Terza raccolta di esercizi (Gli esercizi sono tutti da compiti d esame )

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1 1. Sia data la regione ammissibile definita da Terza raccolta di esercizi (Gli esercizi sono tutti da compiti d esame ) x 3 y 0 x 3 + y 0 x 1 Si disegni la regione ammissibile e si disegni il cono tangente nei seguenti tre punti: (0,0) (1,0) (1,1) Dire se nel punto (0,0) è soddisfatta la condizione di lineare indipendenza dei vincoli attivi. 2. Si consideri la regione ammissibile definita dal sistema e la si disegni. (i) Si mostri analiticamente che la regione e convessa (x 1 1) 2 + x (x 1 + 1) 2 + x Si verifichi che in ogni punto ammissibile è soddisfatta la lineare indipendenza dei gradienti dei vincoli attivi. È verificata la condizione di Slater? Dare l espressione analitica del cono tangente in (0, 3). 3. Si consideri il problema di ottimizzazione (a) La regione ammissibile è un poliedro? (b) La regione ammissibile è limitata? (c) La regione ammissibile contiene rette? f(x, y) 3x + y 4, x 2 + y 2 2 x + 3y 4 2x + 4y 8 (d) Si consideri il punto (1,1): è soddisfatta la condizione di Lineare Indipendenza dei vincoli attivi? (e) È verificata la condizione di Slater? (f) Si dia l espressione analitica del cono tangente in (1,1) 4. Si consideri la seguente regione ammissibile x + y 1 y 0

2 (a) La regione ammissibile è un poliedro? (b) La regione ammissibile contiene rette? (c) La regione ammissibile ha un vertice? Se sì, dire quali sono. (d) Si disegni il cono tangente nei punti (1,0), (0,0), (1/2,1/2) e (1/4, 1/4)e per il primo e il terzo se ne dia l espressione analitica. 5. Si consideri il seguente sistema di vincoli (a) L insieme definito da questi vincoli è un poliedro? (b) È soddisfatta la condizione di Slater? x 2 + y 2 1 y 0. (c) Si dia l espressione analitica del cono tangente in (0, 0) e in (1, 0). In questi due punti sono soddisfatte le condzioni di Mangasarian Fromovitz? 6. Sia data la regione ammissibile definita da (a) Si calcolino tutti iv ertici di questo poliedro x 1 + x 2 + 2x 3 2 x 1 x 2 + x 3 2 (b) Si scriva l espressione del cono tangente nell origine 7. Si consideri la funzione f(x) = 5x x x x 3 + 6x 1 x 2 + 5x 2 e si deteri se è (strettamente) convessa o meno (Suggerimento: studiate la matrice Hessiana per la convessità; per deterare la stretta convessità la cosa migliore e ragionare sulla funzione, traendo qualche suggerimento dalla struttura della matrice Hessiana). 8. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione non vincolata 1 2 x2 1 + x 1 x 2 + 2x 2 2 4x 1 4x 2 x 3 2 (a) La funzione obiettivo è coerciva? (b) Si calcolino i punti stazionari e se ne deteri la natura (c) Il problema ammette un imo globale? (d) La funzione obiettivo è convessa su R 2? E su C = {(x 1, x 2 ) : x 2 1}? 9. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione non vincolata 2x 2 + αxy y2 x + 2y (a) Per quali valori di α la funzione è convessa? (b) Per α = 2 si trovino tutti i punti stazionari e se ne deteri la natura (c) Per α = 3 si trovino tutti i punti stazionari e se ne deteri la natura

