Oscillatori RC quasi sinusoidali

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1 Oscillatori quasi sinusoidali

2 Università degli Studi di Palermo Facoltà di Ingegneria Elettronica a.a. 4/5 orso di Elettronica I Docente: prof. Giuseppe apponi Allievi: Fabrizio enna alogero Maria Saeli Benedetto Tagliavia Alberto Taormina

3 Oscillatori sinusoidali Una delle più comuni classi di oscillatori è quella degli oscillatori per via della loro versatilità e per la loro semplicità di realizzazione. Tale tipologia di oscillatori, per basse frequenze, è inoltre progettata in modo da non richiedere l utilizzo di induttori. Questi ultimi infatti, per applicazioni alle basse frequenze, dovrebbero essere di dimensioni elevate con conseguenti perdite. Gli oscillatori sono, per l appunto, progettati per le applicazioni in un range di frequenza compreso tra le frazioni di Hz ed alcune centinaia di khz; sono caratterizzati da un ampia banda di accordo e da una buona stabilità di frequenza. La possibilità di una più ampia banda di accordo, rispetto agli oscillatori L, è dovuta al fatto che la frequenza di oscillazione f è inversamente proporzionale ad e non a L ; a parità di variazione di la frequenza di oscillazione ha un più ampio campo di variazione. L ampiezza delle oscillazioni può variare nel tempo a causa delle variazioni dei parametri circuitali oppure per le variazioni di frequenza delle oscillazioni qualora queste vengano perturbate. Per mantenere il segnale di uscita costante ci si può affidare o alla non linearità dei dispositivi attivi oppure a sistemi di controllo automatico del guadagno. In quest ultimo caso si utilizzano dispositivi tali da ridurre il valore del guadagno di anello al crescere dell ampiezza del segnale, quali ad esempio PT, NT, lampadine, JFET operanti come resistori controllati in tensione. Questo consente di ottenere all uscita un contenuto di armoniche molto basso a spese però della complessità e del costo. Un aspetto negativo di questa classe di oscillatori è che la frequenza sia determinata da una rete e quindi soffra dei problemi derivanti dalla sensibilità ambientale dei condensatori. I condensatori variano infatti la loro capacità in funzione della temperatura e dell umidità dell ambiente. Pertanto la frequenza di oscillazione può essere soggetta a variazioni. Data l applicazione per basse frequenze, come detto, in questo genere di oscillatori non sono presenti induttori; una conseguenza negativa di quest aspetto è il minore coefficiente di stabilità in frequenza rispetto agli oscillatori L, dove tale coefficiente risulta proporzionale al fattore di merito. Si analizzano nel seguito le principali tipologie di oscillatori, ovvero oscillatori a ponte di Wien, a sfasamento, in quadratura, con rete T e con rete a doppia T.

4 Oscillatore a ponte di Wien L oscillatore a ponte di Wien genera in uscita una forma d onda sinusoidale con distorsione inferiore a quella degli oscillatori a sfasamento ed ha inoltre una buona stabilità in frequenza. Per tali ragioni, questo oscillatore trova largo impiego in molti settori applicativi quali le applicazioni audio. In figura è riportato lo schema di principio dell oscillatore a ponte di Wien. Figura. Schema di principio di un oscillatore di Wien Il circuito è costituito da un amplificatore operazionale in configurazione non invertente (figura ) reazionato positivamente attraverso una rete di Wien. Nella trattazione che segue si suppone l operazionale ideale. L ipotesi fatta costituisce comunque una ottima approssimazione in quanto gli amplificatori operazionali presentano in genere resistenza di ingresso dell ordine dei - 4 Ohm e resistenza di uscita dell ordine della decina di Ohm. Inoltre tali valori, in virtù della retroazione negativa applicata all operazionale, vengono rispettivamente moltiplicati e divisi per il tasso di retroazione. Pertanto è possibile supporre ideale l operazionale relativamente ai valori delle resistenze che vengono utilizzate nella rete di reazione. L operazionale ideale in configurazione non invertente è caratterizzato dalle seguenti equazioni: Guadagno esistenza di ingresso A i esistenza di uscita - s Figura. onfigurazione non invertente di un amplificatore operazionale 4

5 Figura. ete di retroazione Si consideri la rete di retroazione riportata in figura. Posto e s il fattore di retroazione β è dato da: s s β da cui β s s s s s s s s s s Sostituendo s j il guadagno di anello di anello Aβ diviene: Aβ j Affinché l anello di retroazione fornisca oscillazioni sinusoidali di frequenza f devono essere soddisfatte le condizioni di Barkhausen sulla fase e sull ampiezza del guadagno di anello. Imponendo: Im (Aβ) si perviene immediatamente alla pulsazione di oscillazione : 5

