Verifiche membrature semplici agli stati limite ultimi

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1 46 Cilc per tutti gli appunti (AUTOMAZIONE TRATTAMENTI TERMICI ACCIAIO SCIENZA delle COSTRUZIONI ) per suggerimenti Clic qui PRIMA.5- PAGINA APPUNTI ACCIAIO Verifiche membrature semplici agli stati limite ultimi Nella verifica di una membratura sottoposta ad una sollecitazione, indichiamo genericamente con Rk la sua resistenza caratteristica, dipendente dal materiale, dalla geometria della sezione e dal tipo di sollecitazione (sforzo normale, di taglio, momento flettente o torcente). Nella comparazione della resistenza alla sollecitazione con l azione di progetto Ed, si considera una resistenza di progetto Rd, prudenzialmente inferiore a quella caratteristica Rk, diminuita, questa, secondo un fattore parziale globale di sicurezza M R Rd k (.5.) M Rk È il valore caratteristico di resistenza, che può essere di: trazione compressione sforzo normale calcolato in base alla sezione e alla tensione di snervamento caratteristico f yk ; flessione Momento resistente calcolato in base alla tensione caratteristica f yk e alla geometria della sezione; taglio sforzo resistente a taglio calcolato in base alla tensione caratteristica f yk e alla geometria della sezione; torsione sforzo resistente a torsione calcolato in base alla tensione caratteristica f yk e alla geometria della sezione. Per le sezioni di classe 4 ci si riferisce alla sezione efficace, Aeff, al modulo di resistenza efficace Weff e al momento d inerzia efficace J eff. M È il fattore parziale globale di sicurezza, dipendente dal modello i resistenza adottato, come indicato nella tabella 4..V del DM 008 norme NTC

2 Capacità resistenti delle sezioni- metodi di verifica delle sezioni La capacità di resistenza di una sezione, sottoposta ad una o più sollecitazioni può essere valutata con tre diversi metodi di valutazione. Verifica della sezione con il metodo elastico E Fig..34 Si considera un comportamento elastico lineare di resistenza del materiale alle sollecitazioni fino al raggiungimento della tensione di snervamento f yk, corrispondente, (in una sollecitazione normale di trazione, compressione, presa ad esempio) all allungamento unitario di elasticità ε e che si fa coincidere con quello di snervamento ε e ε y. Il metodo può applicarsi a tutele classi di sezioni; obbligatorio per le sezioni di classi 3,4, con l avvertenza di riferirsi al metodo delle sezioni efficaci per le sezioni di classe 4 Verifica della sezione con il metodo elasto-plastico EP Fig..35 Si ipotizza una relazione bilineare delle tensioni in funzione delle deformazioni, con un andamento lineare fino alla deformazione unitaria al limite di elasticità ε e, (in una sollecitazione normale trazione, compressione, presa ad esempio) fatta coincidere con quella di snervamento, seguita da una fase di plasticità, con deformazioni unitarie che aumentano, fino alla deformazione unitaria ultima ε u, con una tensione costante pari a quella di snervamento f yk. Il metodo può essere adottato per tutte le classi di sezioni. Verifica della sezione con il metodo plastico P Fig..36 Si ipotizza, allo stato limite, una completa plasticizzazione del materiale, per cui si ha una deformazione unitaria che aumenta, fino a quella ultima ε u (sollecitazione normale di trazione, compressione presa ad esmpio), con una tensione costante pari a quella di snervamento f yk

3 Metodi di analisi globali delle strutture Una struttura, composta da più elementi con diverse sezioni, può essere analizzata globalmente con diversi metodi; uguali o diversi da quelli adottati per ogni singola sezione di ciascun elemento. Si distinguono. Metodo elastico E Si valutano gli effetti globali delle azioni sulla struttura nell ipotesi che il materiale resista alle tensioni con deformazioni indefinitamente lineari. Le resistenze delle singole sezioni degli elementi possono essere valutate con i metodi elastici, elasto-plastici, plastici per le sezioni compatte,, con i metodi elasto-plastici, elastici per le sezioni 3,4. Metodo elasto-plastico EP Si valutano gli effetti globali sulla struttura introducendo nel modello il legame momento curvatura delle azioni ottenuto considerando un legame tensionedeformazione di tipo bilineare. Il metodo è applicabile a sezioni di classi qualsiasi Metodo plastico P Si valutano gli effetti globali, trascurando la deformazione elastica degli elementi strutturali e concentrando le deformazioni plastiche nelle sezioni di formazioni delle cernere plastiche. Il metodo è applicabile a strutture interamente composte da sezioni di classe.5.3- Resistenza delle membrature Fig..37 Per la verifica delle travi il metodo da adottare dipende dalla classificazione delle sezioni. Gli assi di riferimento sono indicati nella figura Fig..37. Asse x asse della trave. Asse y asse della sezione trasversale perpendicolare all anima Asse z asse della sezione trasversale parallelo all anima Verifica nel campo elastico La verifica nel campo elastico è ammessa per tutte le classi delle sezioni, tenendo conto delle instabilità locali per le sezioni di classe 4. Per gli stati di sforzo piani, tipici delle travi, deve risultare: σ xed +σ zed σ zed σ xed + 3τ Ed f yk (.5.)

4 49 dove: σ xed σ zed τ Ed tensione normale, nel punto in esame, agente nella direzione dell asse della membratura tensione normale, nel punto in esame, agente in direzione ortogonale all asse della membratura tensione tangenziale nel punto in esame, agente nel piano della sezione della membratura Verifiche nel campo plastico Le verifiche nel campo plastico richiedono la distribuzioni delle tensioni interne reagenti, f yk rispettose della condizioni di plasticità ( σ max ) tali da determinare reazioni che equilibrano λm le azioni esterne (N,N,T ) Vengono qui di seguito trattate le resistenze che le sezioni delle membrature offrono ai vari tipi di sollecitazioni, agenti separatamente o singolarmente Trazione Sia N Ed l azione assiale di progetto, ottenuta dai carichi permanenti Gi e variabili Q j agenti sulla membratura, moltiplicati per il coefficienti parziali F e per coefficienti di combinazione, dipendenti dal tipo di carico, e dal tipo di stato limite (Tabella.4.I). Si indica con N t,rd la resistenza di calcolo a trazione. Essa ha espressioni diverse a seconda se si riferisce ad una membratura senza fori o con fori Membrature piene, sottoposte a trazione senza fori Fig..39 La resistenza di calcolo a trazione N t,rd si fa corrispondere alla resistenza plastica di progetto N pl,rd della sezione. Si suppone che l intera sezione, allo stato limite, raggiunga la tensione caratteristica di snervamento f yk. Nella resistenza di calcolo ci si riferisce alla tensione di snervamento di progetto f yd : f yd con Si pone: f yk,05 N t,rd N pl,rd N pl,rd A f yd dove:

