Lezione PONTI E GRANDI STRUTTURE. Prof. Pier Paolo Rossi Università degli Studi di Catania

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1 Lezione PONTI E GRANDI STRUTTURE Prof. Pier Paolo Rossi Università degli Studi di Catania

2 Instailità locale

3 Instailità locale Introduzione 3

4 Instailità locale Introduzione Le parti interessate sono quelle compresse della sezione trasversale dell elemento 4

5 Comportamento elastico 5

6 Tensioni normali Sia data una lastra appoggiata sui ordi e sollecitata da una tensione σ x costante sui due lati opposti σ x a La deformata della lastra soggetta ad instailità è legata al carico tramite la relazione : dove : N w D t spostamento fuori piano rigidezza flessionale della lastra w w w w D + + = N 4 4 x x y y x carico applicato nel piano secondo asse x spessore della lastra Et = ( ν ) 6

7 Tensioni normali Sia data una lastra appoggiata sui ordi e sollecitata da una tensione σ x costante sui due lati opposti σ x a La deformata della lastra soggetta ad instailità è espressa tramite la doppia serie di Fourier : mπx nπy w( x,y) = Amn sin sin m= 1n= 1 a dove : w spostamento fuori piano m, n numero di semionde sinusoidali nelle direzioni longitudinali e trasversali coefficienti incogniti rappresentanti spostamenti generalizzati A mn 7

8 Tensioni normali Sia data una lastra appoggiata sui ordi e sollecitata da una tensione σ x costante sui due lati opposti σ x a La tensione critica della lastra è : dove : π σ = D n cr m + a t a m t D spessore della lastra rigidezza flessionale della lastra = Et ( ν ) 8

9 Tensioni normali Il valore minimo del carico critico della lastra si ha per n=1, ovvero quando trasversalmente si ha una sola semionda sinusoidale : σ x a σ = k π cr σ 1 1 E ( ν )( t) dove : k σ 1 a = m + a m 9

10 Esempio di lastra appoggiata sui ordi 1 carico critico carico critico 3 carico critico (m=1) (m=) (m=3) F x =1 F x =1 F x =1 F x =1 F x =1 F x =1 1 m 1 m 1 m 1 m (spessore= 1cm) (spessore= 1cm) (spessore= 1cm) α cr,1 =73.1 α cr, = α cr,3 = (E=00000 MPa) (E=00000 MPa) (E=00000 MPa) 10

11 Lastra appoggiata sui ordi k σ 8.0 m = σ x a 4.0 k σ,min = a k σ = m + a m a/ Ⱶ Il valore piu` asso del carico critico si ottiene per un rapporto d`aspetto pari ad un numero intero. 11

12 Lastra appoggiata sui ordi k σ 8.0 m = σ x a a/ Ⱶ La dimensione delle semionde è comparaile con la dimensione trasversale della sezione 1

13 Lastra appoggiata sui ordi σ x k σ =k σ,min a= σ x k σ =k σ,min a= σ x k σ =k σ,min a=3 Ⱶ Le lastre, pur se caratterizzate da un rapporto d aspetto pari ad un diverso numero intero, hanno lo stesso carico critico 13

14 Lastra appoggiata sui ordi σ x k σ =k σ,min a= σ x k σ =k σ,min a= σ x k σ =k σ,min Ⱶ a=3 irrigidimenti trasversali In lastre con rapporto d aspetto pari ad un numero intero, l uso di irrigidimenti trasversali con spaziatura equale alla larghezza della lastra non muta il valore del carico critico 14

15 Lastra appoggiata sui ordi k σ 8.0 m = σ x a a a/ Ⱶ Gli irrigidimenti trasversali (se sufficientemente rigidi e resistenti) sono efficaci solo se la loro spaziatura è minore della larghezza della lastra 15

16 Lastra appoggiata sui ordi Ⱶ Gli irrigidimenti longitudinali (se rigidi e resistenti) possono rappresentare una più economica alternativa, perché costringono il pannello ad instailizzarsi con più semionde lungo la dimensione traversale k σ a π σ = D n cr m + a t a m σ x n= 5 a/ Ⱶ Gli irrigidimenti longitudinali hanno anche il vantaggio di contriuire all aumento dell area della sezione resistente 16

17 Lastra appoggiata su 3 ordi k σ 8.0 σ x 6.0 a 4.0 k σ a a/ k σ,min 045. Ⱶ La modifica dei vincoli camia la dipendenza del fattore di stailità dal rapporto d aspetto della lastra 17

18 Tensioni tangenziali Sia data una lastra appoggiata sui ordi e sollecitata da tensioni tangenziali τ costanti sui lati τ w w w τcrt w + + = 4 4 x x y y D x y a La tensione tangenziale critica della lastra è : τ = k σ cr τ e dove σ = π ( ν )( t) e 1 1 E 18

