Incontro Italo-Argentino di Matematica Pura e Applicata

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1 Incontro Italo-Argentino di Matematica Pura e Applicata Esempi di ricerche svolte presso il Dipartimento di Matematica U.Dini Fabio Rosso fabio.rosso@math.unifi.it Dipartimento di Matematica Ulisse Dini Università di Firenze, Italy Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.1/??

2 Problema di diffusione non lineare con assorbimento forte (collaborazione con Domingo Tarzia) Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.2/??

3 Problema di diffusione non lineare con assorbimento forte (collaborazione con Domingo Tarzia) Modello per la reazione diffusione di una sostanza ( =concentrazione) in una reazione chimica sotto l effetto combinato di diffusione e assorbimento. Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.2/??

4 Problema di diffusione non lineare con assorbimento forte (collaborazione con Domingo Tarzia) Modello per la reazione diffusione di una sostanza ( =concentrazione) in una reazione chimica sotto l effetto combinato di diffusione e assorbimento. Generalizzazione del problema di Dirichlet per l equazione di Fokker Planck Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.2/??

5 Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.3/??

6 Si studia il comportamento asintotico delle soluzioni. Si dimostra la convergenza alla soluzione stazionaria nella norma soluzioni. usando opportune sopra e sotto Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.3/??

7 PROBLEMI DI FILTRAZIONE NON STANDARD Filtrazione di un fluido in un mezzo poroso incomprimibile ma soggetto a deformazione (caffè). Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.4/??

8 PROBLEMI DI FILTRAZIONE NON STANDARD Filtrazione di un fluido in un mezzo poroso incomprimibile ma soggetto a deformazione (caffè). Conduttività idraulica e porosità dipendono dalla velocità volumetrica del fluido immesso nel mezzo con una pressione assegnata. Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.4/??

9 PROBLEMI DI FILTRAZIONE NON STANDARD Filtrazione di un fluido in un mezzo poroso incomprimibile ma soggetto a deformazione (caffè). Conduttività idraulica e porosità dipendono dalla velocità volumetrica del fluido immesso nel mezzo con una pressione assegnata. Una frontiera libera separa la zona asciutta dalla zona bagnata. Sistema quasi lineare iperbolico a frontiera libera. Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.4/??

10 cond. iniz. e al contorno Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.5/??

11 cond. iniz. e al contorno Esiste un unica soluzione globale nel tempo, che può essere continua oppure con infiniti shocks che corrispondono, dal punto di vista fisico, a degenerazioni del mezzo. Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.5/??

12 Problema a frontiera libera per la penetrazione di un liquido incomprimibile in presenza di granuli assorbenti che conseguentemente aumentano il loro volume (pannolini per neonati). Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.6/??

13 Problema a frontiera libera per la penetrazione di un liquido incomprimibile in presenza di granuli assorbenti che conseguentemente aumentano il loro volume (pannolini per neonati). Varia la porosità del mezzo, la cui conducibilità idraulica dipende dalla porosità stessa e dalla saturazione. Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.6/??

14 Problema a frontiera libera per la penetrazione di un liquido incomprimibile in presenza di granuli assorbenti che conseguentemente aumentano il loro volume (pannolini per neonati). Varia la porosità del mezzo, la cui conducibilità idraulica dipende dalla porosità stessa e dalla saturazione. Esistenza e unicità globale di una soluzione classica nel caso 1 D e esistenza di una soluzione debole anche nel caso 3 D. Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.6/??

15 Problema 1 D con due frontiere libere, una di penetrazione e una di saturazione Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.7/??

16 Problema 1 D con due frontiere libere, una di penetrazione e una di saturazione max cond. iniz. e al contorno Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.7/??

17 Problema 1 D con due frontiere libere, una di penetrazione e una di saturazione max cond. iniz. e al contorno Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.7/??

18 Solidificazione dei polimeri Cambiamenti di fase in un intervallo di temperatura dipendente dalla natura del polimero attraverso il processo di cristallizzazione (nucleazione e crescita) Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.8/??

19 Solidificazione dei polimeri Cambiamenti di fase in un intervallo di temperatura dipendente dalla natura del polimero attraverso il processo di cristallizzazione (nucleazione e crescita) Modello con parametro d ordine Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.8/??