5 50 N pl,rd A f yk Per la verifica deve risultare N Ed N pl,rd (.5.3) Membrature con sezioni indebolite da fori, sottoposte a trazione Fig..39 In tal caso occorre eseguire due diverse verifiche: una in corrispondenza dei fori, come la sezione A-A nell esempio di figura Fig..38, e un altra verifica in corrispondenza di una sezione piena non contenente fori, come quella indicata con B-B nella stessa figura. Si considerano così due diverse resistenze: una riferita alla sezione lorda A, non contenente fori e l altra alla sezione netta Anet in corrispondenza dei fori. a) Verifica della sezione lorda A non indebolita da fori La resistenza di calcolo a trazione N t,rd si fa corrispondere, come per le membrature piene, alla resistenza plastica di progetto N pl,rd della sezione lorda A : N t,rd N pl,rd N pl,rd A f yk Per la verifica deve risultare N Ed N pl,rd b) Verifica della sezione netta Anet indebolita da fori Fig..40 La resistenza di rottura a trazione è determinata rispetto alla tensione di rottura di progetto f td : f td f tk M,5 f tk M con tensione caratteristica di rottura coefficiente di sicurezza Nel caso della verifica della sezione netta Anet, nelle membrature indebolite da fori, la resistenza di calcolo a trazione si pone pari alla resistenza ultima di progetto N u,rd. N t,rd N u,rd N u,rd 0,9 Anet f td

6 5 0,9 Anet f td M per la verifica parziale deve risultare: N u,rd N Ed (.5.4) N u,rd Le espressioni (.5.3), (.5.4) devono essere entrambe soddisfatte, per ciò basta considerare mella verifica di una membratura con fori la minore delle due resistenze: N pl,rd, N u,rd N Ed min ore N pl,rd, N u,rd (.5.5) Importante Nel caso in cui si richiede un comportamento duttile, come avviene nel caso di azioni sismiche, occorre, anche verificare che la resistenza plastica N pl,rd della sezione lorda A sia minore o uguale della resistenza a rottura N u,rd della sezione netta Anet indebolita dai fori. N pl,rd N u,rd A f yk (.5.6) 0,9 Anet f tk M 0,9 Anet f yk A f tk M Esempio. Il tirante di figura Fig..4 con profilato progetto N Ed 0 kn 60x4 è sollecitato da uno sforzo di trazione di Fig..4 Il profilato è in acciaio S75, classe.

7 5 Si esegua la verifica allo stato limite del tirante, tenendo conto che la struttura è in zona sismica o----fig..4 Per l acciaio S75 si ha: f yk 75 N / mm f tk 430 N / mm Caratteristiche del profilato L 60x4 A 4,7 cm s 4 mm I due profilati legati alla piastra con bulloni M6 8.8 recano fori di diametro d 7 mm, sull asse di truschino, incidente sul nodo A. L area lorda della sezione dei due profilati è: A 4,7 9,4 cm A 94 mm Considerando i fori di diametro d 7 mm, l area della sezione in corrispondenza di essi è: Anet Anet 806 mm Verifica della sezione lorda A Resistenza plastica della sezione lorda A: N pl,rd con f yk A,05 N pl,rd 75 94,05 N pl,rd 4674 N N pl,rd 46,7 kn Verifica N Ed 0 0,8 N pl,rd 46,7 risulta: N Ed < N pl,rd

8 53 La verifica è positiva Verifica della sezione netta Anet Resistenza a rottura della sezione netta Anet con M N u,rd 0,9 f tk Anet M N u,rd 0, ,4,5 N u,rd N N u,rd 49,54 kn Verifica N Ed 0 0,88 N u,rd 49,54 risulta: N Ed < N u,rd La verifica è positiva La struttura è in zona sismica, ed è verificata anche la condizione specifica richiesta. Risulta infatti: N pl,rd < N u,rd 47,7 < 49, Compressione Si ha una sollecitazione assiale di semplice compressione quando la membratura, sottoposta all azione di schiacciamento lungo il suo asse, ha un eccentricità trascurabile, meno di della sua lunghezza. 000 Verifica Sia N Ed la forza di compressione di calcolo. Si indica con N c,rd la resistenza di calcolo a compressione, dipendente dalla geometria trasversale della sezione e dal tipo di materiale attraverso la tensione di snervamento f yk. La resistenza è di tipo plastico. A seconda della classe delle sezioni si distinguono: sezioni di classe,,3 N c,rd A f yk (.5.7)

9 54 con M 0,05 A coefficiente sicurezza sezione trasversale sezioni di classe 4 N c,rd con M 0,05 Aeef Aeff f yk (.5.8) coefficiente sicurezza sezione trasversale efficace Per la verifica deve risultare: N Ed (.5.9) N c,rd Nelle aste con collegamenti bullonati o chiodati non occorre sottrarre l area dei fori, purché questi siano riempiti dagli elementi di collegamento (bulloni, chiodi) che collaborano alla resistenza della sezione (si considera piena) Verifica della stabilità delle aste compresse Le aste compresse snelle, con sezione piccola rispetto alla lunghezza, possono presentare una instabilità globale, laterale (flessionale). L asta ideale ( di Eulero) è quella priva di imperfezioni, composta di un materiale con elasticità lineare. Sono qui presi in considerazione profilati aventi almeno un asse di simmetria (I H), ove giacciono sia il centro di taglio che il baricentro del profilato. Fig..43 Consideriamo come modello di studio un asta snella, incernierata agli estremi e sottoposta ad uno sforzo normale assiale N di compressione. All aumentare dello sforzo N, dopo determinati valori, nell asta snella si presenta un incurvamento elastico, che, tolto il carico, si annulla. Si arriva ad un carico critico N cr in cui non si ha più il ritorno dell asta nella posizione iniziale, e al di sopra di esso l asta collassa di schianto. L instabilità flessionale è provocata da un momento aggiuntivo alla compressione, determinato dall incurvamento dell asta. Consideriamo una sezione generica di un asta incernierata agli estremi, distante x dalla cerniera, posta all estremità dell asta. Rispetto a tale sezione lo sforzo N, per effetto dell incurvamento, ha un eccentricità y rispetto al baricentro di essa, determinando un momento flettente: Me N y Al momento esterno si oppone il momento interno M i generato dalla deformazione elastica:

