IL MODELLO A 4 STADI (Capitolo 3)

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1 Facoltà d Ingegnera - Unverstà d Bologna Anno Accademco: 00/ TECNICA ED ECONOMIA DEI TRASPORTI Docente: Marno Lup IL MODELLO A 4 STADI (Captolo )

2 Modello a 4 stad per la determnazone della domanda d trasporto n area urbana S suddvde la scelta totale del vaggo ( se muovers o meno, verso quale destnazone, con quale modo d trasporto, lungo quale tneraro) n una successone d scelte parzal. Modello d emssone o generazone Modello d dstrbuzone Modello d scelta del modo d trasporto Modello d scelta dell tneraro M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna

3 Tpo d approcco prevalente nella modelzzazone della domanda ne var stad Modello d emssone o generazone Approcco descrttvo Modello d dstrbuzone Modello d scelta del modo d trasporto Modello d scelta dell tneraro Approcco descrttvo e comportamentale Approcco comportamentale Approcco comportamentale M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna

4 D ( h, s, o, d, m, k) n ( o) p ( osh) p ( d / osh) p ( m / dosh) p ( k / mdosh) : categora d utent consderata. Per esempo: attv (lavorator) resdent n o per movment casa-lavoro; student resdent n o per movment casa-scuola. h : ntervallo temporale. Per esempo: ora d punta del mattno (7-9), oppure gornata ferale meda. s: motvo dello spostamento. Per esempo: casa-lavoro; casa- scuola; casa- acqust. od: coppa d zone orgne-destnazone. m: modo d trasporto. Per esempo: autovettura, autobus, bccletta, a ped. k: percorso. In generale fra una certa coppa d zone od ho pù tnerar con un certo modo (per esempo se m sposto con l modo ndvduale). M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 4

5 D ( h, s, o, d, m, k) n ( o) p ( osh) p ( d / osh) p ( m / dosh) p ( k / mdosh) Modello d generazone (o d emssone) D D ( osh) n ( o) p ( osh) (osh) Numero d utent della categora che s sposta nell ntervallo d tempo h, per l motvo s, dalla zona o. n (o) Numero d appartenent alla categora che sono n o. p (osh) percentuale d utent che s sposta: ndca l numero medo d spostament d utent della categora, nell ntervallo h, per l motvo s, partendo dalla zona o. Per esempo: percentual d attv (lavorator), resdente n o, che s sposta, nell ora d punta del mattno, per l motvo casa- lavoro. M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 5

6 p m (osh) (osh) Ho defnto una percentuale, numero mnore d, ma n realtà se h è ampo, per esempo tutta una gornata, un utente s può spostare da o pù volte. Percò, pù propramente, parlo d ndce d emssone per la categora ( m può essere maggore d ). Modello d generazone D ( osh) n ( o) m ( osh) M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 6

7 Modello d dstrbuzone D ( h, s, o, d, m, k) n ( o) p ( osh) p ( d / osh) p ( m / dosh) p ( k / mdosh) p ( d / osh) Il modello d dstrbuzone fornsce la percentuale d ndvdu d categora che, spostandos nel perodo d tempo h, per l motvo s, da o, s recano nella zona d destnazone d. M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 7

8 D Modello d scelta modale ( h, s, o, d, m, k) n ( o) p ( osh) p ( d / osh) p ( m / dosh) p ( k / mdosh) p ( m / dosh) Il modello d scelta modale fornsce la percentuale d ndvdu d categora che spostandos, nel perodo d tempo h, per l motvo s, fra o e d, scegle l modo d trasporto m. M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 8

9 D Modello d scelta modale ( h, s, o, d, m, k) n ( o) p ( osh) p ( d / osh) p ( m / dosh) p ( k / mdosh) p ( k / mdosh) Il modello d scelta del percorso fornsce la percentuale d ndvdu d categora che spostandos, nel perodo d tempo h, per l motvo s, fra o e d, con l modo m, scegle l tneraro k. M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 9

10 MODELLO DI EMISSIONE Indc d emssone per categora. Spostament med gornaler stmat n 5 cttà talane d mede dmenson. Valor stmat su base ndagne camponara (molto dettaglata, numerose categore e motv consderat). Motvo Categora Casa-lavoro Attvo settore ndustra Attvo settore servz Attvo settore servz prvat Attvo settore servz pubblc Casa-scuola Alunn scuole elementar Student scuole mede nferor Student scuole superor Student sttut professonal Indce d emssone,04,084,45 0,9 0,84 0,87 0,86 0,88 0

11 Motvo Categora Indce d emssone Indc d emssone per categora. Spostament med gornaler stmat n 5 cttà talane d mede dmenson. Casa-acqusto ben non durevol Casa-acqusto ben durevol Casa-servz personal Famgla 0,5 Famgla 0, Famgla 0,6 Valor stmat su base camponara (molto dettaglata, numerose categore e motv consderat). Casa-svago Famgla 0,7 Casaaccompagnam ento persone Famgla 0, Casa-altro Famgla 0,

12 Modello d generazone: altro approcco Invece d stmare drettamente l ndce d generazone per categora stmo un modello n cu l ndce dpende da alcun attrbut. modello d regressone per categora m β β + n( osh) xn + xn n per esempo: reddto d n β n-esmo utente resdente n o x che appartene alla categora (per esempo attvo servz prvat) Per esempo: numero d auto nel gruppo famlare d n Modello d domanda descrttvo, ma dsaggregato (nello stmarlo consdero l sngolo utente). M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna

13 β, β, β coeffcent mn ( osh) β xn + βxn + βnxn del modello da stmare Intervsto numeros utent (n,.t) a cu chedo l numero d movment nel gorno ferale medo, e d cu conosco: m n x n (reddto), xn(numero d auto possedute nel gruppo famlare). Ponendo al solto la varable dpendente m n yn ottengo l solto modello d regressone lneare y βx + βx y βx + βx yn βxn + βx yt βxt + βx Modello d regressone per categora n T + β x + β x + β x + β x... n... T T utent ntervstat Calbrare l modello sgnfca: dat y,... y T e dat xn, x n, xn ( n,,... T), β, β e β (spostament fatt dagl utent) (attrbut dell' utente n) rcavare coeffcent

14 Vantagg della stma d un modello rspetto ad una stma dretta della domanda (osservazone generale) Stmando un modello: mn ( osh) β xn + βxn + βxn nvece d stmare gl ndc drettamente (osh) (Indagne camponara dretta: ved tabelle sulle 5 cttà talane d mede dmenson) ho seguent vantagg: - Capsco da qual attrbut, e n quale msura, dpende la domanda d trasporto, (n questo caso la generazone degl spostament): reddto, n. auto possedute n famgla, sesso dell utente, età,.. Aspetto molto mportante: comprensone del fenomeno (consdero l punto d vsta quanttatvo, sempre mportante da un punto d vsta ngegnerstco). - Posso fare proezon al futuro sulla domanda (n questo caso generazone degl spostament), sulla base d prevson sugl attrbut: varazon del reddto, dell ndce d motorzzazone, dell età della popolazone 4 m n

15 MODELLO DI DISTRIBUZIONE Modello gravtazonale (descrttvo) D od k P A β θ o d od t Po Ad : : Potenzale generatvo - Es: popolazone attva (che lavora) resdente n o Potenzale attrattvo - Es: addett della zona d (persone che lavorano n d) tod : Tempo d spostamento da o a d Nella pratca, spesso, semplcemente: dstanza n lnea d ara da o a d (esprme la resstenza allo spostamento) M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 5

16 D od k P A β θ o d od t D P od o β θ k Ad tod Domanda espressa n termn pro capte (spostament per resdente attvo della zona o) Per calbrare l modello (determnare coeffcent ncognt, k, β eθ ) lnearzzo l modello consderando logartm: Dod ln ln k + β ln Ad θ lntod P M rduco al solto modello d o regressone lneare a cu s yc β xc + βxc + βx rducono generalmente modell c d domanda d tpo descrttvo. Utlzzerò l metodo de mnm quadrat per stmare coeffcent (parametr) ncognt (parte del corso sul calcolo della domanda). 6

17 Però n realtà D k P A T è un modello d generazone e od o α d γ od dstrbuzone degl spostamento: ossa copre entrambe prm due stad del modello a 4 stad: Modello d emssone o generazone Modello d dstrbuzone Voglo un modello d sola dstrbuzone, da applcare a valle d un modello d generazone: Modello gravtazonale semplcemente vncolato M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 7

18 Modello gravtazonale semplcemente vncolato Dal modello d generazone ho l numero d utent che escono dalla zona (centrode o): lo chamo: Oo Impongo l vncolo: D oj O j β θ k P o o Aj toj Oo j k P o j O A o β θ toj j Da cu segue: D od β θ k Po Ad tod D od O o j A t β θ d od β θ Aj toj Formulazone alternatva del modello d dstrbuzone semplcemente vncolato, basata sulla funzone esponenzale, nvece che su quella d θ potenza ( t od ): β θ tod Ad e Dod Oo β θ toj A e j j 8

19 Approcco comportamentale al modello d dstrbuzone Inseme d scelta: l nseme delle destnazon nella rete Modello logt applcato alla scelta della destnazone p( d / osh) e j α V e d α V j p( d / osh) Probabltà d sceglere la destnazone d, dato che l utente esce dalla zona o, nell ntervallo h, per l motvo s. Scelgo una componente sstematca dell utltà V d avente questa ' ' forma: V β ln A + lnt d d β od α V α β ln A + lnt ln A + d parametr d ' ' d α β od β d β ' ' ( β α β ; β α β ; ossa la stma α V d dell'utltà ha una espressone lneare) d lnt :questo s verfca sempre se la componente sstematca od vene conglobata n quella de 9

20 p( d / osh) e j ln A e β d ln A e β j lnt e β od lnt e j β oj α V e d α V j e j β ln A e d β ln A + β lnt j od + β lnt oj Totaltà d utent uscent dalla zona o La domanda meda sarà data da: D O p( d / osh) D od p( d / osh) O o j β β d od β β Aj toj od E uguale al modello gravtazonale semplcemente vncolato ottenuto con un approcco descrttvo β β; β ) ( θ A O o t A j t β β d od β β Aj toj o j e β ln A e d e β ln A j β lnt e od β lnt Probabltà d sceglere la destnazone d D od O o j A t oj β θ d od β θ Aj toj 0

21 Per ottenere con un approcco comportamentale l modello gravtazonale semplcemente vncolato con la funzone esponenzale: D od O o j A β d A e β j θ t e od θ t oj Basta che scelga una componente sstematca dell utltà d questo tpo: ' ' V β ln A + βt d d od V d Approcco descrttvo Approcco comportamentale Stesso tpo d modello (modello d dstrbuzone gravtazonale semplcemente vncolato) Conferma della valdtà d entramb gl approcc. M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna

22 Valor stmat per parametr: Modello Motvo β e β A d β β Casa-lavoro (C-L) Addett settore ndustra,0-0,70 A j t β β d od β β Aj toj Addett settore servz 0,9-0,70 Addett settore servz prvat 0,9-0,8 Addett settore servz pubblc 0,9-0,58 Casa-scuola (C-S) Alunn scuole elementar 0,90 -,5 Student scuole mede nferor 0,95 -,4 Casa-servz personal (C- SP) Casaaccompagnamento persone (C- AP) Casa-Acqusto Ben (C-AB) Student scuole mede,00-0,5 superor Addett servz 0,9-0,78 Stud. scuole elem. e mede 0,0 -,5 nferor Addett commerco,6 -,54

23 Modello d scelta modale Approcco comportamentale: prm modell d tpo comportamentale utlzzat nel campo de trasport sono stat applcat alla scelta modale Inseme d scelta I trasporto pubblco (caso semplce) trasporto prvato Inseme d scelta I (caso pù dettaglato) auto come conducente auto come passeggero autobus motocclo bccletta a ped M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna

24 4 Modello logt multnomale: ho pù d due alternatve d scelta j V V j e e p α α k k x x x V ' ' '..... β β β k k x x x V β β β α ' ' '...,,..., : pongo k β k αβ αβ β αβ β Nel caso d forma lneare per l utltà sstematca,, la stma del parametro della logt è conglobata nella stma de parametr dell utltà sstematca V d α j x x x x x x jk k j j k k e e p β β β β β β......

25 Modello logt bnomale: ho due alternatve d scelta p prv e β x prv + β x prv e β x prv β x k + β x prvk prv β x e β x pubb pubb pubbk β β β β4 β5 β6 k prvk + β x β x k V prv Utltà trasp. prvato Utltà trasp. pubblco Tempo a bordo (mn.) V pubb X X X X X X prv, prv, X pubb, Tempo a bordo (mn.) prv, Tempo non a bordo (mn.) Tempo non a bordo (mn.) prv, Costo vaggo (carb +ped) X pubb, pubb, Tarffa del trasp. pubb. prv,4 Reddto prv,5 Numero d auto n famgla (attrbuto d pref. modale) X X 0 X 0 X pubb, 0 pubb, 4 pubb,

26 Utltà trasp. prvato Utltà trasp. pubblco (autobus) Stma del coeffce nte Area metropoltana d Washngton; modello logt bnomale V X prv, prv V pubb β β β β4 β5 β6 β7 X pubb, X X X X X prv, Tempo a bordo (mn.) 0 Tempo a Bordo (mn.) prv, Tempo non a bordo (mn.) X pubb, pubb, Tempo non a bordo (mn.) prv,4 Costo del vaggo (cents)(o ut-ofpocket) 0 prv,5 0 Tarffa del trasp. Pub. (cents) prv,6 Numero d auto n famgla X prv,7 posto d lavoro n centro; 0 posto d lavoro no centro X X X X pubb,4 pubb,5 pubb,6 X pubb,6 0 0,454-0, ,008-0,05-0, ,770-0,56 6

27 Component sstematche dell utltà del modello Vprvato 0,00897t prv bordo 0,008 t prv no bordo 0,05 cprv + 0, 770 na - 0,56centro +,454 V 0,00897 t 0,008 t 0, pubblco pubb bordo pubb no bordo c pubb M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 7

28 Logt Multnomale per la scelta del modo d trasporto - Cttà d Parma 8

29 -,64-0,669 0,6646 0,686,857 -,469 0,49 6,404-0, , ,787 ped bc cclo moto auto bus coeff cen te β β β β 4 β 5 6 TW β β 7 β 8 β 9 β 0 β β β β 4 β TB 0 0 NB BIC TC GC NC CIC TA CA CEN CFA NA AU TB CB NINT BUS -6,87-8,78 9

30 Component sstematche dell utltà del modello V ped 6, 87 TWL V bc 8,78 TB+ 0,6646 NB, V cclomotor e 8,78 TC+ 0,686 GC+,857 NC, V auto,64 TA 0,669 CA,469 CENTRO+ 0, 49CFAM+ + 6,404 NA,70 V bus,64 TB 0,669 CB 0,77 NINT,787 M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 0

31 Modello logt multnomale per la scelta del modo d trasporto - Parma Inseme d scelta ped bccletta cclomotore e moto automoble autobus Cosa s può rcavare dal valore de coeffcent? β β tempo costo,64 utltà / ora 0,669 utltà /000 (985) (985) 967 ora Valore monetaro del tempo M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna

32 β costo 0,77 utltà/cambo d lnea,64 utltà/ora cambo d lnea β 0, ore cambo d lnea Un cambo d lnea è equvalente ad una dsutltà d 0, ore d vaggo n pù. A proposto delle varabl socoeconomche: - Alto valore del coeffcente n. d auto n famgla: 6,404. (Osservazone n lnea con altr modell sml) L aumento dell ndce d motorzzazone favorsce l modo d trasporto autovettura. L osservazone può sembrare banale: bsogna tenere conto che l modello fornsce una valore quanttatvo che può essere confrontato, quanttatvamente, con l peso d altr attrbut. M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna

33 Modello d scelta dell tneraro Andamento del costo (espresso dal tempo) nel caso d un arco d una rete urbana: trasporto ndvduale stradale c C f : : : costo (tempo) sull arco -esmo capactà dell arco - esmo flusso sull arco -esmo c A 0,8 C C f Fno al punto A (crca 80% capactà arco) posso consderare, approssmatvamente, la funzone costante: c ( f ) cost M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna

34 c c A 0,8 C C f C 0,8 C f Arco d una rete d trasporto ndvduale stradale, non molto carco, posso approssmare la funzone d costo con una costante: consdero l costo ndpendente dal flusso. M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 4

35 Il costo d un arco d una rete d trasporto s consdera ndpendente dal flusso - arco d una rete d trasporto ferrovaro, marttma, aerea (generalmente) su corsa rservata - arco d una rete d trasporto collettvo anche su corsa non rservata Pongo l costo uguale ad una costante data da: cost L V comm La V comm tene conto della fase d accelerazone, d frenatura e de temp d fermata. Attraverso una opportuna scelta della veloctà d regme, s tene conto anche del condzonamento degl autovecol n caso d corsa non rservata (questo argomento sarà approfondto quando s parlerà delle tpologe de dagramm d trazone). M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 5

36 Modello d scelta dell tneraro Modello d emssone o generazone Modello d dstrbuzone Modello d scelta del modo d trasporto Modello d scelta dell tneraro Ultmo stado del modello a quattro stad M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 6

37 Modello d scelta dell tneraro: modello tutto o nente o d utltà determnstca E un modello comportamentale. Inseme d scelta: totaltà degl tnerar che congungono una coppa O-D (tneraro: successon d arch) D O Gl tnerar e n questo tratto s sovrappongono (hanno degl arch n comune) M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 7

38 Ne modell d utltà aleatora: U V + ε Nel modello d utltà determnstca U V (non c è lo scarto aleatoro) Nel modello d utltà determnstco applcato alla scelta dell tneraro (modello tutto o nente): V C ( C costo sull tneraro che costtusce l alternatva -esma) e percò U C L utente scegle l alternatva d massma utltà. Ossa l tneraro d mnmo costo. Assegnazone tutto o nente: perché tutta la domanda vene assegnata all tneraro d mnmo costo e nente (nessun flusso) agl tnerar alternatv. M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 8

39 d OD 000 vec F 000 vec, F,F : flusso sugl tnerar F Supponamo che tutto l flusso fra O e D utlzza l'tneraro O d OD F, F,F 000 vec C < < C C : flusso sugl tnerar Supponamo che C < C < tutto l flusso fra O e D C utlzza l'tneraro O F 0 F 0 F 0 F 000 vec F 0 9 D D

40 Algortmo tutto o nente Calcolo gl tnerar d mnmo costo fra cascuna coppa O-D ed assegno tutta la domanda fra la coppa O-D all tneraro d mnmo costo. Opero n questo modo Consdero cascun nodo orgne (centrode), calcolo l albero degl tnerar d mnmo costo avente come nodo radce l nodo orgne; assegno la domanda fra l orgne e tutte le destnazon nella rete; rpeto l operazone per tutt nod orgne (centrod) della rete. Rcordamo che (element d teora de graf): Un albero d radce r, T(r): è un grafo parzale (ossa rcavato da quello dato elmnando alcun arch), prvo d crcut, n cu esste un unco tneraro che congunge la radce r a cascun nodo del grafo. M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 40

41 Base teorca per l calcolo dell albero degl tnerar d mnmo costo è l Teorema d Belmann: Condzone necessara e suffcente affnché un albero T(r) sa l albero degl tnerar d mnmo costo è che per ogn coppa d nod j, collegat da un arco nel grafo, s verfch la condzone: c c c + c costo dell tneraro dall orgne (radce) al nodo j j c j j costo dell arco j c j costo dell tneraro dall orgne (radce) al nodo j Con l segno d uguaglanza valdo per almeno uno degl arch che convergono n j: ' j '' ''' M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 4

42 Spegazone dell algortmo d calcolo dell albero degl tnerar d mnmo costo attraverso un esempo Consdero un grafo: Voglo trovare l albero degl tnerar d mnmo costo avente per radce l nodo M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 4

43 L algortmo per l calcolo dell albero degl tnerar d mnmo costo opera per pass successv: ad ogn passo ho una albero che vene va va mglorato fno ad arrvare a quello degl tnerar d mnmo costo. Ho un problema: devo avere un albero con cu partre Nel caso del grafo precedente rsolvo l problema faclmente. Però m serve un metodo che m permetta d ndvduare un albero d partenza, faclmente, anche nel caso d graf d grosse dmenson (centnaa d nod e d arch)

44 Albero d partenza formato da arch fttz) Ipotzzo l esstenza d arch fttz (non real) che collegano drettamente l nodo radce () a tutt nod della rete. Assegno a quest arch fttz un costo molto elevato, maggore del costo de possbl tnerar (non arch!) nella rete: nel corso del procedmento d calcolo dell albero degl tnerar d mnmo costo gl arch fttz verranno scuramente elmnat n quanto, dato l loro costo, non possono fare parte d tnerar d mnmo costo. M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna

45 Esstono pù algortm per la determnazone dell albero degl tnerar d mnmo costo: vedamo l algortmo d Djkstra. S organzza l calcolo attraverso una matrce a 4 colonne. Cascuna rga corrsponde ad un nodo del grafo. La prma colonna non fa parte della matrce d calcolo è stata nserta solo a scopo llustratvo del procedmento costo tneraro codce nodo che precede vettore serbatoo

46 colonna: costo d tneraro per arrvare al dato nodo (ndvduato dal numero d rga) dalla radce. colonna codce: 0 se l costo del nodo è quello nzale. se ho estratto l nodo dalla testa del serbatoo. se l nodo è nel serbatoo (4 colonna). colonna: nodo che precede l nodo dato nell tneraro, avente orgne nella radce, fno a quel punto del procedmento ndvduato colonna: vettore serbatoo.

