Operazioni sui vettori Scomposizione di un vettore F in un vettore e in una coppia

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1 Operazioni sui vettori Scomposizione di un vettore F in un vettore e in una coppia F (non baricentrico) = F (baricentrico) + Momento orario F. b F (diretto verso il basso) = vettore spostato a sinistra + momento orario F (diretto verso il basso) = vettore spostato a destra + momento antiorario

2 Operazioni sui vettori Scomposizione di un vettore F in un vettore F e in una coppia F a F F

3 Operazioni sui vettori Scomposizione di un vettore F in un vettore F e in una coppia F F momento di trasporto antiorario + M = a F a F F F F (diretto verso il basso) = vettore spostato a destra + momento antiorario

4 Operazioni sui vettori Composizione di un vettore F e di una coppia F F momento di trasporto antiorario + M = a F a F F F F F (diretto verso il basso) con un momento antiorario si sposta a sinistra

5 Operazioni sui vettori Composizione di un vettore F e di una coppia F F momento di trasporto orario + M = a F a F F F F F (diretto verso il basso) con un momento orario si sposta a destra

6 Operazioni sui vettori Somma di due vettori paralleli (II) Il fulcro di una leva in equilibrio si trova a distanze inversamente proporzionali alle intensità dei pesi applicati. Archimede (Siracusa, a.c.) a b -P -R equilibrante R a = P b P R

7 Operazioni sui vettori Somma di due vettori paralleli (II) Il fulcro di una leva in equilibrio si trova a distanze inversamente proporzionali alle intensità dei pesi applicati. Archimede (Siracusa, a.c.) Se le forze hanno lo stesso verso, il risultante è collocato tra le due forze e ha il loro stesso verso Se le forze hanno versi opposti, il risultante è collocato dal lato del vettore di maggiore intensità e ha il suo stesso verso Il risultante ha intensità pari alla somma algebrica delle intensità delle due forze Il risultante ha distanze dalle forze inversamente proporzionali all intensità di ciascuna forza

8 Operazioni sui vettori Somma di tre o più vettori qualsiasi - metodo di Karl Culmann ( ) componenti componenti

9 Operazioni sui vettori Somma di tre o più vettori qualsiasi - metodo di Karl Culmann ( )

10 Operazioni sui vettori Somma di tre o più vettori qualsiasi - metodo di Karl Culmann ( )

11 Operazioni sui vettori Somma di tre o più vettori qualsiasi - metodo di Karl Culmann ( ) componenti di componenti di 1+2+3

12 Operazioni sui vettori Somma di tre o più vettori qualsiasi - metodo di Karl Culmann ( ) Il poligono funicolare: significato fisico d 4 fune compressa O e 4 fune tesa d O e

13 Operazioni sui vettori

14 Il corpo rigido Un vettore-forza produce gli stessi effetti qualsiasi sia il punto di applicazione sulla sua retta d azione Un sistema di vettori-forza produce gli stessi effetti che produce un sistema equivalente (stesso risultante e stesso momento risultante)

15 Il corpo rigido EQUILIBRIO = bilanciamento delle forze (aequus = uguale + libra = bilancia) rottura F = 0 M = 0 assenza di moto deformazione instabilità STABILITÀ = fermezza, saldezza, inamovibilità L esistenza dell equilibrio è condizione necessaria e sufficiente affinché un corpo rigido sia stabile.

16 Le azioni Azioni statiche: intensità costante, posizione fissa o lentamente variabile (peso, spinte)

17 Le azioni Azioni dinamiche: intensità variabile, posizione fissa o variabile (vento, terremoto, macchine vibranti o mobili)

18 Le azioni Azioni generate da movimenti impediti Azioni generate da spostamenti impressi

19 f 1 f 2 Sistemi costruttivi a muri portanti / considerazioni statiche generali I vincoli / reali P G vincoli f 3 f 4 reazioni vincolari

20 I vincoli / reali P reazione vincolare? a b G d c? reazione vincolare vincolo vincolo

21 I vincoli / ideali movimenti consentiti: traslazione e rotazione (-1 grado di libertà) rotazione (-2 gradi di libertà) traslazione (-2 gradi di libertà) nessuno (-3 gradi di libertà)