10 55 (Per completezza si ripercorre la dimostrazione di pag. 9) Se r è il raggio di curvatura, la curvatura è M i r EJ con y r y Mi EJ da cui: M i y EJ All equilibrio tra il momento interno ed esterno si ha: Me Mi N y y EJ Si ottiene l equazione differenziale omogenea di secondo grado: y EJ + N y 0 L equazione caratteristica associata è: z EJ + N 0 da cui: N EJ N EJ La soluzione generale dell equazione differenziale, che determina la deformazione y in funzione della distanza x dalla cerniera si può porre nella forma: z z ±i N y C sen x + ϕ EJ Essa deve soddisfare alle due condizioni al contorno: I per x 0 y 0 II per x l y 0 Imponendo la condizione I: 0 C sen( 0 + ϕ ) da cui ϕ 0 Imponendo la condizione II, a cui deve soddisfare il carico critico N cr, per l equilibrio dei due momenti, si ha: 0 C sen l espressione è soddisfatta per: N cr l E J

11 56 N cr l n π EJ con n ( 0,,...) le successive soluzioni per n 0 e n sono: N cr N cr l 0 oppure l π EJ EJ La prima soluzione è da scartare in quanto presuppone un carico N cr nullo. È valida la seconda soluzione che produce il minimo carico critico, (non vengono prese in considerazione le soluzioni nπ, con n > ) Si ha quindi: N cr l π EJ N cr l π EJ da cui Il carico critico Euleriano è: N cr π EJ l (.5.0) la tensione critica è σ cr N cr A σ cr π EJ l A Il raggio di inerzia è: J A i i J A quindi: σ cr π E i l si definisce snellezza il rapporto: λ l i per cui si ha: σ cr π E λ (.5.) Nell asta euleriana la tensione critica di collasso per inflessione laterale è una iperbole quadratica in funzione di λ. Fig..44a Per elevati valori di λ il collasso avviene con dei σ cr al disotto della tensione di snervamento, dovuto all inflessione per snellezza dell asta e non a schiacciamento per plasticizzazione del materiale. Col diminuire di λ diminuisce la snellezza dell asta e quindi l inflessione laterale; per cui la tensione critica σ cr, in cui il momento esterno dovuto all eccentricità è uguagliato da quello interno, si ottiene

12 57 per valori via, via maggiori (diminuendo il braccio deve aumentare lo sforzo per ottenere lo stesso momento). Si arriva, nell espressione di calcolo (.5.), ad un valore limite di proporzionalità λ p per cui la tensione critica σ cr coincide con la tensione di snervamento f yk. σ λp π cr f yk E f yk π E λ da cui: λ π E f yk (.5.) Alla snellezza λ p, in un asta snella euleriana, il collasso per inflessione avviene con una tensione critica σ cr coincidente con la tensione di snervamento f yk, e quindi con l inizio della plasticizzazione del materiale. Per snellezze inferiori a λ non è valida la formula di Eulero (.5.) per la p determinazione della tensione critica σ cr : si avrebbe l assurdo che questa sarebbe maggiore della tensione di snervamento, e un asta snella resisterebbe più di una tozza. In pratica per λ < λ p si ha un collasso dell asta per plasticizzazione del materiale dovuta a schiacciamento. Quindi, per valori di snellezza inferiori a λ p si ritiene: σ cr f yk Fig..44b Quanto esposto vale per un asta ideale euleriana, sollecitata con un carico assiale e incernierata alle estremità. L asta industriale si comporta diversamente per imperfezioni del materiale e geometriche. Ne risulta una diminuzione delle capacità portanti e una diminuzione della snellezza limite λ p fino a 0, λ p. Lunghezza di libera inflessione l0 Nella determinazione della tensione critica σ cr si è calcolata la snellezza rispetto alla lunghezza l di un asta incernierata agli estremi. Per vincoli diversi, si calcola la snellezza λ rispetto alla lunghezza di inflessione l0 che tiene conto della effettiva deformazione elastica permessa dai vincoli di estremità (differenti condizioni al contorno nella soluzione dell equazione differenziale). Teoricamente la lunghezza di libera inflessione è la lunghezza tra due flessi successivi della deformazione elastica. In pratica la lunghezza di inflessione l0 si ottiene dalla lunghezza l dell asta moltiplicata per un coefficiente β dipendente dai tipi di vincoli posti alle sue estremità. Si ha:

13 58 l0 β l (.5.3) Incastro incastro β 0,5 l0 0,5 l Cerniera cerniera β l0 l Incastro cerniera β 0,7 l0 0,7 l Incastro estremo libero β l0 l La snellezza λ è: λ λ deve essere: l0 i λ 00 per le membrature principali λ 50 per membrature secondarie

14 59 Verifica della stabilità flessionale. Norme NTC DM 008 La verifica dell instabilità laterale per le aste snelle, nel DM 008, prende spunto dalle norme europee EC3. Si indica con: N Ed l azione di compressione di calcolo; N b,rd la resistenza all instabilità dell asta snella compressa. Per la verifica deve risultare: N Ed N b,rd (.5.4) dove la resistenza N b,rd, per la sezioni di classe,,3 è espressa dalla formula: N b,rd χ A f yk (.5.5) M dove: A sezione dell asta f yk tensione caratteristica di snervamento coefficiente di sicurezza χ M M,05 membrature M,0 per ponti Coefficiente di riduzione per instabilità. Per la resistenza N b,rd delle sezioni di classe 4 si impiega la stesse espressione (.5.5), utilizzando come sezione di calcolo quella efficace Aeff N b,rd χ Aeff f yk (.5.6) M Coefficiente di riduzione χ Il coefficiente di riduzione χ tiene conto della diminuzione della resistenza a compressione dell asta snella, rispetto ad una sezione tozza, per effetto dell instabilità per inflessione. Come previsto nel DM 996, per i diversi profilati, sono definite differenti curve di instabilità, indicate con le lettere: a0, a, b, c, d, a cui appartengono le diverse sezioni, a seconda del tipo di acciaio (S35, S75, S355, S40, S460) e dell asse y-y, z-z, rispetto al quale è calcolata la snellezza; come riportato nella tabella 4..VI. A seconda della curva di appartenenza, è riportato, nella riga inferiore della tabella, il fattore di imperfezione α, necessario per la determinazione del coefficiente χ.

15 60 Si ribadisce qui che per ogni sezione di un profilato vi è prescritta una diversa curva di instabilità, a seconda dell asse della sezione stessa rispetto al quale si considera calcolare la snellezza λ. L asse y-y è quello a maggiore capacità portante e z-z quello minore.

