TEORIA DEI GIOCHI: I GIOCHI SIMMETRICI

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea Specialistica in Scienze e Tecnologia dell Informazione Metodi e Modelli per il Supporto alle Decisioni TEORIA DEI GIOCHI: I GIOCHI SIMMETRICI Relatore: Prof. ROBERTO CORDONE Autore: ALBERTO CARIONI ANNO ACCADEMICO

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3 Indice Elenco delle figure v 1 La Teoria dei Giochi Introduzione I giochi Equilibri di Nash I Giochi Competitivi La Morra Cinese Pari e dispari I giochi simmetrici Definizione Da 24 a 4 giochi Esempi Di Giochi Simmetrici Tipo 1: il matrimonio perfetto Tipo 2: la caccia al cervo Tipo 3: la corsa del coniglio Tipo 4: il dilemma del prigioniero Altri esempi di giochi simmetrici Gioco Di Coordinamento La Guerra Dei Sessi iii

4 iv INDICE

5 Elenco delle figure 1.1 Esempio Tabella Giocatore Uno Esempio Tabella Giocatore Due Esempio Tabella Unificata Matrice delle utilità per il primo giocatore Matrice delle utilità per il secondo giocatore Sovrapposizione delle due matrici Matrice dei pagamenti per il gioco della morra cinese Matrice Dei Pagamenti Per Il Gioco Pari E Dispari Equilibri Di Nash Pari E Dispari Gioco Simmetrico Gioco totalmente simmetrico Matrice delle utilità per un generico gioco simmetrico Matrice delle utilità ottenuta sottraendo a 12 e a Matrice totalmente simmetrica ottenuta dalla generica matrice simmetrica Classificazione delle quattro tipologie di gioco simmetrico Tabella del matrimonio perfetto Equilibri di Nash nel matrimonio perfetto Tabella della caccia al cervo Equilibri di Nash nella caccia al cervo Tabella della corsa del coniglio Equilibri di Nash nella corsa del coniglio Tabella del dilemma del prigioniero Equilibrio Di Nash Nel Dilemma Del Prigioniero Tabella Del Gioco Coordinamento Equilibri Di Nash Nel Gioco Di Coordinamento Tabella Guerra Sessi Equilibri Di Nash Nella Guerra Dei Sessi v

6 vi ELENCO DELLE FIGURE

7 Capitolo 1 La Teoria dei Giochi 1.1 Introduzione La teoria dei giochi ha avuto negli ultimi decenni un enorme sviluppo e un notevole successo, con applicazioni rilevanti in vari contesti: dall economia, alla biologia evolutiva, alla scienza politica, alla programmazione ad agenti. Questa disciplina analizza le situazioni in cui più decisori si trovano a fare delle scelte, dal complesso delle quali dipende il risultato finale. Tipicamente, inoltre, i vari esiti finali possibili sono valutati in modo differente dai decisori coinvolti. Assunzioni standard sono che i decisori siano razionali, ovvero che abbiano preferenze coerenti sull insieme degli impatti finali potenziali, e che ciascuno cerchi di determinare, per quanto in suo potere, l esito che maggiormente preferisce che i decisori siano intelligenti, ovvero che siano in grado di rappresentare e analizzare le situazioni che hanno di fronte, che possano formulare ipotesi ed effettuare deduzioni sul comportamento proprio e altrui. 1.2 I giochi Un gioco è formalmente definito da: dove x X = X 1 X 2 X 3... X n ω Ω f i : X Ω F i R i N Π i = {(f i, f i) : f i f i} F i F i 1