19 Valutazione con metodi numerici Con l eccezione dei pochi casi per cui esiste una soluzione analitica, il carico di instailità locale delle lastre è usualmente valutato mediante metodi numerici. Il metodo più utilizzato è quello di Rayleigh-Ritz, asato sulle variazioni dell energia di deformazione elastica della lastra ΔU p e del lavoro interno ΔW int. Lo stato critico corrisponde all equilirio indifferente e dunque alla relazione : dove : ΔU Δ W = p int 0 a D w w w w w Δ Up = + 1 ( ν) dxdy 00 x y x y x y a t w w w w Δ Wp = σ x +σ y + τ dxdy 00 x y x y 19

20 Il fattore di stailità Il fattore di stailita` dipende da : Ⱶ Condizioni di vincolo Ⱶ Tipo di tensioni (normali o tangenziali) Ⱶ Condizioni di carico (compressione uniforme, flessione o presso flessione) 0

21 Il fattore di stailità secondo Eurocodice L Eurocodice 3 (parte 1-5) fornisce i fattori di stailità per alcune distriuzioni di tensioni normali e tangenziali su pannelli rettangolari interni o esterni, irrigiditi o non irrigiditi. 1

22 Il fattore di stailità di pannelli interni non irrigiditi Tensioni normali σ 1 σ 1 k σ 3.9 σ >0 a σ 7.81 ψ 4.0 ψ=σ /σ 1 1<ψ 0 0<ψ -1-1<ψ -3 k σ 8./(1.05+ψ) ψ ψ 5.98(1-ψ) tratto da: Eurocodice (Ta. 4.1)

23 Il fattore di stailità di pannelli esterni non irrigiditi Tensioni normali σ 1 σ 1 σ 1 σ 1 σ >0 σ σ <0 σ ψ=σ /σ <ψ -3 k σ ψ +0.07ψ σ σ σ σ σ 1 σ 1 σ 1 σ 1 ψ=σ /σ 1 1 1>ψ 0 0>ψ -1 k σ /(0.34+ψ) ψ +0.07ψ tratto da: Eurocodice (Ta. 4.) 3

24 Il fattore di stailità di pannelli interni non irrigiditi Tensioni tangenziali τ k τ a 9.34 α α=a/ α 1 α<1 k τ /α² /α² tratto da: Eurocodice (annesso A.3) 4

25 Il fattore di stailità di pannelli interni irrigiditi Tensioni normali σ 1 σ =ψσ σ 1 a 0.5 σ 1 σ α γ 0.5 α > γ 0.5 k k ( ) 1+α +γ 1 = α ( ψ + 1)( δ+ 1) σ,p σ,p ( + γ ) 41 = ( ψ + 1)( δ+ 1) dove : a/ γ = I sl I p δ=a sl A p 3 t I p momento d inerzia del piatto = A p = t 1( 1 ν ) I sl momento d inerzia dell intero piatto irrigidito ΣA sl somma delle aree degli irrigidimenti tratto da: Eurocodice (annesso A.1) 5

26 Lastre irrigidite L instailità di lastre irrigidite può essere valutata con il metodo numerico di Rayleigh-Ritz aggiungendo i contriuti degli irrigidimenti all energia di deformazione elastica e al lavoro interno : nx a nx a EIsxi w GJsxi w Δ Ust = dx+ dx i= 1 = 0 x i 1 0 x y y=yi y=yi Δ Wsx = σ nx a Asxi w xi i= 1 0 x y=yi dx dove : A sx I sx J sx area trasversale dell irrigidimento momento d inerzia dell irrigidimento costante torsionale dell irrigidimento 6

27 Esempio di lastra interna irrigidita σ 1 =10 MPa σ 1 =.0 m σ =5 MPa a =3.0 m σ spessore lastra e irrigidimenti = 10 mm altezza irrigidimenti = 150 mm (E=00000 MPa) Valutazione numerica del moltiplicatore critico α cr,1 =

28 Esempio di lastra interna irrigidita 1 carico critico carico critico 3 carico critico σ x =10 MPa σ x σ x σ x σ x σ x m 3 m 3 m 3 m α cr,1 = α cr, =38.47 α cr,3 =

29 Esempio di lastra interna irrigidita Eurocodice 3 Lastra A p = 00 1 = 00 cm² Irrigidimento A sl = 15 1 = 15 cm² =.0 m A sl = 315 = 45cm² δ= Asl A p = = s 00 1 I p = = = cm sl ( ν ) (. ) I = cm 4 γ = Isl I p = = Momento d inerzia del pannello non irrigidito Momento d inerzia del pannello irrigidito 9