47 Passo 0 del procedmento Nella prma colonna ho tutt 000 (eccetto che per l nodo radce): n quanto l albero nzale è costtuto dagl arch fttz (tutt nod sono precedut dal nodo, terza colonna). Nel serbatoo è contenuto l nodo radce M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 47

48 Passo del procedmento Estraggo dalla testa del serbatoo (aggorno la rga ) e consdero la stella n uscta da esso Belmann c c + c è verfcato? ? No! ? No! Aggorno dat della e rga e rordno l serbatoo: j 5 4 j nel serbatoo nel serbatoo

49 Passo del procedmento Estraggo dalla testa del serbatoo (aggorno la rga ) e consdero la stella n uscta da esso Belmann c c + c è verfcato? ? No! ? No! Aggorno dat della 4 e 5 rga e rordno l serbatoo j 5 4 j nel serbatoo 5 nel serbatoo

50 Passo - Estraggo dalla testa del serbatoo (aggorno la rga ) e consdero la stella n uscta da Non lo Belmann c è verfcato? j c + cj consdero: l nodo ha codce 40 +? s! non modfco dat d 4 l tneraro è ? No! 7 nel serbatoo defntvo Aggorno dat della 7 rga e rordno l serbatoo

51 Passo 4 - Estraggo 4 dalla testa del serbatoo (aggorno la rga 4) e consdero la stella n uscta da 4 e hanno codce l tneraro è defntvo Belmann c è verfcato? j c + cj ? no! 6 nel serbatoo Aggorno dat della 6 rga e rordno l serbatoo (n questo caso l ordne del serbatoo camba)

52 Passo 5 - Estraggo 5 dalla testa del serbatoo (aggorno la rga 5) e consdero la stella n uscta da 5 ha codce Belmann c j c + cj è verfcato? ? s! non modfco dat ? no! 6 5 relatv a Aggorno dat della 8 rga e rordno l serbatoo nel serbatoo

53 Passo 6 - Estraggo 6 dalla testa del serbatoo (aggorno la rga 6) e consdero la stella n uscta da ? s! ? no! rordno l serbatoo non modfco dat relatv a modfco dat d 8 (è gà nel serbatoo) e

54 Passo 7 - Estraggo 7 dalla testa del serbatoo (aggorno la rga 7) e consdero la stella n uscta da ? s! non modfco dat relatv a M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 54

55 Passo 8 - Estraggo 8 dalla testa del serbatoo (aggorno la rga 8) e consdero la stella n uscta da 8. I nod estrem della stella sono tutt nod per qual l tneraro è stato ndvduato n modo defntvo (hanno codce ). Il serbatoo è vuoto l procedmento è termnato Matrce fnale

56 Per rcostrure percors mnm leggo a rtroso la colonna della matrce a 4 colonne. 8 Così l tneraro dalla radce (nodo 5 5 ) al nodo 8 è: 8-6; 6-4; 4-; L tneraro dalla radce (nodo ) al nodo 7 è: 7-; M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 56

57 Albero degl tnerar d mnmo costo M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 57

58 Altr algortm per determnare l albero degl tnerar d mnmo costo Caratterstca dell algortmo d Djkstra: alla fne d cascun passo rordno l vettore serbatoo n ordne crescente d costo (dalla testa del serbatoo). Questo ha come conseguenza che se un nodo vene estratto dal serbatoo non c può pù rentrare e l tneraro (dalla radce) per esso ndvduato è quello defntvo. Questo perché: a) I nod che sono nel serbatoo hanno costo (dell tneraro dal nodo radce) superore al costo d : perché prma d estrarre s rordnano nod del serbatoo n ordne crescente d costo. b) I nod che entreranno nel serbatoo, dopo l estrazone d, avranno cost maggor d, perché l costo d quest nod l otterrò aggungendo cost d arch, che sono quanttà postve fnte, a cost de nod che sono M.Lup,"Tecnca nel serbatoo ed Economa al momento de Trasport" -dell estrazone A.A. 00/ - Unverstà d Bologna. 58

59 Algortmo L-deque ( double queue : doppa coda ) E stato però notato che l rordno del serbatoo nell algortmo d Djkstra è costoso n termn d calcolo (dobbamo pensare ad applcazon a ret d centnaa, ed anche mglaa, d nod e d arch). L algortmo d L-deque dffersce da Djkstra per l organzzazone del vettore serbatoo: l vettore serbatoo non vene rordnato n ordne crescente d costo alla fne d cascun passo, questo fa sì che un nodo può entrare pù d una volta nel vettore serbatoo (al contraro d quanto avvene con l algortmo d Djkstra. Se è gà stato nel serbatoo : nel entra dalla Se è la prma testa volta che entra vettore serbatoo entra dalla coda M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 59 n n.. n k

60 Algortmo L-deque Come facco a sapere se un nodo è la prma volta che entra nel vettore serbatoo, oppure c è gà stato? Se ha l costo nzale molto elevato (000 nell esempo dmostratvo vsto) vuol dre che non è ma stato nel vettore serbatoo, altrment c è stato. E stato rlevato, spermentalmente, che l algortmo L-deque è pù veloce d quello d Djkstra. Quello d Djkstra ha però l vantaggo che la successone de nod estratt dalla testa del vettore serbatoo sono n ordne crescente d costo dal nodo radce. M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 60