8 2 La Teoria dei Giochi N è l insieme finito dei giocatori, di cardinalità n ogni giocatore i N ha un insieme non vuoto X i di mosse attuabili Ω è l insieme degli scenari f i (x 1, x 2,..., x n, ω) è l impatto per il giocatore i indotta dalle mosse x 1,..., x n di tutti i giocatori e dallo scenario ω, ed è un numero reale ogni giocatore i ha una relazione di preferenza Π i sui possibili impatti che consiste nel massimizzare il valore dell impatto stesso Nel seguito consideriamo giochi con due giocatori, ognuno dei quali ha solo due mosse, convenzionalmente indicate con cooperare (C) oppure non cooperare (NC) con l altro giocatore. Indichiamo f 1 e f 2 con f e g, X 1 e X 2 con X e Y. Il guadagno del primo giocatore si può rappresentare con una tabella simile a quella mostrata in Figura 1.1, il guadagno del secondo giocatore con una tabella analoga mostrata in Figura 1.2. Per comodità, le due tabelle possono essere unificate in una sola (vedi Figura 1.3). Figura 1.1: Esempio Tabella Giocatore Uno Figura 1.2: Esempio Tabella Giocatore Due I concetti di cooperazione e non cooperazione sono etichette generiche, in parte arbitrarie, che diamo alle due strategie e l associazione fra etichetta e strategia dipende dai valori dei guadagni.

9 1.3 Equilibri di Nash 3 Figura 1.3: Esempio Tabella Unificata 1.3 Equilibri di Nash Gli equilibri di Nash sono soluzioni dotate di particolare proprietà che li rendono significativi. Definizione 1.1 (Equilibrio di Nash). Dato il gioco G = (X, Y, f, g), diremo che (x, y) X Y è un equilibrio di Nash per G se: f(x, y) f(x, y) per ogni x X g(x, y) f(x, y) per ogni y Y Il significato di queste disuguaglianze è il seguente: se le mosse giocate costituiscono le componenti di un equilibrio di Nash, nessuno dei giocatori ha interesse a cambiare mossa se tutti gli altri giocatori conservano la propria. Cioè un equilibrio di Nash esiste se, fissate le mosse degli altri, nessun giocatore vuole modificare la propria. In un gioco di coppia, si possono determinare facilmente gli equilibri di Nash. Si consideri la tabella del primo giocatore e si ponga in ciascuna colonna una freccia che va dal valore più piccolo al valore più grande, cioè si cerchi un possibile miglioramento della strategia del primo giocatore. In seguito, si consideri la tabella del secondo giocatore e si ponga in ciascuna riga una freccia che va dal valore più piccolo al valore più grande, essa rappresenta un possibile miglioramento della strategia del secondo giocatore. Sovrapponendo le due tabelle, se ci sono celle puntate da due frecce, questi sono gli equilibri di Nash. Vediamo l applicazione della metodologia in un esempio. Le Figure 1.4 e 1.5 mostrano una matrice delle utilità per il giocatore uno e il giocatore due, rispettivamente. Nella Figura 1.6 sovrapponiamo le due matrici e individuiamo i possibili equilibri di Nash, cioè i punti in cui le frecce si concentrano. In questo caso la mutua cooperazione è l unico equilibrio di Nash. Riprendendo la definizione di equilibrio di Nash e le disuguaglianze precedentemente esposte possiamo vedere che se il giocatore uno giocasse una

10 4 La Teoria dei Giochi Figura 1.4: Matrice delle utilità per il primo giocatore Figura 1.5: Matrice delle utilità per il secondo giocatore qualunque strategia a sua disposizione diversa dalla prima, a seguito della scelta del secondo giocatore di giocare la prima strategia, può solo peggiorare il proprio guadagno, passando da un utilità di 3 a un utilità di 1, e lo stesso ragionamento può essere fatto per ogni giocatore e per ogni strategia. Quindi se i giocatori raggiungono un equilibrio di Nash, nessuno può più migliorare il proprio risultato modificando solo la propria strategia, ed ciascuno è vincolato alle scelte degli altri. 1.4 I Giochi Competitivi Un gioco viene definito competitivo se ogni giocatore sceglie la propria strategia senza coordinare il proprio comportamento con quello degli altri giocatori.

