Modelli di utilità aleatoria

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1 Corso d Teora de Sstem d Trasporto + prof. ng. Antono Com gugno 9

2 Struttura del sstema d modell per la smulazone de sstem d trasporto Modell d offerta OFFERTA DI INFRASTRUTTURE E SERIZI DI TRASPORTO MODELLO DI LOCALIZZAZIONE E LIELLO DELLE ATTIITÀ SISTEMI DELLE ATTIITÀ MODELLO DI OFFERTA Ret d trasporto Attrbut d lvello d servzo (temp, cost MODELLO DI DOMANDA Fluss MODELLI DI ASSEGNAZIONE MATRICI OD Funzon d prestazone alutazone effett MODELLO DEL SISTEMA DI TRASPORTO

3 ( Ipotes general I modell d utltà aleatora (o casuale s basano sulla potes ce ogn utente sa un decsore razonale ovvero un massmzzatore dell utltà relatva alle propre scelte: a Il generco decsore nell effettuare la scelta consdera tutte le m alternatve dsponbl ce costtuscono l suo nseme d scelta I. L nseme d scelta può essere dfferente per utent dvers. b Il decsore assoca a cascuna alternatva del suo nseme d scelta una utltà o attrattvtà percepta U e scegle l alternatva ce massmzza tale utltà. 3

4 ( Ipotes general c L utltà assocata a cascuna alternatva d scelta dpende da una sere d caratterstce msurabl o attrbut propr dell alternatva stessa e del decsore U = U (X con: X = vettore degl attrbut relatv all alternatva e al decsore. d L utltà assocata dal generco decsore all alternatva non è nota con certezza all osservatore esterno (analsta, e pertanto è rappresentata come una varable aleatora. 4

5 Modello probablstco d scelta p I Pr U U, I posto: Utltà sstematca U I ar U E U, Resduo aleatoro s a: E U ar E ar, p I Pr, I 5

6 Esempo Scelta del percorso Inseme delle alternatve I A, B v A = 3 m v B = 5 m d = m O A U A = U (X A D decsore B U B = U (X B p I Pr U U, I 6

7 Espressone dell utltà sstematca L utltà sstematca rappresenta la meda dell utltà percepta fra tutt gl ndvdu ce anno gl stess valor degl attrbut. È espressa come funzone d attrbut relatv alle alternatve e al decsore: con ndce del generco attrbuto. X In genere per ragon d convenenza analtca s assume ce la utltà sstematca sa una funzone lneare ne coeffcent b degl attrbut o d loro trasformazon funzonal: T b X X b X 7

8 Esempo Scelta del percorso Attrbut Attrbut lvello d servzo tempo d vaggo costo d vaggo Attrattvtà del percorso confort pacevolezza.. 8

9 Esempo Scelta del percorso Utltà percepta e sstematca UA A A A E U A,A ar U A UB B B B E U B,B ar U B Tempo d vaggo b X b T b C A A A A B b B b B b B X T C Costo d vaggo 9

10 Classfcazone degl attrbut (3 Attrbut d lvello d servzo: attrbut propr del sstema d trasporto (es. temp, cost, frequenza de servz, comfort etc.. Attrbut del sstema d attvtà: attrbut dpendent dall uso del terrtoro dell area d studo (es. numero d negoz o numero d scuole d una zona. Attrbut soco-economc: attrbut propr dell utente o del suo nucleo famlare (es. possesso d patente, numero d autovetture possedute n famgla etc..

11 Classfcazone degl attrbut (3 Attrbut generc: attrbut ce compaono con stessa forma funzonale e stesso coeffcente n pù d una alternatva. Attrbut specfc: attrbut ce compaono con forme funzonal eo coeffcent dvers n dverse alternatve.

12 Classfcazone degl attrbut (33 Attrbuto Specfco dell Alternatva (ASA: rappresenta attrbut non esplctamente consderat nella funzone d utltà (dfferenza fra l utltà meda e quella spegata dagl altr attrbut utlzzat.

