LEZIONE N 14 ELEMENTI STRUTTURALI COMPRESSI

Transcript

1 LEZIONE N 14 ELEMENTI STRUTTURALI COMPRESSI Gli elementi strutturali compressi sono presenti in numerosi componenti strutturali, quali le colonne degli edifici, le travi reticolari, le strutture di controvento, ecc Nelle travi reticolari i puntoni sono di regola costituiti da due profilati paralleli (aste composte), fra i quali vengono interposte piastre di imbottitura, unite ai profilati mediante bulloni o saldature a cordone d angolo. Le colonne degli edifici per abitazione sono di solito costituite da un unico profilato HE. Nel caso in cui sia necessario trasmettere carichi assiali rilevanti, come può accadere, ad esempio, negli edifici industriali, le colonne possono anche essere composte, con elementi di collegamento a calastrello oppure a traliccio. 58

2 Nel caso degli elementi strutturali compressi è essenziale valutare la qualità dell equilibrio. Come è noto dai Corsi precedenti l equilibrio elastico può essere stabile, instabile, indifferente. La determinazione della qualità dell equilibrio può essere effettuata imprimendo una perturbazione al sistema studiato ed esaminando il suo comportamento. Con riferimento alla figura sottostante consideriamo un cilindro pesante appoggiato su una superficie cilindrica concava verso l alto (Caso 1). Applichiamo quindi ad esso una perturbazione consistente in uno spostamento orizzontale. Il cilindro si sposta dalla posizione A alla posizione B. Rimuovendo l azione che ha prodotto la perturbazione il cilindro ritorna nella posizione A. Di conseguenza l equilibrio è stabile. Consideriamo ora il cilindro appoggiato su una superficie cilindrica concava verso il basso (Caso ). Applichiamo ad esso una perturbazione consistente in uno spostamento orizzontale. Il cilindro si sposta dalla posizione A alla posizione B. Rimuovendo l azione che ha prodotto la perturbazione il cilindro continua a muoversi verso la posizione C senza fermarsi più. Di conseguenza l equilibrio è instabile. Consideriamo infine il cilindro appoggiato su una superficie piana (Caso 3). Applichiamo ad esso una perturbazione consistente in uno spostamento orizzontale. Il cilindro si sposta dalla posizione A alla posizione B. Rimuovendo l azione che ha prodotto la perturbazione il cilindro resta fermo nella posizione B. Di conseguenza l equilibrio è indifferente. 59

3 Naturalmente l equilibrio elastico delle strutture deve essere stabile. Per la valutazione della stabilità dell equilibrio delle aste semplici sono disponibili due modelli di calcolo: 1) Il primo (Asta di Eulero) prevede le seguenti ipotesi: a) l asta è perfettamente rettilinea; b) la sezione trasversale è costante; c) il carico è centrato (M = ); d) il materiale è perfettamente ed indefinitamente elastico. ) Il secondo modello prevede la presenza di un carico eccentrico invece di quello centrato. Le altre ipotesi di base sono le stesse. Anche se il modello di calcolo della struttura fornisce per l asta compressa solo la forza normale, considerando nullo il momento flettente, occorre tener presente che nelle aste reali (aste industriali) esistono sempre delle imperfezioni, per cui il primo modello di fatto non è praticamente mai realizzato in modo completo, mentre il secondo risulta più realistico, anche se non si conosce esattamente il valore dell eccentricità e dovuta alla presenza di imperfezioni Imperfezioni delle aste industriali Le imperfezioni che si possono riscontrare nelle aste prodotte con procedimenti industriale, ad esempio profili laminati sono le seguenti: a) Imperfezioni geometriche: la linea d asse non è perfettamente rettilinea, ma è curva; b) Imperfezioni strutturali: b1) nelle aste permangono autotensioni dovute al raffreddamento non uniforme dopo la laminazione a caldo; b) il valore della tensione di snervamento f y non è perfettamente uniforme lungo la sezione trasversale dell asta. Se però le imperfezioni geometriche relative alla non rettilineità dell asse non superano il valore di 1/1 della luce libera di inflessione e se le imperfezioni legate alla non omogeneità della resistenza strutturale sono quelle derivanti dai normali processi industriali a 6