11 1.4 I Giochi Competitivi 5 Figura 1.6: Sovrapposizione delle due matrici La Morra Cinese La morra cinese è un gioco in cui i giocatori prendono le proprie decisioni contemporaneamente e quindi senza un reale coordinamento. I due giocatori, contemporaneamente, scelgono una tra le tre mosse possibili: Sasso (S), Carta (C) o Forbice (F). Nel confronto, il Sasso batte la Forbice, ma a sua volta il Sasso viene battuto dalla Carta, le Forbici battono la Carta e scelte identiche tra i due giocatori portano al pareggio. È abbastanza intuitivo che la strategia ottimale per entrambi i giocatori, immaginando che ogni giocatore desideri massimizzare la differenza tra il numero di partite vinte e quelle perse, sia di scegliere a caso tra le tre mosse. Questa strategia equivale ad estrarre una delle tre mosse in base ad una legge che attribuisca probabilità 1/3 a ciauscuna di esse. Si può rappresentare il gioco con la matrice dei pagamenti (o payoff ) nella quale: 1 corrisponde alla vincita dell attore che gioca sulle righe 0 corrisponde al pareggio -1 corrisponde alla perdita del giocatore che gioca sulle righe La mossa del giocatore 1 corrisponde alla scelta di una riga e quella del giocatore 2 alla scelta di una colonna (Vedi Figura 1.7). Nella tabella non vengono riportati entrambi i payoff perchè, essendo la morra cinese un gioco a somma zero, i payoff per il secondo giocatore sono opposti a quelli per il primo giocatore. Nel caso della morra cinese non esiste nessun equilibrio di Nash Pari e dispari Un altro gioco in cui non esiste un equilibrio di Nash è pari e dispari, descritto nella Lettera Rubata di Edgar Allan Poe. Il gioco funziona nel seguente modo:

12 6 La Teoria dei Giochi Figura 1.7: Matrice dei pagamenti per il gioco della morra cinese il primo giocatore prende alcune palline in mano, il secondo giocatore deve indovinare se siano in numero pari o in numero dispari; se indovina, vince una pallina, altrimenti ne perde una. La Figura 1.8 mostra la matrice dei payoff relativa al gioco. Figura 1.8: Matrice Dei Pagamenti Per Il Gioco Pari E Dispari Ricerchiamo gli equilibri di Nash (vedi Figura 1.9). Figura 1.9: Equilibri Di Nash Pari E Dispari Il gioco non è simmetrico, e non presenta alcun equilibrio di Nash. Anche se utilizzassimo la tecnica del minimax non troveremmo nessun equilibrio perché per il primo giocatore il minimo in entrambe le righe nella prima tabella è

13 1.4 I Giochi Competitivi 7-1, mentre per il secondo giocatore il minimo di entrambe le colonne nella seconda tabella è ancora -1, quindi i due giocatori non possono simultaneamente realizzare il proprio minimax.

14 8 La Teoria dei Giochi

15 Capitolo 2 I giochi simmetrici 2.1 Definizione Un gioco viene definito simmetrico quando i due giocatori hanno lo stesso guadagno in condizioni analoghe, cioè: f CC = g CC f NN = g NN f CN = g NC f NC = g CN Le prime due condizioni sonno ovvie. Per le altre due basta ricordare che ad esempio f CN indica quello che guadagna il giocatore uno se egli collabora e il giocatore due non collabora, mentre g NC indica quello che guadagna il giocatore due se il giocatore uno non collabora mentre lui collabora, e quindi in entrambi i casi si ha il guadagno di un giocatore nel caso che esso collabori e l altro tradisca. Diamo una definizione di gioco simmetrico più rigorosa. Definizione 2.1 (Gioco simmetrico). Un gioco G = {N, X, u} a due giocatori N = {1, 2} si dice simmetrico quando X 1 = X 2 e f 1 (x 2, x 1 ) = f 2 (x 1, x 2 ) per ogni (x 1, x 2 ) X. Questo corrisponde a dire che la matrice dei payoff del secondo giocatore è la matrice trasposta della matrice del primo giocatore: B = A T (vedi Figura 2.1). Figura 2.1: Gioco Simmetrico Un ulteriore rafforzamento alla simmetria si ha nei giochi totalmente simmetrici (o doubly symmetric), nei quali i due giocatori hanno sempre gli stessi payoff. In questo caso, A = A T e quindi B = A (vedi Figura 2.2). 9