6 da cui banalmente f π Alla frequenza di oscillazione f, il fattore di retroazione β è uguale a /. Per ottenere oscillazioni autosostenute a questa frequenza, si deve imporre che il modulo del guadagno di anello sia unitario: Aβ Di conseguenza: Affinché si abbia l innesco delle oscillazioni, è necessario imporre che il resistore abbia un valore di resistenza leggermente superiore al doppio del valore della resistenza del resistore. E chiaramente visibile dai diagrammi di Bode, l andamento indicativo in modulo e fase del guadagno d anello: Oscilatore a ponte di W ien - Magnitude (db) Phase (deg)

7 Si valuti a questo punto il fattore di stabilità in frequenza definito come: ϕ d d S F Posto si ricava che: j A A β azionalizzando e ponendo il numero complesso nella forma rettangolare si trova che: j j ja j j A A β da cui ( ) arctg ϕ Pertanto F S Nasce a questo punto un problema; poiché il livello di amplificazione dell operazionale deve essere mantenuto al suo valore rigorosamente costante, l usura dei componenti nel tempo a causa degli agenti atmosferici potrebbero alterarlo. Infatti se l amplificazione dell operazionale dovesse scendere al di sotto di /, le oscillazioni si smorzerebbero; se invece dovesse superare tale valore, l operazionale saturerebbe ad un valore prossimo a quello di alimentazione. Il problema può essere risolto usando una rete di controllo non lineare che prevede la sostituzione del resistore con una lampadina ad incandescenza. Se l ampiezza della 7

8 sinusoide in uscita tende a diminuire, diminuirà la tensione ai capi della lampadina e quindi anche la resistenza del filamento che, a sua volta, farà aumentare il guadagno in tensione dell operazionale. In caso contrario accadrà l inverso. La semplice lampadina fungerà da controllo automatico del guadagno, facendo in modo che l oscillatore a ponte di Wien mantenga stabili le sue eccellenti prestazioni di purezza spettrale. La stabilità delle ampiezze è ottenuta anche mediante l uso di un termistore (PT), anch esso da usare in luogo della. Un aumento dell ampiezza delle oscillazioni comporta un aumento della potenza dissipata sul PT e quindi un aumento della temperatura. Quest ultima causa un incremento del valore della resistenza con la conseguente riduzione del guadagno di anello e pertanto dell ampiezza delle oscillazioni. La velocità di controllo dipende dalla velocità con cui varia la resistenza del PT al variare dell ampiezza delle oscillazioni. Il PT va comunque selezionato in base alla frequenza di oscillazione che si desidera in uscita. Una frequenza tale che il periodo risulta paragonabile alla costante di tempo termica del termistore costituisce un limite inferiore in quanto si avrebbero variazioni di ampiezza all interno di uno stesso periodo. Il limite superiore è invece legato al fatto che per elevate frequenze di oscillazioni occorrono condensatori di capacità più piccola che a quel punto diventerebbero paragonabili a quelle interne all amplificatore operazionale. P S P S Figura 4. Oscillatore a ponte di Wien con frequenza variabile L oscillatore a ponte di Wien consente di variare in modo continuo la frequenza. Si può realizzare ciò mediante la commutazione delle capacità (cambio di gamma) e l intervento di un trimmer duale (regolazione fine). I condensatori consentono di variare la frequenza a decadi, i resistori invece entro la decade stessa. Un possibile schema circuitale è riportato in figura 4. Si propone qui a seguito una ulteriore soluzione circuitale (figura 5) che prevede l uso di un JFET a canale n e che è in grado di stabilizzare l ampiezza delle oscillazioni. Il JFET viene utilizzato come resistore variabile controllato dalla tensione continua negativa ottenuta mediante il raddrizzamento e il filtraggio dell onda di uscita. La 8

9 resistenza del JFET è inizialmente bassa in quanto gs. agion per cui essa cortocircuita la resistenza di valore più elevato e determina un guadagno elevato dell amplificatore con conseguente innesco delle oscillazioni. Quando l ampiezza di queste ultime supera il valore z γ il diodo D e il diodo zener D entrano in conduzione e i picchi delle semionde negative eccedenti la caricano il condensatore. iene così polarizzato negativamente il gate del JFET e conseguentemente la resistenza drain-source e il relativo parallelo con aumenta. Questo a sua volta determina una riduzione dell amplificazione dell operazionale e la stabilizzazione dell ampiezza del segnale in uscita ad un valore di poco superiore a. È possibile con questo circuito intervenire sulla prontezza del controllo scegliendo opportunamente la costante di tempo del gruppo posto sul gate del JFET: essa deve comunque rimanere a un valore molto maggiore del periodo del segnale se si vuole evitare la distorsione della forma d onda. Il condensatore è di blocco per la corrente di polarizzazione, risultando invece un cortocircuito alla frequenza di oscillazione. D D Figura 5. Oscillatore a ponte di Wien con controllo automatico dell ampiezza a JFET In ultima analisi si propone una soluzione circuitale (figura 6) che consente di ottenere oscillazioni di ampiezza molto bassa ma che mantiene l operazionale lontano dalla saturazione. Il resistore D e il diodo D limitano la semionda negativa mentre il resistore D e il diodo D la semionda positiva. I valori delle resistenze devono essere abbastanza piccoli in modo tale che il guadagno di anello si porti al di sotto dell unità quando uno dei due diodi è in conduzione. Questo circuito funziona in modo tale che il guadagno di anello aperto A sia superiore a /, consentendo l innesco delle oscillazioni alla frequenza f. Il guadagno di anello Aβ pertanto è inizialmente superiore all unità fino a quando uno dei due diodi entra in conduzione. Tale commutazione avviene non appena sulla cade una tensione pari alla γ, che si suppone essere identica per i due diodi, con polarità opportuna. A questo punto 9

