruota è tangente al circolo di attrito in modo da compiere lavoro negativo (occhio perciò ai versi delle forze e delle velocità relative) le due forze sono uguali e contrarie, ma non passano per la stessa retta d azione, bensì formano una coppia avente braccio b tale che: M = R b (attenzione ai versi: qui abbiamo lavorato in valore assoluto). ω M 3 R 3 R b δ Figura 5.7. La direzione effettiva delle forze si potrà determinare attraverso l analisi complessiva del sistema in cui la ruota è inserita. Ripetiamo le considerazioni sulla reazione del terreno. Verificare che la reazione del terreno abbia sempre una componente positiva nella direzione ortogonale al piano e orientata dal piano stesso alla ruota. Infatti il contatto ruota terreno determina una coppia superiore, che non può reagire ad azioni di distacco: la ruota deve sempre essere premuta sul terreno. Verificare che l inclinazione della reazione del terreno sia interna al cono di attrito, altrimenti si ha slittamento. Esempio applicativo: automobile a trazione posteriore. Si consideri un automobile come quella rappresentata nella pagina seguente; il peso Q agisce sul baricentro (che in genere nelle auto a motore anteriore è un po spostato in avanti), oltre al peso agisce anche la resistenza aerodinamica T. Dall analisi della ruota anteriore (condotta) conosciamo la linea d azione della R 4. Le linee di azione di Q+T e R 4 si intersecano in P dove, per l equilibrio alla rotazione del sistema telaio+ruote, deve passare anche la linea di azione della R. Determinata quest ultima direzione possiamo comporre i vettori in modo tale che Q+T + R + R 4 = 0. A questo punto siamo in grado di determinare la coppia motrice necessaria. 99

106 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. R 4 R ω M 3... ω 3 Q R 3 3 R 3 b R 4 R 4 δ δ Figura

107 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti Coppia elicoidale La coppia elicoidale ha un ruolo molto importante sia per quanto riguarda i meccanismi sia in altre applicazioni meccaniche come ad esempio i collegamenti filettati tra particolari meccanici. L effetto dell attrito ha un ruolo particolarmente importante sul moto retrogrado, determinando per esempio, la tendenza allo svitamento di un collegamento filettato. Consideriamo la coppia elicoidale di cui un elemento cinematico è rappresentato in figura 5.9; se la vite compie un giro completo, allora essa avanza di una quantità pari al passo della vite stessa ed il bilancio energetico è: M m π = Q h + L p 5.4 Se indichiamo con p la forza normale per unità di lunghezza agente sul filetto e ricordiamo che essa è legata all attrito da una proporzionalità diretta, possiamo calcolare il lavoro perduto L p L fh = pds sinα dove il termine integrale è incognito. r m Q θ f p p α h/sinα π r m α h γ M m Figura 5.9. Coppia elicoidale Consideriamo ora l equilibrio in direzione dell asse della coppia: 0

108 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. L Q p cosγds + fp sinαds = 0 L da cui otteniamo il termine incognito della 5.4: L Q pds = 5.44 cosγ f sinα 0 siamo ora in grado di esprimere il lavoro compiuto dalle forze di attrito: L p = fhq cosγ sinα sinα ( f ) 5.45 nella equazione 5.45 i termini noti sono: il coefficiente di attrito, il passo h, il carico Q, l angolo dell elica α ; mentre l angolo γ può essere facilmente calcolato sfruttando la costruzione geometrica rappresentata nella figura 5.30: a b = tan θ, = tanα c c 5.46 a + b = d 5.47 tan θ + tan α = tan γ 5.48 riprendiamo ora la 5.4: M M m m,0 Qh sinα cosγ + f cos α = π sinαcosγ f sin α 5.49 Qh = π 5.50 da cui otteniamo il rendimento: M m,0 sinα cosγ f sin α η = = 5.5 Mm sinα cosγ + f cos α dalla 5.48 e ricordando che: tan γ = 5.5 cos γ possiamo facilmente ricavare γ in funzione di θ. Introduciamo ora per comodità una nuova grandezza: cosα f = tanϕ = f 5.53 cosγ utilizzando questa relazione possiamo esprimere il rendimento in maniera più espressiva: tanα η = 5.54 tan ( α + ϕ ) si noti che se α è piccolo allora cos α e tan ϕ f / cos γ ; al tempo stesso se α è piccolo allora γ θ da cui otteniamo: 0

109 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. f tanϕ 5.55 cosθ la 5.55 mostra che per angolo di elica piccolo ϕ non dipende dall angolo di elica stesso Figura

110 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. Dalla 5.54 otteniamo che: π η=0 per α =0 e per α = ϕ π ϕ η è massimo per α = 4 Dalla 5.54 possiamo inoltre ricavare il rendimento nel moto retrogrado, considerando semplicemente il reciproco del rendimento nel moto diretto e cambiando il segno del coefficiente di attrito: tan ( α ϕ ) η = 5.56 tanα 0.8 η η -f 0. 0 ϕ (π / )-ϕ π / Figura 5.3. Rendimento coppia elicoidale: f=0.; θ=30. In figura sono rappresentati i rendimenti diretto e retrogrado in funzione dell angolo di elica. Il moto retrogrado è impedito se: cosα f (η <0) per α < ϕ = arctan f arctan cosγ cosθ 5.57 Si noti che ϕ cresce al crescere dell angolo del filetto θ, dunque lo svitamento è più facile per filettature aventi basso angolo θ, per esempio le filettature cilindriche (θ=0) vengono usate nei sistemi di movimentazione per la loro alta efficienza, ma non sono adatte per sistemi in cui sia richiesto arresto spontaneo. Vite mordente In questo tipo di collegamento si ha un bullone passante attraverso uno dei due pezzi da collegare, si ha poi un accoppiamento tipo vite elicoidale con il secondo pezzo, vedasi figura. Si determina una forza assiale nel momento in cui il bullone viene serrato e perciò delle azioni di attrito sia sull elica che sulla testa del bullone. α 04

111 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. Detta Q la forza di serraggio si ha: Figura 5.3. M m Qh sinαcosγ + f cos α = + π sinαcosγ f sin α frq m 5.58 dove f è il coefficiente di attrito testa-superficie ed R m è il raggio medio della corona circolare di contatto testa superficie. 5.7 Distribuzione delle pressioni di contatto. Ricordiamo l ipotesi di Reye accennata nel paragrafo 3.3 e riguardante l usura ed il suo rapporto con il lavoro perduto: Cioè: VOLUME DI MATERIALE ASPORTATO LAVORO DELLE FORZE DI ATTRITO V=K L p 5.59 o o o K dipende dalla natura dei materiali. Il volume di materiale asportato si distribuisce maggiormente sul materiale più tenero. Nelle applicazioni faremo l ipotesi che il materiale asportato si concentri completamente sul materiale più tenero. In questo capitolo si sfrutterà la 5. per stimare l andamento delle pressioni di contatto tra solidi che sono sottoposti ad azioni mutue di usura Pattino piano. Immaginiamo di avere un corpo (rappresentato in figura 5.33) di forma parallelepipeda appoggiato su un piano, caricato con una forza Q e soggetto ad uno spostamento con velocità v. Il corpo è di materiale più tenero, perciò ipotizziamo che sia l unico a consumarsi. La forza necessaria al moto è F= f Q. 05