16 10 I giochi simmetrici Figura 2.2: Gioco totalmente simmetrico 01 CC CN NC NN 09 CC NN CN NC 17 NC NN CC CN 02 CN CC NC NN 10 NN CC CN NC 18 NN NC CC CN 03 CC NC CN NN 11 NN CN CC NC 19 NN CN NC CC 04 NC CC CN NN 12 CN NN CC NC 20 CN NN NC CC 05 NC CN CC NN 13 CC NN NC CN 21 NN NC CN CC 06 CN NC CC NN 14 NN CC NC CN 22 NC NN CN CC 07 CC CN NN NC 15 CC NC NN CN 23 NC CN NN CC 08 CN CC NN NC 16 NC CC NN CN 24 CN NC NN CC Tabella 2.1: Elenco dei 24 possibili giochi simmetrici a due giocatori con due mosse ciascuno Distinguiamo infine i giochi simmetrici in quantitativi e qualitativi. Nei giochi quantitativi è l importo assoluto dei guadagni che conta, mentre nei giochi qualitativi è solo il loro valore relativo. 2.2 Da 24 a 4 giochi Un gioco simmetrico qualitativo è completamente determinato dal modo in cui uno dei giocatori (ad esempio, il primo) ordina i quattro impatti f CC, f CN, f NC e f NN. Vi sono quindi tanti giochi simmetrici qualitativi quante sono le permutazioni di quattro valori: 4! = = 24 giochi. La Tabella 2.2 elenca i ventiquattro possibili giochi simmetrici a due giocatori e due mosse per giocatore. In realtà è possibile dimostrare che esistono solo sei giochi simmetrici. Infatti si possono: scambiare i nomi delle due strategie (per entrambi i giocatori contemporaneamente, altrimenti si perderebbe la simmetria!) scambiare i due giocatori (cioè considerare l ordinamento visto dal secondo giocatore anziché dal primo)

17 2.2 Da 24 a 4 giochi 11 In entrambi i casi, 12 giochi si trasformano negli altri 12. Applicando una o entrambe le trasformazioni, 6 giochi si trasformano negli altri 18. Possiamo scegliere i 6 giochi standard assegnando un significato concreto alle due strategie, cioè definendo cooperativa la strategia che soccombe quando giocata contro l altra e che fornisce i risultati migliori quando giocata contro sé stessa. Questo corrisponde alle ipotesi NC > CN e CC > NN. Se poi consideriamo solo gli equilibri di Nash, è possibile dimostrare che esistono solo quattro tipologie di giochi, di cui due speculari fra loro. Data la generica matrice dei payoff in Figura 2.3, infatti, se si sottrae la stessa quantità da tutti gli elementi di una colonna, la posizione degli equilibri non cambia per nulla (tutte le strategie peggiorano della stessa quantità: non c è motivo di cambiare quella scelta). Figura 2.3: Matrice delle utilità per un generico gioco simmetrico È lecito quindi sottrarre a 21 dalla prima colonna e a 12 dalla seconda, ottenendo quindi la matrice di Figura 2.4. Figura 2.4: Matrice delle utilità ottenuta sottraendo a 12 e a 21 Rinominando i valori come (a 11 a 21 ) = a 1 e (a 22 a 12 ) = a 2, si ottiene il gioco totalmente simmetrico di Figura 2.5. Quindi si possono considerare solo quattro possibili tipologie di giochi simmetrici a due giocatori. Analizziamo le quattro tipologie e i loro rapporti di dominanza. 1. a 1 > 0 e a 2 < 0, cioè (a 11 a 21 ) > 0 e (a 22 a 12 ) < 0: la prima strategia domina strettamente la seconda per ogni giocatore. In questo caso, esiste un solo equilibrio di Nash nel punto di mutua cooperazione (CC). Un esempio di questo gioco sarà il matrimonio perfetto.