16 6 Così, ad esempio: Fig..46 Si debba verificare la stabilità laterale di un profilato in acciacco laminato I, rispetto all asse z-z con: h 40 mm < t f 00 mm >, b materiale: acciaio S75 Dalla tabella 4..VI, si ha, in corrispondenza ai dati, la curva di appartenenza c. Nella riga inferiore, in corrispondenza di c si ha: α 0,49 Espressione del coefficiente χ Nelle norme NTC il coefficiente di riduzione χ è dato dall espressione: χ Φ + Φ.0 λ (.5.7) dove: λ Φ è un parametro adimensionale, definito snellezza adimensionale; è un espressione dipendente dal coefficiente di imperfezione α. Snellezza adimensionale λ È dato in generale dalle espressioni: per le sezioni di classe,,3 λ A f yk N cr (.4.8) per le sezioni di classe 4 λ Aeff f yk (.4.9) N cr Nel caso in esame, di instabilità flessionale di carico di punta, la snellezza adimensionale λ coincide con il rapporto tra la snellezza dell asta λ e quella al limite di proporzionalità λ p, di inizio plasticizzazione. λ λ λp Infatti. Considerando l espressione (.4.8): A f yk π EJ N λ con cr l0 N cr

17 6 λ A f yk EJ π l0 λ i con λ l0 i π l0 J E π A f yk J A E f yk f yk l0 A J π E ma l0 λ i π E λp f yk per cui λ (.5.0) λp Limiti dei fenomeni di instabilità per le aste compresse λ I fenomeni di instabilità per le aste compresse dipendono dalla loro snellezza. Nel caso in cui la snellezza dimensionale λ risulti: λ < 0, gli effetti legati ai fenomeni di instabilità per le aste compresse possono essere trascurati. Così possono essere anche trascurati se la sollecitazione di calcolo N ed risulti inferiore a 0,04 N cr Espressione di Φ È data dalla espressione, funzione del coefficiente di imperfezione α : [ Φ 0,5 + α ( λ 0, ) + λ ] (.5.) con α coefficiente di imperfezione, ricavato, come nell esempio, dalla tabella 4..VI Esempio. Una colonna in profilato laminato di altezza l 3 m, incastrata alla base, deve sostenere un serbatoio il cui carico di calcolo è risultato essere N Ed 50 kn Determinare il profilato occorrente allo scopo o la colonna è incastrata alla base e libera all altra estremità. La lunghezza di libera inflessione è: l0 β l con l0 3 6 m l0 600 cm β

18 63 Si procede per tentativi. tentativo Si scelga il profilato HE 40 A Acciaio S75 Fig..46 h 33 mm b 40 mm t f 8,5 mm A 3,4 cm iz 3.5 cm i y 5,73 cm Snellezza λ < 00 3,5 λ accettabile Snellezza adimensionale λ λ A f yk N cr λp π λ λp λpπ con E f yk λ p 86,8 λ λ λp 70 86,8 λ λ,95 Si determina Φ [ Φ 0,5 + α ( λ + 0, ) + λ ] dove α è il fattore di imperfezione, che si determina dalla precedente tabella 4..VI, in base alla curva di appartenenza. h 33 0,95 <, acciaio S75 b 40 La sezione del profilato appartiene alla curva di instabilità c Per t f 8,5 < 00

19 64 Dalle ultime due righe della tabella si ottiene che il fattore di imperfezione è: α 0,49 risulta: [ Φ 0,5 + 0,49 (,95 0, ) +,95 ] Φ,83 Fattore di riduzione χ χ Φ + Φ λ χ,83 +,83,95 χ 0, Resistenza N b,rd N b,rd χ A f yk M con: M,05 f yk 75 N / mm N b,rd 0, 3,4 0 75,05 N b,rd 64,5 kn Risulta: N Ed 50,5 > N b,rd 64,5 Non verificato Occorre scegliere un profilato con maggiore sezione tentativo Si scelga il profilato HE 60 A h 5 mm b 60 mm t f 9 mm A 38,8 cm i z 3.98 cm i y 6,57 cm Si procede alla stessa maniera. N b,rd N

20 65 Snellezza λ < 00 3,98 λ accettabile Snellezza adimensionale λ E f yk λpπ λp π λ p 86,8 λ λp λ 50 86,8 λ λ,7 Si determina Φ [ Φ 0,5 + α ( λ + 0, ) + λ ] dove α à il fattore di imperfezione che si determina nella tabella 4..VI in base alla curva di appartenenza. h 5 0,95 <, acciaio S75 b 60 La sezione del profilato appartiene alla curva di instabilità c Per t f 9 < 00 Il fattore di imperfezione è: risulta: α 0,49 [ Φ 0,5 + 0,49 (,7 0, ) +,7 ] Φ,35 Fattore di riduzione χ χ Φ + Φ λ χ 0,5 Resistenza N b,rd N b,rd χ A f yk M con: M,05 f yk 75 N / mm χ,35 +,35,7

21 66 N b,rd 0,5 38,8 0 75,05 N b,rd N N b,rd 54, kn Risulta: N Ed 50 0,98 < N b,rd 54 Verificato o occorre notare Si può determinare la resistenza N b,rd direttamente in kn ponendo: - l area A direttamente in cm la tensione di snervamento in kn / cm N 0 3 kn kn 75 7,5 così 75 mm 0 cm cm Si ha: N b,rd 0,5 38,8 7,5 54 kn, o

22 67 Flessione monoassiale retta Sia M Ed il momento flettente di calcolo agente sulla membratura. Si indica con M c,rd la resistenza di calcolo a flessione retta. Per la verifica della membratura deve risultare: M Ed M c,rd la determinazione del momento resistente M c,rd dipende dal metodo adottato. Nel punto del DM 008 norme NTC, sono previsti tre metodi di calcolo Metodo elastico E Si assume un comportamento elastico lineare del materiale, sino al raggiungimento della condizione di snervamento. Metodo elasto-plastico EP Si assumono legami costitutivi tensione-deformazione del materiale di tipo bilineare. Metodo plastico P Si assume allo stato limite la completa plasticizzazione del materiale. Tutta la sezione è sottoposta alla tensione di snervamento f yk Metodo elastico Si fa l ipotesi che, agli stati limite, solamente la fibra estrema, più lontana dall asse neutro, raggiunga la tensione di snervamento f yk, mentre tutte le altre fibre, siano sottoposte ad una tensione σ inferiore, con andamento lineare, proporzionale alla distanza dall asse neutro. Si opera quindi nel campo elastico per tutte le fibre interne alla sezione; solamente la fibra estrema, più distante dall asse neutro raggiunge lo stato plastico. Fig..47 Consideriamo un piccolo tratto di una membratura incurvata per effetto di un momento flettente. Per piccole deformazioni gli archi di curvatura si possono considerare tratti di archi di cerchio (cerchi oscuratori). Nella deformazione si hanno fibre tese allungate e compresse accorciate. Le fibre passanti per l asse neutro della sezione rimangono invariate. Sia L la lunghezza di una fibra tesa, distante z dall asse neutro. La fibra passante per l asse neutro della sezione (con z 0 ) ha la stessa lunghezza L0 che aveva prima della deformazione. La fibra tesa ha subito, quindi, un allungamento: L L L0 l allungamento unitario è:

23 68 ε L L0 L0 (.5.) per la similitudine si ha: L : L0 ( r + z ) : r effettuando lo scomponendo ( L L0 ) : L0 ( r + z r ) : r L L0 z L0 r Fig..48 per la (.5.) si ha: z r Per la legga di Hooke si ha: ε (.5.3) σ ε E σ E z r (.5.4) la deformazione unitaria ε (allungamento o accorciamento) e la tensione σ (trazione o compressione) hanno andamento lineare, proporzionale alla distanza z dall asse neutro. Nella fibra più sollecitata, quella più lontana dall asse neutro si ha: σ max f yk NB Per uniformità alla tabella 4..I la tensione di compressione è considerata positiva Equilibrio delle forze Non essendo applicate forze esterne ma solo un momento flettente, la somma delle forze interne è nulla. A σ da 0 A E z da 0 r E z da 0 r A A z da 0 ma A z da S A è il momento statico Il momento statico dell intera sezione rispetto all asse neutro è nullo SA 0 (.5.5) L asse neutro è un asse baricentrico della sezione.

24 69 Equilibrio dei momenti Fig..49 Il momento esterno M si suppone applicato nel piano di sollecitazione, contenente l asse della trave e intersecante la sezione nell asse di simmetria z. Il momento M è equilibrato dalla risultante dei momenti delle forze interne, che determinano in ogni sezione una coppia risultante pari e contraria a M. Così considerando la schema di figura, in ogni areola da agisce una forza σ da che provoca una deformazione unitaria ε, tale da determinare una tensione di reazione σ peri e contraria all azione: E σ z σ ε E r su ogni areola si determinerà una forza di reazione (pari e contraria all azione): df σ da df E z da r che determina un momento di reazione E z da r dm dm df z Il momento risultante di reazione esteso a tutta l area della sezione, determinato dalle deformazioni, deve equilibrare il momento esterno M A E z da r M E z da r A ma l integrale: A z da J y è il momento d inerzia rispetto all asse y ( asse coniugato di z rispetto all ellisse di inerzia). Si ha: M E Jy r (.5.6) Espressione della tensione σ in un punto della sezione, distante z dall asse neutro Confrontando le due espressioni (.5.4) e (.5.6), si ricava σ in funzione del momento M E σ r z E M r J y da cui E M r Jy sostituendo:

25 70 σ M z Jy (.5.7) Equazione della linea elastica La curvatura di una curva in un suo punto è il rapporto: Fig..50 ϕ s La curvatura determina la variazione di inclinazione angolare della curva per l unità di lunghezza di essa. θ s ϕ r ma θ ϕ ϕ r r La curvatura e quindi data da l inverso del raggio del cerchio oscuratore. θ Il raggio è dato dalla espressione: [ + y ] r 3 y Per piccole deformazioni, come si suppone nei casi pratici, la derivata prima y tagϕ ha piccoli valori decimali e quindi y è trascurabile rispetto a. Così risulta: r y da cui: y r dalla (.5.36) ricavando r (.5.7) M E Jy r M r E Jy sostituendo nella (.5.7) si ha y M r EJ Fig..5 Riguardo al segno algebrico, si ricorda che la derivata seconda è positiva in un punto quando la curva rivolge la concavità verso la direzione positiva dell asse z delle ordinate, mentre il momento

26 7 M è positivo quando tende le fibre inferiori e rivolge quindi la concavità verso la direzione negativa di z. Quindi con segno algebrico si avrà la relazione: M EJ che rappresenta l equazione differenziale della linea elastica. y Momento resistente elastico M el,rd Il momento resistente elastico M el,rd è il momento che determina nella fibra più sollecitata, quella più distante dall asse neutro, una tensione uguale a quella di snervamento di calcolo (progetto) f yd Dove: f yk f yd Si impone quindi che nella fibra zmax più lontana dall asse neutro vi sia il momento resistente elastico M el,rd che determina una tensione uguale a quella di snervamento di calcolo f yd f yk σ f yd sostituendo la (.5.7) f yk M el,rd zmax Jy M ed,rd f yk Jy z max da cui (.5.8) Si pone: Wel,min Jy zmax (.5.9) Il rapporto tra il momento d inerzia della sezione rispetto all asse neutro e la distanza della fibra da esso è denominato modulo di resistenza elastico Wel ; quello corrispondente alla fibra più lontana dall asse neutro è il modulo di resistenza elastico minimo Wel,min. Sostituendo la (.5.9) nella (.5.8) si ha l espressione del momento resistente elastico. Momento resistente elastico: Wel,min f yk M c,rd M el,rd per la verifica deve risultare: (.5.30)

27 7 M Ed M el,rd (.5.3) Applicabilità del metodo elastico - Il metodo elastico può applicarsi a tutte le classi,,3,4 delle sezioni; - per le classi, può anche applicarsi il metodo plastico (vedi oltre); - è obbligatorio per le classi 3,4; - per la classe 4 si utilizza il metodo elastico, e, nella determinazione del momento resistente elastico minimo, si considera il modulo di resistenza minimo efficace, riferito alla sezione efficace: M c,rd M el,rd Weff,min f yk (.5.3) Metodo elasto-plastico Secondo il punto 4.3. del DM 008, norme NTC, si possono assumere legami costitutivi tensioni deformazioni di tipo bilineare. Fig..5 Fig..53 Ricordiamo che il grafico σ,ε ottenuto da una prova di trazione su un provino unificato, si schematizza in un diagramma caratteristico bilineare, con un primo tratto fino alla deformazione unitaria al limite elastico ε ek, a cui si fa corrispondere la tensione unitaria caratteristica di snervamento f yk : f yk ε ek tagϕ con: f yk dσ tgϕ E N / mm dε f yk E ε ek ε ek E Nei calcoli è ammesso porre: E 0000 N / mm modulo di elasticità

28 73 Segue al primo tratto rettilineo, oltre la tensione caratteristica di snervamento f ky, un secondo, anch esso rettilineo, poco inclinato, con prevalenza di deformazione plastica, fino alla deformazione unitaria di picco ε uk (Fig..53). Notare che la tensione unitaria al limite di elasticità è qui di seguito indicata con ε ed invece di ε yd Diagramma di calcolo o di progetto Fig..54 Come si è già spiegato, la resistenza di calcolo Rd si ottiene dividendo quella caratteristica Rk per il coefficiente di sicurezza M : Rk M Così dal diagramma caratteristico ( σ,ε ) si può derivare quello di calcolo (di progetto), dividendo le tensioni caratteristiche per il coefficiente di sicurezza M : Rd Tensione f yd di snervamento di calcolo (progetto): f yd f yk M Tensione f td di rottura di calcolo (progetto): f td f tk M Schematizzazione del diagramma di calcolo Fig..55 Nella esecuzione dei progetti il diagramma di calcolo è ulteriormente schematizzato, con un tratto rettilineo di elasticità con pendenza tgϕ E, fino alla tensione di snervamento di calcolo f yd, seguito da un altro tratto rettilineo di perfetta plasticità, con σ f yd, parallelo all asse delle deformazioni unitarie ε, fino alla deformazione unitaria ultima di progetto ε ud : ε ud 0,9 ε uk