3 (d) Per α = 4 si trovino tutti i punti stazionari e se ne deteri la natura 10. Calcolate tutti i punti stazionari (non vincolati) della funzione f(x, y) = e 2x (x + y 2 + 2y) e, per ognuno di essi, deteratene la natura (imo o massimo locale o nessuno dei due) usando le condizioni del second ordine. 11. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione non vincolata (a) La funzione obiettivo è coerciva? 2x 3 + 6xy y 2 4y (b) si calcolino i punti stazionari e se ne deteri la natura (c) La funzione obiettivo è convessa? (d) Il problema ammette un ottimo globale? 12. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione non vincolata dove α è un parametro. 2x y2 + αxy y (a) Deterare per quali valori di α la funzione obiettivo è fortemente convessa, convessa o non convessa. (b) Deterare, al variare di α, i punti stazionari. (c) Per quali valori di α i punti stazionari trovati sono punti di imo? 13. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione non vincolata x 3 + y 3 + 2x 2 + 4y (a) Se ne detero i punti stazionari e, per ognuno di essi, si usino le condizioni del second ordine per deterarne (se possibile) la natura. (b) La funzione obiettivo è coerciva? Convessa? (c) Il problema considerato ammette un ottimo globale? 14. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione non vincolata 2x 3 3x 2 6xy(x y 1) (a) Si deterino tutti i punti stazionari e la loro natura. (b) Il problema ammette un ottimo globale? 15. Calcolate tutti i punti stazionari (non vincolati) della funzione f(x, y) = 9x x 1 16x x 2 55 e, per ognuno di essi, deteratene la natura (imo o massimo locale o nessuno dei due) usando le condizioni del second ordine. 16. Sia dato il problema di ottimizzazione non vincolato: dove α è una costante. Si deteri x x αx 1 x 2

4 (a) Per quali valori di α la funzione è convessa (b) I punti stazionari del problema per α = 2 e la loro natura (c) Il punto stazionario per α = 3 e la sua natura 17. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione non vincolata (a) La funzione obiettivo è convessa? (b) La funzione obiettivo è coerciva? 1 3 x x2 + 2xy y2 y (c) Calcolare i punti stazionari e, utilizzando le condzioni del secondo ordine, deterare la natura dei punti così trovati. 18. Sia dato il problema di ottimizzazione non vincolato: f(x 1, x 2, x 3 ) = 1 2 x x2 2 + x x 1 x 3 x 2 x 3 2x 1 x 2 x 3 (i) Si deteri se la funzione è convessa o strettamente convessa, giustificando la risposta. (ii) Si detero i punti che soddisfano le condizioni necessarie del primo ordine e si stabilisca se possibile, di che tipo di soluzioni si tratta (imi (globali/locali)/massimi (globali/locali)/sella). 19. Si consideri il problema di ottimizzazione non vincolata x 2 + axy + y 2 x. (a) Si deteri per quali valori della costante a la funzione obiettivo è convessa. (b) Si assuma a = 1 e si spieghi perché il problema ha un unica soluzione ottima. La si calcoli quindi utilizzando le condizioni del prim ordine. (c) Si assume ora a = 2 e si mostri che il problema non ha soluzioni ottime (conviene utilizzare di nuovo le condizioni del prim ordine). (d) Sempre nel caso a = 2 spiegare come, utilizzando il teorema di Frank-Wolfe, si deduce che il problema è illimitato inferiormente. 20. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione non vincolata (a) La funzione obiettivo è convessa? (b) La funzione obiettiva è coerciva? 2x 2 + xy + y 2 + yz + z 2 6x 7y 8z + 11 (c) Si deterino tutti i punti stazionari e la loro natura. (d) Il problema ammette un ottimo globale? 21. Mostrare che la funzione f(x, y) = x 5 + (y x 2 ) 2 ha un solo punto stazionario e calcolarlo: sia x. Mostrare quindi che in x sono soddisfatte le condizioni necessarie di imo del secondo ordine, ma non quelle sufficienti. Mostrare infine che x non è un punto di imo, esaando la funzione in punti del tipo x = ɛ, y = ɛ 2. La funzione f è convessa su R 2?

5 22. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione non vincolata 3x 3 + y 2 + 2xy + x. Deterare tutti i punti satazionari e la loro natura (punto di imo locale, punto di imo globale, punto di sella, punto di massimo locale o punto di massimo globale) 23. Si consideri la funzione f(x, y) = x 3 + 2x 2 + 2xy y2 + 10x + 7y 2 (a) Individuare l insieme (più grande) su cui f(x, y) è convessa. (b) Deterare se sull insieme C = {(x, y) : x 1} la funzione è strettamente convessa. (c) Deterare se la funzione è coerciva sul prima quadrante. 24. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione non vincolata x 1 (1 x 2 ) + x 3 (3 x 2 3) (a) Se ne detero i punti stazionari e, per ognuno di essi, si usino le condizioni del second ordine per deterarne (se possibile) la natura. (b) Il problema ammette un ottimo globale? (giustificare la risposta) (c) La funzione obiettivo è convessa? (giustificare la risposta) 25. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione non vincolata (a) La funzione obiettivo è coerciva? x 3 + e 3y 3xe y (b) Si mostri che il punto x = 1 e y = 0 è l unico punto stazionario del problema. (c) Si deteri, usando le condizioni del secondo ordine se il punto (1,0) è un punto di imo locale, di massimo locale o di sella. (d) Il problema ammette un ottimo globale? 26. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione non vincolata e x+y x y (a) Si deterino tutti i punti di imo (globale), giustificando la procedura seguita (b) La funzione obiettivo è coerciva? (c) La funzione obiettivo è convessa? (d) La funzione obiettivo è strettamente convessa? (e) Il problema considerato ammette (almeno) un ottimo globale? 27. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata e x + x 2 y x + y 2 4 y 0

