Misure di potenza P M = P U + V 2 U R V P M = P U + I 2 U R A (2)

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1 Misure di potenza I wattmetri di laboratorio hanno solitamente la bobina amperometrica realizzata con poche spire di sezione relativamente elevata, suddivisa in due sezioni uguali che possono essere messe in serie o parallelo (due portate amperometriche). La bobina voltmetrica è invece costituita da molte spire di piccola sezione, associate alla quale sono più resistenze addizionali (più portate voltmetriche). In realtà la misura effettuata con il wattmetro è affetta da errore sistematico la cui entità dipende dall autoconsumo dello strumento e il cui segno è sempre positivo (si misura sempre in più). Questo vale nel caso in cui la voltmetrica sia derivata sia a valle sia a monte. Si ricorda infatti che nel primo caso si ha: e nel secondo caso P M = P U + V 2 U R V (1) P M = P U + I 2 U R A (2) Si noti che a differenza della bobina voltmetrica, quella amperometrica è di rame per cui va a dipendere dalla temperatura. Il wattmetro è anche affetto da un altro errore sistematico attribuibile allo sfasamento tra la tensione applicata alla voltmetrica e la corrente che attraversa la bobina stessa. Poiché è di difficile valutazione, di esso si tiene implicitamente conto nella classe che caratterizza lo strumento. In un circuito sinusoidale un wattmetro elettrodinamico ha la bobina fissa percorsa dalla corrente I f = I e la bobina mobile percorsa dalla corrente I m. In prima approssimazione la corrente circolante nella bobina mobile può essere assunta come: I = V (3) R V In quest caso l angolo β tra I f e I m coincide con l angolo φ tra V e I per cui l espressione della coppia media vale: c = ki f I m cosβ = k R V V Icosφ = k P (4) Lo strumento misura quindi la potenza P con costante k valida sia in c.c. sia in c.a. anche per grandezza non sinusoidali fino alle frequenze per cui vale la relazione (3). 1

2 L ipotesi (3) trascura l angolo ǫ esistente I m e V (per convenzione si assume ǫ positivo se I m precede V ). La convenzione fa riferimento a quanto anche detto per i trasduttori in riferimento all errore d angolo. In particolare, l errore d angolo, ossia la differenza di fase fra la grandezza d uscita e la grandezza di ingresso è considerato positivo quando la grandezza d uscita precede quella d ingresso. La presenza di ǫ equivale a un errore sull angolo φ per cui: e quindi esprimendo l errore relativo dp = d (V Icosφ)ǫ = ǫv Isinφ (5) dφ dp P = ǫtanφ (6) Non potendo annullare l induttanza della bobina, si procede al suo rifasamento mediante l inserzione di un condensatore in parallelo a parte del resistore voltmetrico (per ottenere un rifasamento valido per la banda di frequenze d impiego). Nel caso in cui ǫ sia dovuto solo alla presenza della reattanza della bobina mobile vale ǫ = ωl m R V (7) Un wattmetro con valori nominali V 0, I 0, cosφ 0 va in fondo scala per la potenza P 0 = V 0 I 0 cosφ 0. Poiché raramente i tre valori nominali si presentano contemporaneamente, specie se cosφ 0 = 1, la maggior parte degli strumenti ammette sovraccarichi di tensione e di corrente fino a valori V M, I M specificati dal costruttore. I wattmetri per basso cosφ mantengono un alta sovraccaricabilità e un piccolo errore di fase, uniti a un ridotto consumo, il tutto al fine di facilitare le misure su carichi a basso cosφ. Poiché il fattore di potenza deve essere considerato come una grandezza d influenza, le variazioni che si ammettono a tensione e corrente nominali, quando questa grandezza varia nel suo campo d impiego (ossia fra cosφ 0 e zero) devono essere minori dell indice di classe. Deve perció essere: da cui si deriva (per ǫ in centiradianti): dp ǫv 0 I 0 < CP 0 /100 (8) ǫ < Ccosφ 0 (9) 2