20 Solidificazione dei polimeri Cambiamenti di fase in un intervallo di temperatura dipendente dalla natura del polimero attraverso il processo di cristallizzazione (nucleazione e crescita) Modello con parametro d ordine funzione positiva nell intervallo di cristallizzazione e 0 altrove, funzione positiva in. Equazione del calore più legge isocinetica fase liquida cristallizzazione completa Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.8/??

21 Solidificazione dei polimeri Cambiamenti di fase in un intervallo di temperatura dipendente dalla natura del polimero attraverso il processo di cristallizzazione (nucleazione e crescita) Modello con parametro d ordine funzione positiva nell intervallo di cristallizzazione e 0 altrove, funzione positiva in. Equazione del calore più legge isocinetica fase liquida cristallizzazione completa Soluzioni di tipo onda viaggiante. Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.8/??

22 Dinamica dei tumori nei sistemi biologici Modello compartimentale in cui le classi sono caratterizzate dallo stato di attività e dalla reazione delle cellule ai fattori esterni agenti sul sistema. Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.9/??

23 Dinamica dei tumori nei sistemi biologici Modello compartimentale in cui le classi sono caratterizzate dallo stato di attività e dalla reazione delle cellule ai fattori esterni agenti sul sistema. Studio della buona posizione del problema nel caso discreto e nel caso continuo Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.9/??

24 Dinamica dei tumori nei sistemi biologici Modello compartimentale in cui le classi sono caratterizzate dallo stato di attività e dalla reazione delle cellule ai fattori esterni agenti sul sistema. Studio della buona posizione del problema nel caso discreto e nel caso continuo Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.9/??

25 = massa totale del materiale organizzato che forma le cellule = massa totale di nutriente necessaria al metabolismo delle cellule =massa totale di molecole degenerate (non più disponibile per il processo metabolico), = tassi di crescita-morte e =tasso di degenerazione Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.10/??

26 Dispersioni liquido liquido Fenomeni caratteristici della dinamica in un contenitore: coalescenza e frammentazione Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.11/??

27 Dispersioni liquido liquido Fenomeni caratteristici della dinamica in un contenitore: coalescenza e frammentazione Modello classico per la funzione di distribuzione del volume al tempo Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.11/??

28 Dispersioni liquido liquido Fenomeni caratteristici della dinamica in un contenitore: coalescenza e frammentazione Nuovo modello per la funzione di distribuzione del volume al tempo. Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.11/??

29 Dispersioni liquido liquido Fenomeni caratteristici della dinamica in un contenitore: coalescenza e frammentazione Nuovo modello per la funzione di distribuzione del volume al tempo. Il termine di scattering è necessario per impedire la coalescenza delle gocce al di sopra del volume critico determinato dalla velocità di agitazione. Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.11/??

30 Fattore di efficienza Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.12/??

31 Fattore di efficienza Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.12/??

32 Fattore di efficienza numero di gocce per unità di volume Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.12/??

33 Fattore di efficienza numero di gocce per unità di volume di volume area interfacciale delle gocce per unità Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.12/??

34 coalescenza Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.13/??

35 Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.14/?? frammentazione

36 scattering Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.15/??

37 nucleo di scattering (guadagno) Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.16/??

42 nucleo di scattering (guadagno) nucleo di scattering (perdita) Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.16/??

43 Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.16/?? nucleo di scattering (guadagno) nucleo di scattering (perdita)

46 nucleo di scattering (guadagno) nucleo di scattering (perdita) Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.16/??

47 nucleo di scattering (guadagno) nucleo di scattering (perdita) s Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.16/?? lacements

48 Esistenza di un unica soluzione globale classica del problema di Cauchy sia per frammentazioni binarie che per frammentazioni multiple a partire da un dato Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.17/??

49 Calcolo delle Variazioni e equazioni alle derivate parziali Problema classico del Calcolo delle Variazioni: Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.18/??

50 Calcolo delle Variazioni e equazioni alle derivate parziali Problema classico del Calcolo delle Variazioni: dato il funzionale Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.18/??

51 Calcolo delle Variazioni e equazioni alle derivate parziali Problema classico del Calcolo delle Variazioni: dato il funzionale trovare nello spazio ammissibili tale che delle funzioni Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.18/??

52 Metodi Diretti: Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.19/??

53 Metodi Diretti: stabilire la semicontinuità inferiore di e la compattezza delle successioni minimizzanti assicura l esistenza del minimo Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.19/??

54 Metodi Diretti: stabilire la semicontinuità inferiore di e la compattezza delle successioni minimizzanti assicura l esistenza del minimo Aree di ricerca: Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.19/??