22 I vincoli / esempi

23 Questioni di equilibrio / prima questione Dato un sistema di forze, il corpo (rigido) che ne è soggetto è in equilibrio? Prima condizione (ΣF = 0): il poligono delle forze deve essere chiuso e le forze si devono inseguire Seconda condizione (ΣM = 0): la risultante di n-1 forze deve trovarsi sulla stessa retta d azione dell n-esima ovvero: il primo e l ultimo lato del poligono funicolare devono avere la stessa retta d azione ovvero (nel caso di tre forze): le rette d azione devono incontrarsi in un punto

24 Questioni di equilibrio / seconda questione Dato un corpo sicuramente equilibrato, quali sono le forze che agiscono su di esso? Dato un corpo sicuramente equilibrato, quali sono le reazioni vincolari? f 1 G??

25 Sistemi ipostatici / il corpo appoggiato Corpo rigido appoggiato su un piano orizzontale e soggetto a forze verticali E E P E R R R P P Sistemi ipostatici equilibrio condizionato

26 -S Sistemi costruttivi a muri portanti / considerazioni statiche generali Sistemi ipostatici / il corpo appoggiato Corpo rigido appoggiato su un piano orizzontale e soggetto a forze verticali e a spinte -P S < F a max = αp

27 Sistemi ipostatici / il corpo appoggiato Corpo rigido appoggiato su un piano orizzontale e soggetto a forze verticali e a spinte 1. Come stabilizzare il muro se S > F a (= αp)? a) ridurre S b) aumentare P (non serve a nulla aumentare la base di appoggio) c) aumentare α a b c

28 Sistemi ipostatici / il corpo appoggiato Corpo rigido appoggiato su un piano orizzontale e soggetto a forze verticali e a spinte 2. Come stabilizzare il muro se il centro di pressione fuoriesce dalla base? (equilibrio: b P > h S) momento stabilizzante momento ribaltante S h O P b

29 Sistemi ipostatici / il corpo appoggiato Corpo rigido appoggiato su un piano orizzontale e soggetto a forze verticali e a spinte 2. Come stabilizzare il muro se il centro di pressione fuoriesce dalla base? (equilibrio: b P > h S) a) abbassare S momento stabilizzante momento ribaltante S S h O P O P b

30 Sistemi ipostatici / il corpo appoggiato Corpo rigido appoggiato su un piano orizzontale e soggetto a forze verticali e a spinte 2. Come stabilizzare il muro se il centro di pressione fuoriesce dalla base? (equilibrio: b P > h S) a) abbassare S b) ridurre S momento stabilizzante momento ribaltante S S h O P O P b

31 Sistemi ipostatici / il corpo appoggiato Corpo rigido appoggiato su un piano orizzontale e soggetto a forze verticali e a spinte 2. Come stabilizzare il muro se il centro di pressione fuoriesce dalla base? (equilibrio: b P > h S) a) abbassare S b) ridurre S c) aumentare P momento stabilizzante momento ribaltante S S h O P O b P

32 Sistemi ipostatici / il corpo appoggiato Corpo rigido appoggiato su un piano orizzontale e soggetto a forze verticali e a spinte 2. Come stabilizzare il muro se il centro di pressione fuoriesce dalla base? (equilibrio: b P > h S) a) abbassare S b) ridurre S c) aumentare P d) inclinare il corpo (aumentare b) momento stabilizzante momento ribaltante S S h O P O P b b

33 Sistemi ipostatici / il corpo appoggiato Corpo rigido appoggiato su un piano orizzontale e soggetto a forze verticali e a spinte 2. Come stabilizzare il muro se il centro di pressione fuoriesce dalla base? (equilibrio: b P > h S) a) abbassare S b) ridurre S c) aumentare P d) inclinare il corpo (aumentare b) e) aumentare la base di appoggio momento stabilizzante momento ribaltante S S h O P O P b b

34 Sistemi ipostatici / il corpo appoggiato Corpo rigido appoggiato su un piano orizzontale e soggetto a forze verticali e a spinte 2. Come stabilizzare il muro se il centro di pressione fuoriesce dalla base? (equilibrio: b P > h S) a) abbassare S b) ridurre S c) aumentare P d) inclinare il corpo (aumentare b) e) aumentare la base di appoggio momento stabilizzante momento ribaltante S S h O P O P b

