Lezione PONTI E GRANDI STRUTTURE. Prof. Pier Paolo Rossi Università degli Studi di Catania

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1 Lezione PONTI E GRANDI STRUTTURE Prof. Pier Paolo Rossi Università degli Studi di Catania

2 COMPORTAMENTO POST-CRITICO DI LASTRE E MEMBRATURE IN ACCIAIO

3 Risposta post-critica Confronto asta-lastra Asta compressa La tensione non cresce più Lastra compressa La tensione cresce, ma in maniera non uniforme b t = spessore b 3

4 Risposta post-critica della lastra Carico di rottura N N cr Instabilità 1 plasticizzazione Lastra senza curvatura Rottura Comportamento elastico postinstabilità Lastra con curvatura iniziale δ t 4

5 Resistenza delle aste compresse Influenza dell instabilità locale Completa plasticizzazione N N u y Resistenza ultima in presenza di instabilità locale Instabilità elastica Resistenza ultima in assenza di instabilità locale b N y N cr 5

6 Resistenza delle aste compresse Influenza dell instabilità locale Instabilità di lastre - appoggiate su un lato σ f cr y, σ f y u - semplicemente appoggiate Lastre plasticizzate Lastre senza tensioni residue (resistenza ultima) Lastre con tensioni residue e curvatura iniziale Instabilità elastica Lastre con curvatura iniziale f σ y cr = b fy 1( 1 ν ) t E k π σ 6

7 Curve d instabilità Lastre con tensioni normali o tangenziali Carico ultimo di singole lastre tratto da: Eurocodice (4.4) 7

8 Curve d instabilità Lastre soggette a tensioni normali ρ σ max f y Elementi esterni Iperbole di Eulero Elementi interni ψ= Elementi interni ψ= λ p f σ y cr,p Pannello interno : Pannello esterno : ρ = 1 se λ ( ) λ p ψ ρ= se λ p > λ p 3+ ψ 0 p ( ) ρ = 1 se λ λ p ρ= se λ p > λ p tratto da: Eurocodice (4.4) p 8

9 Curve d instabilità Lastre soggette a tensioni tangenziali τ max f y 3 χ w Iperbole di Eulero Irrigidimenti trasversali rigidi Irrigidimenti trasversali flessibili λ w f y τ cr,p 3 Irrigidimenti trasversali rigidi flessibili λ w > 083. η 083. η λ > 108. λ w 108. w η 083. λ λ ( 07+λ w ) w η λ w 1 w tratto da: Eurocodice (5.3 e ) 9

10 Curve d instabilità Effetto colonna Se il pannello è caratterizzato da un rapporto d aspetto molto basso (α=a/b<1) l effetto catenaria che consente l aumento della resistenza del pannello rispetto al valore d instabilità non si sviluppa. Ciò avviene perché, ad instabilità avvenuta, la curvatura trasversale del pannello è trascurabile. σ x b a tratto da: Eurocodice (4.4) 10

11 Curve d instabilità Tensione critica per effetto colonna Tensione critica per instabilità a colonna di pannelli non irrigiditi compressione uniforme compressione non uniforme σ = cr,c,ψ=1 π Et 1( 1 ν ) a (.. ) σ cr,c,ψ¹1 =σcr,c,ψ= ψ tratto da: Eurocodice (4.5.3) 11

12 Curve d instabilità Tensione critica per effetto colonna Tensione critica per instabilità a colonna di pannelli irrigiditi bc σ cr,c = σ b sl,1 cr,sl dove: σ = π EI A a sl,1 cr,sl sl,1 b sl1 b c tratto da: Eurocodice (4.5.3) 1

13 Curve d instabilità Effetto combinato lastra e colonna Il comportamento a colonna è tenuto in conto attraverso una modifica del fattore di riduzione ρ per instabilità del pannello : ( ) ( ) ρ = ρ χ ξ ξ + χ c c c dove : ξ = σ σ cr,p cr,c 1 con 0 ξ 1 tratto da: Eurocodice (4.5.3 e 4.5.4) 13

14 Curve d instabilità Effetto combinato lastra e colonna Il comportamento a colonna è tenuto in conto attraverso una modifica del fattore di riduzione ρ per instabilità del pannello : dove : 1 χ c = 1 Φ+ Φ λ c ( ) ( ) ρ = ρ χ ξ ξ + χ c c c Coefficiente d imperfezione α= 01. α e =α+ (pannello non irrigidito) α= 034. α= ie (pannello irrigidito) (irrigidimenti aperti) (irrigidimenti chiusi) tratto da: Eurocodice (4.5.3 e 4.5.4) 14