112 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. x 0 Q v B h h 0 h(x) A x a Figura Lo spessore di materiale usurato deve variare linearmente perché il corpo B si consuma su una superficie piana: h h = a 0 hx ( ) h0 x ovviamente i valori effettivi di h 0 e h non sono noti, poiché dipendono da quanto spazio percorre B su A, cioè da quanto tempo il pezzo è soggetto a usura. Tra A e B l azione di contatto sarà una forza per unità di lunghezza, poiché abbiamo rappresentato il sistema in due dimensioni (in realtà la terza dimensione esiste, perciò tra i due corpi si sviluppano delle forze per unità di superficie, cioè delle pressioni di contatto). Su un trattino infinitesimo d x agirà una forza p d x, dove p è la nostra forza per unità di lunghezza. La relativa azione di attrito è: f p dx. Ipotizzando che B percorra un certo spazio S, il lavoro elementare è dato da: Utilizzando l ipotesi di Reye possiamo scrivere: S f p dx 5.6 S f p dx h 0 h + h a 0 x dx Lavoro perduto Volume asportato Considerando che f è un parametro e S è una costante (nel senso che non dipende da x), le precedenti relazioni ci permettono di scrivere la seguente legge di proporzionalità: h h0 p = C h0 + x = C + Cx a 5.6 h h0 dove C = h0c ; C = C. a L ipotesi di Reye ha permesso di stabilire che la pressione ha un andamento lineare. 06

113 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. Si esegua ora l equilibrio alla traslazione e alla rotazione di B: a a Q= p( x) dx= ac 0 + C 5.63a 3 a a a Qx0 = p( x) xdx= C 0 + C b dove si è scelto il punto x=0 come polo di riduzione dei momenti. Dalle 5.63 si ottiene: 4a 6x0 C = Q 5.64a a e dunque l andamento della p(x): C ( a) 6x = Q 5.64b a 0 3 ( ) 4a 6x 6x 0 0 a p = Q + x 3 a a h h0 ricordando che C = h0c ; C = C e considerando la 5.65 possiamo scrivere: a 3 C ah0 4a 6x0 a a 3x0 = = = a C h h a 6x a 6x 3a ( ) da cui: 6x0 3a x h= h0 + a 3 x0 a 5.67 Abbiamo determinato esattamente l andamento della forza di contatto; per ciò che concerne lo spessore asportato, il termine h 0 resta indeterminato, esso dipende da quanto lavorerà il particolare meccanico oltre che dai materiali. Esempio applicativo. Un esempio applicativo del pattino piano appena visto è il freno a disco; esso trova applicazione in campo aeronautico, automobilistico, motociclistico, ferroviario e recentemente anche ciclistico. Viene montato, in genere, un disco metallico sul mozzo della ruota. Questo disco fa la funzione che nel caso studiato era coperta dal piano rigido. Sul supporto della ruota, per esempio sulla forcella nel caso di motocicli o biciclette è montata una pinza idraulica che ha lo scopo di premere una piastrina di materiale ad elevato coefficiente d attrito (detta in gergo, pasticca o anche guarnizione d attrito). La pasticca si comporta in maniera analoga al pattino piano studiato. La differenza sostanziale è che, lavorando su un disco, nel contatto la velocità relativa dipenderà dalla posizione radiale, inoltre la pasticca è forzata sul disco tramite un pistone idraulico ed è guidata nel suo scorrimento da opportune guide. Perciò la situazione è certo più complessa, ma in prima approssimazione si può considerare come un semplice pattino come quello studiato. 07

114 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti Coppia rotoidale di spinta. Nella coppia rotoidale di spinta si ha un albero rotante, sulla cui estremità è calettato un pezzo di forma cilindrica. L albero viene caricato assialmente con una forza Q in modo tale che la sua estremità entri in contatto con il piano fisso. Si determina uno strisciamento la cui velocità dipende dalla distanza dall asse di rotazione. Si noti che nella parte a contatto si ricava un vano, cioè il materiale viene scavato in modo da evitare contatti in prossimità dell asse di rotazione; in seguito vedremo il motivo di questa lavorazione. Consideriamo un elemento infinitesimo della superficie di contatto. Su di esso agirà una pressione p(r) (si noti che il sistema è assialsimmetrico) che, per effetto C ω R r R Figura Coppia rotoidale di spinta. d ϑ Figura r d ϑ d r dell attrito, produrrà una azione tangenziale pari a p f r d ϑ d r. Data la simmetria assiale possiamo integrare subito in ϑ ed ottenere il contributo di una corona circolare infinitesima: p f r π d r; da cui possiamo anche ricavare il momento ed il lavoro: d M = p f r π d r r, d L = p f r π d r r Θ; dove Θ è una generica rotazione finita dell albero. L ipotesi di Reye si scrive: p f r π d r r Θ π r d r h Lavoro perduto Volume asportato Ne consegue: p = C / r 5.68 p ha un andamento iperbolico ed in particolare tende all infinito per r che tende a 0, per questo motivo si ricava il vano che evita ai materiali il contatto in prossimità dell asse. In questa zona le pressioni diventano molto elevate, si hanno di conseguenza degli sforzi elevati che possono procurare rotture premature del pesso. L equilibrio alla traslazione si scrive: 08

115 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. R π ϑ π ( ) 5.69 R 0 Q= prd dr = C R R da cui: Q C = π e: Q p = π r R R Il momento generato dalle forze di attrito è: M = ( ) ( R R ) ( R R ) ( ) R π pr dϑdr R 0 R R R R R + R ( ) ( ) Q = π f C = π f = fq = fqr π dove R m è il raggio medio della corona circolare. Una applicazione della coppia rotoidale di spinta è la frizione automobilistica a secco di cui è riportato un esempio a fianco. Come si può vedere la realizzazione pratica è complessa, ma mantiene i principi di funzionamento del sistema studiato. Come è noto questo organo meccanico si inserisce tra motore e cambio; esso permette di scollegare il motore dal cambio nel momento in cui è necessario cambiare marcia. m Figura Esempi di frizioni Ceppo puleggia. Si tratta di un accoppiamento tra un albero (o una puleggia) rotante ed un ceppo, sagomato opportunamente, che viene premuto su di esso. L applicazione tipica in questo caso è la frenatura e l applicazione si ha in vastissimi campi della meccanica. Lo schema che si trova in basso è molto semplice. Si vuole determinare l andamento delle pressioni di contatto. R ω h 0 Figura Ceppo puleggia. 09

116 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. La prima cosa da fare, come nei casi precedenti, è valutare il volume del materiale asportato; dalla figura 5.35 si vede che esso è pari a h 0 h 0 cos ϑ R d ϑ 5.73 a meno dello spessore. Valutiamo anche il lavoro (anch esso per unità di spessore): p f R R d ϑ Φ 5.74 In definitiva si ottiene: p =p 0 cos ϑ 5.75 ϑ h 0 cos ϑ Notiamo che p tende a 0 per ϑ che tende a π/. Figura Ceppo puleggia: materiale asportato 5.8 Cuscinetti volventi. Sono detti anche cuscinetti a rotolamento. Si tratta di elementi meccanici che si impiegano all interno delle coppie rotoidali. Sono costituiti da due corone circolari, tra le quali sono interposti in base alla tipologia: sfere, cilindri, tronchi di cono. Ci occuperemo solamente dei cuscinetti a rulli cilindrici e a sfere. Lo scopo di questo tipo di cuscinetto è di sostituire il contatto tra i due elementi collegati mediante la coppia rotoidale, con un contatto volvente: le sfere (o altro) rotolano sulle due corone senza strisciare (in verità un piccolo strisciamento c è). In tal modo si hanno vari vantaggi: Si riduce l attrito. Si riduce l usura. Si ha minore necessità di lubrificazione (per i cuscinetti autolubrificanti non è necessario nessun tipo di lubrificazione esterna). Ovviamente i vantaggi si pagano in termini di: Maggior costo. Maggiore complicazione meccanica. Maggior peso. 0

