COSTRUZIONI AEROSPAZIALI. Stabilità dell equilibrio elastico I

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1 COSTRUZIONI AEROSPAZIALI Stabilità dell equilibrio elastico I 1

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3 Stabilità di un punto di equilibrio Il problema di stabilità è in genere ricondotto all esame della stabilità di un punto di equilibrio. Si tratta allora di determinare una posizione (o configurazione) di equilibrio del sistema ed in seguito perturbare il sistema da questa configurazione per studiarne il suo comportamento (ovvero la sua evoluzione temporale). Se il rapporto tra l entità dell effetto della perturbazione rispetto all entità della perturbazione stessa è piccolo allora nulla questio cioè il risultato finale sarà poco diverso da quello nominale (atteso). Se invece a causa infinitesima corrisponde effetto finito siamo siamo nel caso instabile. Il moto di assetto di un corpo D in orbita è descrito dal moto intorno al baricentro r* Terra 3

4 Stabilità del moto di assetto di un corpo sotto l azione della coppia gravitazionale Due posizioni di equilibrio Perturbazione intorno alla posizione Moto armonico Equilibrio stabile 4

5 Stabilità di assetto Perturbazione intorno alla posizione Moto instabile 5

6 Stabilità dei sistemi elastici A)Problemi di stabilità dinamica, le forze applicate variano con il tempo: studio delle zone di stabilità, vibrazioni parametriche, P(t) N(t) B)Problemi di stabilità statica, le forze sono applicate staticamente. Trovate le posizioni di equilibrio: B1)Comportamento critico P<P cr studio linearizzato del moto nell intorno delle posizioni di equilibrio per trovare P cr. B)Comportamento postcritico P>P cr : studio non-lineare del moto. P < P cr a) b) P P cr 6

7 Alcune considerazioni L analisi basata sullo studio del moto comportano la presenza di forze d inerzia. Pur tuttavia nei sistemi conservativi il P cr NON dipende dalle forze d inerzia e lo studio può essere condotto senza considerare le f. d inerzia. nei sistemi NON-conservativi il P cr dipende in generale dalle forze d inerzia e lo studio deve essere condotto considerando le f. d inerzia. Indicheremo come: criterio dinamico: il P cr viene trovato tenendo in conto le forze d inerzia. criterio statico: il P cr viene trovato senza considerare le forze d inerzia. Nella ricerca del P cr il problema è lineare. A seconda del metodo si ha: un sistema omogeneo: problema di autovalori; un sistema non-omogeneo: problema di risposta. Nell analisi post-critica il problema è non-lineare. Un problema non lineare anche se omogeneo oltre alla soluzione banale possiede in generale anche soluzioni non identicamente nulle. E quindi possibile calcolare la deformata, valutarne la stabilità ma soprattutto lo stato di sollecitazione e deformazione della struttura per capire se ancora in grado o meno di reggere un P>P cr. 7

8 Ricerca del Carico Critico Analisi in campo lineare. A seconda del metodo si ha: un sistema omogeneo: problema di autovalori; un sistema non-omogeneo: problema di risposta. 8

9 Sistema ad 1G.L.: trazione P e Posizione di equilibrio: il momento rispetto la cerniera della forza P è nullo: e =0 C Perturbiamo il sistema in equilibrio dando una piccola variazione *: = e + * P J * C * PLsen * 0 J * (C PL) * 0 * * * 0 Acos t Bsen t C Moto armonico di pulsazione ω 9

10 Sistema ad 1G.L.: compressione P e Posizione di equilibrio: e =0 Perturbiamo il sistema in equilibrio: = e + * * * * * * J C PLsen 0 J (C PL) 0 P C 1) C>PL: ponendo CPL= * * * 0 Acos t Bsen t ) C<PL: ponendo CPL= C * * * J 0 Acosh( t) Bsenh( t) 3) C=PL: * c1 ct ) e 3) sono moti amplificati nel tempo 10

11 Sistema ad 1G.L.: P laterale P e Posizione di equilibrio C PLcos PL e PL/ C C Perturbiamo il sistema in equilibrio: = e + * P J C( ) PLcos( ) * * * e e Facendo uno sviluppo in serie C * * Jα +(C+PLsenα e)α =0 b) * * * 0 Acos t Bsen t 11