13 Esempo Scelta modale Inseme delle alternatve I ped, auto, bus ped = b t p auto = b t pa + b t ba + b 3 c a + b 4 DISP + b 5 REDD + b 6 AUTO bus = b t pb + b t bb + b 3 c b + b 7 t wb + b 8 BUS Attrbut Specfc della Alternatva AUTO BUS Attrbut d Lvello d Servzo t b = tempo a bordo (generco t w = tempo d attesa alla fermata (specfco t p = tempo a ped (generco c = costo monetaro (generco Attrbut Soco-Economc DISP = n auton patentat REDD = se reddto> 3. ; altrment 3

14 Cause d aleatoretà dell utltà percepta ( Error dell analsta Approssmazon nella msura degl attrbut consderat nella funzone d utltà sstematca (es. attrbut d lvello d servzo rcavat con un modello d rete Attrbut omess: varabl non osservabl drettamente, d dffcle valutazone o comunque non ncluse nel vettore d attrbut (es. comfort d marca, affdabltà del tempo totale d vaggo 4

15 Cause d aleatoretà dell utltà percepta ( Error d c scegle arazon d gust o d preferenze fra decsor (es. dstanza da percorrere a ped e, per lo stesso decsore, nel tempo a causa del verfcars d dverse condzon fsce o pscologce. Error nelle valutazone degl attrbut da parte del decsore (es. valutazon errate del tempo d vaggo. 5

16 Inseme d scelta L nseme delle alternatve dsponbl I probabltà d scelta delle stesse condzona sgnfcatvamente la Se tale nseme non è noto all analsta (o non s può assumere come tale deve essere smulato: modellzzazone mplcta dell nseme d scelta: vene smulata la percezonedsponbltà d una alternatva mplctamente nel modello d scelta d tale alternatva (es. ntroduzone nella funzone d utltà d varabl d percezone come la dsponbltà dell auto modellzzazone esplcta dell'nseme d scelta: vene smulata la generazone del coce-set (nseme d scelta esplctamente n un modello separato 6

17 Inseme d scelta Modellzzazone esplcta con: p C generco coce-set G nseme costtuto da tutt possbl coce-set non vuot per l ndvduo. p (C probabltà congunta ce s verfc l evento: C = coce set dell ndvduo = alternatva scelta dall ndvduo p C p C p C CG CG p (C probabltà ce l ndvduo scelga l alternatva essendo C l suo coce set p (C probabltà ce C sa l coce set dell ndvduo. 7

18 Il modello Logt ( Ipotes: resdu aleator Indpendentemente ed Identcamente Dstrbut (I.I.D secondo una varable aleatora (v.a. d Gumbel con meda nulla e parametro a : F ε ( x Prob( ε x exp exp( x Φ con f : costante d Eulero (f.577. E ( ε = ar ( ε = σ ε π 6 Cov(,, I F U ε U Prε U exp exp( ( U ( U Pr Φ E ( U ar( U π 6 8

19 9 m p exp exp ( Il modello Logt ( D C B A 6 π D C B A ε o A B C D

20 Esemp d funzon d denstà d probabltà d Gumbel

21 Propretà delle varabl d Gumbel Propretà della stabltà rspetto alla massmzzazone: Il massmo d varabl d Gumbel ndpendent e d uguale parametro q è ancora una varable d Gumbel d parametro q a. U G(, q U M =max U G( M, q con: M E(U M q log exp( q (utltà nclusva Y log exp ( q (varable log-sum

22 Propretà delle varabl d Gumbel Dmostrazone F U M (u Prob U u Probmax U M,,N u Prob ndpendenza delle U U u F u exp exp u,,n,,n U,,N exp f exp u q exp q exp exp u q f exp q f M

23 Modello logt multnomale p( m exp( exp( q q exp ( q q = a caso bnomale: p( A exp( A q exp( q exp( q exp ( q A B B A P(A q =.5 q = q = q =.5 q =.5 q = B - A

24 Modello addtvo nvaranza rspetto all aggunta d costant ' m m m exp exp exp exp exp exp exp exp p( ( ( q q q q q q q q (propretà valda per tutt modell addtv attrbut specfc dell alternatva (ASA possono comparre n tutte le alternatve meno una CSA ' b b m ' exp ' exp ' exp ' exp ' exp p( q b b q q q b q b + (( + ( ( ( (