3 Misura di potenza su circuiti in c.a. monofase Ogni sezione di misura in un circuito monofase in regime di c.a. è caratterizzata da tre valori: tensione fra i conduttori, corrente attraverso di essi, sfasamento tra queste due grandezze. Un metodo per individuare queste tre grandezze è l ultilizzo di tre strumenti, che sono usualmente un amperometro, un voltmetro e un wattmetro. Dalle loro letture deriva I, V e P da cui poi si può ricavare: Q = (V I) 2 P 2 (10) cosφ = P V I (11) Z = V I (12) Rimane però indeterminato dalle relazioni precedenti il segno da attribuire alla potenza reattiva. Per questo si può procedere in vari modi: inserendo un condensatore in parallelo al carico, variando la frequenza di alimentazione, disponendo in serie al circuito voltmetrico del wattmetro una reattanza magnetica X in modo da introdurre un errore di fase. In particolare, in quest ultimo caso, l indicazione del wattmetro aumenta se il carico è induttivo, diminuisce se capacitivo. Per risolvere il problema della determinazione dell errore strumentale conviene utilizzare relazione algebriche tra le potenze che sussistono grazie al teorema di Boucherot. Con l ipotesi di voltmetrica derivata a valle si ha: V = V z (13) e per la conservazione delle potenze attive entranti nel nodo circuito di alimentazione, voltmetrica e carico P = P z + V 2 (14) R e dove R e rappresenta il parallelo tra la resistenza del wattmetro (circuito voltmetrico) e la resistenza del voltmetro. Per la conservazione delle potenze reattive vale: 3

4 da cui si ottiene combinando le relazioni Q 2 = (V I) 2 P 2 = Q 2 z = (V zi z ) 2 P 2 z (15) I 2 z = I2 P + P z R e (16) Questa correzione è sempre minore o al più uguale alla correzione algebrica: In prima approssimazione, infatti, si ha: I v = V R e (17) da cui per la (16) si ha: e I I I z I P + P z 2P = 2V Icosφ (18) 1 2V R e I cosφ I v cosφ (19) I relazione che può essere comoda per un calcolo preliminare approssimato dell errore. Nel caso le bobine amperometriche siano a valle esse presentano una resistenza complessiva R a e una reattanza complessiva X a da cui: P = P z + R a I 2 ; Q = Q z + X a I 2 ; V 2 z = P 2 z + Q 2 z I 2 (20) Un wattmetro presenta due coppie di morsetti, l una amperometrica (generalmente di maggiori dimensioni) da collegare in serie al circuito su cui si esegue la misura, l altra, voltmetrica, da collegare in derivazione. Occorre però saper scegliere la connessione corretta in base alle seguenti considerazioni: a) la coppia motrice direttamente proporzionale alla potenza, cambia segno se si invertono le connessioni amperometriche o quelle voltmetriche; b) nei wattmetri elettrodinamici è opportuno che la bobina mobile sia praticamente allo stesso potenziale della bobina fissa per evitare effetti elettrostatici tra le bobine (coppie elettrostatiche, correnti capacitive) e, al limite, scariche elettrostatiche; c) il wattmetro è sempre affetto da errore di consumo, per cui la connessione voltmetrica va inserita a monte o a valle a seconda dello schema scelto per la misura. 4