12 Riepilogo: analisi lineare 1.Si trovano le posizioni di equilibrio e..si perturba il sistema intorno alle posizioni di equilibrio: = e +* ; 3.Il carico P è inteso come un parametro in funzione del quale varia il moto del sistema. Quindi possiamo definire carico critico il più piccolo valore finito del carico applicato sotto il quale il moto diviene amplificato. 4.A differenza di quanto avveniva nei problemi di risposta statica, in cui il carico laterale P compariva come termine noto per cui l equazione di equilibrio risultava non omogenea, le equazioni perturbate risultano omogenee e questo per due ragioni: a)sono espresse in termini della perturbazione *; b)il carico cui è soggetta l asta non è P ma il momento PL. Il problema è quindi ricondotto allo studio delle piccole oscillazioni libere di un problema formalmente equivalente al sistema massamolla, salvo che ora il sistema presenta una rigidezza equivalente (CPL) che è funzione del carico. Rigidezza questa che all aumentare del carico: aumenta nei casi di P positivo (carico di trazione) ; diminuisce fino ad annullarsi nel caso P negativo (carico di compressione). Se la rigidezza equivalente è positiva, il sistema si mantiene nell intorno della configurazione di equilibrio; quando la rigidezza equivalente è negativa, il sistema si allontana dalla configurazione di equilibrio. 1

13 segue: riepilogo analisi lineare Dei tipi di carico esaminati quello che induce instabilità è solo il carico di compressione. In questo ultimo caso: 5a) si ha instabilità quando il carico P supera un certo determinato valore che dipende dalle caratteristiche elastiche e geometriche del sistema (nel caso specifico dalla rigidezza C e lunghezza L), oltre naturalmente che dal tipo di vincolo implicito nell equazione di equilibrio; 5b) partendo da P=0, all aumentare di P, la frequenza di oscillazione decresce ed è uguale a zero quando il carico raggiunge il valore critico. Poiché le forze di inerzia sono proporzionali alla frequenza, quando =0, esse risultano nulle. In altri termini il P cr non è influenzato dalla presenza delle forze d inerzia, quindi per determinare il carico critico si possono non tenere in conto le forze d inerzia ed usare il criterio statico; 5c) superato il carico critico la deformata diventa sempre più grande per cui non risulta più valida l ipotesi di piccoli spostamenti e non possiamo più linearizzare l equazione di equilibrio. 13

14 Metodo statico Se il P cr non dipende dalle forze di inerzia, la sua ricerca può essere condotta studiando il problema dal punto di vista statico. Nell ambito del metodo statico per sistemi a comportamento lineare, lo studio della stabilità può essere condotto con uno dei seguenti metodi: A)Metodo energetico: per sistemi conservativi vale il principio per cui una posizione di equilibrio è stabile (instabile) se, in questa posizione, la derivata seconda dell energia è positiva (negativa). Il Pcr è il più piccolo valore di P per cui la derivata seconda dell energia diventa negativa. B)Metodo della biforcazione: si calcolano le posizioni di equilibrio del sistema omogeneo. Se per uno stesso valore del carico si hanno più soluzioni, significa che per tale carico il sistema può indifferentemente porsi su ciascuna di esse. Il valore del carico a partire dal quale le soluzioni sono multiple, individua un punto critico ed è detto punto di biforcazione (tri-forcazione). C)Metodo delle imperfezioni: il sistema considerato è non omogeneo e si ha un problema di risposta dove per carico critico si intende quel valore finito del carico per il quale la deformata tende a diventare infinita. 14

15 Metodo Energetico A)Metodo energetico: per sistemi conservativi vale il principio per cui una posizione di equilibrio è stabile (instabile) se, in questa posizione, la derivata seconda dell energia è positiva (negativa). Il Pcr è il più piccolo valore di P per cui la derivata seconda dell energia diventa negativa. 15