4 produzione controllata, si adotta comunque come modello di calcolo dell asta industriale, imperfetta, il modello dell asta di Eulero (primo modello) e si tiene conto delle imperfezioni apportando opportuni aggiustamenti alla procedura di calcolo e cioè adottando le curve d instabilità indicate dalle Norme Tecniche. STUDIO DELL ASTA DI EULERO Con riferimento all asta di Eulero determiniamo il valore del carico critico N cr che separa la configurazione rettilinea stabile dalla configurazione rettilinea instabile (carico di biforcazione). Prendiamo in esame un asta di lunghezza, vincolata con una cerniera al piede ed un carrello in testa che consenta gli spostamenti verticali, come in figura. Consideriamo, oltre alla configurazione originaria rettilinea, una configurazione perturbata curvilinea che si trovi nella condizione di equilibrio indifferente. Scriviamo la condizione di equilibrio in tale configurazione, valida per ogni sezione trasversale dell asta. Il Momento flettente esterno deve essere uguale a quello interno: M int M est 61

5 in cui M M est d y int r dx (considerando l espressione linearizzata della curvatura) N y Sostituendo nell equazione di equilibrio si ha allora: d y N y dx d y N y dx E questa un equazione differenziale omogenea del ordine, lineare e a coefficienti costanti,, che richiede, per la sua soluzione, la imposizione di due condizioni al contorno. Posto, per comodità: N Si ottiene: d y y dx Il suo integrale generale è noto e vale: y C sin x C cos x 1 Le condizioni al contorno consistono nell imporre l annullamento degli spostamenti orizzontali in corrispondenza dei vincoli e sono quindi le seguenti: y x ; yxl Imponendo la prima condizione si ottiene: C sin C cos C 1 6

6 Tenendo conto del risultato precedente, dalla seconda condizione si ha: C sinl 1 Affinché non si ottenga una soluzione banale occorre che sia: k sinl l k l N Sostituendo il valore di nella posizione, si ha: k N l N corrisponde al carico critico dell asta e quindi: k l N cr In realtà questa relazione rappresenta una famiglia di carichi critici, crescenti con k. Ma il primo carico critico, che si ha per k=1, non può essere superato e corrisponde al carico critico di Eulero: N cr l Dividiamo ora l equazione precedente, membro a membro, per l area della colonna, A: Ncr A l A Ncr Il primo membro rappresenta la tensione critica: cr. A Ricordando poi che il rapporto tra il momento d inerzia e l area di una sezione corrisponde al J quadrato del raggio d inerzia i: i, si può semplificare la relazione precedente scrivendo: A E cr i l Definiamo ora la snellezza dell asta come: 63

7 l i Si può ottenere allora: cr E che è l equazione che lega snellezza e tensione critica. Sul piano - cr la funzione cr () è rappresentata dall iperbole cubica cr E cost, anche nota come iperbole di Eulero. Al diminuire di il valore di cr aumenta finché viene raggiunto il valore della tensione di E snervamento f y per y. Tale valore non può, evidentemente, essere superato. f y Peraltro l iperbole di Eulero deve essere raccordata con la linea orizzontale cr = f y. Gli studi su questa parte del diagramma - cr sono stati numerosi e tra essi si ricordano quelli dovuti a Tetmajer, Shanley, Von Karman, Engesser, ecc.., che hanno proposto appropriate curve di raccordo. 64

8 In particolare Tetmajer ha individuato come punto terminale della validità della iperbole di Eulero il limite di proporzionalità p, corrispondente al termine del tratto elastico lineare del legame costitutivo dell acciaio E p. Si ricorda, a questo proposito, che la tensione al limite di proporzionalità p è inferiore alla tensione di snervamento, cioè esiste un tratto compreso tra p e y, in cui il materiale è elastico, ma non-lineare. Di conseguenza si ha che la snellezza al limite di proporzionalità p è un poco maggiore di quella alla tensione di snervamento. D altra parte è evidente che l espressione della tensione critica dedotta mediante il modello dell asta di Eulero sia valida solo in ambito elastico lineare, in quanto la corrispondente teoria è basata, appunto, sull ipotesi che il legame costitutivo sia elastico-lineare. 65