6 (a) Il problema è convesso? (b) Il problema è illimitato inferiormente? (c) Scrivere il sistema di KKT (d) Deterare l unico tra i seguneti tre punti che soddisfa le condizioni di KKT: (0,0), (0,2), (5,0). (e) Per il punto di KKT deterato, verificare se sono soddisfatte le condizioni necessarie del secondo ordine. (f) Per il punto di KKT deterato, verificare se sono soddisfatte le condizioni sufficienti del secondo ordine. 28. Dato il seguente problema di ottimizzazione vincolata non lineare (i) Dite se il problema è convesso. (ii) Scrivete le Condizioni di KKT per il problema. 1 2 x x2 2 + x x 1 x 3 x 2 x 3 2x 1 x 2 x 3 x 1 2x 2 + 5x 3 1 x 1 x 2 + 3x 3 = 2 x 1 0, x 2 0, x 3 0. (iii) Verificate che il punto x = (0, 0, 2 3 )T è un punto stazionario (v) Qual è la natura del punto x = (0, 0, 2 3 )T? 29. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata: x 2 + (y + 1) 2 y(x 1) 0 y e x y e x Si risponda, motivando le risposte ove possibile, alle seguenti domande (a) Il problema ammette un punto di imo globale? (b) La funzione obiettivo è convessa? strettamente convessa? (c) Il problema è convesso? (d) Risolvere graficamente il problema. (e) Si scrivano le condizioni di KKT per il problema. (f) Si deteri graficamente la natura del punto (1, e 1 ). (g) Nel punto (1, e 1 ) è soddisfatta qualche condizione di regolarità dei vincoli? (h) Verificare se in (1, e 1 ) sono soddisfatte le condizioni di KKT (i) Verificare che in (0,0) sono soddisfatte le condizioni di KKT e le condizioni necessarie di imo del second ordine. 30. Si consideri il problema di ottimizzazione max x 1 x x (x 1 1) 2 + x x 2 0

7 (a) Si disegni la regione ammissibile (b) Si disegnino le linee di livello della funzione obiettivo, specificando la direzione che corrisponde a linee di livello di valore crescente (c) Il problema è convesso? (giustificare la risposta, rispondere semplicemente sì o no non è sufficiente) (d) Si deteri la soluzione ottima (e) Si disegni il cono tangente. Coincide con il cono linearizzato? (f) È soddisfatta la condizione di Abadie? Quella di Managsarian-Fromovitz? La lineare indipendenza dei vincoli attivi? (g) E possibile trovare moltiplicatori che insiame alla soluzione ottima soddisfino le condizioni di KKT/ Se la risposta e affermativa, esibite un insieme di moltiplicatori, se negative spiegate il perché. 31. Si consideri il seguente problema di imizzazione 1 2 (x 1 1) x2 2 x 1 + βx 2 2 = 0, dove β è un parametro che può assumere qualunque valore reale. (a) Per quali valori di β il problema è convesso? (Attenzione! Il vincolo è di uguaglianza...) (b) Si consideri il punto x = (0, 0) e si mostri che per qualunque valore di β il punto x soddisfa le condizioni di KKT. (c) Si deteri per quali valori di β il punto x soddisfa anche le condizioni sufficienti del second ordine. 32. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata xy x + y = 1 y 0 (a) Perché possiamo affermare che il problema ammette almeno una soluzione ottima (globale)? (b) In una soluzione ottima, può succedere che una delle due variabili sia nulla? (c) Tenendo conto della risposta al punto b, deterare la soluzione ottima del problema usando le condizioni di KKT. (d) Quanti punti di imo (globale) ha questo problema? 33. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata x y x 2 + y 2 1 (x 1) 2 + y 2 1 y 1 2 (a) Si può affermare a priori che questo problema ha una soluzione ottima? Perché? (b) La funzione obiettivo è convessa? La funzione obiettivo è fortemente convessa? (c) Il problema è convesso?