15 Esempio Verifica d instabilità di lastra soggetta a tensioni normali Sia data una lastra appoggiata sui bordi e sollecitata da una tensione σ x costante sui due lati opposti σ x a=1 m b=.1 m La tensione elastica della lastra è : π E 16 σ e = = = MPa ( ν )( bt) t=16 mm Il rapporto d aspetto vale Il fattore d instabilità vale a b 100 = = k σ = = k σ b 1 a = m + a m b 15

16 Esempio Verifica d instabilità di lastra soggetta a tensioni normali Sia data una lastra appoggiata sui bordi e sollecitata da una tensione σ x costante sui due lati opposti σ x a=1 m b=.1 m La tensione elastica critica della lastra è : t=16 mm σ = σ = = cr k σ e MPa. La snellezza adimensionale della piastra vale: Il fattore di riduzione per instabilità vale: 355 λ p = =. 0 > ( 3+ 1) ρ= =

17 Esempio Verifica d instabilità di lastra soggetta a tensioni normali Sia data una lastra appoggiata sui bordi e sollecitata da una tensione σ x costante sui due lati opposti σ x a=1 m b=.1 m La tensione elastica critica della colonna è : t=16 mm π E σ cr,c = = 1 1 ( ν )( at) 48. 5MPa La snellezza adimensionale della colonna vale: 355 λ p = = [ Φ= ( ) + 7. ] =

18 Esempio Verifica d instabilità di lastra soggetta a tensioni normali Sia data una lastra appoggiata sui bordi e sollecitata da una tensione σ x costante sui due lati opposti σ x a=1 m b=.1 m Il coefficiente di riduzione per instabilità della colonna è : 1 1 χ c = = 017. c La snellezza adimensionale della colonna vale: ξ= 1 = ρ c = ( ) 0. 51( 0. 51) = c t=16 mm χ = 1 Φ+ Φ λ σ ξ = σ cr,p cr,c ( ) ( ) 1 ρ = ρ χ ξ ξ + χ c c c 18

19 Verifica d instabilità Assemblaggi di lastre con tensioni normali o tangenziali Carico ultimo di assemblaggi di lastre: tratto da: Eurocodice (4.4) 19

20 Il metodo di verifica E possibile eseguire la verifica mediante uno dei seguenti metodi : metodo della larghezza efficace (o sezione ridotta) metodo della tensione ridotta tratto da: Eurocodice (4.3) 0

21 Verifica d instabilità Assemblaggi di lastre con tensioni normali o tangenziali Carico ultimo di assemblaggi di lastre: metodo della larghezza efficace tratto da: Eurocodice (4.4) 1

22 Il metodo della larghezza efficace Il metodo della larghezza efficace consente una compartecipazione dei pannelli e sottopannelli. Il metodo della larghezza efficace è soggetto a restrizioni : I pannelli dovrebbero essere rettangolari Le flange dovrebbero essere parallele Irrigidimenti inclinati non dovrebbero essere consentiti Il diametro di aperture non irrigidite non dovrebbero eccedere il 5% della larghezza del pannello Non dovrebbe aver luogo instabilità delle flange Le membrature dovrebbero essere a sezione costante tratto da: Eurocodice (4.3)

23 Il metodo della larghezza efficace Il metodo è applicato con riferimento ad una sezione ridotta 1. E eseguita una verifica per la sezione soggetta a : Tensioni tangenziali Tensioni normali longitudinali. E eseguita una verifica aggiuntiva per il reale stato di tensione combinato mediante formule di interazione 3. La capacità resistente è raggiunta all attingimento della resistenza allo snervamento nella fibra più compressa tratto da: Eurocodice (4.3) 3

24 Il metodo della larghezza efficace Il metodo parte dall osservazione che la distribuzione delle tensioni in un pannello è non uniforme nel campo post-instabilità. Il reale campo non-uniforme di tensioni è sostituito da un campo di tensioni uniformi su una larghezza efficace b eff. La larghezza efficace è valutata dalla condizione che la risultante delle tensioni di compressione sia eguale nei due casi : b b b σ b= σ ( y) dy=σ b m x max eff 0 b eff 4

25 Il metodo della larghezza efficace La larghezza efficace è determinata dalla condizione che la risultante delle tensioni di compressione sia eguale nei due casi : b σ b= σ ( y) dy=σ b m x max eff 0 Allo stato limite ultimo è : σ m =ρ fy e σ max = fy b Pertanto : beff = ρb b b eff 5