18 12 I giochi simmetrici Figura 2.5: Matrice totalmente simmetrica ottenuta dalla generica matrice simmetrica 2. a 1 > 0 e a 2 > 0, cioè (a 11 a 21 ) > 0 e (a 22 a 12 ) > 0: ci sono due equilibri di Nash stretti simmetrici, giacenti sulla diagonale principale e corrispondenti alle strategie CC e NN. Un esempio di questo gioco sarà il gioco di coordinamento. 3. a 1 < 0 e a 2 < 0, cioè (a 11 a 21 ) < 0 e (a 22 a 12 ) < 0: nessuna strategia è dominata e ci sono due equilibri di Nash asimmetrici, giacenti sulla diagonale seondaria della matrice e corrispondenti alle strategie CN e NC. Esempi di questo gioco sono il gioco di anti-coordinamento e la guerra dei sessi. 4. a 1 < 0 e a 2 > 0, cioè (a 22 a 12 ) > 0 e (a 11 a 21 ) < 0: la seconda strategia domina strettamente la prima per ogni giocatore. In questo caso, esiste un solo equilibrio di Nash nel punto di mutua non cooperazione (NN). Un esempio di questo gioco sarà il dilemma del prigioniero. La Figura 2.6 mostra una classificazione grafica delle quattro tipologie. Nel capitolo seguente vedremo un esempio per ciascuno dei quattro tipi di gioco, e scopriremo che corrispondono a quattro diversi tipi fra i sei prima elencati. Nel capitolo successivo vedremo gli altri due giochi, scoprendo che dal punto di vista degli equilibri essi ricadono nelle categorie già viste.

19 2.2 Da 24 a 4 giochi 13 Figura 2.6: Classificazione delle quattro tipologie di gioco simmetrico

20 14 I giochi simmetrici

21 Capitolo 3 Esempi Di Giochi Simmetrici Questo capitolo espone un esempio per ciascuna delle quattro categorie di giochi simmetrici. 3.1 Tipo 1: il matrimonio perfetto Il gioco determinato da: CC > NC > CN > NN si chiama Matrimonio perfetto e descrive la situazione in cui più cooperazione c è, maggiore è la soddisfazione dei due giocatori. L ordinamento fra le possibili situazioni è: la cooperazione di entrambi i coniugi (CC) è la situazione migliore la seconda miglior situazione è che l altro coniuge cooperi e io no (NC) la terza soluzione è di cooperare con un coniuge che non coopera (CN) la situazione peggiore è che entrambi non cooperino (NN) Per esempio, assegnando i seguenti valori arbitrari agli impatti (f CC = 3, f NC = 2, f CN = 1 e f NN = 0), si ottiene la tabella del gioco mostrata in Figura 3.1. In questo gioco risulta esservi un solo equilibrio di Nash, che corrisponde alla mutua cooperazione (vedi Figura 3.2), unica strategia non dominata per entrambi. 15

22 16 Esempi Di Giochi Simmetrici Figura 3.1: Tabella del matrimonio perfetto Figura 3.2: Equilibri di Nash nel matrimonio perfetto 3.2 Tipo 2: la caccia al cervo Il gioco determinato da: CC > NC > NN > CN si chiama caccia al cervo. Il nome deriva da un passo di J.J Rousseau tratto dal Discorso sull origine delle disuguaglianze tra gli uomini (1755). L idea di Rousseau è che le società umane siano un evoluzione delle temporanee alleanze rese necessarie dalla caccia a grandi animali, sui quali un individuo isolato non potrebbe avere la meglio. Per cacciare un grosso animale, il cervo, è necessario essere almeno in due ed è richiesta la cooperazione di entrambi i giocatori (o cacciatori in questo caso); ma mentre si sta cacciando un cervo può capitare di vedere una lepre, la cui cattura, essendo un animale più piccolo, può essere condotta da un solo uomo. Il cacciatore viene così tentato di lasciare la caccia al cervo (difficile) per quella alla lepre (semplice): infatti, un cervo è meglio di una lepre ma una lepre è meglio di niente. La tentazione è rafforzata dal considerare che anche l altro cacciatore potrebbe abbandonare la caccia al cervo se vedesse la lepre. Il ragionamento di ciascun giocatore si può dunque riassumere nel seguente modo: la situazione migliore è la cooperazione (CC) di entrambi, perchè consente di prendere il cervo