61 Problem dell assegnazone tutto o nente L assegnazone tutto o nente è nstable d o o C 99 C 00 C 00 C 99 C 0 d C 0 D od 000 vec/h F F F F F F D od 000 vec/h Inoltre non è realstco consderare che tutt gl utent stmno l costo sugl tnerar allo stesso modo. 0 6

62 Per ovvare all nstabltà del modello tutto o nente (ToN) s rcorre ad un modello comportamentale appartenente alla categora de modell d utltà aleatora. L nseme d scelta n questo caso è l nseme degl tnerar che collegano la data coppa o-d: ndchamolo con P od. U V + ε Assegnazone d tpo probablstco Ne modell d utltà aleatora l utltà è data da una parte determnstca ed una aleatora (l utltà è percò una varable aleatora) Nel caso de modell d utltà aleatora applcat alla scelta dell tneraro : ~ U C C ~, l costo d un tneraro, è una varable aleatora, (assume valor dvers con dverse probabltà): gl utent percepscono ( stmano) l M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 6 costo d un tneraro n manera dversa.

63 U ~ C Modell d utltà aleatora applcat alla scelta dell tneraro V C + ε + ε e ~ U C valore medo del costo sull tneraro (quanttà determnstca) ε (E( ε ) Se è una varable aleatora d Webull-Gumbel ho un modello logt. ε scarto aleatoro a meda nulla Se è una varable aleatora normale (d Gauss) ho un modello probt. 0) M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 6

64 p prob U > U ) ( j ~ ~ prob C < C ( j ) j POD L alternatva d massma utltà sarà l tneraro d mnmo costo. Gl utent scelgono l tneraro d mnmo costo: poché però dvers utent percepscono n manera dversa l costo, posso solo determnare la probabltà d scelta dell tneraro (alternatva -esma). Una volta che determno la probabltà d scelta d un tneraro posso determnare l flusso, medo, sull tneraro, F D od p Assegno la domanda Una volta che ho l flusso medo sull tneraro posso determnare fluss med sugl arch. M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 64

65 f a Iod P od δ a : : : f a δ od I od P od a p D od flusso sul generco arco a δ od I nseme delle coppe od nella rete P nseme degl tnerar che congungono la coppa od se l arco a fa parte dell tneraro 0 se l arco a non fa parte dell tneraro od od a F d o' o arco a d' 65

66 Rete d trasporto aereo: n questo caso l modello logt non dà problem. HUB d o HUB Tre alternatve d tneraro che non s sovrappongono M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 66

67 Esempo: modello d scelta dell tneraro n una rete d trasporto aereo t r V β t + β f + β F + β D + β C r r r r 4 r 5 r : tempo del vaggo (n ore) : coppa od r: tneraro f r F r D r : : : frequenza del servzo (vol/gorno) tarffa (dollar) varable legata al tpo d aereo (per esempo: 0 se N<0, 0,5 se 0< N<50, se N>50 C r : varable legata al tpo d servzo (per esempo: 0 nel caso d volo dretto non stop, 0,5 nel caso d volo dretto però con una fermata, nel caso d volo ndretto ossa con almeno un cambo d aereo) M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 67

68 Atlanta (Stat Unt) 9 coppe od (980) V t + 0, 9 f 0, 078F +, 46D, 557C r r r r r r β cambo d aereo β tempo,557 utltà/cambo d 0,897 utltà/ora aereo,7 ore cambo d aereo β tempo β tarffa 0,897 utltà/ora 0,078 utltà/$ $ ora β frequenza β tarffa 0,9 utltà/volo aggunto 0,078 utltà/$ 8,6 $ volo aggunto β frequenza β tempo 0,9 utltà/volo aggunto 0,897 utltà/ore 0,7 ore volo aggunto M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 68

69 Anche nel caso stradale, se non c sono sovrapposzon d tneraro, l modello funzona bene. Per esempo tre alternatve d tneraro: C d p o αc αc αc αc e e + e + e F F F C 00 C p p p D D D od od od vec h vec h vec h 69

70 Vedamo nvece un caso con fort sovrapposzon d tneraro. C 00 vec F h C 00 C 00 vec F h d vec F h o In questa parte d tneraro ho 666 vec/h Il modello logt n questo caso dà gl stess rsultat che nel caso precedente vec F pdod αc h e p vec αc αc αc e + e + e F pdod h vec F pdod h 70

71 o C 00 In questa parte ho 666 vec/h vec F h C 00 vec F h d vec F h C 00 Il modello non dà rsultat aderent alla realtà. Pratcamente l utente non percepsce e come alternatve dfferent. Nella realtà c s aspetta una dstrbuzone de fluss del tpo seguente: o C 00 In questa parte ho 500 vec/h vec F 500 h C 00 vec F 5 h d vec F 5 h C 00 M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 7

72 Il modello logt non dà rsultat aderent alla realtà n quanto una potes base del modello logt è che le utltà (n questo caso cost delle alternatve) sano varabl aleatore ndpendent. C 00 D C 00 In questo caso l potes che cost sugl tnerar sano varabl aleatore ndpendent non è vcna alla realtà perché gl tnerar s sovrappongono fortemente: un utente che assoca all tneraro un costo superore (nferore) alla meda, assocerà, molto probablmente, anche all tneraro un costo superore (nferore) alla meda. M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 7

