Lezione. Tecnica delle Costruzioni

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1 Lezione Tecnica delle Costruzioni 1

2 Verifica e progetto di sezioni allo SLU

3 Criteri generali Tensione di snervamento o ultima? f u f y 1.Se la zona plasticizzata è molto piccola, queste hanno scarso effetto globale: si può accettare f u ε y ε h ε u ε zone in corrispondenza di fori, collegamenti La tensione ultima f u si raggiunge con deformazioni plastiche molto elevate 2.Se la zona plasticizzata è estesa, le deformazioni plastiche non sono accettabili: ci si deve fermare a f y aste, in generale

4 Criteri generali Coefficienti parziali di sicurezza del materiale Vengono usati valori diversi, a seconda del problema resistenza di sezioni.. γ M0 = 1.05 resistenza di aste all instabilità.. γ M1 = 1.05 resistenza ultima di sezioni... γ M2 = 1.25 resistenza di bulloni, saldature resistenza di collegamenti a scorrimento per SLU. γ M3 = 1.25 per SLE. γ M3,ser = 1.10

5 Criteri generali Classificazione delle sezioni Le parti compresse di una sezione sono soggette al rischio di instabilità (instabilità locale) Le sezioni sono divise in 4 classi, in base a come l instabilità locale ne condiziona il comportamento classe 1 massima resistenza, massima duttilità classe 2 massima resistenza, limitata duttilità classe 3 resistenza limitata al raggiungimento della prima plasticizzazione classe 4 -instabilità precoce che avviene prima dello snervamento

6 Sforzo normale di trazione

7 Comportamento dell`asta al crescere del carico l asta e` in campo elastico = Aσ s ε s σ = s E ε s f y σ s ε s ε y

8 Comportamento dell`asta al crescere del carico l asta e` in campo elastico = Aσ s ε s σ = s E ε s f y σ s ε s ε y

9 Comportamento dell`asta al crescere del carico pl l asta e` al limite elastico pl σ = s fy pl = Afy ε =ε s y σ = E ε = f s y y ε =ε s y

10 Comportamento dell`asta al crescere del carico pl l asta si allunga plasticamente pl σ = s fy pl = Afy ε >ε s y σ = s fy ε y ε s

11 Comportamento ultimo Resistenza plastica di progetto del materiale σ = f f y γ s y M ε yd =εy γ ε M y

12 Comportamento ultimo Resistenza plastica di progetto della sezione pl,rd pl,rd pl,rd = Af γ y M 0 ε ε s yd σ = f / γ s y M0 f y σ = f γ s y M0 ε yd ε s

13 Comportamento dell`asta forata al crescere del carico ε s,2 σ s,2 >σ s,1 s, ε 1 σ s,1 σ = A σ s,1 = A f y s,2 net ε s,1 ε s,2 ε y

14 Comportamento dell`asta forata al crescere del carico questa zona si plasticizza ε s,2 =ε y σ s,2 = fy σ s,2 = fy s, ε 1 σ s,1 σ s,1 ε s,1 ε = ε y s,2

15 Comportamento dell`asta forata al crescere del carico questa zona arriva a rottura 2 1 σ s,2 = fu u u = A netfu 1 ε s,1 <εs,2 σ s,1 <σs,2 ε s,2 =εu ε s,2 σ s,2 = fu 2

16 Comportamento ultimo Resistenza ultima di progetto della sezione forata 2 questa zona arriva a rottura u,rd u,rd = 0.9A f γ M2 net u γ f u M2 2 ε s,2 =εu ε s,2 σ s,2 f = γ u M2

17 Resistenza di un asta tesa Stato limite ultimo La resistenza a trazione di un asta è pari al minore tra i valori della resistenza plastica della sezione piena e della resistenza ultima della sezione indebolita. = min (, ) t,rd pl,rd u,rd resistenza plastica della sezione piena resistenza ultima della sezione indebolita Af = 0.9 A f y net u pl,rd = u,rd γ γ M0 M2

18 Verifica di resistenza Stato limite ultimo Perché un asta tesa soddisfi la verifica di resistenza deve risultare rispettata la relazione Ed t,rd dove: = min(, ) t,rd pl,rd u,rd

19 Verifica di resistenza Stato limite ultimo Sezione piena pl,rd fy = A γ M0 Sezione indebolita u,rd 0.9 fu = A γ M2 net Acciaio f y γ M0 0.9 f u γ M2 S235 (Fe 360) 235 / 1.05 = x 360 / 1.25 = 259 S355 (Fe 510) 355 / 1.05 = x 510 / 1.25 = 367

20 Duttilità di aste tese Il comportamento più o meno duttile dell asta (con fori) dipende dai due valori pl,rd e u,rd

21 Duttilità di aste tese Caso A ( pl,rd > u,rd ) pl,rd u,rd Allungamento L

22 Duttilità di aste tese Caso A ( pl,rd > u,rd ) Plasticizzazione delle sezioni indebolite pl,rd u,rd Allungamento L

23 Duttilità di aste tese Caso A ( pl,rd > u,rd ) Plasticizzazione delle sezioni indebolite Incrudimento delle sezioni indebolite pl,rd u,rd Allungamento L