16 C P Sistema ad 1G.L.: trazione E 1 C PL(1 cos ) 1 C 1 PL E 1 PL de E 1 p dove p (1 p) 0 0 C C d e p=0,75 1, 1,0 0,8 E d E d 0 1 p 0 p=0,5 p=1,00 p=1,5 0,6 0,4 0, Stabile p 0,0-1,0-0,8-0,6-0,4-0, 0, 0,4 0,6 0,8 Rad 1,0-57,30-45,84-34,38 -,9-11,46 0, -0, 0,0 11,46,9 34,38 45,84 57,30 16

17 P C c) Sistema ad 1G.L.: compressione E C PL(1 cos ) C PL E 1 PL E 1 p dove p C C de (1 p) 0 0 e d 0,3 0, E 0 se p 1 d d E 1p 0 se p 1 0 p=0,50 0,1 p=0,75 0,0-1,0-0,8-0,6-0,4-0, 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 Instabile p -0,1-0, -0,3 p=1,5 p=1,50 Stabile p=1 17

18 C E Sistema ad 1G.L.: P laterale 1 C PLsen E 1 p b) de d p 0 e p d E d e 1 0 p=1,00 1,0 0,8 E p Stabile 0,5 p=0,5 0,3 p==0,5 p=0,5-1,0-0,8-0,6-0,4-0, 0,0 rad) 0,4 0,6 0,8 1,0-0,3 p=0,75-0,5 p=1,00 18

19 Metodo della biforcazione B)Metodo della biforcazione: si calcolano le posizioni di equilibrio del sistema omogeneo. Se per uno stesso valore del carico si hanno più soluzioni, significa che per tale carico il sistema può indifferentemente porsi su ciascuna di esse. Il valore del carico a partire dal quale le soluzioni sono multiple, individua un punto critico ed è detto punto di biforcazione. 19

20 P Dall equilibrio Trazione (C PL) 0 (1 p) 0 0 C Stabile p NON c è biforcazione: sempre stabile 0

21 Compressione P Dall equilibrio (C PL) 0 (1 p) 0 e 0 C c) Instabile p Stabile 1 C è biforcazione per p=1: per p>1 almeno un ramo instabile 1

22 Metodo delle imperfezioni C)Metodo delle imperfezioni: il sistema considerato è non omogeneo e si ha un problema di risposta dove per carico critico si intende quel valore finito del carico per il quale la deformata tende a diventare infinita.

23 P P P a) Trazione : C( ) PL 0 1 p 1 p a) b) c) b) Laterale : C( ) c) Compressione : PL p C( ) PL 0 1 p 1 p 1, 1 0,8 0,6 0,4 0, P P cr Caso a) Caso c) =0,0 Caso b) 0 Caso b) 0, ,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Il fatto che per p<1 non si ha instabilità potrebbe indurre a pensare che il sistema soggetto a carichi p<1 è in grado di svolgere la propria funzione strutturale. In realtà per =0,001, per P=0,9P cr, si ha =0,01 pari a 10 volte la deformata iniziale; per P=0,99P cr, si ha =0,1 pari a 100 volte la deformata iniziale. E sufficiente un carico P=0,999P cr, per avere =1 pari a 1000 volte la iniziale. 3

24 K/ Sistema ad 1G.L.: compressione P K/ Per il nuovo sistema di figura con molla assiale K si possono ripetere tutte le analisi e considerazioni fatte per il sistema con molla C. In particolare: Posizione di equilibrio: e =0 Perturbiamo : = e + * * * * * J (KL PL)sen 0 J (KL P)L 0 1) KL>P: ponendo KLP= (KL P) / J ) KL<P: ponendo KLP= (KL P) / J * * * 0 Acos t Bsen t * * * 0 Acosh( t) Bsenh( t) 3) KL=P * * 1 0 c c t Pcr KL 4

25 Comportamento post-critico Problema non-lineare. Un problema non lineare anche se omogeneo oltre alla soluzione banale possiede in generale anche soluzioni non identicamente nulle. E quindi possibile calcolare la deformata, valutarne la stabilità ma soprattutto lo stato di sollecitazione e deformazione della struttura per capire se ancora in grado o meno di reggere un P>P cr. 5