10 il resistore di retroazione non è più ma il parallelo tra questo e il resistore D oppure D, a meno della resistenza offerta dal diodo in conduzione. iò comporta che il guadagno di anello A scenda al di sotto dei / negando all oscillazione di continuare a crescere. D D D D Figura 6. Oscillatore a ponte di Wien con rete di controllo dell ampiezza a diodi

11 Oscillatore a sfasamento L oscillatore a sfasamento è un oscillatore in grado di offrire frequenze comprese nell intervallo Hz MHz. E caratterizzato da una configurazione, che lo rende differente dal Ponte di Wien, soprattutto per la mancata regolabilità della frequenza di oscillazione. Mentre in quel caso abbiamo capacità e resistenza variabili che permettono di regolare più o meno finemente la frequenza di oscillazione, in questo caso tale frequenza rimane assegnata una volta definiti i parametri del circuito. A K B Figura 7. Schema di principio dell oscillatore a sfasamento Lo schema generale è costituito da un amplificatore invertente (realizzabile con BJT, con FET o ancora con un amplificatore operazionale) e tre celle identiche che costituiscono la reazione. La variazione di fase dovrà essere la più ripida possibile nell intorno del punto (-, ) della curva polare Aβ per assicurare una maggiore stabilità in frequenza. Dato che l amplificatore risulta invertente, le tre celle dovranno essere tali da garantire uno sfasamento complessivo di 8, in modo che nell anello lo sfasamento totale sia nullo, così com è richiesto. Essendo che ogni cella può produrre uno sfasamento di 9 solo per frequenza infinita, si può comprendere la necessità di utilizzare almeno tre celle identiche. Di contro non vengono utilizzate più di tre celle per evitare ulteriori attenuazioni. Dato che le tre celle sono identiche, si potrebbe pensare che ognuna di esse provochi uno sfasamento di 6. In realtà non è così, perché la resistenza vista da ognuna delle tre celle è differente. Ad esempio, mentre l ultima vede l impedenza di ingresso dell amplificatore, la seconda vede l impedenza di ingresso della terza, che non potrà essere troppo grande per evitare di avere pesanti attenuazioni. Del resto, dall analisi dei diagrammi di Bode delle tre celle, si osserva che la massima pendenza dello sfasamento, utile per il coefficiente di stabilità, si avrebbe se ogni cella provocasse uno sfasamento di 45 ; ma in questo caso avrei bisogno di quattro celle che, come detto, non risultano convenienti per le attenuazioni. Dunque non si può intuire a priori quanto sfaserà singolarmente ogni cella, l importante è che lo sfasamento complessivo sia di 8 per garantire uno sfasamento d anello nullo. Questa è la condizione che dà la possibilità di oscillazione.

12 E opportuno prelevare il segnale all uscita dell amplificatore, in quanto è la forma d onda di uscita che presenta un minimo contenuto di armoniche. onsideriamo, in relazione al suddetto modello generale, le condizioni di Barkhausen per determinare la frequenza di oscillazione e le condizioni di innesco. f Si ha che A -K, mentre β. u Per calcolare l espressione di β, applichiamo il teorema di Tevenin alla sinistra dei punti A B (figura 8). In realtà s intende di avere aperto l anello prima dell amplificatore, in maniera tale che, supposta per questo un impedenza d ingresso infinita, non ci sia bisogno di chiudere l anello su una particolare resistenza. Si osserva che questa ipotesi è valida soltanto se l oscillatore è realizzato con operazionale o FET, lo è di meno se realizzato con BJT. Si ha, chiamato : s eq Figura 8. ete di reazione u e eq // da cui eq eq [ // ( )] // // // // [ ( )] ab eq ( ) ( ) E infine

13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u u eq ab f // // // // // // Quindi ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) u f β 6 5 Da cui essendo A -K, cioè reale, si ha Im 6 Esclusa la soluzione, sostituendo in questa equazione j s si ottiene la pulsazione di oscillazione 6 Sostituito questo valore di frequenza nell espressione di β, si ottiene 9 β, quindi al fine di avere e [Aβ] >, dovrà essere A > 9. Questo valore di guadagno, abbastanza elevato, spiega perché non è semplicissimo realizzare questo tipo di oscillatore con BJT che dovrà essere necessariamente al silicio, essendo insufficiente il guadagno di un BJT al germanio. Per quanto riguarda invece la stabilità in frequenza si ha : ϕ d d S F dove φ rappresenta la fase della curva Aβ. Da quanto trovato prima si ha: ( ) ( ) ( ) 6 5 j j j A A β