35 Sistemi ipostatici / il corpo appoggiato Corpo rigido appoggiato su un piano orizzontale e soggetto a forze verticali e a spinte 2. Come stabilizzare il muro se il centro di pressione fuoriesce dalla base? (equilibrio: b P > h S) a) abbassare S b) ridurre S c) aumentare P d) inclinare il corpo e) aumentare la base di appoggio momento stabilizzante momento ribaltante f) trasformare l appoggio (labile) in incastro (isostatico) S S h O P O P b incastro Sistemi isostatici e iperstatici equilibrio incondizionato

36 Sistemi ipostatici / il corpo appoggiato Corpo rigido appoggiato su un piano orizzontale e soggetto a forze verticali e a spinte per l equilibrio S < F a (= αp) h S < b P

37 Sistemi ipostatici / il corpo appoggiato Corpo rigido appoggiato su un piano orizzontale e soggetto a forze verticali e a spinte per l equilibrio S < F a (= αp) h S < b P S R P t P O

38 Sistemi ipostatici / il corpo appoggiato Corpo rigido appoggiato su un piano inclinato e soggetto a forze verticali χ P χ χ F a = α V V S = V tg χ χ P χ χ* V* P S* χ* (angolo di attrito) per l equilibrio allo scorrimento: F a > S αv > Vtg χ α > tg χ situazione limite: α = tg χ* colatitudine massima che può avere una forza scambiata tra due corpi angolo di attrito χ* = 30 α = Ѵ3/3 0,577 0,6

39 Sistemi ipostatici / il corpo appoggiato Corpo rigido appoggiato su un piano inclinato e soggetto a forze verticali NO χ* χ χ* cono d attrito

40 Sistemi ipostatici / il corpo appoggiato Corpo rigido appoggiato su un piano inclinato e soggetto a forze verticali Muraglia cinese S S O R P P O <χ* O R P A. Gaudi, Parco Güell, Barcellona

41 Sistemi ipostatici / i corpi mutuamente appoggiati / conclusioni generali Il corpo rigido 1 si muove rispetto al corpo rigido 2? No se: il centro di pressione è interno alla base di appoggio la colatitudine della forza scambiata è minore dell angolo di attrito P 1 χ<χ* 2

42 Sistemi ipostatici / i corpi mutuamente appoggiati / esempi L Pseudoarco L/2 L/4 L/6 S S = 1/2 (1 + 1/2 + 1/3 + 1/ /n-1) serie armonica per S = 10 L occorre sovrapporre circa

43 Sistemi ipostatici / i corpi mutuamente appoggiati

44 Sistemi ipostatici / i corpi mutuamente appoggiati / esempi χ

45 La trave / la trave piana y x linea d asse piano medio sezione retta piano medio linea d asse SI sezione retta NO

46 Equilibrio esterno ed equilibrio interno : le sollecitazioni 2 1 Se un corpo è in equilibrio, è in equilibrio ogni sua parte s S = R A piano di sezione R B

47 Equilibrio esterno ed equilibrio interno : le sollecitazioni S 2 1 Se un corpo è in equilibrio, è in equilibrio ogni sua parte s R B R A piano di sezione

48 Equilibrio esterno ed equilibrio interno : le sollecitazioni S 2 1 Se un corpo è in equilibrio, è in equilibrio ogni sua parte s R B R A piano di sezione

49 Equilibrio esterno ed equilibrio interno : le sollecitazioni S = -R B 2 1 Se un corpo è in equilibrio, è in equilibrio ogni sua parte s R B R A piano di sezione

50 Equilibrio esterno ed equilibrio interno : le sollecitazioni linea d asse sforzo normale (compressione) sforzo di taglio momento flettente sforzo normale (trazione)

51 La resistenza Capacità di una struttura di rispondere alle azioni esterne La struttura deve a) assumere una conformazione complessiva che ne consenta l utilizzazione b) deve mantenere un adeguato grado di sicurezza * * grado di sicurezza (s) = moltiplicatore del carico P che porta al carico di collasso P c [P c = s. P]