26 P Metodo Energetico 1 C PL(1 cos ) E 1 E p(1 cos ) dove p PL C C 6

27 P Metodo Energetico C de psen 0 d e 0 ; p qualsiasi e p 1 sen e d E d e e =0 1 pcos e d E d e 1 p 0 per p 1 "S" 0 per p 1 "INS" d E d e 1 sen e e cos e 0 "S" sen e p e sen e 1 7

28 P Metodo della Biforcazione C C PLsen 0 psen 0 e 0 ; p qualsiasi e p 1 sen e All aumentare di p si ha: per p<1: la sola soluzione =0; per p=1: intersezione delle curve delle due soluzioni di equilibrio cioè più soluzioni di equilibrio ovvero biforcazione (triforcazione). Da questo punto almeno un ramo è instabile per p>1: tre soluzioni: =0 instabile; = e stabili. 8

29 Metodo delle imperfezioni. psen 0 p sen 9

30 Molla torsionale a comportamento NON Lineare C=C 0 +C 1 30

31 C P E E 0 Metodo Energetico 3 C0 C1 (C0 C1 d PL(1 cos ) PL(1 cos ) 4 1 C 4 p(1 cos ) de C d 1,30 3 psen 0 p e e sen 0 e 1 C e C=0, C=0,1 C=0,05 C=0 1,5 1,0 1,15 p/p cr Instabile Stabile 1,10 1,05 Stabile 1,00 0,95 0,90-1,0-0,8-0,6-0,4-0, 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 31

32 C P de d C 3 Metodo Energetico psen 0 p e e sen 0 e 1 C e d E d e 1 3C d E d d E d 0 0 1p e pcos 0 per p 1 stabile 0 per p 1 instabile 1 3C sen (1 C ) cos 0 sen e 1,30 C=0, C=0,1 C=0,05 C=0 1,5 1,0 1,15 p/p cr Instabile Stabile 1,10 1,05 Stabile 1,00 0,95 prof. Renato Barboni 3 0,90-1,0-0,8-0,6-0,4-0, 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0

33 Sistema ad 1G.Lcon molla K K/ P K/ KL E sen p(1 cos ) E sen PL(1 cos ) 1 33

34 K/ P K/ M. dell energia 1 de d E sen p(1 cos ) (cos p)sen 0 e 0 ; p cos e d E d 1 p 0 0 per p 1 per 1 0 e p d E d pcos e cos e cos e sen e 0 34

35 P M. delle imperfezioni K/ K/ E 1 sen sen p(1 cos ) de d 0 p sen e sen tan e e 35

36 K/ P K/ M. delle imperfezioni d E 1 3 sen sen d sen dp 1 d sen 3 sen sen E cambia segno e quindi il sistema da stabile diviene instabile quando passa per 0, ovvero quando la curva p, si annulla (tangente orizzontale). tangente orizzontale transizione da stabile ad instabile P cr sempre più piccolo 36

37 K/ P K/ M. delle imperfezioni 1,0 p cr 0,8 0,6 0,4 0,00 0,04 0,08 0,1 0,16 0,0 Variazione del P cr all aumentare dell imperfezione 37

38 Rappresentazione matriciale del sistema ad N Gradi di Libertà Indichiamo con {Q} i parametri che individuano in modo univoco la posizione di un sistema dette anche coordinate generalizzate o coordinate lagrangiane.il loro numero definisce i grado di libertà (G.L.). In generale si ha il sistema: KQ MQ pbq F Nel sistema asta-molla ad 1G.L. fin qui visto, {Q} ha una sola componente. Al posto di avremmo potuto utilizzare un altro parametro quale ad esempio lo spostamento dell estremità dell asta. 38

39 Stabilità : sistemi conservativi KQ MQ pbq F 1 T U Q K Q 1 VP p Q B Q T F V F Q T E Q K Q p B Q F 0 K p B Q F Problema di autovalori K p B Q 0 K p B 0 Problema di risposta 1 K p B Q F Q K pb F 39

40 Stabilità delle travi Equazione di equilibrio nella configurazione deformata Statica Dinamica 40

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48 Tre percorsi alternativi 48

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54 54

55 4.Sistemi conservativi 55

56 5. Sistemi non conservativi 56

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58 58

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60 Stabilità delle piastre 60

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62 Comportamento a trave 6

63 Paolo Gasbarri 63