30 Esempio di lastra interna irrigidita Eurocodice 3 α= a = =. < γ= ψ =σ σ 1 = 510= 05. =.0 m π E 1 e σ = = = 4. 75MPa 1 1 ν 00 ( )( t) ( ) [( ) ] 1+α +γ k σ,p = = = α ( 1+ψ )( 1+δ ) 15. ( )( ) σ cr,p = k σ,p σ e = = MPa 30

31 Condizioni di carico cominate Lo stato critico per un carico cominato σ x,ed, σ z,ed, τ Ed è raggiunto quando le tensioni raggiungono i seguenti valori : σ =α σ cr,x cr x,ed σ cr,z =αcr σz,ed τ =α τ cr cr Ed dove : α cr moltiplicatore dei carichi corrispondenti al carico critico In alternativa, il moltiplicatore critico può essere valutato come : 1 1+ψ x 1+ψ z 1+ψ x 1+ψz 1 ψx 1 ψz 1 = α 4α 4α 4α 4α α α α cr cr,x cr,z cr,x cr,z cr,x cr,z cr, τ dove : α cr,x =σcr,x σx,ed α =σ σ ψ = x ψ = z cr,z cr,z z,ed cr, τ cr Ed α =τ τ rapporto di tensione normale in direzione longitudinale rapporto di tensione normale in direzione trasversale 31

32 Importanza della rigidezza e resistenza degli irrigidimenti Gli irrigidimenti devono avere sufficiente rigidezza e resistenza per rendere possiili (in forma ingegneristicamente accurata) gli incrementi dei carichi critici corrispondenti ad una infinita rigidezza e resistenza Esempio : σ cr =7.34 MPa σ 1 =10 MPa σ 1 =.0 m σ =5 MPa a =3.0 m σ spessore lastra = 10 mm Elaorazione con programma EBF Plate 3

33 Importanza della rigidezza e resistenza degli irrigidimenti irrigidimento lunghezza=15 cm, spessore = 1 cm irrigidimento lunghezza=5 cm, spessore = 1 cm σ cr =99.11 MPa σ cr =4. MPa σ 1 =10 MPa σ 1 σ cr = MPa σ =5 MPa a =3.0 m σ σ cr =7.16 MPa irrigidimento inf σ cr = MPa 33

34 Rigidezza minima degli irrigidimenti Formule approssimate di rigidezza minima degli irrigidimenti Lastra soggetta a tensioni normali uniformi 3 Ast Ast I st 45. t t t Nota: vedi altre indicazioni in Eurocodice 3 (parte 1.5) Lastra soggetta a tensioni normali non uniformi (flessione) 3 Ast Ast Ist 4t t t Lastra soggetta a tensioni tangenziali I at ( ν ) st 6 a a/ 1 I at ( ν )( a) st 4 a/<1 34

35 Assemlaggi di lastre L instailità di insiemi di lastre può essere valutata assumendo che le lastre siano incernierate lungo i ordi comuni (ovvero siano semplicemente appoggiate lungo i ordi connessi e liere lungo i ordi non connessi) Tale assunzione è comunque a vantaggio di sicurezza perché si trascura la rigidezza flessionale dei nodi ovvero che l instailità di un pannello impone importanti deformazioni anche negli altri pannelli al contorno. 35

36 Limiti Carico critico al limite dell elasticità di singole lastre 36

37 Lastra appoggiata sui ordi e soggetta a tensioni normali La tensione critica coincide con la tensione di snervamento se : ovvero se : π E σ cr = kσ = 1 1 ( ν )( t) f y k σ π = fy (. )( t).. t = k σ 35 f y Se k σ =4 = t 35 f y ( Att: caso tensioni tangenziali ) π E σ = = 1 1 y cr kτ 3 ( ν )( t) f 37

38 Lastra soggetta a tensioni normali o tangenziali La tensione critica coincide con la tensione di snervamento se : k σ k σ k τ σ x a a/ 9.34 a a/ 5.34 t = f y t = f y t = f y t = f y 38

39 Principali riferimenti Norme Tecniche per le Costruzioni. D.M. 14 gennaio 008 pulicato sulla Gazzetta Ufficiale n. 9 del 4 feraio Suppl. Ordinario n. 30 Istruzioni per l applicazione delle Norme Tecniche per le Costruzioni. Circolare feraio 009 pulicata sulla Gazzetta Ufficiale n. 47 del 6 feraio Suppl. Ordinario n. 7 Eurocode 3 - Design of steel structures - Part 1-5: Plated structural elements Trahair NS, Bradford MA, Nethercot DA, Gardner L. The ehaviour and design of steel structures to EC3. (Fourth edition). Taylor & Francis, 008 Darko Beg, Ulrike Kuhlmann, Laurence Davaine, Benjamin Braun. Design of Plated Structures: Eurocode 3: Design of Steel Structures, Part 1-5: Design of Plated Structures, Wiley & Sons, 011. ISBN:

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