117 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. I cuscinetti volventi non sono l unico tipo disponibile, per un esempio possiamo citare: cuscinetti a lubrificazione idrostatica o idrodinamica e a gas. Essi sono una valida alternativa, ma il loro impiego va valutato in base al contesto meccanico in cui si inseriscono ed alle loro caratteristiche. Non approfondiremo questo aspetto. Schema di un cuscinetto a rulli cilindrici. o Q è il carico esterno agente sull albero montato all interno della corona circolare. o R a raggio esterno dell anello interno. o R raggio dei rulli. o γ angolo tra due raggi uscenti da O e passanti tra i centri di due rulli adiacenti. R a R Con il carico indicato, i rulli che realmente partecipano al sostentamento del carico sono quelli che hanno contatto nella zona indicata con la linea rosa (Fig. 5.36). Gli altri non collaborano poiché, essendo il contatto rullo corona, una coppia superiore, il generico rullino potrà sopportare solo carichi di compressione, cioè che tendano a schiacciarlo sulle corone. Zona attiva per il sostentamento Dallo schema in figura 5.37 si può vedere che, dato lo schiacciamento ε 0 del rullo il cui asse incide sulla linea di azione di Q, ed ammesso che gli anelli siano indeformabili, tutti gli altri schiacciamenti seguono la seguente legge di proporzionalità: Q Figura Cuscinetto a rulli. γ ε = ε 0 cos γ ε = ε 0 cos γ ε i = ε 0 cos i γ 5.76 nella configurazione indicata si ha anche: ε 0 ε Figura γ dove z è il numero dei rulli. Dalla teoria di Hertz sui cilindri in contatto sappiamo che: γ = π /z 5.77 il carico è proporzionale allo schiacciamento

118 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. Indichiamo con P i il carico agente sull iesimo rullo, si ha (Fig. 5.38): P = P 0 cos γ P = P 0 cos γ P i = P 0 cos i γ 6.3 La somma di tutti i contributi si può scrivere come: N 0 cos ( ) i= N Q= P iγ 6.4 Figura 5.38 dove N = z /. Facciamo ora alcune considerazioni che ci saranno utili nella valutazione approssimata della Il valor medio di cos (i γ) per i [-N,N] è: cos ( iγ ) z / Il valor medio di cos (γ) per γ [-π/,π/] è: N i= N 5.80 π / cos γ dγ = π π / 5.8 Approssimiamo l integrale (Fig. 5.39): π / d i i π = Δ = π z π / π Δ γ = z N N cos γ γ cos ( γ) γ cos ( γ), i= N i= N 5.8 Possiamo perciò scrivere: Figura 5.39 z Q= P i = P N 0 cos ( γ ) 0 i= N da cui ricaviamo P 0.

119 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. δ O i S i δ Figura 5.40 Consideriamo ora l attrito volvente e cerchiamo di capire cosa accade durante il funzionamento del cuscinetto Per effetto del rotolamento le forze che scambiano gli anelli col rullo sono spostati di una quantità pari al parametro di attrito volvente, che, per semplicità, pensiamo identico per i due anelli. Considerando il rotolamento del rullo su uno dei due anelli (figura 5.4) si ha: Pi F i Figura 5.4 R = 5.84 δ Facciamo scorrere la S ia sulla sua linea d azione e consideriamo la sua scomposizione in direzione radiale e tangenziale. Considerando O i come punto di applicazione di S ia, soltanto la F i darà contributo alla somma dei momenti rispetto all asse di rotazione: e quindi: In questo caso valutiamo la: δ M mi = Pi ( R+ Ra ) 5.85 R N N N δ δ M = M = P R+ R = P R+ R i ( ) 0 ( ) cos( γ ) 5.86 m mi i a a i= N i= N R R i= N e: π / N N cosγ dγ cos( iγ) γ cos( iγ), π = = Δ = π π i = 5.87 N i = N z M π / m ( + ) 4Qδ R Ra = 5.88 π R Ricordiamo ora la definizione di circolo di attrito nel caso della coppia rotoidale con strisciamento, dove: 3

120 Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti. M = Qρ = Q f R 5.89 m a Per analogia, dal confronto con la 5.88 scriviamo: ( + ) 4 f v R R a ρ = 5.90 π dove f v = δ / R. Figura 5.4 Cuscinetti a sfere (accenno). La configurazione è perfettamente identica al caso precedente, perciò non la ripetiamo. Dalla teoria di Hertz sui cilindri in contatto sappiamo che: il (carico) /3 è proporzionale allo schiacciamento P i = P 0 cos 3/ i γ 5.9 Il ragionamento di qui in poi è identico, ma con calcoli leggermente più complessi, che però non ci danno nessun contributo alla comprensione della fenomenologia, perciò li omettiamo. Si riporta soltanto il risultato, sottolineando che anche qui si può introdurre un opportuno circolo di attrito; ciò dimostra che tutte le coppie rotoidali viste possono essere trattate con un approccio unificato. Q P0 = 4.37 z 5.9.Qδ ( R+ Ra ) M m = R 4

121 Capitolo 6 Vibrazioni meccaniche Capitolo 6 Vibrazioni meccaniche 6. Considerazioni generali In questo capitolo si studiano i sistemi meccanici aventi un solo grado di libertà; dove, per grado di libertà si intende il numero di coordinate indipendenti necessarie per descrivere completamente il moto. In generale i sistemi meccanici ad un grado di libertà sono governati da una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine. In questo capitolo si considerano soltanto sistemi meccanici lineari e tempo invarianti, liberi o forzati da sorgenti esterne di energia. Su questi sistemi sono applicate le più importanti tecniche disponibili per la soluzione di equazioni differenziali ordinarie. 6. Esempi di sistemi ad g.d.l. Sistema massa molla Questo è uno dei più semplici sistemi meccanici; esso consiste di una massa concentrata (ovviamente è un astrazione) collegata ad una molla: L allungamento Δ di una molla lineare come quella indicata in figura 6. è dato da Δ=F/k; cioè l allungamento è direttamente proporzionale alla forza F applicata. In questo caso al sistema è applicata la forza peso m g, perciò l allungamento in condizioni statiche è Δ=m g / k. La linea tratteggiata in figura 6. indica la posizione di equilibrio statico del sistema, in tale posizione il sistema permane indefinitamente se non è perturbato. Se si perturba la massa m di una quantità x, il sistema sarà soggetto, oltre all azione della molla F k =-kx, anche alle forze di inerzia F i =- m x, l equazione del moto diventa: g k Δ m x Figura 6. ( ) 0 mx k x +Δ + mg = 6. considerando che Δ=m g / k, l equazione del moto diviene: mx + kx = 0 6. questa è una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine; per definire il problema di Cauchy, cioè poter ottenere la soluzione, il problema va completato con opportune condizioni iniziali: x(0) = x, x (0) = x cioè deve essere nota la posizione e la velocità iniziale. Questo semplice problema permette di fare delle considerazioni generali. I sistemi meccanici in generale non obbediscono a leggi lineari, ma molto spesso le leggi di moto possono essere linearizzate quando l ampiezza delle oscillazioni è piccola. Da un punto di vista fisico ci riferiamo perciò a piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio, mentre da un punto di vista matematico possiamo pensare alla linearizzazione come allo sviluppo in serie di Taylor della legge di moto rispetto al punto di equilibrio e troncata al primo ordine. Il sistema (6.) può essere riscritto come: x+ ω x= n 5