24 Duttilità di aste tese Caso A ( pl,rd > u,rd ) u,rd Plasticizzazione delle sezioni indebolite Incrudimento delle sezioni indebolite Rottura della sezione più debole pl,rd u,rd L asta è fragile L u Allungamento L

25 Duttilità di aste tese Caso B ( pl,rd < u,rd ) u,rd pl,rd (per confronto, la linea tratteggiata nel grafico a lato mostra il comportamento dell asta fragile caso A) Allungamento L

26 Duttilità di aste tese Caso B ( pl,rd < u,rd ) Plasticizzazione delle sezioni indebolite u,rd pl,rd Allungamento L

27 Duttilità di aste tese Caso B ( pl,rd < u,rd ) Plasticizzazione delle sezioni indebolite Incrudimento delle sezioni indebolite u,rd pl,rd Allungamento L

28 Duttilità di aste tese Caso B ( pl,rd < u,rd ) pl,rd Plasticizzazione delle sezioni indebolite Incrudimento delle sezioni indebolite Plasticizzazione della sezione piena u,rd pl,rd L asta è duttile L u Allungamento L

29 Duttilità di aste tese Conclusioni Il comportamento dell asta (con fori) dipende da chi è più grande tra pl,rd e u,rd Se pl,rd > u,rd si arriva alla rottura della sezione forata prima dello snervamento dell intera asta il comportamento complessivo è fragile Se pl,rd < u,rd si arriva allo snervamento dell intera asta prima della rottura della sezione forata il comportamento complessivo è duttile

30 Per ottenere sezioni duttili Perché un asta tesa sia duttile ( u,rd pl,rd ) deve risultare verificata la relazione 0.9A f Af net u y γ γ M2 M0 ovvero A net A γ M2 0.9 γ f y M0 f u γ M2 0.9 γ f y M0 f u S S275 S

31 Esempio Calcolo della resistenza e verifica di duttilità Acciaio S235 ed =339 k Bulloni Fori M14 15 mm 2 L 65x7 A = = A = = net mm 1530 cm 2 pl,rd u,rd Afy = = =. k γ M0 0.9 Anet fu = = =. k γ M2 L asta resiste ed è duttile ( ) t,rd ( ) Ed pl,rd < u,rd

32 Progetto Stato limite ultimo 1. Invertendo l espressione di verifica si ottiene la formula di progetto della sezione. fa y Ed pl,rd = A = γ f / γ M0 2. Si sceglie il profilato. 3. Se esistono sezioni indebolite (per fori,intagli,ecc.) bisogna verificare anche che: y Ed M0 Ed = u,rd 0.9 f A γ u M2 net

33 Esempio ed =339 k Acciaio Bulloni Fori S235 M14 15 mm 1. Determinazione dell area necessaria. 3 γm0 Ed 339 x 10 A = = = 1518 mm f 235/1.05 y 2. Scelta della sezione. Uso 2 L 65x7 A = 1740 mm 2 2

34 Esempio ed =339 k Acciaio Bulloni Fori S235 M14 15 mm 3. Verifica della sezione indebolita. Anet = A Aforo = x 15 x 7 = 1530 mm u,rd 0.9 fu Anet 0.9 x 360 x 1530 = = = > k γ 1.25 x 10 M2 Anche la sezione indebolita è verificata 2 Ed

35 Sforzo normale di compressione

36 Comportamento ultimo Resistenza plastica della sezione una sezione o un concio di asta tozzo tende ad accorciarsi plasticamente pl,rd pl,rd pl,rd = Af γ y M 0 ε ε s yd σ = f / γ s y M0 f y σ = f γ s y M0 ε yd ε s come per trazione

37 Comportamento ultimo Resistenza plastica della sezione questa zona si plasticizza ma il bullone impedisce l ulteriore accorciamento Una sezione, o un asta tozza, compressa ha la stessa resistenza di una sezione tesa La presenza di fori (che contengono bulloni) non inficia la resistenza ma questo vale solo per la sezione, o per un elemento tozzo, non per le aste usuali

38 Modalità di collasso di aste compresse

39 Modalità di collasso di aste compresse Plasticizzazione della sezione trasversale dell asta

40 Modalità di collasso di aste compresse Plasticizzazione della sezione trasversale dell asta Instabilità laterale dell asta

41 Comportamento ultimo di un asta ideale cr Carico critico Euleriano cr = π 2 l E I 2 0 I = momento d inerzia della sezione l 0 = lunghezza libera d inflessione Dividendo per l area della sezione si ottiene la tensione critica di un asta ideale: σ cr = π 2 λ E 2 λ = snellezza dell asta λ = l 0 i i = raggio d inerzia della sezione

42 Comportamento ultimo di un asta ideale 2 π E σ cr = f 2 y Instabilità dell asta λ σ Collasso plastico cr fy

43 Comportamento ultimo di un asta ideale Collasso plastico Instabilità σ cr f y λ 1 = π E fy λ Aste tozze Aste snelle

44 Aste reali elle aste reali sono sempre presenti imperfezioni di tipo geometrico e meccanico: L asse dell asta non è mai perfettamente rettilineo; La sezione trasversale dell asta è sede di tensioni (residue) ancor prima dell applicazione dei carichi sulla struttura; La tensione di snervamento non è costante sulla sezione.