26 Il metodo della larghezza efficace Pannelli interni non irrigiditi b e1 b e ψ =σ σ 1 = 1 beff σ 1 σ + (compr.) b e1 = ρb = 05. beff b e = 05. beff σ 1 b e1 + b e σ 0 ψ < 1 beff = ρb be1 = beff be = beff be1 5 ψ σ 1 b e1 b c + b b e σ ψ < 0 beff = ρ bc = ρb ( 1 ψ) b e1 = 04. beff b e = 06. beff tratto da: Eurocodice (Tabella 4.1) 6

27 Il metodo della larghezza efficace Pannelli esterni non irrigiditi b eff σ + (compr.) σ 0 ψ < 1 1 beff = ρc σ b t b eff b c 0 + σ 1 ψ < beff = ρ bc = ρb ( 1 ψ) b eff σ 1 + σ 0 ψ < 1 beff = ρc b c σ 1 b eff + c σ ψ < 0 beff = ρ bc = ρb ( 1 ψ) tratto da: Eurocodice (Tabella 4.) 7

28 Il metodo della larghezza efficace Pannelli irrigiditi Nei pannelli irrigiditi è definita un area efficace piuttosto che una larghezza efficace. L area efficace è composta dell area piena delle estremità irrigidite e dell area efficace delle parti centrali instabilizzate. L area efficace della zona compressa di un pannello irrigidito è: dove : ρ c Ac,eff = ρ c Ac,eff,loc + bbordo,efft fattore di riduzione per instabilità globale del pannello irrigidito (ignorando l instabilità dei sottopannelli) tratto da: Eurocodice (4.5) 8

29 Il metodo della larghezza efficace Pannelli irrigiditi L area A c,eff,loc è data dalla relazione : A = A + ρ b t c,eff, loc sl,eff loc c,loc dove : A sl,eff area efficace degli irrigidimenti longitudinali che sono appieno o in parte in compressione b c,loc larghezza della parte in compressione di ogni sottopannello Nota: la sommatoria si estende alla parte in compressione del pannello irrigidito, con l eccezione della larghezza efficace adiacente ai due bordi appoggiati longitudinalmente. A c b 1,bordo,eff = ρ 1 b 1 A c,eff,loc b 3,bordo,eff b 1 b 3 ρ 1 b 1 ρ b ρ b ρ 3 b 3 b 1 b b 3 b 1 b b 3 tratto da: Eurocodice (4.5) 9

30 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni normali Le sezioni trasversali di classe 4 soggette a sforzo normale e momento flettente possono essere verificate mediante la relazione : NEd My,Ed + NEdey,N Mz,Ed + NEdez,N fy Aeff fw y y,eff fw y z,eff γ γ γ M0 M0 M0 dove : A eff W eff e N area efficace della sezione trasversale per sole tensioni da compressione uniforme modulo resistente elastico efficace per sole tensioni da flessione spostamento nella posizione dell asse neutro in virtù della riduzione della sezione efficace tratto da: Eurocodice (4.6) 30

31 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni tangenziali L anima della trave è tozza se sono verificate le seguenti relazioni: hw 7 Anima senza irrigidimenti ε t η Anima con irrigidimenti w h t w w 31 ε η k τ dove : η = 1.0 per tutti gli acciai fino al S460 incluso. = 1.00 per gli acciai di caratteristiche resistenti superiori. tratto da: Eurocodice (5.) 31

32 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni tangenziali Se l anima è tozza, non ha luogo alcuna instabilità per taglio e la resistenza a taglio è calcolata mediante la relazione: V pl,rd Av fyw η fywhwt = 3 γ 3 γ M0 M1 dove : η = 1.0 per tutti gli acciai fino al S460 incluso. = 1.00 per gli acciai di caratteristiche resistenti superiori. tratto da: Eurocodice (5.) 3

33 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni tangenziali Se l anima non è tozza, ha luogo instabilità per taglio e la resistenza a taglio è somma di tre contributi dovuti a : o Instabilità dell anima o Comportamento post-critico o Plasticizzazione delle flange tratto da: Eurocodice (5.) 33

34 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni tangenziali (contributo dell anima) In seguito all instabilità dell anima per taglio, le tensioni di compressione diagonale non mostrano incrementi rilevanti mentre la tensione di trazione può aumentare fino alla plasticizzazione dell acciaio σ c σ c σ t σ t (se ci fosse solo taglio) All atto dell instabilità per taglio σ t = σ c Dopo instabilità per taglio σ t > σ c tratto da: Eurocodice (5.) 34

35 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni tangenziali (contributo delle flange) Lo sviluppo di campi di tensione di trazione può portare alla plasticizzazione delle flange della sezione in acciaio, e quindi ad un contributo delle flange al taglio resistente tratto da: Eurocodice (5.) 35