29 74 Nell acciaio il comportamento a compressione si ritiene analogo a quello di trazione: si considera una fase elastica fino alla tensione f yd con deformazione unitaria di progetto ε ed, seguita da una plastica, fino alla deformazione unitari ultima di progetto ε ud. Si rammenta che in conformità alle tabelle 4..I e 4..II, nella rappresentazioni delle tensioni, si indicheranno positive quelle di compressione. Duttilità Fig..56 Si definisce duttilità µ 0 il rapporto tra la deformazione unitaria ultima ε ud e quella al limite elastico ε ed ε µ 0 ud (.5.33) ε ed Il materiale è tanto più duttile quanto più si raggiunge la rottura con una elevata deformazione plastica: tanto più è ε ud rispetto a ε ed. Si osservi che, se si carica l asta di acciaio fino a determinare una deformazione unitaria plastica ε c e si scarica, si ha un andamento della linea di scarico parallelo al tratto elastico. Alla fine si ha una deformazione plastica permanente ε r, con annullamento della deformazione elastica. L area compresa tra la linea elastica di carico, il tratto di deformazione plastica e la linea di scarico, rappresenta il lavoro assorbito per l unità di volume: N mm N mm w σ dε mm mm mm 3 Una struttura fragile si ha per ε ud ε ed con µ 0. La duttilità è quindi la capacità di una struttura a deformarsi oltre il limite elastico, disponendo ancora di resistenza e con dissipazione di energia. Ciò è molto importante nelle sollecitazioni sismiche. Comportamento elasto plastico della sezione resistente Fig..57 Ci si riferisce, per semplicità di trattazione, ad una sezione resistente rettangolare. Nel comportamento elastico, già trattato, agli stati limite, nella fibra più sollecitata, più distante dall asse neutro, si raggiunge la tensione di snervamento di calcolo f yd :

30 75 f yd f yk corrispondente a momento elastico di resistenza M c,rd M el,rd f yd Wel,min f yk Wel,min dove Wel,min è il modulo di resistenza minimo riferito alla distanza della fibra zmax più lontana dall asse neutro. Wel,min Jy zmax nel caso della sezione rettangolare, presa come riferimento, con zmax Wel,min b h3 h Wel,min h : b h 6 Nel comportamento elastico della sezione, l andamento, sia della deformazione unitaria ε, sia della tensione σ, è lineare, direttamente proporzionale alla distanza z della fibra dall asse neutro. (ovviamente distanza y, se è l asse y la traccia del piano di sollecitazione e z è l asse neutro): ε r z E σ r z con σ < f yd salvo nella fibra zmax h dove σ f yd Quindi, nel comportamento elastico, agli stati limite, la fibra più lontana dall asse neutro raggiunge la deformazione unitaria ε ed e la tensione σ f yd Affinché si abbia un comportamento elastico della sezione, occorre che il momento esterno di sollecitazione M Ed dell asta non superi il momento resistente elastico M el,rd M Ed M el,rd Andamento della deformazioni unitarie ε e delle tensioni per M > M el,rd Si sottoponga ora che l asta sia sottoposta ad un momento M, maggiore di quello elastico resistente M el,rd della sezione. In questo caso alcune fibre più lontane dall asse neutro sono nella fase plastica e subiscono deformazioni unitarie ε superiori al limite elastico di progetto ε ed Si consideri che la sollecitazione determini nella fibra più lontana dall asse neutro la deformazione unitaria ultima di progetto ε ud. Ci si riferisca, per semplicità, ad una sezione rettangolare

31 76 All aumentare della distanza dall asse neutro aumenta proporzionalmente la deformazione unitaria ε, fino ad una distanza ze ove la tensione σ raggiunge la tensione di snervamento di progetto f yd (tratto OG fig.a). Per distanze superiori a ze si hanno deformazioni plastiche e, considerando che per piccole deformazioni l inflessione dell asse neutro è, con molta approssimazione, ancora un arco di cerchio, l andamento delle deformazioni unitarie ε continuano ad essere lineari, aumentando proporzionalmente con la distanza dall asse neutro (tratto GM fig.a). ε z r Si può così incurvare l asta fino a raggiungere, nella fibra più lontana dall asse neutro h la deformazione unitaria ultima di picco ε ud con andamento lineare. Diverso, invece è l andamento delle tensioni σ al variare della distanza z dall asse neutro, quando si è sottoposta l asta ad un momento esterno M > M el,rd. Fig..58a A partire dall asse neutro, all aumentare della distanza z, aumenta linearmente la deformazione unitaria ε, così pure la tensione σ (tratto OD fig.b) fino ad una distanza ze, ove si raggiunge la tensione di snervamento di progetto f yd (punto D), con la deformazione unitaria ε ed. A partire da ze, all aumentare della distanza dall asse neutro, le fibre continuano ad aumentare linearmente le loro deformazioni unitarie ε, fino alla deformazione unitaria ultima h ε ud nella fibra estrema distante dall asse neutro (tratto GM fig.a); invece la tensione σ, avendo raggiunto alla distanza ze la tensione di snervamento di progetto f yd, non aumenta con la distanza, in quanto si è nella fase di plasticità: in questa fase, con l aumentare della distanza dall asse neutro, mentre continua ad aumentare linearmente la deformazione ε, la tensione σ si

32 77 considera costantemente uguale a quella di snervamento di progetto f yd, e ciò, fino alla h deformazione unitaria ultima ε ud alla distanza (tratto DB fig.b). Distanza ze di inizio della fase plastica La distanza ze è quella in cui la tensione elastica σ raggiunge il valore della tensione di snervamento di progetto f yd Dalla (.5.7) si ha nel campo elastico σ Mu z Jy ze è quella distanza in cui: f yd σ f yd ze Mu ze Jy da cui f yd J y Mu La distanza ze si può determinare dal diagramma della deformazioni unitarie in funzione di ε ed, ε ud. Dai due triangoli simili tratteggiati in figura nel diagramma ( z,ε ) si ha: ε ed : ε ud ze : h ze da cui ze h µ0 ε ed h ε ud ma ε ud µ0 ε ed (.5.34) Momento resistente M u Fig..59 La distribuzione delle tensioni interne alla sezione rappresentata in figura Fig..58 determinano due forze risultanti, una di compressione Fc l altra di trazione Ft, poste da bande opposte allo strato neutro. La forza su una sezione elementare di larghezza b e altezza dz è: df σ b dz La risultante delle forze poste al disopra o al disotto dello strato neutro è: F h σ 0 b dz F b h σ 0 dz