23 3.2 Tipo 2: la caccia al cervo 17 se io non cooperassi sarebbe meglio che l altro continuasse a cooperare (NC), perchè se non prendessi la lepre potrei tornare a cacciare il cervo se il secondo cacciatore non cooperasse sarebbe meglio che anch io non cooperassi, perchè così anche io avrei la possibilità di prendere una lepre (NN) se il secondo cacciatore non cooperasse la cosa peggiore che potrei fare sarebbe di continuare a cooperare, perchè certamente non prenderei né il cervo né la lepre (CN) Assegnando dei valori arbitrari agli impatti (f CC = 3, f NC = 2, f CN = 0 e f NN = 1), si ottiene la tabella mostrata in Figura 3.3. Figura 3.3: Tabella della caccia al cervo Applicando la metodologia per la ricerca della equilibri di Nash ricaviamo che in questo gioco esistono due punti di equilibrio (vedi Figura 3.4). Ci sono Figura 3.4: Equilibri di Nash nella caccia al cervo dunque due possibilità simmetriche. La mutua cooperazione è un comportamento desiderabile perchè corrisponde a guadagni più alti per entrambi, ma la mutua non cooperazione è anch essa un equilibrio ed è meno rischiosa perché obbedisce al criterio del caso pessimo. Quindi sia la mutua cooperazione che

24 18 Esempi Di Giochi Simmetrici la mutua non cooperazione sono comportamenti razionali, e si sceglierà l una o l altra strategia in base ad altri fattori, come il livello di fiducia verso l altro giocatore. 3.3 Tipo 3: la corsa del coniglio Il gioco determinato da: NC > CC > CN > NN si chiama corsa del coniglio. Il nome deriva dal film con James Dean Gioventù Bruciata (1955). Il gioco si basa sulla sfida tra due giovani in cui ognuno guida un auto (rubata) a tutta velocità verso un precipizio e quello che salta fuori per primo è un coniglio, nel senso di fifone, e perde. Questo gioco è conosciuto anche con il nome di falchi e colombe e Bertrand Russell ne modificò il nome in Il senso comune e la guerra nucleare per descrivere la situazione di tensione tra USA e URSS. Infatti un esempio di questo gioco nella vita reale si trova nelle sfide, siano esse militari, politiche o economiche. In queste sfide uno dei due contendenti gioca il tutto per tutto nella speranza che l altro ceda, rischiando il comune disastro. Esempi storici sono: la crisi di Cuba, la corsa agli armamenti, lo spiegamento dei missili SS-20 in Europa, la guerra del Golfo... Il ragionamento di ciascun giocatore si può dunque riassumere nel seguente modo: la situazione migliore è che io non cooperi e l altro giocatore sì (NC), perché così io vinco e lui è un coniglio se io coopero, sarebbe meglio che anche lui cooperasse (CC), perché così faremmo entrambi la figura del coniglio se lui non coopera, è meglio che io cooperi (CN), perché eviterei di cadere nel precipizio l ipotesi peggiore è che entrambi non cooperiamo (NN), perchè sarebbe la mutua distruzione Assegnando dei valori arbitrari agli impatti (f CC = 2, f NC = 3, f CN = 1 e f NN = 0), si ottiene la tabella mostrata in Figura 3.5. Applicando la metodologia per la ricerca degli equilibri di Nash ricaviamo che in questo gioco esistono due punti di equilibrio (vedi Figura 3.6). Nonostante esistano ben due equilibri di Nash non esiste una strategia razionale per il gioco, nel senso che gli equilibri di Nash portano a soluzioni