122 Capitolo 6 Vibrazioni meccaniche dove ω = k/ m è detta pulsazione naturale del sistema (unità di misura [rad/s]). n La soluzione generale è: con x = Asinω t+ Bcosω t 6.5 n 0 n 0 n A= x / ω, B= x 6.6 si noti che la legge oraria (3.5) è armonica con periodo: T = π / ω n = / f n ; dove f n è la frequenza naturale del sistema [s - Hz]. Infatti la forma equivalente della 3.5 è: ( ω ϕ ) x= X cos t+ 6.7 n dove X è l ampiezza di oscillazione e ϕ è la fase; la (6.7) è ovviamente una funzione armonica del tempo. Sistema trave-massa Consideriamo in questo esempio una trave sulla cui estremità è calettata una massa molto più grande della massa della trave stessa. In questo caso le azioni di inerzia distribuite sulla trave possono essere trascurate. Il sistema si riduce ad un oscillatore armonico. La deflessione statica sotto l azione di un carico di estremità P è: 3 P x= P = 3 EI k 6.8 abbiamo implicitamente definito la costante elastica del sistema; perciò la frequenza propria è: Figura 6. m x f n 3EI = 3 π m 6.9 Sistema barra di torsione Detto J il momento di inerzia della massa calettata all estremità della barra di torsione e GJ p k = la rigidezza torsionale (G modulo di taglio, J p momento di inerzia polare, lunghezza barra), l equazione del moto è: J θ + kθ = 0 ; e la pulsazione naturale f n = k/ J Figura 6.3 θ 6

123 Capitolo 6 Vibrazioni meccaniche 6.3 L oscillatore armonico smorzato Introduciamo ora, in un sistema massa-molla, un nuovo elemento detto smorzatore figura 6.4 Tale elemento è spesso realizzato mediante un cilindro pieno di olio entro cui scorre un pistone dotato di una serie di forellini. Mentre il pistone scorre nel cilindro, l olio è forzato a passare attraverso i forellini. Ovviamente, a causa della viscosità, l olio offre una certa resistenza a passare, tale resistenza si riflette nel fatto che, per estendere lo smorzatore in figura occorre esercitare una forza dipendente ovviamente dalla velocità di estensione. Detta x la posizione relativa dei due pezzi che compongono lo smorzatore possiamo scrivere: df F = F( x ) = x + cx dx = 0 x - F c F Figura l espressione (6.0) è stata già sviluppata in serie di Mc Laurin e troncata al primo ordine, cioè linearizzata; il coefficiente c ha come unità di misura [N s / m]. In un sistema massa molla smorzatore l equazione del moto diviene: m x(t)... mx+ cx+ kx= 0 6. più le solite condizioni iniziali. t In questo caso si cerca una soluzione nella forma: Ae α ; sostituendo questa funzione nella (3.9) si ottiene una equazione algebrica associata all equazione differenziale: k Figura 6.5 c α + ζω α + ω = 0 6. n n = ( ) n α ζ ζ ω α = ζ + ζ ω ( ) n c c Dove si è introdotto il fattore di smorzamento adimensionale: ζ = =. km ωnm L equazione algebrica dà luogo a due radici, perciò la soluzione del problema è: x() t = Ae α + Be α t t 7

124 Capitolo 6 Vibrazioni meccaniche A seconda del segno del discriminante ζ della (6.) si distinguono tre tipi di soluzioni: ζ > (c >4km) : le radici α, α sono entrambe reali e negative e la soluzione assume t t la forma: x() t Ae α α = + Be MOTO APERIODICO ζ > (c >4km) : le radici α, α sono entrambe reali e negative e la soluzione t t assume la forma: x() t Ae α α = + Be MOTO APERIODICO CRITICO ζ = (c =4km) : le radici sono reali e coincidenti α = α = -ω n e la soluzione ωnt ωnt assume la forma x( t) = Ae + Bte In figura 6.6 vediamo i due moti aperiodici per un oscillatore caratterizzato da: m=, k=; e condizioni iniziali x(0) = m, x (0) = 0 m/ s. ζ.5. Figura 6.6 MOTO OSCILLATORIO SMORZATO ζ < (c <4km) : le radici sono complesse e coniugate α = α = -ω n e la soluzione assume la forma: ζωnt i ζ ωnt i ζ ωnt ζωnt xt () = e ( Ae + Be ) = Xe cos( ζ ω t+ φ) n 8

125 Capitolo 6 Vibrazioni meccaniche ζ Figura Oscillazioni forzate armoniche In questo paragrafo si considerano le vibrazioni di un sistema massa-molla-smorzatore eccitato da una forza sinusoidale, l equazione del moto è: f(t) mx + cx + kx = F cosω 0 t 6.3 la soluzione della (6.) ha la seguente struttura: m x(t) xt = Xe t+ + X t 6.4 ζωn ( ) t sin( ζ ωn φ) cos( ω ψ) cioè la soluzione dell omogenea associata (problema libero) e soluzione particolare. Se il fattore di smorzamento è positivo, allora per tempi molto lunghi la soluzione dell omogenea fornirà un contributo praticamente trascurabile, saremo in condizioni di regime. Troviamo la soluzione particolare: k Figura 6.8 c Il termine cosωt può essere pensato come la parte reale di un esponenziale complesso: j t cosωt = Re e ω. Possiamo quindi studiare il problema: ( ω ω ) jωt mx + cx + kx = F0e = F0 cos t + j sin t 6.5 La soluzione particolare della (6.5) sarà complessa, la parte reale di questa soluzione fornisce la soluzione della (6.3). sostituendo x X j t = Xe ω 6.6 F mω jcω k = X è un numero complesso che può essere scritto in termini di modulo e fase: 9

