Prova d esame di: Ottimizzazione (LM) Ottimizzazione dei Sistemi Complessi

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1 Corso di Laurea Magistrale e Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale 20 Luglio 2010 (Mattina) Domanda 1 (11 punti) Dato il problema di PNL: min f(x) h j (x) = 0, j = 1,..., m n con x R n, f C 2, e h j C 2, j = 1,..., m, descrivere il metodo di soluzione basato su funzioni Lagrangiane aumentate sequenziali, spiegandone le basi analitiche e motivandone i singoli passi. Dire infine quali modifiche intervengono se i vincoli, anziché essere di uguaglianza, sono di disuguaglianza: g i (x) 0, i = 1,..., p Domanda 2 (7 punti) Dato il problema di PNL: min f(x) g i (x) 0, i = 1,..., p h j (x) = 0, j = 1,..., m con x R n, f C 1, g i C 1, i = 1,..., p e h j C 1, j = 1,..., m, descrivere il metodo di soluzione basato su funzioni di penalitá esterna, enunciando e dimostrando i lemmi preliminari e il teorema di convergenza. 1

2 Corso di Laurea Magistrale e Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale 20 Luglio 2010 (Pomeriggio) Domanda 1 (11 punti) Dato il problema di PNL: min f(x) g i (x) 0, i = 1,..., p h j (x) = 0, j = 1,..., m con x R n, f C 1, g i C 1, i = 1,..., p e h j C 1, j = 1,..., m, descrivere il metodo di soluzione basato su funzioni di penalitá esterna, enunciando e dimostrando i lemmi preliminari e il teorema di convergenza. Domanda 2 (7 punti) Dato il problema di PNL: min f(x) h j (x) = 0, j = 1,..., m n con x R n, f C 2, e h j C 2, j = 1,..., m, descrivere il metodo di soluzione basato su funzioni Lagrangiane aumentate sequenziali, spiegandone le basi analitiche e motivandone i singoli passi. Dire infine quali modifiche intervengono se i vincoli, anziché essere di uguaglianza, sono di disuguaglianza: g i (x) 0, i = 1,..., p 2

3 Corso di Laurea Magistrale e Laurea Specalistica in Ingegneria Gestionale 20 Luglio Compito A (Mattina) Esercizio 1 (9 punti) Dato il problema di PNL: min x + y x 2 e y y 2 2x y 2 - (1.5 punti) dire se il problema ammette soluzione globale applicando il Teorema di Weierstrass (motivare la risposta analiticamente); - (0.5 punti) dire, motivando la risposta, se il problema è convesso; - (1 punto) dire, motivando la risposta, quali condizioni necessarie di ottimalità conviene utilizzare; - (3 punti) determinare tutti i punti che soddisfano le condizioni necessarie; - (1 punto) scegliere uno dei punti che soddisfano le condizioni necessarie e verificare se questo soddisfa anche le condizioni di ottimalità sufficienti del secondo ordine; - (2 punti) scrivere per il problema la funzione Lagrangiana aumentata sequenziale. Esercizio 2 (5 punti) Dato il problema multiobiettivo: min { y x x 2 + y 2 2 y x 0 x + y 0 } - (2 punti) Determinare per via grafica il vettore ideale degli obiettivi e le soluzioni che lo determinano; - (3 punti) Determinare almeno una soluzione di Pareto distinta dai punti ( 2, 0) T e (1, 1) T utilizzando il metodo degli ɛ-vincoli e risolvendo graficamente il problema scalarizzato. 3

4 Esercizio 3 (7 punti) Dato il problema di controllo ottimo: min J = 1 2 ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 3 (t) T 0 ( x1 (t) 2 + x 2 (t) 2 + u(t) 2) dt ẋ 3 (t) = x 1 (t) x 2 (t) + cos(u(t)) x 1 (0) = x 2 (0) = x 3 (0) = 0 x 1 (T ) = x 2 (T ) = 1 π u(t) π - (1 punto) Scrivere la funzione Hamiltoniana; - (2 punti) scrivere le equazioni di costato; - (2 punti) scrivere la condizione necessaria di ottimo data dal principio del massimo; - (2 punti) scrivere l ulteriore condizione necessaria che si otterrebbe se il tempo finale T fosse libero. 4

5 Corso di Laurea Magistrale e Laurea Specalistica in Ingegneria Gestionale 20 Luglio Compito B (Mattina) Esercizio 1 (9 punti) Dato il problema di PNL: max x y y 2 e x x 2 2y x 2 - (1.5 punti) dire se il problema ammette soluzione globale applicando il Teorema di Weierstrass (motivare la risposta analiticamente); - (0.5 punti) dire, motivando la risposta, se il problema è convesso; - (1 punto) dire, motivando la risposta, quali condizioni necessarie di ottimalità conviene utilizzare; - (3 punti) determinare tutti i punti che soddisfano le condizioni necessarie; - (1 punto) scegliere uno dei punti che soddisfano le condizioni necessarie e verificare se questo soddisfa anche le condizioni di ottimalità sufficienti del secondo ordine; - (2 punti) scrivere per il problema la funzione Lagrangiana aumentata sequenziale. Esercizio 2 (5 punti) Dato il problema multiobiettivo: max { x y } x 2 + y 2 2 y x 0 x + y 0 - (2 punti) Determinare per via grafica il vettore ideale degli obiettivi e le soluzioni che lo determinano; - (3 punti) Determinare almeno una soluzione di Pareto distinta dai punti ( 2, 0) T e (1, 1) T utilizzando il metodo degli ɛ-vincoli e risolvendo graficamente il problema scalarizzato. 5