25 3.4 Tipo 4: il dilemma del prigioniero 19 Figura 3.5: Tabella della corsa del coniglio Figura 3.6: Equilibri di Nash nella corsa del coniglio che sono razionali solo per un giocatore, mentre la simmetria del gioco vuole che una soluzione sia razionale per entrambi. Questo è un gioco in cui non si vince (e sembrerebbe anche logico), anche se la mutua collaborazione sembrerebbe la soluzione meno irrazionale. 3.4 Tipo 4: il dilemma del prigioniero Il gioco determinato da: NC > CC > NN > CN si chiama dilemma del prigioniero. Il nome deriva da una ricerca di Merrill Flood e Melvin Dresher sulla teoria dei giochi, promossa dalla Rand Corporation (Applicazioni ad una strategia nucleare globale (1950)). Il nome si deve invece ad Albert Tucker. Il dilemma si basa sulla seguente storia: due ladri, sospettati anche di un efferato delitto, vengono arrestati e imprigionati in due celle separate. Il giudice ha prove sufficienti per dimostrare che i due sono colpevoli del reato minore, ma per infliggere una pena più severa avrebbe bisogno della confessione. Il giudice offre quindi ai due ladri, mantenuti rigorosamente isolati, uno sconto di pena a chi accettasse di testimoniare contro l altro (in tal caso la pena di quest ultimo aumenterebbe e la propria verrebbe ridotta). Ogni giocatore vuole minimizzare il tempo da trascorrere in carcere e può scegliere tra due azioni: confessare oppure non confessare, senza sapere che cosa stia scegliendo l altro. Chi ha confessato viene considerato un pentito prezioso e subirà una condanna molto lieve, ma quello che non ha confessato andrà in carcere per il massimo della pena. Se entrambi confessano avranno, con la concessione di alcune attenuanti generiche, come pena la reclusione per 5 anni.

26 20 Esempi Di Giochi Simmetrici Se entrambi tacciono, saranno imprigionati per un solo anno a causa del solo reato minore. Il ragionamento di ciascun giocatore si può dunque riassumere nel seguente modo: la situazione migliore è che io parli e l altro no (NC), in questo modo minimizzo la mia pena la seconda migliore ipotesi è che nessuno di noi parli (CC), perché così entrambi saremmo condannati a una pena lieve se l altro giocatore decide di parlare è meglio che anche io parli (NN), perché così verremmo entrambi condannati a una pena ridotta la peggiore delle ipotesi è che solo l altro parli (CN), perché in questo modo solo io sarei condannato alla massima pena Assegnando dei valori arbitrari agli impatti (f CC = 2, f NC = 3, f CN = 0 e f NN = 1), si ottiene la tabella mostrata in Figura 3.7. Figura 3.7: Tabella del dilemma del prigioniero Applicando la metodologia per la ricerca della equilibri di Nash ricaviamo che in questo gioco esiste un solo punto di equilibrio (vedi Figura 3.8) che corrisponde alla mutua non cooperazione, unica strategia non dominata. Figura 3.8: Equilibrio Di Nash Nel Dilemma Del Prigioniero Benché la soluzione sia necessaria, ad essa si accompagna un dilemma. Infatti, da un lato la non cooperazione è la sola possibilità razionale in quanto

27 3.4 Tipo 4: il dilemma del prigioniero 21 non dominata, dall altro però la cooperazione è più desiderabile (perché f CC > f NN ). A favore della cooperazione sembra andare il seguente ragionamento: essendo il gioco totalmente simmetrico il comportamento razionale deve essere o CC o NN, ed il primo è preferibile al secondo. L errore sta nel supporre che sia CC che NN siano possibilità razionali, mentre il problema della teoria dei giochi sta appunto nel determinare quali siano tali possibilità, e poi scegliere fra loro. Il dilemma formalizza quindi un conflitto fra razionalità e interesse, che sembra essere tipico di molte situazioni concrete. Il dilemma del prigioniero risulta essere in assoluto il gioco più studiato.