8 (d) Scrivere il sistema di KKT (e) Deterare graficamente la soluzione ottima. (f) Verificare che nella soluzione ottima calcolata graficamente sono soddisfatte le condizioni di KKT (g) Verificare se, nello stesso punto sono soddisfatte le condizioni sufficienti di ottimalità del secondo ordine 34. Un classico problema di geometria, studiato fin dall epoca degli antichi Greci, è quello di deterare, tra tutti i rettangoli di dato perimetro p, quello di area massima. Dette x e y le lunghezze dei due lati del rettangolo, questo problema può essere formulato come max xy x + y = p/2, y 0 Si risponda alle seguenti domande (a) Perché si può affermare che questo problema ammette sicuramente una soluzione? (b) Spiegare perchè all ottimo (globale) il secondo e il terzo vincolo non possono essere attivi (niente di complicato, semplici osservazioni di buon senso, se necessario l interpretazione del problema data all inizio dovrebbe aiutare molto...) (c) Scrivere le condizioni di KKT per questo problema (d) Trovare quindi l unico punto di KKT del sistema in cui il secondo e terzo vincolo non sono attivi e argomentare che questo deve essere il punto di massimo. Qual è la lunghezza dei lati che massimizza l area? 35. Si consideri il problema di ottimizzazione x 5 + (y x 2 ) 2 x y 0 Scrivete le condizioni di KKT e verificate che nell origine sono soddisfatte sia le condizioni di KKT che quelle sufficienti di imo del secondo ordine. Disegnate il cono tangente all insieme nell origine. 36. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata (a) Il problema è convesso? (x 1 12) 2 + (x 2 + 6) 2 x x 1 + x x (x 1 9) 2 + x x 1 + 4x 2 = 20 (b) Considerate il punto (2, 1) e verificate se soddisfa le condizioni di KKT (c) Nel punto (2, 1) verificate che almeno una condizione di regolarità dei vincoli a voi nota sia soddisfatta (d) Il problema ha un ottimo globale? (e) Il problema puo avere più di un ottimo globale?

9 (f) Disegnare il cono tangente nel punto (2,1) e verificate graficamente che il punto soddisfa le condizioni di ottimalità primali 37. Si consideri un problema di ottimizzazione convessa PC in cui la funzione obiettivo è continuamente differenziabile e i vincoli sono lineari. Rispondere, motivando le risposte, alle seguenti domande: (a) Se esiste una soluzione ottima, questa soddisfa sicuramente le condizioni di KKT? (b) Il problema PC può avere più di una soluzione ottima? (c) Il problema PC può non avere nessuna soluzione ottima? (d) Supponiamo che il problema duale sia vuoto, il problema PC può avere una soluzione ottima? (e) Supponiamo che il problema duale abbia una soluzione ottima, perché posso essere sicuro che il problema PC ha (almeno) una soluzione ottima? 38. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata 1 2 x2 + e y 1 2 xy x + y 1 y 0 (a) Si può affermare a priori che questo problema ha una soluzione ottima? Perché? (b) La funzione obiettivo è convessa? La funzione obiettivo è fortemente convessa? (c) Il problema è convesso? (d) Scrivere il sistema di KKT (e) Deterare se il punto (1,0) è un punto di KKT. (f) Deterare se il punto (0,1) è un punto di KKT. 39. Sia dato il problema di ottimizzazione vincolata (x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x 3 ) x 1 + x 2 + x 3 = 3 (a) Perché si può affermare con certezza che questo problema ha una soluzione ottima? (b) Il problema è convesso? (c) Si scrivano le condizioni di KKT di questo problema (d) Un punto di imo del problema soddisfa sicuramente il sistema di KKT? (e) Verificate se il punto x = (1, 1, 1) soddisfa il sistema di KKT 40. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata e x (y2 + z 2 ) + x(y + z) 2x + z 1 x y 2z 2 (a) Scrivete le condizioni di KKT di questo problema (b) Verificate che nel punto (0, 0, 1) almeno una condizione di regolarità dei vincoli a voi nota sia soddisfatta