25 Indpendenza delle Alternatve Irrlevant (I.I.A. Nel modello Logt l rapporto delle probabltà d scelta d due alternatve è costante ed ndpendente dal numero e dalla utltà sstematca delle altre, eventual, alternatve d scelta: p p exp exp q q Questa propretà può comportare de problem quando le alternatve sono sml Auto Busblu p Auto pbus blu.5 p p Auto Bus blu p Auto Busblu Bus rosso Auto pbus blu pbus rosso.33 p p Auto Bus blu

26 Esempo Scelta del percorso Modello Logt Multnomale,.. d A B. G q E ( A = ar ( A = 6a E ( B = ar ( B = 6a Cov(, Cov(, A B B A p A p B a A A B a B exp a exp a exp a q exp a exp a exp a q A B b T b C b T b C A A A B B B 6

27 Esempo Scelta del percorso O B A I temp espress n mnut e cost n Euro. D I A,B exp a A v A = 3 m v B = 5 m d = m.t.93c.t.93c A A A B B B p(a p(b = p(a exp a exp a A B T A = C A =.86 A = -5.6 T B = 4 C B =.3 B = p A p B

28 Esempo Scelta del percorso Indagne su utent: A 7 utent B 73 utent a. Aumento del costo del percorso A del 5% T A = C A =.4 A = -6. T B = 4 C B =.3 B = -4.6 p A.8 p B.8 D A -34% D B 3% 8

29 Appendce 9

30 Il modello Logt Gerarczzato a lvello U I E E E o, q q con: p p p p p p probabltà d scelta dell alternatva probabltà d scelta dell alternatva dato l gruppo probabltà d scelta del gruppo 3

31 3 Probabltà d scelta dell alternatva dato l gruppo [p(] I U,, I prob( U prob(u p( Ipotes: resdu delle alternatve dsponbl ad ogn nodo d decsone sono I.I.D. Gumbel, I π τ ar, I = τ E, I G τ 6 ( (, I p exp( exp( (

32 3 Probabltà d scelta del gruppo [p(] ( I I * max max U U I I * * Y exp( ln max E E U a a a * * * ε Y η τ θy U G τ *, ε ε Y Y prob U U prob p ( ( ( * * * * propretà d stablta rspetto alla massmzzazone della v.a. d Gumbel

33 Probabltà d scelta del gruppo [p(] ( Ipotes: resdu delle alternatve dsponbl ad ogn nodo d decsone sono I.I.D. Gumbel * ε G E ε ar = ε π 6 * o *, con: ar p( exp( Y exp( Y o exp( δ Y exp( δ Y * ε ar τ δ 33

34 34 Probabltà totale d scelta dell alternatva [p(] I δy δy p p p exp( exp( exp( exp( π ε ar ε ar * 6, ar E E E E E, Cov π τ ar ε ar η ar 6

35 Matrce varanza-covaranza La matrce varanza-covaranza de resdu aleator del modello Logt Gerarczzato a una struttura dagonale a blocc. o, q o q q Auto Moto Ped Bus Metro π 6 Auto Moto Ped o o o o Bus o Metro o o o o Auto Moto Ped Bus Metro 35

36 36 Modello Probt Ipotes:, MN E ar Cov ( ( ( m m m m m m m m U U N T U U U..dU du det ( ( ( exp ( p m U U

37 arable d soddsfazone U max U I ( S E U ( E max U E max ε max ε f εdε I Propretà della var. d soddsfazone per modell addtv: max s s( p( se I.I.D Gumbel (,a: A B A = 5 B = 7 log exp ( s 37 A = 5 B = 7 S= 7.7 S= 7.7 A A B B C A = 5 B = 7 A = 5 B = 7 C = 4 S= 7,7 S= 7.7 a exp( a log exp ( a exp( a a p( a exp( a exp( a

38 Esempo numerco d Nested Logt (NL IND COL IND AUTO ( COL BUS BUS TRAM COL TRAM AUTO BUS TRAM p( p( p( p( J exp( q exp( q p( exp( Y exp( Y p( BUS COL exp( bus exp( bus q q exp( tram q Y Y Col Ind exp( q exp( q ln exp( q ln( q ln ln bus exp( q q auto tram

39 Esempo numerco d Nested Logt (NL p(col exp( Y exp( Y Col Col exp( Y Ind exp( ln exp( ln bus q q exp( o bus o auto q o exp( ln exp( ln p( col 3 p( col p( bus 3 3 p( bus 4