45 Comportamento delle aste reali A causa delle imperfezioni la resistenza all instabilità di un asta reale è inferiore a quella calcolata da Eulero. σ cr f y Asta reale Asta di Eulero λ1 λ

46 Comportamento delle aste reali Il collasso plastico dell asta reale avviene solo per valori di snellezza molto bassi λ 0.2 λ 1 σ cr f y Collasso plastico Asta reale Instabilità Asta di Eulero 0.2 λ 1 λ 1 λ

47 Comportamento delle aste reali Il comportamento dipende dal tipo di profilato. χ = σ f cr y Curva a La normativa distingue 5 curve di stabilità 1 Curva b Curva c Curva d + Curva a 0 (per S460) 0.2 λ 1 λ1 λ

48 Comportamento delle aste reali χ = σ f cr y ota: la normativa dice λ = A f y cr λ = λ λ 1 EC3-1-1, fig. 6.4

49 Comportamento delle aste reali Il parametro χ è calcolato mediante la relazione essendo: Curva di instabilita a 0 a b c d Fattore di imperfezione α TC08, punto EC3-1-1, punto 6.3.1

50 Aste reali Curve d instabilità

51 Aste reali Curve d instabilità

52 Aste reali Curve d instabilità

53 Resistenza all instabilità Stato limite ultimo Per calcolare la resistenza all instabilità occorre considerare che b = Aσ cr σ f = cr y y fa = χfa y Pertanto, la resistenza all instabilità di un asta compressa è calcolata mediante la relazione b,rd χafy = γ M1

54 Verifica Stato limite ultimo Perché un asta tesa soddisfi la verifica di resistenza deve risultare rispettata la relazione Ed b,rd

55 Esempio x HE 240 A Ed =-1250 k Acciaio S235 l 0 = 3.50 m (uguale nei due piani) y 1. Determinazione della snellezza Piano di maggiore snellezza: yz i y = 60.0 mm l 0 λ = = = i y λ λ= = = λ

56 Esempio x HE 240 A Ed =-1250 k Acciaio S235 l 0 = 3.50 m (uguale nei due piani) y 2. Individuazione della curva di instabilità

57 Esempio

58 Esempio x HE 240 A Ed =-1250 k Acciaio S235 l 0 = 3.50 m (uguale nei due piani) y 2. Individuazione della curva di instabilità curva c α = 0.49 Curva di instabilita a 0 a b c d Fattore di imperfezione α

59 Esempio x HE 240 A Ed =-1250 k Acciaio S235 l 0 = 3.50 m (uguale nei due piani) y 3. Determinazione di χ

60 Esempio

61 Esempio Analiticamente = =

62 Esempio x HE 240 A Ed =-1250 k Acciaio S235 l 0 = 3.50 m (uguale nei due piani) y 3. Determinazione di χ χ = La sezione è verificata 4. Calcolo di brd χ A fy = = 10 = brd γ 1.05 M k

63 Progetto Stato limite ultimo 1. Si assegna a χ un valore di tentativo e si ottiene la formula di progetto della sezione invertendo l espressione di verifica Ed b,rd = χ A f γ M1 y 2. Si sceglie il profilato (evitare snellezze λ > 200 per membrature principali e λ > 250 per membrature secondarie) A = χ f y Ed / γ M1 3. Si calcola b,rd e si confronta con Ed Se b,rd < Ed oppure se b,rd è molto più grande di Ed si itera il procedimento.

64 Esempio Ed =-343 k Acciaio S235 λ 1 = 93.9 L = l 0 = 1.80 m 1. Determinazione dell area necessaria 3 2 χ = 0.6 Ed x 10 A = = = 2554 mm χ f / γ 0.6 x 235/1.05 y M1 2. Scelta della sezione Uso 2 L 60x120x8 A = 2780 mm 2

65 Esempio Ed =-343 k Acciaio S235 λ 1 = 93.9 L = l 0 = 1.80 m 3. Calcolo di b,rd l Coppia di profili i cp = 23.9 mm λ cp = = = 75.3 i 23.9 cp Singolo profilo l 0 /3 600 i sp = mm λ sp = = = i 12.7 sp λ = λ + λ 88.9 λ = λ λ = = eq dp sp = eq eq

66 Esempio Acciaio S235 Ed =-343 k λ 1 = 93.9 L = l 0 = 1.80 m 3. Calcolo di b,rd λ eq = 0.95 Curva b χ = 0.63 b,rd = χ γ f y M1 A = 0.63 x 235 x x 10 3 = k Ed

67 FIE 67