10 (c) Considerate il punto (0, 0, 1) e verificate se soddisfa le condizioni di KKT del primo ordine (d) Nel punto (0, 0, 1) sono soddisfatte le condizioni necessarie del second ordine? (e) Sempre in (0, 0, 1), sono soddisfatte le condizioni sufficienti del second ordine? 41. Dato il seguente problema di ottimizzazione vincolata non lineare (a) Scrivete le Condizioni di KKT per il problema. 3x x 1x x x 3 13x x 2 x 3 23 x 3 0. (b) Verificate che il punto x = (1, 1, 0) T è un punto stazionario e calcolate i corrispondenti moltiplicatori di Lagrange (c) Perché si può affermare che i moltiplicatori ottenuti sono unici? (d) Verificate se il punto soddisfa le condizioni sufficienti del secondo ordine 42. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata x 2 2x + y x + y 0 2 x 2 (a) Il problema è coercivo? (b) Il problema è convesso? (c) Scrivere il sistema di KKT. (d) Deterare se il punto (1/2,-1/2) è un punto di KKT. (e) Il punto (1/2, -1/2) è un punto di imo globale? (f) Quanti punti di imo (globale) ha questo problema? 43. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata xy 2x 2 2x y 0 x 1 0 y 1 (a) Si può affermare a priori che questo problema ha una soluzione ottima? Perché? (b) La funzione obiettivo è convessa? La funzione obiettivo è concava? (c) Il problema è convesso? (d) Scrivere il sistema di KKT relativo al problema. (e) Verificare che nel punto (1,1) sono soddisfatte le condizioni di KKT e si calcolino i moltiplicatori di Lagrange (f) Verificare se, nel punto (1,1), sono soddisfatte le condizioni necessarie di ottimalità del secondo ordine. (g) Verificare se, nel punto (1,1), sono soddisfatte le condizioni sufficienti di ottimalità del secondo ordine.

11 44. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata (x + 1) 2 y 2 x + y 0 x 2 + y 2 = 1 (a) Perché possiamo affermare che il problema ammette almeno una soluzione ottima (globale)? (b) Si consideri il punto (-1,0) e si deteri se soddisfa le condizioni di KKT e le condizioni necessarie di ottimalità del second ordine. (c) Si consideri il punto ( 1/ 2, 1/ 2) e si deteri se soddisfa le condizioni di KKT e le condizioni necessarie di ottimalità del second ordine. 45. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata (a) Il problema è convesso? (b) Il problema è illimitato inferiormente? (c) Scrivere il sistema di KKT per questo problema. 0, 1(x 4) 2 + y 2 x 2 + y 2 1 (d) Verificare che il punto (1,0) soddisfa le condzioni di KKT e deterare il valore del moltiplicatore. (e) Verificare se il punto (1,0) soddisfa le condizione necessarie e/o sufficienti del secondo ordine. 46. Dato il seguente problema di ottimizzazione vincolata in tre variabili (i) Il problema è convesso? x 2 + y 2 + z 2 x + 2y + z = 1 2x y 3z = 4 (ii) Perché si può essere certi che il problema ha una soluzione ottima? (iii) Perché si può essere certi che in ogni soluzione sono soddisfatte le condizioni di KKT? (iv) Verificate che il punto (16/15, 1/3, 11/15) soddisfa le condizioni di KKT 47. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata (a) La funzione obiettivo è convessa? (b) Il problema è convesso? (c) calcolare graficamente la soluzione ottima. x + y + 1 y x 4, y 0. (d) Disegnare il cono tangente nel punto (0,0) e verificare che il punto soddisfa le condizioni di ottimalità primali