126 Capitolo 6 Vibrazioni meccaniche jψ jψ Fe 0 Fe 0 X = = k ( k mω ) + ( cω) ω ω ζ + ωn ωn ζω ωn dove la fase è data da: tanψ =. ωω ( ) La soluzione del problema complesso è dunque: n 6.8 x X e ω ψ ed ovviamente la soluzione del problema reale è: x= X cos( ωt ψ ) 6.0 j( t ) = 6.9 si vede cioè che il modulo della soluzione complessa coincide con l ampiezza della soluzione reale, così come la fase. Vediamo ora l andamento dell ampiezza e della fase al variare della frequenza di eccitazione. Definiamo il fattore di amplificazione: 6. G( ω) = ω ω + 4ζ ωn ωn Vediamo che in prossimità della frequenza di oscillazione libera ω n l ampiezza raggiunge il massimo, poi tende a decrescere (Fig. 6.9). Il massimo dell ampiezza si ottiene per: a) ω = 0 se ζ > / 6.a b) ω = ω ζ res n se ζ / 6.b e la relativa ampiezza è: a) G(0)= G ω res = ζ ζ b) ( ) 6.3 Il massimo della risposta si ottiene per un valore della frequenza detta frequenza di risonanza. L ampiezza di oscillazione si riduce all aumentare dello smorzamento così come la frequenza di risonanza. Molto spesso, per piccoli valori di smorzamento, si può ragionevolmente approssimare la frequenza di risonanza con la frequenza dell oscillatore libero non smorzato, ottenendo la seguente ampiezza massima: G n = 6.4 ζ ( ω ) G( ω ) res Un aspetto importante da sottolineare nella risposta dell oscillatore, è che in prossimità della risonanza la fase ha un salto pari a π. Si noti che l andamento della fase è regolare per smorzamento non nullo, 0

127 Capitolo 6 Vibrazioni meccaniche mentre in caso di assenza di smorzamento la fase presenta un discontinuità in corrispondenza della risonanza ζ Figura 6.9a Figura 6.9b Il valore di ampiezza indicato nella (6.4) è una buona approssimazione dell ampiezza in risonanza esso è detto quality factor ed è normalmente indicato con il simbolo Q. I punti P e P corrispondenti ad una ampiezza G(ω) =Q/ sono detti punti di mezza potenza, corrispondenti alle pulsazioni ω e ω ; essi sono piuttosto utili in quanto valgono le seguenti relazioni: Δ ω = ω ω ζωn 6.5 n Q ω ζ ω ω 6.6

128 Capitolo 6 Vibrazioni meccaniche dalle formule (6.5-6) si ottiene un metodo semplice per stimare lo smorzamento partendo dalla conoscenza della risposta in frequenza. Si può notare che, per smorzamento nullo, l ampiezza va all infinito in risonanza, infatti: x F 0 jωt = e 6.7 ( ω/ ωn ) k ovviamente la (6.7) non è definita per ω=ω n, infatti in tale condizione occorre tornare alla (6.3) ottenendo: F0 x = ntsin nt k ω ω 6.8 Figura Trasmissibilità In questo paragrafo si considerano due problemi: o valutazione delle forze trasmesse al basamento da un sistema forzato direttamente o valutazione dell ampiezza di vibrazione di un sistema il cui basamento sia soggetto a moto oscillatorio (eccitazione sismica) Vedremo che questi due problemi si riconducono ad una unica formulazione matematica Forze trasmesse al basamento Ricordiamo che l equazione del moto è: mx + cx + kx = F cosω 0 t 6.9 Al solito consideriamo la forma complessa della 6.9: j t + + = mx cx kx F e ω Figura 6.

129 Capitolo 6 Vibrazioni meccaniche La soluzione particolare è. con x X j t = Xe ω 6.3 F mω jcω k = Dalla Figura 6. si intuisce che la forza trasmessa al basamento è data da: considerando la 6.3 si ha: che in modulo vale: T = cx + kx 6.33 ( ω ) T = X j c+ k 6.34 k ω ζ + F ω ( ω ) ω ω ω ω ζ ζ + + ωn ωn ωn ωn 0 n T = c + k = F si definisce trasmissibilità il rapporto: T t = = F 0 ω ζ + ω n ω ω ζ + ωn ωn

130 Capitolo 6 Vibrazioni meccaniche 5 ζ=0 ζ= t 3 ζ=0. ζ=0. ζ=0.5 ζ ( ) ω ω n Figura. 6. La trasmissibilità è una quantità adimensionale che definisce il rapporto tra la forza effettivamente trasmessa al basamento e la forza applicata al variare della frequenza. In sostanza la trasmissibilità definisce la qualità della sospensione; infatti, se si pensa al sistema molla smorzatore come ad una sospensione atta a ridurre le vibrazioni trasmesse al basamento, è ovvio che la migliore sospensione è quella che minimizza t. In Figura 6. è rappresentato l andamento di t al variare di (ω/ω n ) ; si vede che t ha un massimo in corrispondenza di ω n per piccoli valori dello smorzamento, tale massimo tende a ridursi e spostarsi su frequenze più basse all aumentare dello smorzamento stesso. Dalla 6.36 notiamo che, per ogni valore dello smorzamento, alla frequenza (ω/ω n ) = la trasmissibilità t=. Oltre (ω/ω n ) = t assume valori < e decrescenti con la frequenza di eccitazione; inoltre si può notare che per (ω/ω n ) > al diminuire dello smorzamento diminuisce t. Nel progetto di una sospensione si hanno due scelte: (ω/ω n ) << oppure (ω/ω n ) >; è evidente che per quanto riguarda la trasmissibilità la seconda scelta è più conveniente poiché permette di ridurre maggiormente le sollecitazioni trasmesse al basamento; tale scelta ha comunque come svantaggio il fatto di dover attraversare la risonanza in fase di avvio, l attraversamento dovrà essere fatto rapidamente per evitare eccessive amplificazioni Eccitazione sismica. In questo caso siamo in presenza della situazione rappresentata in figura 6.3. Immaginiamo che il basamento abbia una massa notevole e che il suo moto non sia influenzato dal moto della massa m che rappresenta il sistema che volgiamo isolare dalle vibrazioni del basamento: si può trattare ad esempio di una strumentazione delicata che non deve subire eccessive sollecitazioni dinamiche. Il moto del basamento sia individuato dalla coordinata verticale non deve subire eccessive sollecitazioni dinamiche. Il moto del basamento sia individuato dalla coordinata verticale y=y 0 cos ω t ; la posizione assoluta della massa m è indicata con x. 4 Figura 6.3

131 Capitolo 6 Vibrazioni meccaniche L equazione del moto è: dove z=x-y. Si ottiene: mx () t + cz () t + kz() t = mx + cx + kx = cy + ky 6.38 Al solito consideriamo la formulazione complessa: y=y 0 e jω t ; otteniamo: La risposta è: ( ω ) j t + + = mx cx kx Y j c k e ω ( jωc+ k) x = Y e ( mω + jωc+ k) 0 jωt 6.40 Il modulo della risposta, cioè l ampiezza di oscillazione è: ω ζ + ( ωc) X = Y = Y ( mω + k) + ( ωc) ω ω ζ + ωn ωn + k ωn Definiamo ora trasmissibilità il rapporto tra la ampiezza dell eccitazione sismica e l ampiezza dell oscillazione della massa sospesa m: X t = = Y 0 ω ζ + ω n ω ω ζ + ωn ωn 6.4 L espressione ottenuta per t è identica alla 6.36 ed ha l andamento indicato in figura 6.. Ovviamente il significato fisico ora è diverso in quanto si stanno analizzando ampiezze di oscillazione anziché forze trasmesse. Valgono però le stesse considerazioni sia per ciò che concerne la zona di lavoro più vantaggiosa ((ω/ω n ) >) sia sull effetto dello smorzamento. 5