36 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni tangenziali Se l anima non è tozza, ha luogo instabilità per taglio e la resistenza a taglio è calcolata mediante la relazione: V = V + V b,rd bw,rd bf,rd η f yw 3 γ h t w M1 dove : V bw,rd V bf,rd η taglio resistente dell anima taglio resistente della flangia = 1.0 per tutti gli acciai fino al S460 incluso. = 1.00 per gli acciai di caratteristiche resistenti superiori. tratto da: Eurocodice (5.) 36

37 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni tangenziali (contributo dell anima) I contributi al taglio resistente dovuti all instabilità dell anima e al «tension field action» sono valutati mediante la relazione : V bw,rd = χ w fyw hw t 3 γ M1 dove : χ w coefficiente riduttivo per instabilità locale da tensioni tangenziali tratto da: Eurocodice (5.) 37

38 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni tangenziali (campi di tensione di trazione) Il contributo al taglio resistente dovuto ai campi di tensione di trazione dipende dalla resistenza e rigidezza degli irrigidimenti trasversali ai lati del pannello. La sezione efficace di irrigidimenti intermedi, agenti come rigidi per i pannelli d anima, deve avere un momento d inerzia minimo pari a : 3 I st 075. hw t w se ah w 3 3 I st 150. hw t w a se < ah w tratto da: Eurocodice (9.3.3) 38

39 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni tangenziali (campi di tensione di trazione) La sezione efficace di irrigidimenti intermedi, agenti come rigidi per i pannelli d anima, deve essere progettata in resistenza sulla base di un imperfezione iniziale pari a s/300 limitando la tensione massima a σ z,rd =f y /γ M1 N z,ed sa Nz,Ed N st cr σ z,rd = 1 + A st 300W x,st,min 1 Nz,Ed Ncr dove : hwt w f yw Nz,Ed = V Ed =π λ cr st w γ w M1 3 N EI h s= min{ a,hw} tratto da: Eurocodice (9.3.3) 39

40 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni tangenziali (campi di tensione di trazione) Quando si controlla la resistenza all instabilità dell irrigidimento, la sezione dell irrigidimento può essere scelta come quella dell irrigidimento più quella relativa ad una larghezza del piatto eguale a 15 ε t. tratto da: Eurocodice (9.1) 40

41 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni tangenziali (irrigidimento d estremità) Un montante rigido d appoggio deve resistere alla reazione dell appoggio esterno e deve essere progettato come una trave corta resistente alle tensioni derivanti dalle azioni membranali longitudinali trasmesse dall anima. tratto da: Eurocodice (9.3.1) 41

42 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni tangenziali (irrigidimento d estremità) Un montante rigido d appoggio può comprendere : (i) irrigidimenti trasversali su entrambi i lati (che formino una trave corta) (ii) una sezione collegata all estremità dell anima. Un doppio irrigidimento a doppio lato dovrebbe avere: distanza tra i baricentri dei due irrigidimenti e > 0.1 h w area trasversale non minore di 4h w t²/e Una sezione dovrebbe avere il modulo resistente non minore di 4h w t² per flessione intorno ad un asse orizzontale perpendicolare all anima. tratto da: Eurocodice (5.) 4

43 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni tangenziali (irrigidimento d estremità) In alternativa, il tratto d estremità della trave può essere fornito di un unico irrigidimento trasversale a doppio lato ed un irrigidimento verticale adiacente al vincolo esterno, cosicché il pannello resista al taglio quando progettato come per montante non rigido d appoggio. tratto da: Eurocodice (5.) 43

44 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni tangenziali (coefficiente d instabilità) λ w < 083. η 083. η λ < 108. w λ w 108 montante rigido d appoggio η 083 Valori di χ w. 137 ( 07+λ w ) montante non rigido d appoggio. λ w 083. λ w λ w η dove : λ w = 076. f τ yw cr η = 1.0 per tutti gli acciai fino al S460 incluso. = 1.00 per gli acciai di caratteristiche resistenti superiori. tratto da: Eurocodice (5.3) 44

45 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni tangenziali (contributo delle flange) Il contributo della flangia al taglio resistente è : V bf,rd 4M f,plrd MEd = 1 cγ M1 Mf,Rd V bf,rd / M f,plrd fyf bt f f f = Wpl,Rd = γ 4 γ M1 yf M1 M f,plrd V bf,rd / M f,plrd tratto da: Eurocodice (5.4) 45