52 La resistenza La resistenza dipende dal carico applicato La resistenza dipende dal materiale con cui è realizzato il corpo La resistenza dipende dalla natura dei vincoli La resistenza dipende dalla forma del corpo La resistenza dipende dalla giacitura del corpo

53 La resistenza Corpo in materiale omogeneo (homós = uguale + génos = razza) a) corpo di composizione chimico-fisica non variabile da punto a punto (composti chimici puri, leghe metalliche ) b) corpo le cui disomogeneità sono modeste rispetto alle sue dimensioni (pietre compatte e non stratificate, calcestruzzo, calcestruzzo cellulare, legno...)

54 La resistenza Corpo in materiale omogeneo (homós = uguale + génos = razza) a) corpo di composizione chimico-fisica non variabile da punto a punto (composti chimici puri, leghe metalliche ) b) corpo le cui disomogeneità sono modeste rispetto alle sue dimensioni (pietre compatte e non stratificate, calcestruzzo, calcestruzzo cellulare, legno...) Corpo disomogeneo corpo le cui eterogeneità sono del suo stesso ordine di grandezza (calcestruzzo armato)

55 La resistenza Corpo in materiale isotropo (ísos = uguale + trópos = direzione) corpo il cui comportamento fisico non varia con la direzione (un corpo omogeneo può essere anisotropo: ardesia, amianto, legno, lamiere metalliche deformate a freddo)

56 La resistenza / il corpo elastico Corpo elastico corpo ideale che sotto carico si deforma ma che riprende la forma iniziale all annullarsi del carico

57 La resistenza / il corpo elastico Effetti delle azioni esterne sui corpi omogenei e isotropi: le tensioni Tensioni (Pa): forze per unità di superficie che si scambiano le parti contigue di un corpo (1 MPa = 10,2 kg/cmq) Nei gas - la pressione è costante in ogni punto P - la pressione è sempre diretta ortogonalmente a da preso su un piano comunque scelto tra la stella di piani passanti per P (legge di Pascal) T -T T = cost Nei liquidi - la pressione idrostatica è funzione lineare della profondità del punto P (p = γh ) (legge di Stevino) - la pressione è sempre diretta ortogonalmente a da T -T T =γh Nei solidi - la pressione è variabile in modo complesso da punto a punto in relazione alle forze esterne - la pressione non è (in genere) ortogonale al piano da - la pressione varia in funzione del piano da T T =f(p, da) -T

58 La resistenza / il corpo elastico Effetti delle azioni esterne sui corpi omogenei e isotropi: le tensioni N = R Σ = N/A (pressione media sull areola unitaria) σ = lim (ΔF/ΔA) per ΔA 0 (pressione locale nel punto P) σ = df/da (tensione) N = A df = A σ da (equilibrio tra sforzo normale e tensioni normali)

59 La resistenza / il corpo elastico Effetti delle azioni esterne sui corpi omogenei e isotropi: le tensioni Tensioni (Pa): forze per unità di superficie che si scambiano le parti contigue di un corpo (1 MPa = 10,2 kg/cmq) τ media = T/A Nei solidi - la pressione è variabile in modo complesso da punto a punto in relazione alle forze esterne - la pressione non è (in genere) ortogonale al piano da - la pressione varia in funzione del piano da

60 La resistenza / il corpo elastico Effetti delle azioni esterne sui corpi omogenei e isotropi: le tensioni Nei solidi - la pressione è variabile in modo complesso da punto a punto in relazione alle forze esterne - la pressione non è (in genere) ortogonale al piano da - la pressione varia in funzione del piano da

61 La resistenza / il corpo elastico Effetti delle azioni esterne sui corpi omogenei e isotropi: le tensioni N = R T = 0

62 La resistenza / il corpo elastico Effetti delle azioni esterne sui corpi omogenei e isotropi: le tensioni N = R cosγ T = R senγ

63 La resistenza / il corpo elastico Effetti delle azioni esterne sui corpi omogenei e isotropi: le tensioni e le deformazioni Deformazione: cambiamento della forma e delle dimensioni iniziali di un corpo soggetto ad azioni esterne l 0 A allungamento Δl = l l 0 N N l