132 Capitolo 7 Dinamica dei rotori Capitolo 7 Dinamica dei rotori Nelle applicazioni meccaniche spesso si incontrano dispositivi aventi parti in rotazione detti rotori. Un esempio molto importante consiste nelle giranti delle turbine che si trovano negli impianti di generazione dell energia. Tali giranti sono caratterizzate da una simmetria rispetto all asse di rotazione. Ovviamente, per motivi di precisione costruttiva, tale simmetria non sarà sempre perfetta; si hanno praticamente sempre delle distribuzioni di massa non perfettamente uniforme e tale da rompere la simmetria. Ciò genera degli squilibri che causano delle forze di inerzia, le quali si scaricano sui supporti, fanno vibrare l impianto e, alla lunga, possono portare a rottura per fatica i materiali. Un altro esempio interessante è l elica, anch essa teoricamente dovrebbe essere perfettamente simmetrica. Gli squilibri dinamici saranno proporzionali alla velocità angolare ed all entità della dissimmetria. In alcuni casi, anche un piccolo squilibrio può portare a forti sollecitazioni. Nella figura a destra si vede una turbina sperimentale il cui regime di rotazione è pari a giri/min. Un modo semplice per vedere se c è uno squilibrio nel rotore è riportato nella figura a sinistra. Si poggia il rotore su dei supporti a basso attrito (con cuscinetti a rotolamento, ad esempio), si controlla poi se il rotore tende ad una posizione preferenziale (rotore squilibrato staticamente) o se la posizione di equilibrio è una qualsiasi in senso angolare (rotore equilibrato staticamente). Come vedremo in seguito, questa procedura da solo informazioni parziali sullo squilibrio statico. Infatti, per l equilibratura si esegue di norma in condizioni dinamiche, ovvero facendo ruotare il pezzo da equilibrare e misurandone lo squilibrio. L esempio più diffuso di macchine per equilibratura è quello dei pneumatici per autotrazione. Una volta individuato lo squilibrio, si può provvedere all equilibratura aggiungendo delle massette aventi opportuna massa e posizione. Un ulteriore importante aspetto della dinamica dei rotori riguarda le velocità critiche flessionali, tale problema si manifesta quando si ha a che fare con alberi snelli la cui flessibilità sia comparabile con le forze di inerzia in gioco. 6

133 Capitolo 7 Dinamica dei rotori 7. Squilibrio statico Si ha squilibrio statico quando il baricentro del rotore non coincide con l asse di rotazione del rotore stesso (Fig. 7.). Supponiamo ad esempio che ad un rotore perfettamente bilanciato si aggiunga una massa m a distanza r dall asse di rotazione (in figura 7. si sono omessi i supporti mg Figura 7. del rotore per semplicità grafica). Tale massa produce una forza di inerzia pari a m Ω r, che come si vede dipende dalla velocità angolare, è perciò un effetto dinamico. Tale squilibrio è detto statico poiché produce un effetto anche in condizioni di quiete. Infatti, se poniamo il rotore nella posizione indicata nella figura a sinistra, Fi=mv /r per effetto della gravità si determina una forza mg ed un momento rispetto all asse di rotazione pari a mgr. Questo momento ha verso tale da tendere a riportare il sistema nella posizione di equilibrio: massa nella posizione più bassa. È chiaro dunque che questo tipo di squilibrio ha effetto anche in condizioni statiche, da cui il nome squilibrio statico. Ω m v Figura Squilibrio dinamico Consideriamo un rotore inizialmente equilibrato, cioè perfettamente simmetrico e con baricentro sull asse di rotazione. Per capire il concetto di squilibrio dinamico supponiamo di aggiungere due masse disposte asimmetricamente come in figura. G Figura 7.3. Squilibrio dinamico 7

134 Capitolo 7 Dinamica dei rotori Supponiamo ora che le due masse m e m siano molto maggiori della massa del rotore iniziale. Questa ipotesi estrema non è ovviamente realistica, ma ci serve per fissare le idee e concentrarci sullo squilibrio dinamico. Ipotizziamo anche che le due masse siano puntiformi. Ricordiamo le 4.: ( ), ( ), ( ) J = r r ρdv J = r r ρdv J = r r ρdv Ax x Ay y Az z V V V ( ), ( ), ( ) J = r r ρdv J = r r ρdv J = r r ρdv Axy x y Axz x z Ayz y z V V V Tenendo conto della disposizione delle masse puntiformi, considerando il caso particolare di due masse identiche m =m =m e trascurando l effetto della massa distribuita del rotore abbiamo: 7.a ( ) J = md, J = m r + d, J = mr Ax Ay Az J = 0, J = mrd, J = 0 Axy Axz Ayz 7.b avendo tenuto conto che i vettori posizione delle due masse sono: r r r = 0, r = 0 7. d d Vediamo che la presenza di queste due masse ha fatto nascere un momento di deviazione nella matrice d inerzia. Si può dimostrare che il baricentro è rimasto invariato. Ovviamente in questo caso particolare si è scelto il piano contenente le due masse ed il baricentro coincidente con il piano (x, z). Esercizio: ripetere scegliendo il sistema di riferimento (x,y,z) in modo che l origine sia sempre in z, l asse z rimanga lo stesso, i due assi x e y in una posizione diversa (rotazione del riferimento mobile rispetto a z). Volendo considerare anche la massa distribuita del rotore si dovranno sommare i contributi, integrali, ai soli termini nella diagonale; infatti, il rotore è stato ipotizzato inizialmente simmetrico. È chiaro perciò che in un rotore, a causa della non uniforme distribuzione delle masse possono insorgere due effetti:. Spostamento del baricentro. Nascita di momenti di deviazione Perciò possiamo dire che in generale lo squilibrio dinamico si manifesta come nascita di momenti di deviazione nella matrice di inerzia. Nei rotori possiamo perciò fissare il sistema mobile con asse z coincidente con l asse di rotazione, dato che l albero non può scorrere lungo questo asse, allora l origine degli assi è fissa. Ci siamo ricondotti ad un caso simile a ciò che è già stato studiato nel Capitolo 4. Caso: Ω x =Ω y =0, assi non principali di inerzia ma con origine fissa Ipotizziamo Ω z =costante. Jx Jxy Jxz 0 i j k K y M = J yx Jy Jyz Ω z =Ω z + Kx 7.3 Jzx Jzy J z 0 Kx Ky K z 0 8

135 Capitolo 7 Dinamica dei rotori dove: J xz KA = JΩ =Ωz J yz 7.4 J z perciò J yz M =Ω z + J xz Abbiamo in definitiva un momento costante giacente sul piano (x, y). Ragionando in termini di forze di inerzia possiamo dire che nasce una coppia di inerzia: + J yz Mi = M =Ωz J xz Dato che il sistema mobile è solidale all albero, esso ruoterà attorno all asse z, la coppia M i sarà una coppia costante in modulo, ma variabile come direzione (rotante). 7.3 Macchina equilibratrice In generale possiamo perciò pensare il rotore sollecitato a causa degli squilibri statico e dinamico. Avremo una forza d inerzia dovuta al moto circolare del baricentro ed un momento dovuto agli effetti della perdita di simmetria (eq. 7.6). In figura 7.4 sono indicati questi due effetti qualitativamente mediante due vettori. Prendiamo in considerazione ora due piani I e II ortogonali all asse di rotazione e posti a distanza a e b dal baricentro rispettivamente; indichiamo con l la loro distanza. Il baricentro cadrà in un generico punto interno al rotore. I piani I e II saranno indicati come piani di correzione (Fig. 7.5). Fi=mv /r Ω G M i Figura 7.4 I G II a b (l=a+b) Figura 7.5 9

