Prova d esame di Ottimizzazione (LM)

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1 Corso di Laurea Magistrale e Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Prova d esame di Ottimizzazione (LM) 4 Luglio 2011 Domanda 1 (11 punti) Sia f : R n R una funzione quadratica: f(x) = 1 2 xt Qx + c T x con Q matrice simmetrica e definita positiva. Dimostrare che il metodo del gradiente con ricerca di linea esatta converge all unico punto di imo x = Q 1 c. Domanda 2 (7 punti) Dato il problema: f(x) h j (x) = 0, j = 1,..., m n con f : R n R, h j : R n R, j = 1,..., m, descrivere il metodo di soluzione basato su funzioni lagrangiane aumentate sequenziali, spiegandone le basi analitiche e motivandone i singoli passi. 1

2 Corso di Laurea Magistrale e Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Prova d esame di Ottimizzazione dei Sistemi Complessi 4 Luglio 2011 Domanda 1 (11 punti) Dato il problema: f(x) h j (x) = 0, j = 1,..., m n con f : R n R, h j : R n R, j = 1,..., m, descrivere il metodo di soluzione basato su funzioni lagrangiane aumentate sequenziali, spiegandone le basi analitiche e motivandone i singoli passi. Domanda 2 (7 punti) Dato il problema: f(x) g i (x) 0, i = 1,..., p h j (x) = 0, j = 1,..., m n con x R n, f C 2, g i C 2, h j C 2, enunciare e dimostrare le condizioni sufficienti del secondo ordine. 2

3 Corso di Laurea Magistrale e Laurea Specalistica in Ingegneria Gestionale Prova d esame di: Ottimizzazione (LM) Ottimizzazione dei Sistemi Complessi 4 Luglio Compito A Esercizio 1 (9 punti) Dato il problema di PNL: (x + 4) 2 x y 2 (x 4) 2 + y (1 punto) dire se il problema è convesso, motivando la risposta analiticamente; - (2 punti) dire se il problema ammette soluzione globale, motivando la risposta analiticamente; - (3 punti) deterare i punti che soddisfano le condizioni di KKT; - (1 punto) scegliere uno dei punti di KKT trovati e verificare se soddisfa le condizioni sufficienti di ottimalità del secondo ordine; - (2 punti) scrivere per il problema la funzione Lagrangiana aumentata sequenziale e le formule di aggiornamento dei moltiplicatori. Esercizio 2 (6 punti) Dato il problema con piú obiettivi: max x y x 2 + y 2 4 x y 0 x + y 0 - (2 punti) aiutandosi anche con una rappresentazione grafica, deterare il vettore ideale z1 id, z2 id degli obiettivi e le soluzioni ammissibili x id 1, x id 2 che lo deterano; - (3 punti) deterare almeno una soluzione di Pareto distinta dalle soluzioni x id 1 e x id 2 utilizzando il metodo degli ɛ-vincoli e risolvendo graficamente il problema scalarizzato; - (1 punto) dire, motivando la risposta, se la soluzione di Pareto deterata al punto precedente è debole o forte. 3

4 Esercizio 3 (6 punti) Dato il problema di controllo ottimo con T fissato: 1 2 (x 3(T )) ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 3 (t) T ẋ 3 (t) = x 1 (t) x 2 (t) + cos(u(t)) x 1 (0) = x 2 (0) = x 3 (0) = 1 x 1 (T ) = x 2 (T ) = 0 π u(t) π - (1 punto) scrivere la funzione Hamiltoniana; - (2 punti) scrivere le equazioni di costato; 0 ( x1 (t) 2 + x 2 (t) 2 + u(t) 2) dt - (2 punti) scrivere la condizione necessaria di ottimo data dal principio del massimo; - (1 punto) scrivere l ulteriore condizione necessaria che si otterrebbe se il tempo finale T fosse libero. 4

5 Corso di Laurea Magistrale e Laurea Specalistica in Ingegneria Gestionale Prova d esame di: Ottimizzazione (LM) Ottimizzazione dei Sistemi Complessi 4 Luglio Compito B Esercizio 1 (9 punti) Dato il problema di PNL: y 2 x 2 y x 2 + (y 4) (1 punto) dire se il problema è convesso, motivando la risposta analiticamente; - (2 punti) dire se il problema ammette soluzione globale, motivando la risposta analiticamente; - (3 punti) deterare i punti che soddisfano le condizioni di KKT; - (1 punto) scegliere uno dei punti di KKT trovati e verificare se soddisfa le condizioni sufficienti di ottimalità del secondo ordine; - (2 punti) scrivere per il problema la funzione Lagrangiana aumentata sequenziale e le formule di aggiornamento dei moltiplicatori. Esercizio 2 (6 punti) Dato il problema con piú obiettivi: max x y x 2 + y 2 4 x y 0 x + y 0 - (2 punti) aiutandosi anche con una rappresentazione grafica, deterare il vettore ideale z1 id, z2 id degli obiettivi e le soluzioni ammissibili x id 1, x id 2 che lo deterano; - (3 punti) deterare almeno una soluzione di Pareto distinta dalle soluzioni x id 1 e x id 2 utilizzando il metodo degli ɛ-vincoli e risolvendo graficamente il problema scalarizzato; - (1 punto) dire, motivando la risposta, se la soluzione di Pareto deterata al punto precedente è debole o forte. 5

6 Esercizio 3 (6 punti) Dato il problema di controllo ottimo con T fissato: T 1 2 (x 1(T )) ( x2 (t) 2 + x 3 (t) 2 + u(t) 2) dt 2 0 ẋ 1 (t) = x 2 (t) x 3 (t) + cos(u(t)) ẋ 2 (t) = x 1 (t) ẋ 3 (t) = x 2 (t) x 1 (0) = x 2 (0) = x 3 (0) = 1 x 2 (T ) = x 3 (T ) = 0 π u(t) π - (1 punto) scrivere la funzione Hamiltoniana; - (2 punti) scrivere le equazioni di costato; - (2 punti) scrivere la condizione necessaria di ottimo data dal principio del massimo; - (1 punto) scrivere l ulteriore condizione necessaria che si otterrebbe se il tempo finale T fosse libero. 6