14 facendo figurare nell espressione la quantità 6 e ponendo in seguito : Aβ A j6 6 j6 6 da cui razionalizzando si ottiene: Aβ A ( ) j( ) ( ) ( ) da cui ricavando la fase si ha ( ) 6 6 ϕ arctg a questo punto basta derivare l espressione rispetto a. Dato che la derivata andava valutata per questo equivale, con la posizione fatta, a valutare la derivata per. Da questo calcolo si ottiene che il coefficiente di stabilità in frequenza è pari a: S F, Oscillatore a sfasamento con BJT Una possibile configurazione dell oscillatore a sfasamento facente uso di BJT può essere la seguente cc c b Q e e Figura 9. Oscillatore a sfasamento con BJT 4

15 In questo caso però l ultima non vede una resistenza elevatissima, come nel caso dell operazionale, ma l h ie del BJT; ecco perché talvolta si cambia il collegamento facendo un riporto di corrente mediante una - h ie, in modo che sommata alla h ie del BJT dia al fine di mantenere l uguaglianza delle celle. cc b c -hie Q X e e Figura. Ulteriore configurazione dell oscillatore a sfasamento con BJT Allora dovrà essere b >> per evitare di influenzare lo sfasamento e c <<, in quanto il BJT deve comportarsi come un generatore di tensione con una piccola resistenza di uscita. Il tutto andrà opportunamente dimensionato in modo che il BJT guadagni un po più di 9. In questo particolare caso non c è bisogno di inserire elementi per il controllo non lineare dell ampiezza delle oscillazioni, poiché queste vengono efficacemente controllate dalla non linearità della giunzione base emettitore. Si osserva che fino a quando l ingresso è piccolo, vale la linearità, e l uscita è lineare con l ingresso. Appena l ampiezza del segnale aumenta, il guadagno diminuisce fino ad arrivare a 9, condizione di stabilizzazione delle oscillazioni. Dunque la non linearità è data in ingresso dalla curvatura della caratteristica base-emettitore. Questo oscillatore presenta buona purezza di spettro. Per quanto riguarda la regolazione dell ampiezza delle oscillazioni, questo oscillatore a tono singolo (una sola frequenza), non è molto versatile. In teoria dovremmo cambiare la tensione di polarizzazione, ma di solito non lo si fa. L unica possibilità è di inserire uno stadio collettore comune, con una capacità di disaccoppiamento, in modo da poter prelevare la tensione di uscita dall emettitore; questo andrà inserito prima della prima cella (vedi figura ). Sarà In questo modo non abbiamo modificato la struttura di base dell oscillatore. Bisogna tuttavia precisare che per questo circuito, tralasciando lo stadio a collettore comune, aprendo l anello in corrispondenza al punto X, l impedenza vista all ingresso è tutt altro che infinita, dunque l anello andrà chiuso sull impedenza vista, pari a b // h ie. 5

16 cc cc -hie b c Q Q } X e e Figura. Oscillatore a sfasamento con BJT e stadio collettore comune In questo caso si ottiene il seguente modello per piccolo segnale dove appare conveniente riferirsi alle correnti e intendere Aβ i f / i i. - h ie Figura. Modello per piccolo segnale dell anello aperto In questo caso, applicando le condizioni di Barkhausen, ponendo b >> h ie, si ottiene: dove 6 4k k c 9 e la condizione di innesco è h fe 4k k Dalla seconda espressione si osserva la presenza di un minimo per k,7, cui corrisponde h fe 44,5. 6

17 Oscillatore a sfasamento con JFET Un altra possibile configurazione di oscillatore a sfasamento può essere realizzata mediante un JFET: Y Figura. Oscillatore a sfasamento con JFET L elevata resistenza d ingresso del FET, permette di aprire l anello di reazione nel punto Y senza dovere considerare una resistenza di caricamento su cui chiudere l anello. icavando Aβ mediante il modello a bassa frequenza si ottiene che in questo caso sono valide, con buona approssimazione, le formule generali, calcolate all inizio per l amplificatore generico invertente, purché sia verificata l ipotesi >> p con p r d // d, dove r d è la resistenza di uscita del JFET. Si ha l innesco delle oscillazioni se g m p 9. Tuttavia si osservi che l elevata amplificazione richiesta rende critica la scelta del FET, che dovrà avere un alta transconduttanza. Per avere un guadagno di poco superiore a 9, converrà rendere d variabile. Alla frequenza di oscillazione invece s dovrà essere assimilabile ad un cortocircuito. Oscillatore a sfasamento con amplificatore operazionale Ulteriore possibilità per realizzare un oscillatore a sfasamento è quella di utilizzare un amplificatore operazionale in configurazione invertente, ad esempio secondo il seguente modello: 7