136 Capitolo 7 Dinamica dei rotori La forza F i ed il momento M i possono essere equilibrati applicando delle forze costanti nel sistema di riferimento mobile. F i si può equilibrare con due forze di segno opposto a F i e aventi modulo dipendente dalla posizione dei piani I e II. La loro somma dovrà essere pari a - F i e la somma dei momenti rispetto al baricentro dovrà essere nulla. Ne risultano le due forze indicate in figura 7.6. Per ciò che concerne il momento M i, esso può essere equilibrato da una coppia di forze giacenti sui piani I e II ed ortogonali a M i, la risultante ovviamente è nulla, mentre il momento fornito da questa coppia di forze sarà pari a - M i. II Fi M i Fi a/l M i /l S II M i /l S I Fi b/l I Figura

137 Capitolo 7 Dinamica dei rotori Il tipo di macchina equilibratrice più semplice è rappresentato nella figura in basso. Il rotore è montato su un supporto oscillante la cui cerniera si trova su uno dei due piani di equilibratura; il supporto oscillante è anche collegato ad una molla connessa al telaio. I II -S II cos (Ω t+ϕ) -S II l cos(ω t+ϕ) c Figura 7.7. Macchina equilibratrice. Considerando la scomposizione delle azioni dinamiche effettuata nella pagina precedente, possiamo pensare che sul piano II agisca una forza -S II rotante che, sulla verticale darà una componente pari a -S II cos (Ω t+ϕ). Tale forza variabile genera un momento rispetto alla cerniera pari a M = M cos( Ω t+ ϕ ) 0 =-S II cos(ω t+ϕ). Se k è la costante elastica della molla, la forza di reazione, per una rotazione ϑ del supporto oscillante è k c ϑ; la coppia risultante sarà k c ϑ. L equazione del moto (per la rotazione) del supporto oscillante è: -S -S II II cos(ωt+ϕ) Ωt+ϕ -S II sin(ωt+ϕ) Figura 7.8 J kc M t ( ) ϑ + ϑ = cos Ω + ϕ Dove J è il momento d inerzia dell insieme rispetto alla cerniera. La soluzione è: con: ( t ) ϑ =Θcos Ω + ϕ + ψ 7.8 Θ= kc M 0 Ω J 7.9 3

138 Capitolo 7 Dinamica dei rotori Per ciò che concerne la fase si avrà ψ=0 se Ω è inferiore a kc / J, macchina subcritica, oppure ψ=π se Ω è superiore a kc / J, macchina supercritica. Le macchine equilibratrici del tipo raffigurato sono in genere supercritiche. La macchina deve essere dotata di un dispositivo per determinare l ampiezza di oscillazione massima; ciò può essere fatto in vari modi mediante trasduttori di posizione (in commercio ne esistono di vari tipi). Si deve inoltre determinare la posizione angolare per la quale si ha la massima ampiezza di oscillazione, onde determinare ϕ. A questo punto sono noti entità e posizione angolare dello squilibrio e si può procedere all equilibratura. 7.4 Velocità critiche flessionali. Nei paragrafi precedenti il rotore è stato pensato come un corpo rigido. In molti casi però il rotore è montato su un albero flessibile, ad esempio ciò si verifica in turbine, compressori, motori elettrici o pompe. Gli sbilanciamenti in questi casi possono determinare la deformazione flessionale dell albero che supporta la girante, esempio la turbina, e possono nascere fenomeni vibratori. In questo paragrafo si tratta il problema delle velocità critiche flessionali, cioè i problemi vibratori che sorgono quando le forze di inerzia forzano vibrazioni nel rotore. In questa trattazione si trascurano molti importanti effetti come le cedevolezze dei cuscinetti, gli effetti giroscopici, l attrito ed eventuali instabilità dovute a cuscinetti idrodinamici. Consideriamo un rotore circolare montato nella mezzeria di un albero flessibile di cui trascureremo la massa. L albero è supportato alle estremità da due cuscinetti che immaginiamo rigidi, vedasi figura. a cos ω t ω t z y O x ω y O r b θ x G C φ a a sin ω t Figura 7.9. Velocità critiche flessionali. Data la simmetria rispetto alla mezzeria dell albero, studiamo il problema nel piano x,y: il punto O è posizione di equilibrio statico del sistema in assenza di gravità la mezzeria dell albero è indicata dal punto C che coincide con O in equilibrio statico, mentre la posizione di C è indicata dal vettore b il centro di massa G non coincide con C a causa dello squilibrio statico Il vettore b ruota con velocità pari a θ che può non coincidere con la velocità angolare ω dell albero, la rotazione di b è detta whirling (rotazione, turbinio). Per studiare il moto del sistema determiniamo la posizione di G: x + acosωt r = b+ a = 7.0 y + asinωt La forza elastica che nasce dalla deformazione dell albero e tende a riportare C in O è: 3

139 Capitolo 7 Dinamica dei rotori kx F e = 7. ky dove k è la rigidezza dell albero da calcolare mediante le formule classiche della teoria dell elasticità o, nei casi più complessi, con metodi numerici. Similmente le forze dissipative sono date da: Le equazioni del moto sono date da: F d cx = cy 7. m r = F + F 7.3 e d per componenti possiamo riscrivere: + + = + + = ω ω mx cx kx m a cos t ω ω my cy ky m a sin t 7.4 Definiamo ora la funzione complessa w=x+i y; questa funzione nella sua rappresentazione vettoriale nel piano complesso, coincide con b. Sommiamo ora la prima delle 7.4 alla seconda moltiplicata per i: + + = ω 7.5 mw cw kw m a e jωt Vista la presenza dello smorzamento sappiamo che ci si può ridurre alla ricerca della soluzione particolare: dove: ( t ) = = 7.6 w w e j p W ω φ W = φ ω a mω a ωn = ω ω ω ω ζ + ωn ωn ( k m) + ( c ) = ω ζ c ω ω n arctan = arctan k ω m ω ω n 7.7a 7.7b 33

140 Capitolo 7 Dinamica dei rotori W a ω φ ω π Figura 7.0 L ampiezza di vibrazione è nulla per velocità angolare nulla, cresce fino ad un massimo che corrisponde alla risonanza dell oscillatore, poi tende asintoticamente ad a. E interessante analizzare la fase che, per velocità piccole o nulle è circa 0, oltrepassata la risonanza, per grandi velocità tende a π, quest ultimo caso corrisponde ad una rotazione del vettore b con velocità di rotazione pari a quella dell albero, ma verso opposto (Rao, 003). 34

141 Capitolo 8 Trasmissioni mediante ruote dentate (cenni) Capitolo 8 Trasmissioni mediante ruote dentate (cenni) Si tratta di organi meccanici atti a trasmettere potenza tra assi. In particolare permettono di realizzare la trasmissione mantenendo rigorosamente costante il rapporto di trasmissione. Esempi: Trasmissione tra assi paralleli Trasmissione tra assi perpendicolari. 35

142 Capitolo 8 Trasmissioni mediante ruote dentate (cenni) Ruote a denti dritti Ruote a denti elicoidali Pignone dentiera Ruote coniche Schema di un riduttore a ruote dentate Esempi di ruote dentate 36

