Curve localmente Cohen-Macaulay di P 3 con supporto su una retta

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1 XX Congresso dell Unione Matematica Italiana Siena, 7-12 Settembre 2015 Curve localmente Cohen-Macaulay di P 3 con supporto su una retta 8 Settembre 2015 Paolo Lella Università degli Studi di Trento

2 Schemi di Hilbert Supponiamo di essere interessati allo studio di curve di grado d e genere g in P 3

3 Schemi di Hilbert Supponiamo di essere interessati allo studio di curve di grado d e genere g in P 3 Curve lisce e irriducibili H 0 d,g

4 Schemi di Hilbert Supponiamo di essere interessati allo studio di curve di grado d e genere g in P 3 Curve lisce e irriducibili Schemi con polinomio di Hilbert p(t) = dt + 1 g H 0 d,g Hilb 3 dt+1 g

5 Schemi di Hilbert Supponiamo di essere interessati allo studio di curve di grado d e genere g in P 3 Curve lisce e irriducibili Curve localmente Cohen-Macaulay Schemi con polinomio di Hilbert p(t) = dt + 1 g H 0 d,g H d,g Hilb 3 dt+1 g

6 Il problema della connessione H 0 d,g H d,g Hilb 3 dt+1 g

7 Il problema della connessione H 0 d,g H d,g Hilb 3 dt+1 g è connesso per ogni (d, g) [Hartshorne 1966 tesi di dottorato] Hilb 3 dt+1 g

8 Il problema della connessione H 0 d,g H d,g Hilb 3 dt+1 g è connesso per ogni (d, g) [Hartshorne 1966 tesi di dottorato] Hilb 3 dt+1 g Esistono (d, g) per cui H 0 d,g non è connesso [Weyr-Halphen 1873: (d,g) = (9,10)]

9 Il problema della connessione H 0 d,g H d,g Hilb 3 dt+1 g è connesso per ogni (d, g) [Hartshorne 1966 tesi di dottorato] Hilb 3 dt+1 g Esistono (d, g) per cui H 0 d,g non è connesso [Weyr-Halphen 1873: (d,g) = (9,10)] Il problema per H d,g è aperto

10 Modulo di Hartshorne-Rao Proposizione Sia C P 3 una curva con fascio di ideali I C. C è localmente Cohen-Macaulay il modulo graduato M C = m H1( P 3, I c (m) ) ha lunghezza finita.

11 Funzione di Hartshorne-Rao Teorema (MDP I parte) Sia [C] H d,g con g ( ) d 2 2. Allora h 1 ( I C (m) ) ρ d,g (m). ( d 2 ) 2 g g ( ) d 2 2 d 2 ( d 1 ) 2 g

12 Curve estremali Teorema (MDP II parte) Il limite ρ d,g (m) è ottimale. Le curve con funzione di Rao ρ d,g (m) vengono chiamate curve estremali. Le curve estremali formano una componente irriducibile E d,g H d,g.

13 La componente connessa delle curve estremali Quali famiglie di curve appartengono alla componente connessa delle curve estremali? H d,g E d,g

14 La componente connessa delle curve estremali Quali famiglie di curve appartengono alla componente connessa delle curve estremali? H d,g E d,g

15 Curve sulla quadrica liscia Una curva C (4,0) Q P 3 sta nella componente connessa di E d,g?

16 Curve sulla quadrica liscia Una curva C (4,0) Q P 3 sta nella componente connessa di E d,g? Teorema (, Schlesinger 1 ) L unione di d 3 rette disgiunte sulla quadrica liscia Q P 3 appartiene alla componente connessa delle curve estremali. 1 Lella P., Schlesinger E., The Hilbert scheme of locally Cohen-Macaulay curves of P 3 may be after all be connected, Collect. Math. 64(3): , 2013.

17 Curve sulla quadrica liscia Una curva C (4,0) Q P 3 sta nella componente connessa di E d,g? Teorema (, Schlesinger 1 ) L unione di d 3 rette disgiunte sulla quadrica liscia Q P 3 appartiene alla componente connessa delle curve estremali. Dimostrazione. Q C E 2H t 0 t = 0 A 1 1 Lella P., Schlesinger E., The Hilbert scheme of locally Cohen-Macaulay curves of P 3 may be after all be connected, Collect. Math. 64(3): , 2013.