5 Detta C la classe del wattmetro e V 0, I 0, cosφ 0 i suoi valori nominali, si ha una fascia d incertezza d ampiezza percentuale del tipo: η% = C 0 P = CV 0I 0 cosφ 0 V Icosφ A questo errore si può in parte ovviare scegliendo un wattmetro con portate massime V M V > V 0 e I M I > I 0, quindi sovraccaricando lo strumento entro i limiti consentiti o scegliendo un wattmetro per basso cosφ, ossi con cosφ 0 < 1. Nel caso si voglia eseguire una misura escludendo l uso di wattmetri si ricorre al metodo dei tre voltmetri o al suo duale dei tre amperometri. (21) In entrambi i casi si ricorre a un impedenza di modulo Z 0 e argomento γ. La corrente è definita da I = V 2 /Z 0, mentre la tensione da V = V 3. Si trascurano gli errori strumentali e dal teorema di Carnot si ricava: V 2 1 = V V V 2V 3 cosβ (22) essendo poi φ = γ β la misura è stata completata. Per limitare l influenza degli errori strumentali l impedenza Z 0 deve essere dello stesso ordine di grandezza dell impedenza incognita Z; ciò conduce spesso ad adottare per Z 0 reattanze capacitive, in cui non si ha praticamente dissipazione di energia. La potenza dissipata su un carico L può essere misurata utilizzando un resistore R e per cui γ = 0. Le relazioni in termini di grandezze istantanee valgono: e ancora: P = 1 T T 0 v 3 idt = 1 T v 3 v 2 dt (23) TR 0 0 v 2 1 = (v 2 + v 3 ) 2 = v v v 2v 3 (24) da cui risulta P = 1 T (v1 2 2TR v2 2 v2 3 )dt = 1 (V R V 2 2 V 3 2 ) (25) 0 che permette il calcolo della potenza attraverso l uso dei valori efficaci letti dai tre voltmetri. Gli errori assoluti propri dei tre voltmetri E V i = C i V oi /100 dove V oi è la tensione di fondo scala dell i-esimo voltmetro si ripercuotono sulla potenza con un incertezza globale: 5

6 E P = ± 1 100R 0 Ci V i V oi (26) Misure su sistemi trifase Le possibilità di inserire un wattmetro su una fase di un sistema a più fili sono 3, da cui per un sistema a tre fili si hanno 9 possibilità di inserzione. Dalla combinazione fasoriale delle tensioni si dimostra che il numero di inserzioni indipendenti in un sistema a tre fili è 6: P 1(23) = P 13 P 12 P 2(31) = P 21 P 23 (27) P 3(12) = P 32 P 31 dal teorema di Aron si dimostra poi che il numero di inserzioni indipendenti in un sistema a tre fili è 4: P = P 12 + P 32 = P 23 + P 13 = P 31 + P 21 (28) Si dimostra poi che la somma delle potenze di due wattmetri con l amperometrica sul filo m è uguale a tre volte la potenza assorbita dalla fase m quando le tensioni stellate siano riferite al baricentro elettrico del sistema. Sviluppando i calcoli si ha: P 12 + P 13 = 3Ė10 I 1 = 3P 10 P 12 + P 13 = 3Ė10 I 1 = 3P 10 (29) P 12 + P 13 = 3Ė10 I 1 = 3P 10 Tutte le relazioni esistenti potrebbero essere trasportate alle potenze reattive, misurabili con varmetri ideali, inseriti nello stesso modo dei wattmetri rispettivi. Vale quindi: Q 1(23) = Q 13 Q 12 Q 2(31) = Q 21 Q 23 (30) Q 3(12) = Q 32 Q 31 6

7 e Q = Q 12 + Q 32 = Q 23 + Q 13 = Q 31 + Q 21 (31) Le potenze reattive delle singole fasi in riferimento al centro stella ideale del sistema valgono: Q 12 + Q 13 = 3Ė10 I 1 = 3Q 10 Q 12 + Q 13 = 3Ė10 I 1 = 3Q 10 (32) Q 12 + Q 13 = 3Ė10 I 1 = 3Q 10 La validità di queste relazioni si estende alla potenza complessa ma non alla potenza apparente per la quale non sussiste in generale il principio di conservazione. In un sistema trifase simmetrico nelle tensioni, le potenze reattive possono essere ricavate da letture wattmetriche. Si ha infatti che da cui si ricava: V 23 = j 3Ė10 (33) V 23 I 1 = 3Ė10 I 1 = 3Q 10 (34) che deriva dalla relazione j V I = V I. Si deduce quindi dalle (27): 3Q10 = P 13 P 12 3Q20 = P 21 P 23 (35) 3Q30 = P 32 P 31 ossia la potenza reattiva di una fase, riferita al baricentro elettrico del sistema, è ricavabile, nel caso di tensioni simmetriche, dalla differenza di due letture wattmetriche che hanno l amperometrica inserita sulla fase considerata. Se il sistema delle tensioni concatenate è simmetrico inverso la (33) diviene V 23 = j 3Ė10 e cambia il segno delle relazioni delle (35). Si capisce quindi come il segno della potenza reattiva possa essere determinato quando sia noto il senso ciclico con cui si succedono le fasi e, viceversa, come tale senso ciclico sia deducibile, una volta noto il segno della potenza reattiva. 7