6 Esercizio 3 (7 punti) Dato il problema di controllo ottimo: T min J = 1 ( x2 (t) 2 + x 3 (t) 2 + u(t) 2) dt 2 0 ẋ 1 (t) = x 1 (t) x 2 (t) + cos(u(t)) ẋ 2 (t) = x 1 (t) ẋ 3 (t) = x 2 (t) x 1 (0) = x 2 (0) = x 3 (0) = 0 x 2 (T ) = x 3 (T ) = 1 π u(t) π - (1 punto) Scrivere la funzione Hamiltoniana; - (2 punti) scrivere le equazioni di costato; - (2 punti) scrivere la condizione necessaria di ottimo data dal principio del massimo; - (2 punti) scrivere l ulteriore condizione necessaria che si otterrebbe se il tempo finale T fosse libero. 6

7 Corso di Laurea Magistrale e Laurea Specalistica in Ingegneria Gestionale 20 Luglio Compito A (Pomeriggio) Esercizio 1 (9 punti) Dato il problema di PNL: min x + y z x 2 + y 2 e z z 1 - (1.5 punti) dire se il problema ammette soluzione globale applicando il Teorema di Weierstrass (motivare la risposta analiticamente); - (0.5 punti) dire, motivando la risposta, se il problema è convesso; - (1 punto) dire, motivando la risposta, quali condizioni necessarie di ottimalità conviene utilizzare; - (3 punti) determinare tutti i punti che soddisfano le condizioni necessarie; - (1 punto) scegliere uno dei punti che soddisfano le condizioni necessarie e verificare se questo soddisfa anche le condizioni di ottimalità sufficienti del secondo ordine; - (2 punti) scrivere per il problema la funzione Lagrangiana aumentata sequenziale. Esercizio 2 (7 punti) Dato il problema multiobiettivo: { x min y x 0 x y 3 0 y 10 } - (2 punti) Determinare per via grafica il vettore ideale degli obiettivi e le soluzioni che lo determinano; - (3 punti) Determinare almeno una soluzione di Pareto distinta dai punti (0, 0) T e (1000, 10) T utilizzando il metodo degli ɛ-vincoli e risolvendo graficamente il problema scalarizzato; - (2 punti) Dire se la soluzione trovata al punto precedente è una soluzione debole o forte. 7

8 Esercizio 3 (5 punti) Dato il problema di controllo ottimo: min J = T 0 2ẋ 1 (t) = x 2 (t) 2ẋ 2 (t) = u(t) x 1 (0) = x 2 (0) = 1 x 1 (T ) = x 2 (T ) = 0 - (3 punti) Scrivere le condizioni di ottimalitá; ( x1 (t) 2 + x 2 (t) 2 + 2u(t) 2) dt - (2 punti) scrivere il problema di ottimizzazione nonlineare che si ottiene discretizzando rispetto al tempo. 8

9 Corso di Laurea Magistrale e Laurea Specalistica in Ingegneria Gestionale 20 Luglio Compito B (Pomeriggio) Esercizio 1 (9 punti) Dato il problema di PNL: max x y z y 2 + z 2 e x x 1 - (1.5 punti) dire se il problema ammette soluzione globale applicando il Teorema di Weierstrass (motivare la risposta analiticamente); - (0.5 punti) dire, motivando la risposta, se il problema è convesso; - (1 punto) dire, motivando la risposta, quali condizioni necessarie di ottimalità conviene utilizzare; - (3 punti) determinare tutti i punti che soddisfano le condizioni necessarie; - (1 punto) scegliere uno dei punti che soddisfano le condizioni necessarie e verificare se questo soddisfa anche le condizioni di ottimalità sufficienti del secondo ordine; - (2 punti) scrivere per il problema la funzione Lagrangiana aumentata sequenziale. Esercizio 2 (7 punti) Dato il problema multiobiettivo: { y min x y 0 y x 3 0 x 10 } - (2 punti) Determinare per via grafica il vettore ideale degli obiettivi e le soluzioni che lo determinano; - (3 punti) Determinare almeno una soluzione di Pareto distinta dai punti (0, 0) T e (10, 1000) T utilizzando il metodo degli ɛ-vincoli e risolvendo graficamente il problema scalarizzato; - (2 punti) Dire se la soluzione trovata al punto precedente è una soluzione debole o forte. 9

10 Esercizio 3 (5 punti) Dato il problema di controllo ottimo: min J = T 0 2ẋ 1 (t) = x 2 (t) 2ẋ 2 (t) = u(t) x 1 (0) = x 2 (0) = 0 x 1 (T ) = x 2 (T ) = 1 - (3 punti) Scrivere le condizioni di ottimalitá; ( x1 (t) 2 + x 2 (t) 2 + 2u(t) 2) dt - (2 punti) scrivere il problema di ottimizzazione nonlineare che si ottiene discretizzando rispetto al tempo. 10