12 (e) Nel punto (0,0) è soddisfatta la condizione di lineare indipendenza dei vincoli attivi o la Mangasarian- Fromovitz? (f) Nel punto (0,0) sono soddisfatta le condizioni di KKT? 48. Si consideri il problema Verificare che i seguenti sono punti di KKT ( ) ( 1 1 x =, λ 1 1 = 2, λ 2 = 0; x = 1 (x + 1) 2 (y + 1) 2 x 2 + y 2 2 y 1. ) ( 1, λ 1 = 0, λ 2 = 2; x = 1 e se ne studi la natura usando le condizioni (sufficienti e/o necessarie) del second ordine. ), λ 1 = 0, λ 2 = 0, 49. Si consideri ancora il problema nell esercizio precedente. Si spieghi perché il problema ammette sicuramente un ottimo globale. Sapendo che i tre punti considerati nell esercizio precedente sono tutti i punti stazionari, deterare un punto di ottimo globale. 50. Si consideri un problema di ottimizzazione convessa PC in cui la funzione obiettivo è continuamente differenziabile e i vincoli sono x 1 + x 2 + x 3 10 e x x x Rispondere, motivando le risposte, alle seguenti domande: (a) È soddisfatta la condizione di Slater? (b) Il problema PC può non avere nessuna soluzione ottima? (c) Se esiste una soluzione ottima, questa soddisfa sicuramente le condizioni di KKT? (d) Il problema duale ha sicuramente soluzione ottima? 51. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata 1 2 x2 + e y 1 2 xy x + y 1 y 0 (a) Si può affermare a priori che questo problema ha una soluzione ottima? Perché? (b) Scrivere il sistema di KKT (c) Deterare se il punto (1,0) è un punto di KKT. (d) Deterare se il punto (0,1) è un punto di KKT. 52. Dato il seguente problema di ottimizzazione vincolata non lineare x 3 xy + yz + 2y 2 + 2z 2 + 2y 3x + y z 3,, y 0, z 0 rispondere alle seguenti domande. (i) Il problema è convesso o strettamente convesso, giustificando la risposta.

13 (ii) La funzione obiettivo è convessa su R 3? (iii) Nel punto (1, 0, 0) sono soddisfatte le condizioni di KKT? (iv) Cosa siete in grado di dire sulla natura del punto (1, 0, 0)? 53. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata (a) Il problema è coercivo? (b) Il problema è convesso? (c) Scrivere il sistema di KKT. 1 3 x3 + x 2 y 2 2y + 3z x + 2z x2 + xy 2 + 2y + z 1 2 4y + 14z = 14 x 2 + 2y 2 + 3z 2 6 (d) Deterare se il punto (1, 0, 1) è un punto di KKT. (e) Nel punto (1, 0, 1) è soddisfatta almeno una condizione di regolarita dei vincoli a voi nota? 54. Si consideri il seguente problema di ottimizzazione max (x 1 1) 2 + x 2 2 x 1 x x x x 1 1 (a) Si disegni la regione ammissibile (b) Si disegnino le linee di livello della funzione obiettivo, specificando la direzione che corrisponde a linee di livello di valore crescente (c) Il problema è convesso? (giustificare la risposta, rispondere semplicemente sì o no non è sufficiente) (d) Si deterino le soluzioni ottime (e) La regione ammissibile è illimitata? (f) L insieme delle soluzioni ottime è chiuso? 55. Si consideri il problema e x1 x2 x 1 x 2 x 1 + x 2 1, x 1, x 2 0 Mostrate che il problema è convesso. La funzione obiettivo è strettamente convessa? Verificate usando le condizioni di KKT che il punto (0, 1) è una soluzione ottima. Nella soluzione ottima, il cono tangente è uguale al cono linearizzato? 56. Bisogna costruire tre depositi per rifornire 5 punti vendita. In un sistema di assi coordinati dato, i punti vendita hanno coordinate (a i, b i ), i = 1,..., 5. I tre depositi devono essere situati nell area delimitata da una circonferenza con centro nell origine e raggio di 10 kilometri. Inoltre, per motivi legislativi, la distanza tra due depositi non puo essere inferiore a un kilometro. Formulate il problema di programmazione non lineare che permette di deterare la localizzazione dei tre depositi facendo in modo che la somma totale delle distanze dai tre depositi ai cinque punti vendita sia ima.