8 Misure su sistemi a tre fili Un sistema trifase simmetrico ed equilibrato è completamente determinato da tre grandezze indipendenti: una tensione concatenata, una corrente, un angolo di sfasamento. Lo schema da preferire vede due wattmetri in inserzione Aron e una misura voltmetrica (tre strumenti!). Ipotizziamo di misurare P 12 e P 32, in virtù della simmetria del sistema si ha: P 12 = P 23 = P 31 P 21 = P 32 = P 13 (36) per cui la coppia di misure wattmetriche copre tutte le misure wattmetriche realizzabili. Dalle misure P 12, P 32 e V si ha: P = P 12 + P 32 (37) Q = 3Q 10 = 3(P 13 P 12 ) = 3(P 32 P 12 ) (38) I = P 2 + Q 2 3V = 2 3V P P 2 32 P 12 P 32 (39) Il fattore di potenza può essere calcolato oltre che dalla relazione: cosφ = P 3V I (40) Il segno da attribuire a una lettura wattmetrica si deduce in primo luogo dalla posizione dell indice sullo strumento, quando questo sia correttamente inserito: per valori positivi l indice si porta in una posizione interna alla scala, per valori negativi esso tende a spostarsi al di là della posizione di zero. Si ha tuttavia la possibilità di controllo del segno, partendo da due wattmetri in inserzione Aron disposti in modo da avere entrambi le letture nell interno della scala. Si sconnettono i terminali voltmetrici dal filo comune (ad esempio il 2) e si collegano rispettivamente con le fasi 3 e 1. Il wattmetro che, nella primitiva inserzione, indicava P 12 segna ora la potenza P 13, mentre quello che indicava P 32 ora indica P 31. Per la simmetria, vedi (36), i wattmetri si sono scambiati le letture. Se entrambe le letture restano all interno della scala, le potenze P 12 e P 32 sono dello stesso segno e quindi positive, 8

9 altrimenti se gli indici tendono al di là della posizione di zero le due potenze sono di segno diverso e si assume negativa la lettura minore sotto l ipotesi che il carico sia passivo. Poiché ciò accade se il sistema è simmetrico ed equilibrato, contemporaneamente su entrambi gli strumenti, la verifica può essere effettuata commutando anche una sola voltmetrica. Con la commutazione di entrambe si ha invece anche la possibilità di controllare se il sistema è realmente simmetrico ed equilibrato. Metodo Barbagelata Nel caso di sistemi simmetrici e squilibrati per cui I 1 I 2 I 3 la determinazione del sistema richiede la misura di cinque grandezze indipendenti. Allo scopo esistono numerosi schemi tra cui lo schema Barbagelata che comprende quattro misure wattmetriche e una misura voltmetrica. Dalla lettura di due wattmetri in inserzione Aron si ha la potenza attiva totale del sistema: P = P 12 + P 32 (41) da queste e dalle letture degli altri due wattmetri P 13 e P 31 si possono ricavare i valori della altre letture wattmetriche: P 21 = P P 31 P 23 = P P 13 (42) Da questi valori si ricavano le potenze attive e reattive delle singole fasi: 3P 10 = P 12 + P 13 3P 20 = P 23 + P 21 (43) 3P 30 = P 31 + P 32 3Q10 = P 13 P 12 3Q20 = P 21 P 23 = P 13 P 31 (44) 3Q30 = P 32 P 31 9