55 Metodi Diretti: stabilire la semicontinuità inferiore di e la compattezza delle successioni minimizzanti assicura l esistenza del minimo Aree di ricerca: Determinare la semicontinuitá inferiore di ( convessa, quasi convessa). Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.19/??

56 Metodi Diretti: stabilire la semicontinuità inferiore di e la compattezza delle successioni minimizzanti assicura l esistenza del minimo Aree di ricerca: Determinare la semicontinuitá inferiore di ( convessa, quasi convessa). Studiare le proprietà di regolarità di : per esempio provare che è localmente lipschitziana attraverso una stima della forma Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.19/??

57 Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.20/??

58 Eventuale esistenza o non esistenza di minimi quando non è semicontinuo inferiormente (caso non convesso e non quasiconvesso, teoria del rilassamento). Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.21/??

59 Eventuale esistenza o non esistenza di minimi quando non è semicontinuo inferiormente (caso non convesso e non quasiconvesso, teoria del rilassamento). Studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo implicito Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.21/??

60 Eventuale esistenza o non esistenza di minimi quando non è semicontinuo inferiormente (caso non convesso e non quasiconvesso, teoria del rilassamento). Studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo implicito Regolarità e semicontinuità in condizioni di crescita generale su (problema fisico: teoria della combustione, diffusione dei gas, fluidi elettroreologici. ) Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.21/??

61 Calcolo numerico Metodi numerici per equazioni differenziali. Riduzione (semidiscretizzazione) al caso ordinario: con condizioni iniziali o multipunto (ad es. a valori ai limiti) Contributi piu significativi: definizione di una nuova classe di metodi alle differenze, Boundary Value Methods (BVMs), che sono metodi impliciti a blocchi definiti mediante opportuni metodi lineari multistep. Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.22/??

62 Questi metodi sono caratterizzati dal fatto di approssimare, almeno dal punto di vista concettuale, un problema continuo ai valori iniziali, con uno discreto ai valori ai limiti. Questo consente di superare le ben note barriere di ordine di Dahlquist per LMF stabili, consentendo di definire metodi stabili di ordine arbitrariamente elevato. Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.23/??

63 Nella implementazione a blocchi di tali metodi (Block BVMs, o B assume la forma: VMs), il problema discreto generato dove le matrici e sono non singolari e caratteristiche del metodo, tinuo, i vettori e è la dimensione del problema con- contengono la soluzione discreta approssimata ed i corrispondenti valori della ed il vettore dipende da quantità note., Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.24/??

64 Metodo di risoluzione Implementazione blended dei metodi suddetti. dove. Definendo una opportuna funzione peso, e combinando le due precedenti equazioni con pesi, si perviene ad una formulazione mista (blended) dello stesso metodo. e Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.25/??

65 Per tale formulazione è estremamente semplice definire un efficiente splitting nonlineare diagonale, che permette di ottimizzare il costo computazionale dei metodi stessi. Questa implementazione è stata utilizzata nel codice di calcolo Fortran BiM (blended implicit methods), recentemente sviluppato. Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.26/??

66 Matematica Finanziaria Modello delle opzioni (Black Scholes, 1973). Le opzioni sono strumenti finanziari che danno il diritto ma non l obbligo di comprare (vendere) un titolo ad un determinato prezzo in un determinato periodo. Eq. prezzo del sottostante : dove Browniano, e =ritorno aspettato, =volatilità e =moto =prezzo opzione Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.27/??

67 Equazione per (parabolica backward) in dove =tasso di interesse spot e =tempo di esercizio dell opzione. La condizione finale è dove =prezzo pattuito per il sottostante, mentre la condizione al bordo, ossia quando è. Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.28/??

68 La nostra attività di ricerca consiste nel trattare modelli più generali di titoli strutturati (quali quelli relativi ai tassi di interesse, alle opzioni energetiche, a swaps) cercando anche di ottenere delle approssimazioni numeriche delle soluzioni. Si considera inoltre una modellizzazione dell andamento di un titolo non più basato su processi gaussiani ma su processi di Levy. Questo nuovo approccio ancora pioneristico ha anche ricadute in ambiti diversi da quelli di matematica finanziaria: ad esempio modellizzazione di traffico multimediale e descrizione di urbanistica diffusa. Conservatorio delle Montalve, 10 giugno 2002 p.29/??