64 La resistenza / il corpo elastico Effetti delle azioni esterne sui corpi omogenei e isotropi: le tensioni e le deformazioni Deformazione: cambiamento della forma e delle dimensioni iniziali di un corpo soggetto ad azioni esterne l 0 A allungamento Δl = l l 0 N N l 2l 0 2Δl N N ε = Δl / l 0 (dilatazione longitudinale)

65 La resistenza / il corpo elastico Effetti delle azioni esterne sui corpi omogenei e isotropi: le tensioni e le deformazioni Deformazione: cambiamento della forma e delle dimensioni iniziali di un corpo soggetto ad azioni esterne l 0 A allungamento Δl = l l 0 N N N l Δl = Δl 2A 2N l = l ε = Δl / l 0 (dilatazione longitudinale) σ = N/A (tensione media)

66 La resistenza / il corpo elastico Legge di comportamento a trazione di un materiale omogeneo e isotropo (acciaio) Valori indicativi del modulo di Young E (kg/cmq) Acciaio Rame Ghisa Alluminio Marmi Calcestruzzo Abete douglas Vetro greggio Mattoni ordinari Piombo Legge di Hooke ( ) σ = E ε

67 La resistenza / il corpo elastico Dilatazione longitudinale / contrazione trasversale (corpo di dimensioni unitarie) ε x /2 -ε y /2 ε y = -νε x modulo di Poisson (0 < ν < 0,5) 1 1

68 La resistenza / il corpo elastico Dilatazione longitudinale / contrazione trasversale (corpo di pietra di dimensioni non unitarie) ΔL/2 ΔS/2 pietra (ν = 0,15) S = 100 mm L = 1000 mm ε y = -νε x modulo di Poisson (0 < ν < 0,5) se ε x = ΔL/L = 1/1000 ε y = - 0,15 x (1/1000) = ΔS/S ΔS = -(0,15 x 1/1000) x 100 = -15/1000 mm (se il corpo di pietra 100x10 mm venisse allungato di 1 mm, contemporaneamente si stringerebbe di 15/1000 mm )

69 La resistenza / il corpo elastico Deformazioni e temperatura coefficiente di dilatazione termica ΔL t = αδt L ΔL e = (σ/e) L ε t = αδt ε e = σ/e per ε t = ε e (deformazione impedita) σ = E α Δt deformazione impedita deformazione consentita esempio: σ = x (10/ ) x 1 = 22 kg/cmq incremento di tensione in una barra di acciaio incastrata per ogni incremento di temperatura di 1 C

70 La resistenza / il corpo elastico Principio di sovrapposizione degli effetti: l effetto prodotto da più cause agenti contemporaneamente è uguale alla somma degli effetti prodotti dalle cause prese separatamente M S N T = + + s s s s

71 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / le tensioni dovute a M σ x = Ky = (M/J) y con J = A y 2 da (J = bh 3 /12, per la sezione rettangolare) piano medio / piano di flessione area tesa linea d asse M asse neutro σ max = 6M/bh 2 b G y σ max h area compressa -σ max σ max

72 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / le tensioni dovute a M Il momento d inerzia da a J a = A y 2 da y h b a.n. a a.n. a a.n. h a.n. r a.n. b J = bh 3 /12 J = a 4 /12 J = a 4 /12 J = bh 3 /36 J = πr 4 /4

73 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / le tensioni dovute a N P σ = df/da N = A df = A σda da s N = P σ

74 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / le tensioni dovute a N P σ = df/da N = A df = A σda s N = P σ = cost (per il principio di conservazione delle sezioni piane)

75 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / le tensioni dovute a N P σ = df/da N = A df = A σda = σ A da = σ A σ = N/A s N = P σ = cost (per il principio di conservazione delle sezioni piane)

76 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / le tensioni dovute a N e M S σ c = N/A = cost

77 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / le tensioni dovute a N e M S S σ c = N/A = cost σ max f = 6M/bh 2 = (6N/bh 2 ) e S = cost