18 B Figura 4. Oscillatore a sfasamento con amplificatore operazionale Si è inserito il potenziometro P per realizzare la condizione e [Aβ] >. In questo caso, aprendo l anello in corrispondenza al punto B, la resistenza su cui dovrà essere chiuso il circuito è, essendo infinita l impedenza di ingresso dell operazionale. Si ottiene: Figura 5. Oscillatore a sfasamento con amplificatore operazionale ad anello aperto Si dimostra che per questo circuito, dato che l impedenza d ingresso dell operazionale è praticamente infinita, valgono le formule generali del primo modello. Per cui dovrà essere: f Av > 9 da cui segue f > 9 La limitazione d ampiezza dell oscillazione in uscita può essere fatta con due diodi ener in serie D z e D z, in parallelo a e P (figura 6). Una volta verificata la condizione di innesco e[aβ] >, appena aumenta sufficientemente l ampiezza delle oscillazioni, entrano in gioco i due diodi ener. Infatti appena la tensione di uscita, che insiste sui due ener essendo - a massa, supera la tensione di breakdown dello ener la serie P viene bypassata e l ampiezza massima della è determinata dalla condizione : z d 8

19 Dz Dz dove ad esempio ponendo z 5, e d,7 si ha 6 e pp. Figura 6. Particolare per la limitazione non lineare del guadagno ' P Tuttavia l introduzione dei due diodi ener, se da un lato permette di limitare l ampiezza del segnale di uscita, dall altro deforma leggermente la forma sinusoidale del segnale medesimo. Un altra possibilità può essere quella di inserire, a posto delle resistenze della retroazione negativa un NT, tale che all inizio, quando la potenza dissipata è nulla, dia la condizione e [Aβ] > ; all aumentare dell ampiezza delle oscillazioni e quindi della potenza dissipata, la resistenza a coefficiente termico negativo, ridurrà il suo valore fino a consentire la condizione di regime e [A β] ovvero A 9. Se invece non si ritiene necessario un controllo esplicito dell ampiezza, basta che, regolando il potenziometro P in modo che e [Aβ] >, le oscillazioni raggiungano una condizione di stabilità derivata dalle non linearità dell amplificatore. Osservazioni conclusive Si osservi che in tutti gli esempi fatti di oscillatori a sfasamento, i tre rami serie sono condensatori e i tre rami in parallelo resistenze; è possibile una seconda soluzione 6 con i rami in parallelo reattivi e i rami in serie resistivi. In questo caso si ha f. π Gli elementi reattivi come detto, sono condensatori; essi potrebbero essere teoricamente induttori; però è più conveniente l uso di condensatori alle basse frequenze, dato l ingombro, il costo e le difficoltà di costruire buoni induttori per tali frequenze. In conclusione è evidente come l oscillatore a sfasamento abbia tra i suoi aspetti positivi la facilità di realizzazione, specialmente nel modello con operazionale, e una bassa distorsione. Tuttavia esso presenta poca duttilità nella possibilità di regolare l ampiezza e la frequenza delle oscillazioni. Tale genere di oscillatori era particolarmente utilizzato quando i componenti attivi erano molto costosi e ingombranti, in quanto necessitano in generale di uno solo di tali componenti; ecco perché essendo oggi, anche gli stessi amplificatori operazionali, abbastanza piccoli ed economici, questo tipo di oscillatore ha perso un po d importanza. 9

20 Oscillatore in quadratura L oscillatore in quadratura, detto anche oscillatore seno-coseno, deve il suo nome alla peculiarità di presentare contemporaneamente due uscite una in quadratura con l altra. Si possono infatti prelevare da esso, al contempo, due sinusoidi sfasate tra loro di 9 utili in talune applicazioni quali la modulazione SSB (single side band) o la modulazione PSK (phase shift keying) a 4 fasi. Il principio che sta alla base di questo oscillatore è quello di introdurre al segnale un primo sfasamento di 9 seguito da un secondo sfasamento di -9, lungo il percorso di anello. Lo schema a blocchi così esposto è quello di fig.7. (s) 9 (s) Figura 7. Schema a blocchi - 9 Per ottenere lo sfasamento in anticipo di 9 si utilizza un circuito integratore invertente (fig. 8). s U o v o o s vsdt s Figura 8. Integratore invertente Lo sfasamento in ritardo di 9 potrebbe essere ottenuto, in teoria, con un circuito derivatore invertente. Tale soluzione però non sarebbe corretta poiché se il guadagno d anello risultasse unitario per una data frequenza lo sarebbe anche per tutte le altre frequenze. La soluzione adatta affinché le condizioni di Barkhausen siano verificate per una sola frequenza è quella di impiegare un circuito integratore non invertente (fig. 9) allo scopo di introdurre il ritardo di 9.