18 Curve estremali con supporto su una retta Sia k[x, y, z, w] l anello delle coordinate di P 3. Una curva estremale [E] H d,g con supporto sulla retta L : x = y = 0 è definita da un ideale del tipo ( ) I E = x 2, xy, y d, xf + y d 1 G dove F, G k[z, w] e deg F = ( d 1 2 ) ( g, deg G = d 2 ) g. 2

19 Curve estremali con supporto su una retta Sia k[x, y, z, w] l anello delle coordinate di P 3. Una curva estremale [E] H d,g con supporto sulla retta L : x = y = 0 è definita da un ideale del tipo ( ) I E = x 2, xy, y d, xf + y d 1 G dove F, G k[z, w] e deg F = ( d 1 2 ) ( g, deg G = d 2 ) g. 2 Osservazione I E è omogeneo rispetto alla graduazione ω d := (d, 2, 1, 1).

20 Le curve lisce si specializzano a curve estremali Teorema (Hartshorne,, Schlesinger 2 ) Una curva [C] H d,g si specializza ad una curva estremale C è contenuta in una superficie S : f = 0 tale che in ω (f ) = xf + y d 1 G dove F, G k[z, w], deg F = ( ) ( d 1 2 g, deg G = d 2 ) 2 g non hanno zeri in comune su P 1 ; C non interseca la retta z = w = 0. 2 Hartshorne R., Lella P., Schlesinger E., Smooth curves specialize to extremal curves, Math. Ann. 361(1): , 2015.

21 Le curve lisce si specializzano a curve estremali Teorema (Hartshorne,, Schlesinger 2 ) Una curva [C] H d,g si specializza ad una curva estremale C è contenuta in una superficie S : f = 0 tale che in ω (f ) = xf + y d 1 G dove F, G k[z, w], deg F = ( ) ( d 1 2 g, deg G = d 2 ) 2 g non hanno zeri in comune su P 1 ; C non interseca la retta z = w = 0. Dimostrazione ( ). C S E = in ω (C) in ω (S) t 0 t = 0 A 1 2 Hartshorne R., Lella P., Schlesinger E., Smooth curves specialize to extremal curves, Math. Ann. 361(1): , 2015.

22 Una nuova strategia Idea della dimostrazione di Hartshorne della connessione di Hilb n p(t)

23 Una nuova strategia Idea della dimostrazione di Hartshorne della connessione di Hilb n p(t) Passo 1 Riduzione allo studio di schemi molto singolari (definiti da ideali Borel-fixed)

24 Una nuova strategia Idea della dimostrazione di Hartshorne della connessione di Hilb n p(t) Passo 1 Riduzione allo studio di schemi molto singolari (definiti da ideali Borel-fixed) Passo 2 Dimostrazione che i punti corrispondenti appartengono ad un unica componente connessa L

25 Una nuova strategia Idea per tentare di dimostrare la connessione di H d,g Passo 1 Riduzione allo studio di curve localmente Cohen-Macaulay con supporto su una retta Passo 2 Dimostrazione che i punti corrispondenti appartengono ad un unica componente connessa E

26 Esempio: H 4, 3 ((x, y) 3, P (2,2) 1, P (2,2) 2 ) 4L Q I E = (x 2, xy, y 4, xz 6 + y 3 w 4 ) I SE = (x 2, xy 2, y 3, x 2 z 4 + y 2 w 4 )

27 Esempio: H 4, 3 ((x, y) 3, P (2,2) 1, P (2,2) 2 ) 4L Q (2, 2, 1, 1) (4, 2, 1, 1) I E = (x 2, xy, y 4, xz 6 + y 3 w 4 ) I SE = (x 2, xy 2, y 3, x 2 z 4 + y 2 w 4 )

28 Esempio: H 4, 3 ((x, y) 3, P (2,2) 1, P (2,2) 2 ) 4L Q SE (4, 2, 1, 1) I E = (x 2, xy, y 4, xz 6 + y 3 w 4 ) (2, 2, 1, 1) I SE = (x 2, xy 2, y 3, x 2 z 4 + y 2 w 4 )

29 Curve lcm con postulazione speciale Proposizione Sia C una curva localmente Cohen-Macaulay di grado d non contenuta in alcuna superficie di grado d 1. Allora ( ) d + 2 g C P(d) = d(d 1) [d, P(d)] = [3, 5], [4, 9], [5, 14], [6, 35], [7, 48], [8, 63],... Congettura [Beorchia] Il limite è ottimale.

30 Curve lcm con postulazione speciale Proposizione Sia C una curva localmente Cohen-Macaulay di grado d non contenuta in alcuna superficie di grado d 1. Allora ( ) d + 2 g C P(d) = d(d 1) [d, P(d)] = [3, 5], [4, 9], [5, 14], [6, 35], [7, 48], [8, 63],... Congettura [Beorchia] Il limite è ottimale. Work in progress con V. Beorchia e E. Schlesinger dimostrazione della congettura (verificata fino a d 20) Le curve che verificano il limite hanno supporto su una retta (o due)