78 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / le tensioni dovute a N e M S S = S 1 S 2 S 2 S 1 S σ c = N/A = cost σ max f = 6M/bh 2 = (6N/bh 2 ) e S = cost

79 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / le tensioni dovute a N e M S S = S 1 S 2 S S 2 S 1 S σ c = N/A = cost σ max f = 6M/bh 2 = (6N/bh 2 ) e S = cost N/bh = (6N/bh 2 ) e lim e lim = h/6 Se il centro di pressione non fuoriesce dal terzo medio, il pilastro di sezione rettangolare è solo compresso

80 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / il carico eccentrico N S σ c s

81 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / il carico eccentrico N σ c > σ c s S

82 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / il carico eccentrico N S 2σ c s

83 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / il carico eccentrico N S = S 1 S 2 S 2 S 1 > 2σ c s

84 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / il carico eccentrico N S 2 S 1 > 2σ c S = S 1 S 2 s

85 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / il carico eccentrico N S 2 S 1 > 2σ c S = S 1 S 2 s

86 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / il carico eccentrico se 0 < e h/6 il pilastro è solo compresso se h/6 < e < il pilastro è teso e compresso (attenzione a σ max ) h/6 s

87 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / l instabilità A min = P/σ max P A min P A min /10 schiacciamento svergolamento travertino: σ max = 90 kg/cmq ghisa: σ max = 900 kg/cmq

88 Le tensioni nel pilastro a comportamento elastico lineare / l instabilità A min = P/σ max P A min P A min /10 Il carico massimo (P u ) che un pilastro può sopportare è in funzione di: a) area della sezione b) lunghezza del pilastro c) forma della sezione P P schiacciamento svergolamento A lim /10 A lim /10 schiacciamento svergolamento travertino: σ max = 90 kg/cmq ghisa: σ max = 900 kg/cmq riduzione della lunghezza cambiamento della sezione

89 Le tensioni nel pilastro / ottimizzazione della sezione del pilastro Il pilastro compresso snello P E = π 2 (E J min )/(αl) 2 L o P E /4 P E 2P E 4P E

90 Le tensioni nel pilastro / ottimizzazione della sezione del pilastro Il pilastro compresso snello P E = π 2 (E J min )/(αl) 2 Valori indicativi di E (kg/cmq) P E /4 P E 2P E 4P E Acciaio Rame Ghisa Alluminio Marmi Calcestruzzo Abete douglas Vetro greggio Mattoni ordinari Piombo

91 J max = bh 3 /12 Sistemi costruttivi a muri portanti / considerazioni statiche generali Le tensioni nel pilastro / ottimizzazione della sezione del pilastro Il pilastro compresso snello P E = π 2 (E J min )/(αl) 2 J = A y 2 da a = bh π R 2 = a 2 J min = hb 3 /12 h b J = a 4 /12 = b 2 h 2 /12 < J max (> J min ) J = π R 4 /4 = a 4 /4π J = π/4 (R e 4 R i4 ) P E cerchio P E rettangolo P E quadrato P E corona

92 Le tensioni nel pilastro / ottimizzazione della sezione del pilastro / effetti delle discontinuità Il pilastro compresso snello P E = π 2 (E J min )/(αl) 2 J = A y 2 da Esempio: sia 400 kg il carico P distribuito agente sul pilastro e sia 800 kg il carico di Eulero P E 400 (P) / 800 (P E ) = 1/2 200 (P) / 400 (P E ) = 1/2 200 (P) / 100 (P E ) = 2 NO P > P E J min = hb 3 /12 b h J max = bh 3 /12 discontinuità h/2 J min = (h/2)b 3 /12 = J min /2 J min = h(b/2) 3 /12 = J min /8 discontinuità metà pilastro con carico dimezzato metà pilastro con carico dimezzato

93 Le tensioni nel pilastro / ottimizzazione della sezione del pilastro Il pilastro compresso tozzo A min = P/σ max A parità di area, qualsiasi sezione A P σ

94 Le tensioni nel pilastro / ottimizzazione della sezione del pilastro Il pilastro pressoinflesso tozzo e σ max = N/A + Ne y max /J A parità di area, sezione con J max elevato y max e A P