21 U o o s s s ( s ) s Figura 9. integratore non invertente La funzione di trasferimento del blocco, nel caso di, assume la forma o che è propriamente quella di un integratore non invertente. s s iò posto, lo schema di principio dell oscillatore in quadratura risulta essere quello di fig.. U U o o Figura. Schema di principio L uscita o dell integratore non invertente e l uscita o dell integratore invertente risultano in quadratura essendo la seconda pari alla prima con in più uno sfasamento di 9. Il guadagno d anello in termini di funzione di trasferimento vale: A ( s ) β ( s ) s s ( s ) s ome già notato, porre fa sì che il primo blocco integratore introduca uno sfasamento costante di 9. E possibile ricondursi a ciò anche imponendo le condizioni di Barkhausen riguardo l annullamento della parte immaginaria di Aβ che opportunamente manipolata diviene: A ( j) β ( j ) ( j ) ( j ) ( ) j ( ) ( )

22 Im [ Aβ ] [ Aβ ] ( ) Im Questa è quindi la prima condizione da soddisfare per avere delle oscillazioni autosostenute. Fatta tale posizione la funzione di trasferimento di anello diviene: A ( s ) β ( s ) s s A ( j ) β ( j ) Lo sfasamento del segnale lungo l anello, fatta la posizione, risulta essere nullo per tutte le frequenze con la conseguenza di un guadagno di anello reale ad ogni frequenza. La frequenza teorica alla quale il circuito si porterà in oscillazione è ricavabile imponendo la condizione di Barkhausen alla parte reale di Aβ: e e [ Aβ ] [ Aβ ] f π E usuale adoperare, per oscillatori a frequenza fissa, resistori e condensatori tutti con i medesimi valori; sotto tale ipotesi la relazione con la frequenza di oscillazione si semplifica in: f π Avendo posto: ed La trattazione fino ad ora fatta riguarda l oscillatore nelle condizioni teoriche di regime. Nella realizzazione pratica bisogna fare i conti con due diversi altri fenomeni: - Il problema dell innesco delle oscillazioni; - Il problema di limitarle una volta innescate e cresciute fino al livello di tensione desiderato.

23 Per garantire l innesco delle oscillazioni bisogna agire affinché il guadagno di anello superi di poco l unità. iò è implementabile, ad esempio, variando la resistenza. Ad una diminuzione di corrisponde infatti un aumento dell amplificazione del blocco integratore non invertente tale da permettere l innesco delle oscillazioni. Una volta innescate, le oscillazioni vanno controllate per evitare la loro continua crescita e quindi la saturazione degli amplificatori operazionali. La limitazione dell ampiezza non può essere affidata a fenomeni non lineari del circuito stesso in quanto essi (principalmente la saturazione delle uscite degli operazionali) interverrebbero quando il segnale è già ampiamente distorto. Una comune limitazione non lineare richiede l inserimento di due diodi zener, con catodo in comune, in parallelo alla capacità. Il terminale invertente di U è posto, per corto circuito virtuale, al potenziale di massa ed i diodi D e D (vedere fig. ) entrano in conduzione quando l uscita o supera il valore γ. Questo porta ad un abbassamento dell amplificazione di U fino al punto in cui il guadagno d anello ritorna ad assumere valore unitario. Il valore picco-picco di uscita è fissato, una volta scelti i diodi zener, a circa ( γ ). Lo schema completo per un oscillatore in quadratura a frequenza fissa risulta pertanto quello di fig.. D D 4 U o U o Figura. Oscillatore in quadratura con rete di limitazione L oscillatore in quadratura, per la sua topologia, risente marcatamente delle tolleranze sui valori di resistenze e condensatori. Poiché lo sfasamento della rete non è selettivo al variare della frequenza, le condizioni di Barkhausen devono essere assicurate mediante la condizione sul modulo del guadagno d anello. iò denota inoltre un diagramma di Bode della fase costante a tutte le frequenze e quindi con pendenza nulla; per tale ragione non è possibile parlare, per questo oscillatore, di una stabilità in frequenza. Inoltre è da notare come l uso dei diodi zener, nella limitazione di ampiezza, introduca un certo tasso di distorsione nel segnale che percorre l anello. Questa distorsione è più

24 evidente all uscita di U mentre è mitigata all uscita di U grazie all effetto filtrante (passa basso) svolto dall integratore non invertente implementato con U stesso. Se si desidera una sinusoide quanto più pura possibile è pertanto consigliabile scegliere come uscita o. L ultimo circuito visto in fig. è passibile ancora di una ulteriore modifica. Può essere utile, per talune applicazioni, rendere variabile la frequenza di oscillazione del circuito. ome si può evincere dalle formule che descrivono il guadagno d anello, la frequenza di oscillazione può essere variata agendo su,,,. Escludendo di variare le capacità e si può agire sui due resistori ed., però, come già visto è strettamente legata ad ed inoltre la possibilità di agire su l abbiamo già dedicata allo scopo di far innescare le oscillazioni. L unico modo per variare in modo indipendente da tutto il resto la frequenza di oscillazione del circuito resta quello di agire su. ariando, infatti, abbiamo modo di modificare il guadagno del blocco integratore invertente e di spostare, quindi, la frequenza di oscillazione al nuovo valore in cui il guadagno d anello risulta unitario. Il circuito comprensivo della possibilità di sintonizzare la frequenza di oscillazione è schematizzato in fig.. D D 4 U o 5 U o Figura. Oscillatore con possibilità di variare la frequenza La resistenza 4 fa si che le oscillazioni si inneschino, quindi la sua regolazione può essere fatta una sola volta. La resistenza 5 permette, invece, di variare con continuità la frequenza di oscillazione entro un dato range di frequenze eventualmente selezionabile variando, per valori discreti, la capacità. Attenzione deve, comunque, essere riposta riguardo alle variazioni di guadagno dei due stadi in quanto all aumentare del guadagno imposto agli operazionali diminuisce linearmente la loro banda passante poiché deve mantenersi costante il prodotto guadagno per ampiezza di banda. Questa caratteristica limita la massima frequenza di utilizzo dell oscillatore. 4