73 Le alternatve e funzonano pratcamente come un unca alternatva C 00 C 00 d o C 00 Tutt gl utent, A, B,C e D percepscono cost delle alternatve e n modo molto smle: n quanto le alternatve s sovrappongono fortemente. Gl utent A e D scelgono l alternatva. Gl utent B e C scegleranno l alternatva o L nseme delle due alternatve funzona n pratca come un unca alternatva. C A D B ~ C ~ C C C B A D ~ C C 7 C B C A D

74 Voglo un modello che tenga conto della dpendenza delle utltà (cost nella scelta dell tneraro) fra le alternatve (tnerar). Il modello logt non va bene: ntroduco l modello probt U C ~ + ε Al solto suppongo che sa E[ ε ] 0 ~ E U E C C [ ] [ ] Nel modello probt cost sugl arch sono varabl aleatore ndpendent e dstrbut secondo una varable aleatora normale (Gauss). La varable c ~ a è una varable aleatora normale c ~ (,( ) a N ca αca meda ) Modello probt varanza c a ( α c ) a E [ c ~ a ] var [ ] c ~ a Meda del costo su a Varanza del costo su a [ c~ a ] β ca (Altra potes var ) 74

75 c ~ a varable aleatora normale: Funzone d denstà d probabltà: f c~ a ( t µ c~ ) a var( c ~ ) var( ~ a ( t) e π c ) Costo su un tneraro: sommatora de cost degl arch che lo compongono: se a P C ~ apc ~ p δ δ a ap a A 0 se a P Inseme d arch della rete Costo sull tneraro è una varable aleatora. Questa è la meda E [ C ~ P ] C P M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 75 a A δ a E [ ~ ] ap c a Costo medo su un tneraro è uguale alla sommatora de cost med degl arch che lo compongono. a A δ ap c a

76 ~ var( C P ) δ var( ~ ap ca ) δ a A a A ap ( αc a ) Varanza del costo su un tneraro è uguale alla somma delle varanze de cost sugl arch che compongono l tneraro: questa eguaglanza è valda perché ho supposto cost sugl arch varabl aleatore ndpendent. Attenzone: nel modello probt cost sugl arch sono varabl aleatore (normal) ndpendent, non cost sugl tnerar (come nel modello logt: ed era l ndpendenza de cost sugl tnerar, alternatve, che m creava de problem nel logt). M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 76

77 Rassumendo nel modello probt: oppure β c a Arch varabl ndpendent normal c ~ (,( ) a N ca αca meda varanza ) oppure β c a C ~ P Itnerar varabl aleatore normal, n generale, non ndpendent. ~ (, ( ) P N δ apca δ ap αca a A a A C meda ) varanza E una varable aleatora normale : perché la varable aleatora normale gode della propretà nvarantva rspetto alla somma (n generale alla combnazone lneare). M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 77

78 I cost sugl tnerar sono varabl aleatore dpendent? Posso ndvduare un grado d dpendenza? A questo fne studo la covaranza fra cost d due tnerar che congungono una stessa coppa O-D. Defnzone d covaranza fra due varabl aleatore generche X e Y [( X µ )( Y )] Cov ( X, Y ) E µ Ammettamo che X e Y sano varabl aleatore ndpendent ( X, Y ) E [( X µ X )( Y µ Y )] E [ XY Xµ Y µ XY + µ X µ Y ] [ XY ] µ Y E[ X ] µ X E[ Y ] + µ X µ Y µ X µ Y µ X µ Y µ X µ Y + µ X Y Cov E µ Cov( X, X ) E valda solo se X e Y sono ndpendent [( )( )] [ E X µ X µ E ( X µ ) ] var(x ) X X M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 78 X X Y 0

79 Y µ Y µ X X Cosa vuol dre se ho una varanza postva alta? Se X è superore alla meda anche Y è superore alla meda. Se X è nferore alla meda, anche Y è nferore alla meda. Le due varabl non sono ndpendent. Covaranza postva: Cov ( X, Y ) > 0 E[ ( X µ )( Y µ )] X + + Y M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 79

80 Y µ Y µ X X Covaranza negatva ed alta (n valore assoluto). Se X è superore alla meda, Y è nferore alla meda. Se X è nferore alla meda, Y è superore alla meda. Le due varabl non sono ndpendent. Covaranza negatva: Cov ( X, Y ) < 0 E[ ( X µ )( Y µ )] X Y + + M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 80

81 Y Covaranza 0 µ Y µ X X Sapere qualcosa sulla X (per esempo che è superore alla meda) non m dà nformazon sulla Y.In meda prodott postv s eldono con quell negatv. Covaranza 0 Cov ( X, Y ) 0 E[ ( X µ )( Y µ )] X Y M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 8

82 Modello probt: per sapere se cost d due tnerar sono varabl aleatore ndpendent o dpendent, ed n quale msura, studo la covaranza. Costo su un tneraro uguale a Defnzone d covaranza: somma de cost sugl arch [( ~ )( ~ )] C C C C E δ ( c ~ c ) ( c c ) ~ ~ Cov ( C p, Cq) E p p q q ap a a δ ~ lq l a A l A La meda è un operatore lneare E δ ( )( ) apδlq c~ a ca c~ l cl δ apδlqe[ ( c~ a ca )( c~ l cl )] a A l A a A l A Covaranza de cost sugl arch a e l l δ δ ~ δ δ, ~ ap lqcov( ca cl ) ap aq ca ) ap aq( ca ) a A l A a A a A M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 8 var( ~ δ δ α