33 78 dove: neutro. h σ 0 dz è l area del diagramma tratteggiato al disopra e al disotto dell asse Per determinare le forze di compressione o di trazione, nel caso in esame, si determina l area del diagramma corrispondente e si moltiplica per la larghezza b. Fig..58b L area al di sopra dell asse neutro è uguale e di segno opposto a quella al disotto. Le due aree sono costituite da due rettangoli di segno opposto, rispettivamente OADC e h O' A' D' C' di base f yd e altezza, a cui vanno tolte le aree dei due triangoli, rispettivamente f OAD e O' A' D', di base yd e altezza ze. Siano Fc le forze corrispondente alle aree dei due rettangoli uguali, positiva di compressione al di sopra dell asse neutro e negativa di trazione al disotto, poste ai baricentri dei h rispettivi rettangoli, e distanti ciascuna dall asse neutro (fig.b). 4 Le forze Fc,corrispondenti alla aree dei due triangoli OAD e O' A' D', da togliere alle rispettive arre dei rettangoli, sono di senso opposto alle rispettive forze Fc, poste ai baricentri, distanti ze dall asse neutro. 3 Il momento resistente M u è quindi dato dalla somma delle due coppie di forze: h h h Fc + Fc Coppie di forze Fc 4 4 z z Fc e + e Fc ze Coppie di forze Fc Momento resistente M u Fc h Fc ze 3 (.5.35)

34 79 Forza Fc, corrispondente alle aree OADC e O' A' D' C' Fc ( Area ret tan golo ) b Fc f yd h b (.5.36) Forza Fc, corrispondente alle aree OAD e O' A' D', Fc' ( Area triangolo b ) Fc' f yd ze b (.5.37) Sostituendo la (.36) e la (.36) nella (.35) si ha: h h f yd ze M u f yd b b ze 3 f b h M u f yd b yd ze 4 3 con: ze h µ0 M u f yd M u f yd b h 4 f b h h b yd µ 0 3 µ 0 (.5.38) Fig..60 Considerando la sezione rettangolare della figura Fig..5.60, si osserva che il momento statico S della porzione della sezione al di sopra dell asse neutro (uguale a quella al di sotto) è dato da: S b h h 4 e il doppio di tale momento statico è: S b h 4 (.5.39) Sostituendo nella (,5,38) M u f yd S 3 µ 0 (.5.40)

35 80 Il momento resistente M u è stato qui dimostrato per una sezione rettangolare, ma l espressione è valida per qualsiasi sezione ove l asse di intersezione tra il piano di sollecitazione del momento e la sezione coincide con l asse di simmetria di essa. Nell andamento elasto-plastico di una sezione si ha maggiore fase plastica quanto minore risulta la deformazione unitaria elastica ε ed ( ε yd ) rispetto a quella di plasticizzazione ultima ε ud ε ud. Si ha la completa plasticizzazione quando ε ed 0 e quindi la duttilità µ 0 ε ed Per una sezione di classe ove ε ud 4ε ed e quindi µ 0 4 l espressione 0,0 può essere trascurato rispetto a, e la sezione si può considerare tutta in fase 3µ plastica. Così, trascurando il termine il momento M u, con molta approssimazione può essere 3µ 0 espresso dalla formula: M u f yd S Mu f yk S Metodo plastico Fig..6 Si considera che, agli stati limite, tuta la sezione resistente, dalla fibra più estrema fino all asse neutro, sia nella fase plastica, sottoposta alla tensione di snervamento di calcolo f yd. Si considera ε ed 0. Agli stati limite la fibra più estrema raggiunge la deformazione unitaria ε ud La forza elementare in una areola da è f yd da che fornisce un momento rispetto all asse neutro dm f yd da z Indicando con simboli diversi i parametri che si riferiscono alle sollecitazioni di trazione e di compressione, la risultante dei momenti rispetto all asse neutro si può scrivere: M pl A c f yd zc dac + M pl f yd dove: Ac A t f yd zt dat zc dac + f yd zt dat At (.5.4)

36 8 Ac At zc zt aerea della sezione sottoposta a compressione area della sezione sottoposta a trazione distanza dall asse neutro dell areola sottoposta a compressione distanza dall asse neutro dell areola sottoposta a trazione ma risulta: A zc dac Sc A zt dat St c t momento statico dell area compressa rispetto all asse neutro momento statico dell area tesa rispetto all asse neutro Sostituendo nella (.5.4) si ha: M pl f yd Sc + f yd St M pl f yd ( S c + St ) (.5.4) essendo l asse neutro un asse baricentrico, il momento statico dell area della sezione al disopra di esso è uguale a quella al di sotto: S c St S Si indica con S il momento statico rispetto all asse neutro della porzione della sezione che si trova dalla stessa banda rispetto all asse neutro stesso (al disopra o al disotto di esso, se si pone l asse neutro in posizione orrizzontale). Sarà quindi: S c + St S Il momento plastico risulta M pl f yd S con Fyd M pl f yk f yk S (.5.43) Momento resistente con il metodo plastico Il momento resistente con il metodo plastico è quel momento di reazione della sezione, nell ipotesi che tutte le fibre reagiscano alla deformazione con una tensione uguale a quella di snervamento di progetto f yd, espresso quindi dalla (.5.43) M c,rd M pl,rd M pl f yk S (.5.44)

37 8 si pone: W pl S (.5.45) W pl è definito modulo di resistenza plastico. si ha: M pl,rd f yk W pl (.5.46) per la verifica deve risultare: M Ed M pl,rd (.5.47) Nei prontuari aggiornati dei profilati sono riportati i valori dei moduli di resistenza plastico W pl, y, W pl, z calcolati rispetto all asse neutro y oppure z. Nei prontuari meno aggiornati è riportato il momento statico S della semiarea posta da una banda rispetto all asse neutro. L autore di queste pagine, a suo tempo, avendo a disposizione un prontuario non aggiornato, ha utilizzato il momento statico per determinare i moduli di resistenza plastici. Riassunto dei criteri di resistenza alla flessione retta per i 4 tipi di classi di sezioni Sezioni Classe, Fig..6 È ammessa la verifica con il metodo plastico, ove tutta la sezione reagisce con una tensione uguale alla tensione di snervamento di progetto. Momento resistente: M c,rd M pl,ed f yk W pl (.5.48) W pl modulo di resistenza plastico che può con essere: W pl, y S y se y è l asse neutro (.5.50) W pl,z S z se z è l asse neutro (.5.5) M Ed M pl,rd (.5.5) Verifica