25 Oscillatore a ponte T Un altro oscillatore analogico che sfrutta reti ed amplificatori operazionali è l oscillatore a ponte T. Il suo principio di funzionamento può essere definito duale rispetto a quello dell oscillatore a ponte di Wien. Infatti, l oscillatore di Wien presenta una reazione negativa costante ed una reazione positiva selettiva in frequenza con un picco di massimo. L oscillatore a ponte T, come si può vedere in figura, è caratterizzato da una reazione positiva costante e da una reazione negativa selettiva contraddistinta da un minimo. ete T Figura. Schema di base dell oscillatore con rete a T Il triporta denominato con ete T deve essere sostituito con una rete a T oppure con una rete a doppia T, rappresentate rispettivamente nelle figg. 4 e 5. / Figura 4. ete a T Figura 5. ete a doppia T ome si può notare in questo oscillatore la reazione positiva avviene sull ingresso non invertente dell operazionale mediante il partitore, ; risulta dunque che la reazione positiva è indipendente dalla frequenza essendo attuata da una rete puramente resistiva. iceversa la reazione negativa è introdotta dal circuito a T o a doppia T. 5

26 La funzione di trasferimento della rete di reazione negativa presenta uno sfasamento nullo e contemporaneamente un modulo minimo alla frequenza f. π Indicando con T(s) tale funzione risultano per le due reti le seguenti funzioni di trasferimento: ete a T: T ( s) s s s s ( ) ( ) ete a doppia T: T ( s) ( s ) ( s ) 4s Si notano le spiccate capacità selettive delle reti osservando i diagrammi di Bode di modulo e fase riportati in figura 6. ete a T ete a doppia T Magnitude (db) Magnitude (db) Phase (deg) Phase (deg) Figura 6. Diagrammi delle funzioni di rete 6

27 Il vantaggio del filtro a doppia T usato come ponte è l avere un Q elevato alle basse frequenze audio in confronto ai circuiti L, i quali presentano inoltre l inconveniente di richiedere forti valori di induttanza. Essendo la rete particolarmente selettiva, inserita nell anello di reazione negativa, consente l innesco delle oscillazioni solo in un piccolo intorno della frequenza in cui la T (s) presenta modulo minimo. Infatti a tale frequenza la reazione positiva (costante) diviene preponderante e capace di garantire un guadagno di anello maggiore di uno. f Per ricavare il guadagno di anello A β e mettere in evidenza l antagonismo tra i reazione positiva e negativa conviene aprire l anello di reazione contemporaneamente sui due ingressi dell operazionale (fig. 7) e fare riferimento al modo differenziale: f i ete T Figura 7. Anello di reazione aperto Analizzando questo circuito si ricavano facilmente le seguenti relazioni: i ( ) f o T ( s) o o ( ) A Aβ f i o A o o T ( s) T ( s) A Dalla differenza che figura nell ultima relazione si nota bene in che modo agiscano le due reazioni; infatti la reazione negativa caratterizzata dalla T(s) tende a sopprimere l azione della reazione positiva data dal partitore. 7

28 Si nota che imporre Im(Aβ) equivale ad imporre Im[T(j)], da cui si ottiene che la frequenza di oscillazione, per entrambe le configurazioni, è f, inoltre tenendo in π considerazione quest ultima si ricava che la condizione di innesco per la rete a T è: A Poiché in corrispondenza della frequenza di risonanza T(s), per la rete a T, vale. Per la rete a doppia T si ha invece che, alla frequenza f di risonanza, idealmente a zero. iò si traduce in una condizione di innesco tale che: tende A L oscillatore può anche essere osservato sotto un altro punto di vista: si può infatti determinare il guadagno di anello Aβ considerando il sistema come un amplificatore non invertente, comprensivo anche della rete T, il cui guadagno varia con la frequenza (blocco A), retroazionato positivamente dal partitore resistivo (blocco β). In questo caso si può calcolare l amplificazione del blocco A non retroazionato positivamente o considerando il fatto che e che T ( s) - nell ipotesi che l operazionale abbia un guadagno differenziale elevato; ottenendo che A. T( s) Il β non è altro che il rapporto di partizione. Anche in questo caso imponendo le condizioni limite di Barkhausen si perviene alle stesse relazioni sulla frequenza di oscillazione e sulla condizione di innesco. Per ricavare il coefficiente di stabilità si procede come segue per le due reti. A T ( s) β Aβ A T ( s) - ete a T: T ( s) ( s ) s ( s ) s T ( j ) ( ) j j ( ) j j 8