10 Se interessano le grandezzi globali del sistema si ha: 3Q = 3(Q10 + Q 20 + Q 30 ) = P 32 P (P 13 P 31 ) (45) Il fattore di potenza globale del sistema è definito dalla relazione: cosφ = P P 2 + Q 2 (46) Il metodo più semplice per controllare i segni delle letture wattmetriche in un sistema squilibrato, consiste nell eseguire mediante la commutazione di tre wattmetri tutte le inserzioni del tipo P mn. Assumendo come positiva la potenza totale P ed essendo: P = P 12 + P 32 = P 23 + P 13 = P 31 + P 21 si attribuisce il segno positivo alla lettura maggiore per ognuna delle tre coppie in inserzione Aron. Per sistemi a tre fili alimentati da tensioni simmetriche i consumi voltmetrici portano alle relazioni seguenti: V 2 P 12 = P 12 + V R W 2 R V P 32 = P 32 + V V 2 (47) R W 2 R V dove sono evidenti il consumo della wattmetrica e della voltmetrica. Il fattore 0.5 del consumo voltmetrico deriva da considerazioni legate agli sfasamenti tra V 31 rispetto a V 12 e V 32. Assunta C la classe dei due wattmetri, supposti uguali, con valori nominali V 0, I 0 e cosφ 0 = 1, il massimo errore assoluto che si può commettere in ognuna delle due letture è: E W = C 100 V 0I 0 (48) L incertezza percentuale corrispondente sulla somma algebrica delle due indicazioni è quindi: e p = ± 2CV 0I 0 (49) 3V Icosφ praticamente analoga a quella di un solo wattmetro con le stesse caratteristiche inserito in un circuito monofase. Viene però a mancare la possibilità di ridurre notevolmente tale incertezza con gli strumenti per basso cosφ o sovraccaricabili. Infatti al diminuire del fattore 10

11 di potenza, per esempio in un sistema equilibrato, le due letture non tendono a zero ma ai valori rispettivamente di +0.5V I e 0.5V I. In questo caso, si ricorre all inserzione di tre wattmetri. Uso dei tre wattmetri È possibile in base a quanto già osservato determinare la potenza di un sistema trifase a tre fili mediante l impiego di 3 wattmetri, collegati rispetto a un punto O comune. La posizione del centro stella fittizio è indifferente, purché sia la stessa per tutti e tre gli strumenti; spesso è determinata dalle impedenze dei tre circuiti wattmetrici, che devono per questo rimanere immutati durante le tre letture. Questo schema consente, nel caso di misura a basso cosφ di usare strumenti per basso cosphi o sovraccaricabili in modo praticamente analogo a quanto avviene per i circuiti monofasi. La potenza attiva è data dalla somma delle tre letture. Scambiando poi due connessioni wattmetriche si ha: P 1 = Ė3 I 1 = j V 12 3 I 1 = Q 12 3 P 3 = Ė1 I 3 = j V 23 3 I 3 = Q 32 3 (50) da cui segue: Q = Q 12 + Q 32 (51) Metodo Righi o dei tre wattmetri Sistema simmetrco e squilibrato: wattmetri collegati per leggere P 13, P 23 e P 3(21) da cui: P 13 = V I 1 cos(φ 1 30 ) P 23 = V I 2 cos(φ ) (52) P 3(21) = V I 3 cos(φ 1 90 ) Sviluppando i passaggi tramite formule trigonometriche si arriva a: 11

12 P 13 + P 23 = P P 13 + P 3(21) = 1 2 P Q (53) ossia Q = P 13 P P 3(21) (54) 3 12

13 Determinazione del senso ciclico Da fare! 13