14 57. Un azienda agricola di 12 ettari deve deterare quanti ettari di terreno devono essere dedicati alla produzione di lattuga e pomodori. Si è stimato che, coltivando un ettaro di terreno, si possono produrre annualmente 20 quintali di lattuga e 30 quintali di pomodori. Inoltre la coltivazione di un ettaro di terreno per la produzione di lattuga richiede 18 ore settimanali di lavoro, mentre per la produzione di pomodori son richieste 24 ore settimanali. Per motivi contrattuali lazienda deve produrre annualmente almeno 45 quintali di lattuga e 50 quintali di pomodori. Sapendo che un quintale di lattuga viene venduto a 100 euro e un quintale di pomodori viene venduto a un prezzo di 150 euro, e sapendo che sono disponibili al massimo 200 ore settimanali per la coltivazione di tutto il terreno, formulare il problema come problema di ottimizzazione, con lobiettivo di massimizzare il ricavo complessivo annuale. 58. È necessario deterare il modulo di Young di una sottile barra metallica. Si ricorda che il modulo di Young, E, lega lo sforzo s alla deformazione (allungamento relativo) d tramite la legge lineare s = Ed. Sono state effettuate 4 misurazioni applicando un certo sforzo s e misurando la corrispondente deformazione. In particolare si sono ottenute le seguenti coppie di valori ( 1, 10 7 ), (1, ), (2, ), (3, ). Si formuli un problema di imi quadrati che permette per deterare E. 59. Il reparto vendite della compagnia latte.com vuole deterare la funzione di domanda inversa per il suo yoghurt dietetico. I manuali di economia suggeriscono una espressione del tipo p = a bq 2 dove p è il prezzo, q la quantità, e a e b sono costanti non negative, e che a non può essere inferiore a 4. L analisi dei dati in possesso della compagnia (che si riferiscono a commercializzazioni in alcuni comuni pilota) hanno permesso di deterare le seguenti coppie di (prezzo, quantità): (10, 1), (8, 2), (7, 3), (6.5, 4), (5, 5). Formulare un problemi di imi quadrati che permetta di deterare le costanti a e b. 60. Si vuole progettare un bicchiere di cartoncino plastificato per i distributori di acqua. Si è deciso di usare bicchieri di forma conica che si prestano a essere impilati agevolmente. Bisogna decidere la forma esatta del bicchiere, scegliere quindi il raggio r della circonferenza di base e l altezza h del bicchiere, in modo da usare meno carta possibile. Il bicchiere deve avere un volume di 200 centimetri cubi e, come mostrato da studi ergonomici, il raggio non deve essere ore di 4 cm, mentre l altezza deve essere compresa tra il doppio e il triplo del diametro di base. Si formuli un problema di ottimizzazione che permette di deterare r e h. Si ricorda che l area laterale di un cono è πr r 2 + h 2 mentre il suo volume è 1/3 del volume di un cilindro di uguale base e uguale altezza. 61. Si vuole programmare la produzione di un olio lubrificante per i dodici mesi del Per ogni mese è nota la domanda d i e la capacità produttiva in ogni mese è di p i. Il costo di produzione in ogni mese è pari a c i al kilo. Sapendo che è possibile utilizzare un magazzino che ha un costo di immagazzinamento al kilo al mese di m e una capacità massima di M, decidere quanto produrre ogni mese, sapendo che all inizio dell anno il magazziono è vuoto e tale deve essere anche alla fine dell anno. 62. Si deve progettare un campo da gioco rettangolare da costruire su un terreno di forma circolare il cui raggio è pari a 50 metri. Si costruisca il modello di programmazione matematica che permette di ottenere i lati del campo da gioco che ha perimetro pari a 200 metri ed area massima garantendo allo stesso tempo che la differenza di lunghessa dei lati non sia superiore a 20 metri. 63. Si dispone di 40 metri quadrati di una sottile laa di alluio che deve essere usata per costruire due contenitori: contenitore A e contenitore B. Il contenitore A è sferico con raggio R e il contenitore B è cubico con lato L. Formulare il problema che permette di scegliere R e L in modo tale da massimizzare il volume totale dei due contenitori, sapendo che il volumi di A e B non possono essere comunque inferiori a 1 metro cubo e che il