29 ( ) j ( ) 6 j ( ) 4 T j da cui ϕ ( ) ( ) arctg ( ) 6 ( ) - ete a doppia T: dϕ S F A 9 d T ( s) ( s ) ( s ) 4s T ( j ) ( ) j4 ( ) j4 ϕ 4 ( ) arctg S F dϕ d,5 Si nota dunque che l oscillatore a ponte T ha una stabilità in frequenza equivalente a quella dell oscillatore a ponte di Wien. Invece quello a doppia T ha una stabilità decisamente superiore come ci aspettavamo dall analisi dei diagrammi di Bode poiché caratterizzato da una rete più selettiva. Per ciò che concerne la limitazione dell ampiezza dell uscita anche in questo caso si possono utilizzare dei termistori per il controllo automatico del guadagno. Essendo quest ultimo proporzionale al rapporto di partizione si può utilizzare un PT al posto di. Bisogna dimensionare tutti i componenti in modo che all accensione dell oscillatore, ovvero quando il termistore non dissipa potenza, sia valida la condizione di innesco e[aβ] >. La forma d onda in uscita crescerà in ampiezza finché la potenza dissipata sul termistore, e quindi la sua resistenza, sarà tale da ridurre ad il guadagno di anello (e[aβ]). 9

30 icordiamo che questa relazione descrive una condizione di equilibrio dinamico meglio esplicitata scrivendo e [ Aβ ( v) ] dove v è l ampiezza dell uscita. La temperatura del PT, quindi la sua resistenza, seguiranno gli andamenti della tensione di uscita mantenendo pressappoco costante, contro ogni perturbazione, l ampiezza delle oscillazioni. Questo controllo automatico del guadagno si basa sulle costanti di tempo termiche del termistore che di solito sono molto grandi; in questo modo si minimizza la distorsione armonica dell uscita a regime. Per la scelta dei termistori in funzione della frequenza di lavoro si adottano gli stessi criteri descritti per l oscillatore a ponte di Wien. Dall analisi condotta si comprende che questo circuito produce un segnale sinusoidale con buona purezza spettrale, per tale motivo esso è utilizzato per test audio o in altre applicazioni dove è necessaria un onda sinusoidale di buona qualità. Questo oscillatore consente di ottenere frequenze che possono raggiungere la decina di KHz. Per frequenze superiori bisogna prestare attenzione allo slew-rate dell operazionale che potrebbe deformare l uscita. Esistono altre configurazioni per l oscillatore o doppia T che non sfruttano amplificatori operazionali ma BJT, si veda per esempio lo schema riportato in figura 8. cc c Q Out Figura 8. Oscillatore a doppia T con BJT In questo caso il controllo automatico del guadagno è svolto dalle non linearità di ingresso del BJT. Una buona scelta dei BJT consiste nello scegliere il B9, caratterizzato da un basso rumore.

31 onclusioni Dall analisi effettuata sui 4 modelli di oscillatori che costituiscono una casistica abbastanza esaustiva per questa tipologia di oscillatori si possono denotare in sintesi le seguenti caratteristiche. Per quanto riguarda l oscillatore a ponte di Wien esso risulta ottimo per il campo audio e della strumentazione, ha una bassissima distorsione, ma di contro non agevola la sintonia che richiede un resistore duale. Presenta un tempo di assestamento lungo dopo variazioni di frequenza o di ampiezza ma ha una buona stabilità in frequenza. L oscillatore a sfasamento ha una tecnica di realizzazione semplice ed economica, risulta agevole l inserimento di un controllo automatico di ampiezza ed ha un avviamento ed un assestamento rapidi. Per contro non è facilmente regolabile in ampiezza e frequenza, viene infatti utilizzato come generatore di tono singolo. L oscillatore in quadratura ha il vantaggio di presentare contemporaneamente due uscite in quadratura e ciò può risultare necessario per certe specifiche applicazioni, risulta regolabile in frequenza ma non regolabile in modo semplice in ampiezza. Per contro è molto sensibile alle tolleranze sui componenti usati. L oscillatore a doppio T presenta una buona stabilità in frequenza data dall alta selettività della rete di reazione, un ampiezza delle oscillazioni variabile. Tuttavia risulta difficoltosa la modifica della frequenza di oscillazione poiché richiederebbe la variazione sincrona di più componenti resistivi o capacitivi.

32 Bibliografia: - Sedra, Smith ircuiti per la microelettronica - uniberti, De Lucchi, De stefano Elettronica, dispositivi e sistemi - Ambrosini, Perlasca Sistemi di conversione e interfacciamento - Biondo, Sacchi Manuale di elettronica e telecomunicazioni - Spencer Introduction to electronic circuit design - Teas Instruments Incorporated Design of op amp sine wave oscillators - Kennedy Operational amplifiers circuits: Theory and applications Siti internet: - homepages.tesco.net/~gary.aylward/