28 22 Esempi Di Giochi Simmetrici

29 Capitolo 4 Altri esempi di giochi simmetrici In questo capitolo vengono esposti ulteriori esempi di giochi simmetrici, nella quale non si richiede più che la cooperazione dell altro giocatore sia necessariamente vantaggiosa. 4.1 Gioco Di Coordinamento La descrizione del gioco definito gioco di coordinamento è la seguente: due agenti devono scegliere simultaneamente la strategia di gioco; pensiamo ad esempio a due facchini che devono spostare un peso e devono decidere se spingere o tirare, se entrambi facessero lo stesso andrebbe tutto ok, se facessero l uno il contrario dell altro sarebbe solo uno spreco di forze. Se scelgono la stessa strategia il loro payoff è positivo, altrimenti è nullo. Se entrambi scelgono la strategia A ciascuno prende 5. Se entrambi scelgono la strategia B, ciascuno prende 10. La tabella del gioco diventerebbe quella mostrata in figura 4.1. Figura 4.1: Tabella Del Gioco Coordinamento Applicando la metodologia per la ricerca degli equilibri di Nash ricaviamo che in questo gioco esistono due punti di equilibrio (vedi Figura 4.2). 23

30 24 Altri esempi di giochi simmetrici Figura 4.2: Equilibri Di Nash Nel Gioco Di Coordinamento Non ci sono quindi strategie dominanti, anche se nel secondo punto di equilibrio (BB) i giocatori massimizzano la loro soddisfazione. 4.2 La Guerra Dei Sessi Un altro gioco interessante (determinato da: NC > CN > NN > CC ) si chiama guerra (o battaglia, o lotta) dei sessi. La descrizione del gioco è la seguente: due innamorati hanno deciso di trascorrere la serata insieme. Prima che la batteria del cellulare di lui si scaricasse, i due stavano discutendo animatamente. Lui cercava di convincere lei ad andare a vedere la partita di calcio, lei invece cercava di portarlo a un balletto classico. Entrambi, comunque, preferiscono uscire insieme piuttosto che rimanere separati, visto che la solitudine renderebbe non interessante anche lo spettacolo più gradito. Il ragionamento di ciascun giocatore è il seguente: La cosa migliore è che entrambi andassimo dove voglio io (NC) La seconda alternativa è che entrambi andassimo dove vuole l altro, perché almeno staremmo insieme (CN) Se però non ci dovessimo incontrare, sarebbe meglio che ciascuno andasse dove vuole andare (NN) Se non ci dovessimo incontrare, la cosa peggiore sarebbe andare ciascuno dove vuole l altro (CC) Assegnando dei valori arbitrari ai possibili stati di cooperazione e non cooperazione come: CC = 0 NC = 3 CN = 2 NN = 1

31 4.2 La Guerra Dei Sessi 25 Figura 4.3: Tabella Guerra Sessi La tabella del gioco diventerebbe quella mostrata in figura 4.3. Applicando la metodologia per la ricerca degli equilibri di Nash, ricaviamo che in questo gioco esistono due punti di equilibrio (vedi Figura 4.4). Figura 4.4: Equilibri Di Nash Nella Guerra Dei Sessi Gli equilibri di Nash risultano essere nei punti CC e NN. Si noti che, a differenza del dilemma del prigioniero, qui non esiste una soluzione che entrambi sceglierebbero potendosi parlare, come era (NC,NC) nel dilemma del prigioniero. Questo perché i due hanno visioni diverse. Possiamo tuttavia osservare che sia NC che CN sono risultati ragionevoli. Prendiamo ad esempio il caso in cui entrambi finiscano al balletto. Lui potrebbe ragionare nel seguente modo: se sapessi che lei è andata al balletto sarebbe inutile che io andassi alla partita da solo; quindi vado anche io al balletto. E ovviamente la stessa cosa la può pensare lei, e assistere entrambi alla partita.

32 26 Altri esempi di giochi simmetrici