15 raggio della sfera non può essere più grande del lato del cubo. (Si ricorda che l area della superficie della sfera è 4πR 2 e il volume 4 3 πr3.) Facoltativo: Si aggiungano dei vincoli in modo tale da garantire che la differenza tra i volumi di A e B non sia superiore a 1 metro cubo. 64. Un azienda deve affrontare due problemi logistici interconnessi. Da una parte deve decidere dove localizzare d depositi su un territorio suddiviso in r regioni. Dall altra vuole deterare il piano distributivo sull orizzonte temporale considerato, decidendo per ciascuna regione e ciascun deposito la quantità di merce consegnata; in altre parole si vuole deterare la quantita di merce che viene mandata da deposito i alla regione j. Per ogni regione sono note le coordinate (a j, b j ) in cui avviene la consegna e la quantità Q j di merce richiesta. Inoltre è noto che ogni deposito ha una capacità D i. Sapendo che il costo unitario di trasporto è proporzionale alla distanza percorsa per portare la merce dal deposito i alla regione j, formulare il problema che permette di localizzare i depositi in modo da imizzare i susseguenti costi di trasporto. (Le variabili del problema sono quindi: per ogni deposito le coordinate della posizione dove viene localizzato e le quantità di merce che vengono mandate dal deposito a ogni regione). 65. Bisogna costruire tre depositi per rifornire 5 punti vendita. In un sistema di assi coordinati dato, i punti vendita hanno coordinate (a i, b i ), i = 1,..., 5. I tre depositi devono essere situati nell area delimitata da una circonferenza con centro nell origine e raggio di 10 kilometri. Inoltre, per motivi legislativi, la distanza tra due depositi non puo essere inferiore a un kilometro. Formulate il problema di programmazione non lineare che permette di deterare la localizzazione dei tre depositi facendo in modo che la somma totale delle distanze dai tre depositi ai cinque punti vendita sia ima. 66. Un azienda deve affrontare due problemi logistici interconnessi. Da una parte deve decidere dove localizzare d depositi su un territorio suddiviso in r regioni. Dall altra vuole deterare il piano distributivo sull orizzonte temporale considerato, decidendo per ciascuna regione e ciascun deposito la quantità di merce consegnata; in altre parole si vuole deterare la quantita di merce che viene mandata da deposito i alla regione j. Il territorio in considerazione è definito dalla porzione del piano che soddisfa le m disequazione g(x, y) 0 dove quindi g R m. Per ogni regione sono note le coordinate (a j, b j ) in cui avviene la consegna e la quantità Q j di merce richiesta. Inoltre è noto che ogni deposito ha una capacità D i. Sapendo che il costo unitario di trasporto è proporzionale al quadrato della distanza percorsa per portare la merce dal deposito i alla regione j, formulare il problema che permette di localizzare i depositi in modo da imizzare i susseguenti costi di trasporto. (Le variabili del problema sono quindi: per ogni deposito le coordinate della posizione dove viene localizzato e le quantità di merce che vengono mandate dal deposito a ogni regione). 67. Si deve progettare un campo da gioco rettangolare da costruire su un terreno di forma circolare il cui raggio è pari a 50 metri. Si costruisca il modello di programmazione matematica che permette di ottenere i lati del campo da gioco che ha perimetro pari a 200 metri ed area massima. 68. Bisogna costruire tre depositi per rifornire 5 punti vendita. In un sistema di assi coordinati dato, i punti vendita hanno coordinate (a i, b i ), i = 1,..., 5. I tre depositi devono essere situati nell area delimitata da un quadrato con centro nell origine e lato di 10 kilometri. Il costo di costruzione del diposito è dato da un costo fisso c più un costo proporzionale alla distanza dal centro del quadrato (i materiali arrivano dal centro e più ci si allontana più aumentano i costi di trasporto); il costo di costruzione è quindi c + (distanzadall origine)f, j = 1, 2, 3, dove f è una costante positiva data. Formulate il problema di programmazione non lineare che permette di deterare la localizzazione dei tre depositi facendo in modo che la somma totale delle distanze dai tre depositi ai cinque punti vendita sia ima con il vincolo che il costo totale di costruzione dei depositi non superi il budget B disponibile. 69. Una compagnia petrolifera deve rifornire di olio combustibili i porti di Cagliari e di Palermo; questa compagnia dispone di un deposito in ciascuno dei seguenti porti: Civitavecchia, La Spezia e Napoli. La tabella che segue riporta le disponibilità massime settimanali di ciascun deposito (in ettolitri) e il costo unitario di prelievo (in euro per ettolitro di olio prelevato).

16 Dispobilità max sett. costo unitario prelievo Deposito di Civitavecchia Deposito di La Spezia Deposito di Napoli Inoltre sono noti i costi unitari (in euro) del trasporto di un ettolitro di olio combustibile da ciascun deposito a ciascuna delle due destinazioni (Cagliari, Palermo). Cagliari Palermo Deposito di Civitavecchia Deposito di La Spezia Deposito di Napoli Sapendo che settimanalmente Cagliari ha bisogno di 150 ettolitri e Palermo di 120 ettolitri di olio combustibile, costruire un modello lineare che rappresenti il problema descritto e che permetta di soddisfare le domande di Cagliari e Palermo al costo imo. (Si raccomanda di definire il significato delle variabili usate).