83 Vedamo d capre l perché del passaggo P a A l A δ ap δ ( ~, ~ ) var( ~ lqcov ca cl δapδaq ca ) a A P D Q O a A l A δ ap δ Cov lq Q c~ c~ ) δ δ ( a l ap aq a a A var( c ~ Questa parte d tneraro, costtuta da pù arch, è n comune fra gl tnerar P e Q Poché nel modello probt cost sugl arch sono varabl ndpendent sarà: Cov( c~, ~ a c l ) 0 se a l ; Cov ( c~, ~ ) var( ~ a cl ca ) se a l tnerar. Il prodotto δ ap δ aq è dverso da 0 solo per gl arch che sono n comune a due tnerar ) Somma delle varanze degl arch a comune de due 8

84 Esempo: tneraro P, arch e ; tneraro Q, arch e D P O Q a 0 ( ~ ( ~ 0 ( ~ ~ ), ~ ), ~ ) ( ~ 0 δ, ~ apδlqcov cacl δpδ qcov c c + δpδ qcov c c + δpδqcov c c ) A l A 0 +, ~ 0 ( ~ ) + ( ~, ~ ) + ( ~, ~ 0 δ pδqcov c c δ pδ qcov c c δ pδqcov c c) δ δ Cov c~, c~ ) + δ δ Cov( c ~ 0, c ~ ) + δ δ Cov( c ~, ~ ) p q ( p q p q c var( c~ ) M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 84

85 Caso O P Q D Cov ~ ~ ( C, C p q) 0 I cost sugl tnerar sono ndpendent Caso P P Q Q O I cost sugl tnerar, ne cas e, non sono ndpendent ~ ~ ~ ~ Tanto pù dpendent, Cov C, C ) > Cov ( C, C ) quanto pù sono gl arch a comune Caso P ( p q p q Cov Cov D ~ ~ ( C, C p q) ~ ~ ( C, C p q) P 0 0 D Q O Q 85

86 Come facco a determnare la probabltà d scelta d un alternatva con l modello probt? Nel caso del logt avevo una forma esplcta puttosto semplce: p prob( U j > U j ) e j αv e αv j Il problema del modello probt è che non ho una forma esplcta d questo tpo. Inoltre ho l problema d enumerare le alternatve, ossa gl tnerar fra cascuna coppa O-D che, n ret d grand dmenson, non è un problema d facle soluzone (questo problema è comune anche al modello logt applcato a ret d grand dmenson). 86 Rcorro allora alla smulazone.

87 Modello probt Smulazone d Montecarlo - Estraggo cost sugl arch. c ~ a a A c a c ~ (,( ) a N ca α ca ) (quest cost estratt per cascun arco possono essere pensat come cost percept da un certo utente) M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 87

88 I cost estratt possono essere utlzzat per una assegnazone tutto o nente d tpo determnstco D od La domanda, fra una determnata coppa od, vene tutta assegnata all tneraro d mnmo costo (n base a cost estratt n una certa terazone) : ottengo un vettore f d fluss sugl arch. - Rpeto l estrazone de cost sugl arch - Rpeto l assegnazone tutto o nente I fluss stmat alla fne d una determnata terazone k sono calcolat come mede de fluss sugl arch ottenut n tutte le terazon fno a quel momento compute: f k a [ k k ( ) ] k fa k + f a ottengo f k (generca terazone k) M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 88

89 Pass dell algortmo probt Passo : Camponamento de cost percept Per ogn arco della rete vene ottenuto un costo percepto c ~ k a [ ] k c,( αc ) c N ~ a a Passo : Assegnazone tutto o nente a Facco una assegnazone tutto o nente con cost costant k c ~ a Ottengo un vettore de fluss sugl arch: f k M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 89

90 Passo : Meda de fluss f k a [ f f ] k k + ( k ) a k a a A (nseme degl arch della rete) Passo 4: Test d arresto max a A f k a f f k a k a < ε n a f k k a a k a A fa f < ε ( per esempo: ε,05; ε 0,0) 0 Se l test non è verfcato, s aumenta l contatore k k + e s rtorna al passo. M.Lup,"Tecnca ed Economa de Trasport" - A.A. 00/ - Unverstà d Bologna 90

91 Vedamo d capre come ma agendo n questo modo ottengo mplctamente una assegnazone d tpo probt. k h fa h od I j P δ aj k j D od od od δ aj k j D od Questo è l flusso totale che assegno all arco a n k terazon Numero d volte nel quale l tneraro j rsulta d mnmo costo n k terazon 5 d o' o 4 Arco a 4 5 d' 9

92 k h fa h od I j P +δ k a5 5D o ' d ' od od δ aj k j D od δ k D + δ k D + δ k D + δ a od a od a od a4 4 o' d ' 0 k D 0 5 d o' o 4 Arco a 5 d' 9

93 La meda del flusso sull arco a n k terazon è data da f k a k k h fa h od I j P od od δ aj k k j D od k j k E la frequenza per la quale l tneraro j rsulta d mnmo costo Se k k j k p j Probabltà d utlzzo d un tneraro j n un modello probt k k j D od p D E la stma del flusso medo sull tneraro j j od F j f k a k k h f a h od I j P od od δ aj F j è qund una stma della meda del flusso sull arco a dervante da un modello d scelta dell tneraro d tpo 9 probt.