46 Il metodo della larghezza efficace Verifica per tensioni tangenziali (contributo delle flange) Il contributo della flangia al taglio resistente è : dove : M f,rd V =min{n Rf1, N Rf } e /γ M0 bf,rd f yf bf t f MEd = 1 cγ M1 Mf,Rd N Rf e = distanza tra i baricentri delle flange b f = sforzo assiale resistente della flangia = larghezza della flangia 15 ε t f su ciascun lato dell anima 16. M pl,f 16. bf t f fyf c = a = a Mpl,w thw fyw Nota : quando è presente lo sforzo normale, NEd 1 il valore di M f,rd deve essere ridotto attraverso il fattore ( A + A ) f γ f1 f1 yf M tratto da: Eurocodice (5.4) 46

47 Il metodo della larghezza efficace Interazione tra caratteristiche della sollecitazione Per tener conto degli effetti di interazione, occorre verificare la seguente relazione : M f,rd η ( η3 1) 1. 0 Mpl,Rd se VEd η= 3 > 05. V bw,rd M η 1 M f,rd pl,rd dove : η = M M 1 Ed pl,rd M f,rd N Rf M pl,rd V bw,rd =min{n Rf1, N Rf } e /γ M0 = sforzo assiale resistente della flangia = momento flettente plastico resistente della flangia efficace e di tutta l anima = taglio resistente dell anima tratto da: Eurocodice (7.1) 47

48 Verifica d instabilità Assemblaggi di lastre con tensioni normali o tangenziali Carico ultimo di assemblaggi di lastre: metodo delle tensioni ridotte tratto da: Eurocodice (4.4) 48

49 Il metodo delle tensioni ridotte Il metodo delle tensioni ridotte è riferito ai singoli pannelli degli elementi ed ognuno di essi è considerato con la sezione pienamente efficace. La capacità resistente è raggiunta all attingimento di valori ridotti della resistenza tratto da: Eurocodice (10) 49

50 Il metodo delle tensioni ridotte Sezione Flangia sup Flangia inf Anima Metodo di verifica Sezione 1 o 1 o 1 o - 1 o Sezione aperta 1 o 1 o 3 - con anima efficace 1 o 1 o o 1 o 4 tensioni ridotte trattata come classe 3 1 o 1 o 4 larghezza efficace 4 Sezione scatolare 1 o o 4 3 o 4 tensioni ridotte trattata come classe 3 1 o 4 3 o 4 larghezza efficace 4 50

51 Il metodo delle tensioni ridotte Il metodo delle tensioni ridotte è basato sull assunzione che la resistenza della sezione trasversale è esaurita quando il pannello più sfavorito raggiunge la resistenza di progetto. La verifica è soddisfatta quando è verificata la relazione : dove α ult,k ρα γ ult,k M1 1 minimo moltiplicatore delle tensioni di progetto necessario a raggiungere il valore caratteristico della resistenza del punto più critico del pannello. 1 σx,ed σz,ed σx,edσz,ed τed = α ult,k fy fy f y fy tratto da: Eurocodice (10) 51

52 Il metodo delle tensioni ridotte Il fattore di riduzione ρ può essere determinato come il minore tra i fattori di riduzione : ρ x ρ z χ w per tensioni longitudinali e affetto dal comportamento a colonna quando pertinente per tensioni trasversali e affetto dal comportamento a colonna quando pertinente per tensioni tangenziali ed è determinato in funzione della snellezza normalizzata : dove α cr λ = p α α minimo moltiplicatore delle tensioni di progetto necessario a raggiungere il primo modo d instabilità del pannello soggetto alle tensioni combinate. ult,k cr tratto da: Eurocodice (10) 5

53 Il metodo delle tensioni ridotte La relazione di verifica è pertanto : σ σ σ σ 3 τ f + y M1 f + y M1 f ρ y M1 f γ γ γ y γ M1 x,ed z,ed x,ed z,ed Ed oppure, secondo un approccio meno conservativo, : σ x,ed σ z,ed σ x,edσ z,ed τed x f +. y M1 z f + y M1 x z f y M1 w f ρ γ ρ γ ρ ρ γ χ y γ M1 tratto da: Eurocodice (10) 53

54 Esempio Verifica d instabilità di lastra soggetta a tensioni normali Sia data una lastra appoggiata sui bordi e sollecitata da una tensione σ x =110 MPa costante sui due lati opposti σ x a=1 m b=.1 m t=16 mm σ σ σ σ τ x f + y M1 z f +. y M1 x z f y M1 w f ρ γ ρ γ ρ ρ γ χ y γ M1 x,ed z,ed x,ed z,ed Ed Vale : = 1 Verifica soddisfatta 54

55 FINE 55