38 83 Sezione di classe 3 Fig:.63 È obbligatorio per tale sezione eseguire la verifica con il metodo elastico, ove tutte le sue fibre reagiscono con una tensione nel campo elastico, inferiore alla tensione di snervamento di progetto f yd, che viene raggiunta solamente nella fibra estrema, più lontana dall asse neutro. Momento resistente: M c,rd M el,rd f yk Wel,min (.5.53) Dove Wel,min è il modulo di resistenza elastico minimo, riferito alla fibra più estrema sollecitata e dipendente dall asse neutro. Si avrà Wel, y Wel,z Jy zmax Jz ymax per sollecitazione a flessione con y asse neutro per sollecitazione a flessione con z asse neutro Verifica M Ed M el,rd (.5.54) Sezione di classe 4 La verifica deve essere eseguita con il metodo elastico, dove il modulo di resistenza elastico minimo Weff,min deve essere calcolato sulla sezione efficace M c,rd f yk Weff,min (.5.55) dove, a seconda dell asse neutro, il modulo di resistenza a flessione è: Weff, y Weff,z J eff, y zmax J eff, z ymax se l asse neutro è y se l asse neutro è z Verifica M Ed M c,rd (,5.56)

39 84 Esempio.3 Verifiche a flessione monoassiale retta Si considerano casi di flessione sulle 3 sezioni di classe, 3, 4, già classificate precedentemente (pag. 4, 7,40) e precisamente: IPE 00 Profilato saldato Scatolare sottile di classe di classe 3 di classe 4 Verifica a flessione su un profilato IPE 00 Fig..64 Si supponga che la sezione più sollecitata sia sottoposta ad un momento flettente di calcolo M Ed 5 k Nm Caratteristiche meccaniche del profilato: f yk 75 N / mm materiale S 75 Wel, y 94 cm 3 Modulo di resistenza elastico Momento statico S y 0 cm 3 W pl, y 0,6 cm3 Modulo di resistenza plastico (prontuario Hoepli) La sezione del profilato IPE 00 è stato nell esempio precedente classificata appartenente alla classe. Si può quindi utilizzare per la verifica il metodo plastico. M c,rd M pl,rd W pl, y S y f yk W pl W pl, y 0 0 cm , N mm 57,6 kn m M c,rd M c,rd M c,rd Verifica M Ed 5 < M c,rd 57,6 la sezione è verificata.

40 85 Osservazione Occorre notare che l applicazione del metodo elastico su sezioni di classe, risulta più rigoroso e restrittivo rispetto a quello plastico. Infatti, nel caso esaminato di verifica a flessione sulla trave IPE00, applicando il metodo elastico, il momento resistente elastico è: M c,rd M pl,rd M pl,rd f yk Wel, y N mm,05 M el,rd 50,8 kn m Verifica M Ed 5 > M el,rd 50,8 Il momento resistente elastico M el,rd risulta minore del momento di progetto M Ed Sezione non risulta verificata con il metodo elastico. Quindi se si utilizza il metodo elastico per la verifica delle sezioni di classe,, sicuramente, l eventuale verifica positiva garantisce, a maggior ragione la verifica con il metodo plastico. Infatti nel punto del DM 008, norme NTC è riportato che la verifica con il metodo elastico può applicarsi a tutte le classi di sezioni, con l accortezza di applicare i parametri efficaci ( Aeff, Weff ) per le sezioni di classe 4. Verifica a flessione profilato saldato di classe 3 Fig..7 Si prenda ad esempio la trave saldata, non unificata, analizzata nell esempio di sezione di classe 3 (pag.6). Si supponga che la sezione più sollecitata sia sottoposta ad un momento di progetto sul piano di sollecitazione di traccia l asse z: M Ed 500 kn m Materiale acciaio S75 Le dimensioni sono indicate in figura. La sezione dl profilato, come si è dimostrato è di classe 3; per la verifica a flessione retta è obbligatorio eseguire una verifica con il metodo elastico.

41 86 Momento resistente elastico: M c,rd M el,rd f yk Wel, y Modulo di resistenza minimo a flessione rispetto all asse y: Wel, y con: Jy zmax Jy zmax momento d inerzia assiale rispetto all asse y distanza della fibra estrema, più distante dall asse neutro. Momento d inerzia assiale J y : Jy ,5 763 J y 57,4 07 mm 4 Distanza della fibra estrema più distante dall asse neutro zmax zmax 80 zmax 400,5 mm Modulo di resistenza elastica minima Wel, y,min Jy Wel, y,min zmax 57, ,5 Wel, y,min 6, mm3 Il momento resistente elastico di calcolo è: M c,rd M el,rd M el,rd f yk Wel, y,min 75 6,43 0 6,05 M el,rd N mm M el,rd 684 kn m Verifica. M Ed 500 < M pl, y,min 684 verifica soddisfatta.

42 87 Verifica a flessione retta di una sezione sottile di classe 4 Fig..66 Si consideri la sezione sottile, esaminata nel precedente esempio di una classificazione nella classe 4, (pag.40-45). Si era supposto un asse neutro con yg 0 mm e si era ottenuta una sezione efficace con yg mm, con un errore del %. Si può quindi ammettere che sia yg 0 mm senza dovere calcolare di nuovo la sezione efficace con yg mm. La sezione efficace di calcolo è quella riportata nella figura Fig..66. Si supponga che la sezione appartenga ad una membratura sollecitata da in momento flettente di calcolo: M Ed 8,5 kn m Il profilo è in acciaio S 355 Si verifichi la sezione La sezione in esame di verifica a flessione è di classe 4, quindi è obbligatorio impiegare il metodo elastico, utilizzando per la determinazione del momento resistente M c,rd il modulo di resistenza elastico efficace Wel, y,eff calcolato sulla sezione efficace (di Fig..66 nel caso in esame) M c,rd M el,rd f yk Wel, y,eff Modulo di resistenza minimo elastico efficace (con y asse neutro) Wel, y,eff dove: J y,eff zmax J y,eff zmax momento d inerzia assiale della sezione efficace rispetto all asse neutro y; distanza della fibra estrema più distante dall asse neutro. Momento d inerzia efficace J y,eff Tale momento d inerzia si può ottenere sommando i momenti d inerzia dei due rettangoli, considerati pieni, che sono al disopra e al disotto dell asse neutro y, togliendo poi le parti vuote: J y,eff

43 88 J y,eff mm 4 zmax 30 mm mm 3 Wel, y,eff Wel, y,eff Momento resistente elastico di calcolo M el,rd ,05 M el,rd N mm M el,rd 9 kn m Verifica M Ed 8,5 < M el,rd 9 verifica soddisfatta. SEGUE Clic per la pagina precedente Clic per tutti i file II parte Clic per proseguire