95 Le tensioni nel pilastro / ottimizzazione della sezione del pilastro Il pilastro pressoinflesso tozzo e σ max = N/A + Ne y max /J A parità di area, sezione con J max elevato J max J max e e e attenzione e

96 Le tensioni nel pilastro / ottimizzazione della sezione del pilastro Il pilastro compresso snello P E = π 2 (E J min )/(αl) 2 A parità di area, sezione con J min elevato π R 2 = a 2 a = bh J min = hb 3 /12 h b J = π R 4 /4 = a 4 /4π J = a 4 /12 J = π/4 (R e 4 R i4 )

97 Le tensioni nel pilastro / ottimizzazione della sezione del pilastro Il pilastro pressoinflesso snello e

98 Le tensioni nel pilastro / ottimizzazione della sezione del pilastro Il pilastro compresso tozzo P Il pilastro compresso snello P A min = P/σ max P E = π 2 (E J min )/(αl) 2 Il pilastro pressoinflesso tozzo Il pilastro pressoinflesso snello e P e P σ max = P/A + Pe y max /J

99 Le tensioni nel pilastro / l uniforme resistenza N σ = N/A S P σ = (N+P)/A S A x = αp e βx σ = (N+2P)/A P S x A x σ = (N+3P)/A P S

100 Le tensioni nel pilastro / il pilastro cerchiato pianta snelli

101 Le tensioni nel pilastro / il pilastro cerchiato P max = σ max A ΔL σ max = E (ΔL/L) max L ΔR/2 ΔR/2 0,10 0,15 pietre 0,33 acciaio (ΔR/2R)/(ΔL/L) = ε R /ε L = ν (modulo di Poisson)

102 Le tensioni nel pilastro / il pilastro cerchiato ΔL ΔR/2 ΔR/2

103 Le tensioni nel pilastro in muratura / il carico eccentrico N S σ c s

104 Le tensioni nel pilastro in muratura / il carico eccentrico N σ c > σ c s S

105 Le tensioni nel pilastro in muratura / il carico eccentrico N S 2σ c s

106 Le tensioni nel pilastro in muratura / il carico eccentrico N S A B s SEZIONE INERTE SEZIONE REAGENTE

107 Le tensioni nel pilastro in muratura / il carico eccentrico e N S = σ c h = σ c 3[(h/2) e]/2 σ c = [4 h/3(h 2e)] σ c S (con h/6 < e < h/2) se e h/2 allora σ c σ c s h

108 Le tensioni nel pilastro in muratura / il carico eccentrico se il materiale resiste a trazione: l eccentricità (e) può assumere qualsiasi valore (attenzione a σ max ) e N s h

109 Le tensioni nel pilastro in muratura / il carico eccentrico se il materiale resiste a trazione: l eccentricità (e) può assumere qualsiasi valore (attenzione a σ max ) se il materiale non resiste a trazione: deve essere e < h/2 con 0 < e h/6 l intera sezione è reagente con h/6 < e < h/2 la sezione è parzializzata (attenzione a σ max ) e N s h

110 Le tensioni nel pilastro in muratura / il nocciolo centrale d inerzia h/3 h/4 h/4 b/3 e = h/6 N e = h/8 N e = 2h/12 e = h/12 N h h h

111 Le tensioni nel pilastro in muratura / il nocciolo centrale d inerzia armatura

112 Esercizio Tra le infinite sezioni s di un pilastro di sezione rettangolare, quali sono le sezioni soggette a σ di sola compressione? PILASTRO IN MURATURA terzo medio P s centro di pressione s s } } solo solo compressione compressione, con sezione parzializzata non c è equilibrio

113 Esercizio Tra le infinite sezioni s di un pilastro di sezione rettangolare, quali sono le sezioni soggette a σ di sola compressione? PILASTRO IN MATERIALE RESISTENTE ANCHE A TRAZIONE terzo medio P s centro di pressione s s } } trazione solo compressione e compressione trazione e compressione se il pilastro è incastrato a terra non c è equilibrio se il pilastro non è incastrato a terra

114 Esercizio: Tra i seguenti pilastri, quale ti pare più adatto a sopportare il carico P? Perché? 1 P 2 P 3 P