143 Capitolo 8 Trasmissioni mediante ruote dentate (cenni) 8. Ruote di frizione La trasmissione del moto tramite ruote di frizione trova scarsissime applicazioni, ma è molto utile per introdurre dei concetti cinematici utili nello studio delle ruote dentate. Sia la ruota movente e la cedente: Figura. 8. Le velocità periferiche delle ruote sono: v =Ω R e v =Ω R ; dato che nel punto di contatto le velocità periferiche devono essere identiche si ha: v = v ; da cui: Ω R τ = = Ω R dove si è definito con τ il rapporto di trasmissione. È facile dimostrare che nel caso di ruote dentate il rapporto di trasmissione, a meno del segno, si può anche scrivere come: τ=z /z ; dove z i indica il numero di denti della i-esima ruota. 8. Rotismi ordinari Si tratta di meccanismi per la trasmissione del moto contenenti ruote dentate. Due ruote dentate accoppiate formano un ingranaggio. Due o più ruote che ingranano, più il supporto, formano un rotismo Un rotismo è detto ordinario se gli assi di rotazione delle ruote sono fissi rispetto al supporto. Un rotismo è detto epicicloidale se gli assi di rotazione delle ruote possono muoversi rispetto al supporto. Esempi. 37

144 Capitolo 8 Trasmissioni mediante ruote dentate (cenni) Rotismo ordinario Rotismo epicicloidale Rappresentazione di rotismi 38

145 Capitolo 8 Trasmissioni mediante ruote dentate (cenni) APPLICAZIONE AERONAUTICA (RIDUTTORE PER GIRANTE DI ELICOTTERO) 39

146 Capitolo 8 Trasmissioni mediante ruote dentate (cenni) Un rotismo ordinario può essere rappresentato da uno schema funzionale come quello in figura, che rappresenta una scatola di riduzione a 5 ingranaggi dove la ruota è movente e la 5 è cedente. Figura 8. Il rapporto di trasmissione è in genrale: τ Ω Ω Ω Ω τ i Ω Ω Ω Ω n n n = = = n n i Nel caso in figura si ha che Ω 3 Ω 4 : Ω Ω Ω τ = Ω Ω Ω dato che Ω 3 Ω 4 il rapporto Ω 4 /Ω 3 non è incluso nella relazione precedente. In termini di numeri di denti si ha: il rapporto di trasmissione diventa: Ω z Ω z Ω z =, =, = Ω z Ω z Ω z z z z z z τ = = z z z z z si noti che la ruota è sparita nel calcolo del rapporto di trasmissione, tale ruota è detta oziosa ed il suo ruolo consiste solamente nell invertire il verso di rotazione del cedente. 40

147 Lubrificazione. Capitolo 9 Lubrificazione (cenni) 9. Viscosità Nell accoppiamento di elementi cinematici, per esempio nelle coppie rotoidali, viene spesso usato un lubrificante sia per diminuire l attrito che per prevenire l usura degli elementi stessi. Una delle caratteristiche più importanti di un lubrificante è la viscosità. Si consideri la figura 9., si è in presenza di due superfici piane tra le quali è interposto un fluido. y F x v * Vale la seguente relazione di Newton: τ μ v = y dove in questo caso si può sostituire alla derivata parziale la derivata ordinaria, non essendoci variazioni di v in altre direzioni eccetto che y. μ viene detta viscosità dinamica. Dimensioni della viscosità dinamica: [ μ ]=[F L T] Unità di misura: Figura 9. S.I. N m s P s = a dyn C.G.S. P cm 0 ( Poise ) = P s = a In figura 9. è rappresentato un viscosimetro assoluto a cilindro rotante. Questo tipo di viscosimetri presenta la massima precisione ed affidabilità. 4

148 Lubrificazione. Figura 9. Figura 9.3 Figura 9.4 In Europa è diffuso il viscosimetro Egler. Si tratta di un apparecchio costituito da un recipiente A (vedi figura 9.3) in cui è posto il liquido in esame. Tre punte p permettono di individuare il livello del liquido. Sul fondo del recipiente si trova un tubicino B di platino con sezione leggermente convergente chiuso da una asticciola manovrabile dall esterno. Il recipiente A è posto in un contenitore C dove si trova un liquido mantenuto in agitazione mediante l agitatore D, in modo da assicurare uniformità di temperatura. Sono presenti inoltre ue termometri, l uno M che misura la temperatura del liquido in esame, l altro N quella del liquido contenuto nel recipiente C. L apparecchio viene tarato misurando il tempo di deflusso di 00 cm 3 di acqua distillata alla temperatura di 00 C. La misurazione consiste nel far defluire 00 cm 3 del liquido in esame rilevando la temperatura ed il tempo impiegato. Il rapporto E tra questo tempo e quello rilevato durante l operazione di taratura rappresenta, in gradi Engler, la viscosità relativa del liquido alla temperatura in cui si è svolta la prova. Viscosità cinematica ν [mm / s] >50 Saybolt universal seconds Redwood no. seconds Engler degrees E (ν 4 6) (ν 4) (ν 0 3 ) 4

149 Lubrificazione. LUBRIFICAZIONE GLI ORGANI DI MACCHINA IN MOTO RELATIVO SONO SOGGETTI AD USURA PER RIDURRE L ATTRITO E L USURA SI POSSONO LUBRIFICARE LE COPPIE LA LUBRIFICAZIONE MEDIANTE OLIO È LA PIÙ USATA SIMULAZIONE DELLA FASE DI AVVIO DI UN MOTORE ENDOTERMICO LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA COPPIA PIANA LUBRIFICATA COPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATA IL CAMPO DI MOTO CHE SI GENERA NEL FLUIDO A CAUSA DEL MOTO RELATIVO TRA LE SUPERFICI GENERA FORZE DI PRESSIONI PORTANTI A VELOCITÀ NULLA NON C È PORTANZA: MANCANZA DI LUBRIFICAZIONE A FERMO 43

150 Lubrificazione. LUBRIFICAZIONE IDROSTATICA COPPIA ROTOIDALE DI SPINTA LUBRIFICATA COPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATA IL CAMPO DI MOTO SI GENERA NEL FLUIDO A CAUSA DI UN INGRESSO FORZATO DEL FLUIDO AD ELEVATA PRESSIONE A VELOCITÀ NULLA C È PORTANZA: SI HA LUBRIFICAZIONE A FERMO 44

151 Lubrificazione. V=(Vx,Vy, Vz ) EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES PER FLUIDI INCOMPRIMIBILI 45

152 Lubrificazione. SEMPLIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI DEL MOTO NEL CASO DI FILM FLUIDI MOLTO SOTTILI EQUAZIONE DI REYNOLDS IPOTESI Le variazioni di V in direzione x,z sono molto più piccole rispetto a quelle in direzione y (si trascurano le derivate di V in x,z) Inerzia del fluido trascurabile Re -> 0 SULL EQUAZIONE DI CONTINUITÀ NON SI POSSONO TRASCURARE LE DERIVATE IN x,z 46

153 Lubrificazione. INTEGRIAMO LE EQUAZIONI DI EQUILIBRIO IN y INTEGRIAMO LE EQUAZIONI DI EQUILIBRIO IN y E SOSTITUIAMO LE VELOCITÀ RICAVATE SOPRA EQUAZIONE DI REYNOLDS 47