Cap. 1 Elementi di teoria degli insiemi

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1 Cap lementi di teoria degli insiemi Simboli logici Nel linguaggio matematico sono presenti alcuni simboli logici che servono a formulare, in modo inequivocabile, le cosiddette proposizioni o enunciati Per proposizione si intende una qualsiasi affermazione che risulta o vera oppure falsa Una proposizione si denota con una lettera dell alfabeto, preferibilmente minuscola Ad esempio frasi del tipo Oggi è martedì oppure 4 è un numero pari sono proposizioni, mentre non lo sono frasi del tipo Che cos è la matematica? oppure a è un numero pari I simboli logici che si usano più comunemente sono i seguenti: ( negazione) ( disgiunzione) ( congiunzione) ( implicazione) ( equivalenza) L uso che se ne fa è indicato qui appresso Se p e q sono proposizioni, esse danno luogo ad altre proposizioni denotate con i simboli seguenti p (si legge non p) p q (si legge poq) p q (si legge peq) p q (si legge pimplicaq, oppure sepalloraq) p q (si legge p equivale q, oppure p se e solo se q) e denominate rispettivamente negazione di p, disgiunzione di p e q, congiunzione di p e q, implicazione di p e q, equivalenza di p e q Le proposizioni ora introdotte sono definite dalle seguenti tavole di verità, dove si è indicato con V il valore vero e con F il valore falso p p p q p q p q p q p q p q p q p q V F V V V V V V V V V V V V F V V F V V F F V F F V F F F V V F V F F V V F V F F F F F F F F F V F F V OSS Si noti che la disgiunzione di p e q è vera se e solo se è vera almeno una delle proposizioni p e q (cioè se è vera solo p, o solo q, o entrambe p e q) La congiunzione di p e q è vera se e solo se sono vere entrambe le proposizioni p e q L implicazione di p in q è falsa solo se p è vera e q è falsa, mentre l equivalenza di p e q è vera se e solo se p e q sono entrambe vere o entrambe false Pertanto se p q è vera e p è vera, allora anche q è vera Se p q è vera, si dice che p e q sono equivalenti In ogni argomentazione matematica si può sostituire ogni proposizione con un altra ad essa equivalente

2 Qui di seguito riportiamo un elenco di proposizioni vere, alcune delle quali sono alla base dei metodi dimostrativi che si adoperano in matematica Se p, q ed r sono proposizioni qualsiasi, allora sono vere le seguenti proposizioni: ) ( p) p ) p (p p); p (p p) 3) (p q) (q p); (p q) (q p) 4) p (p q); (p q) p 5) Se p q, allora q p (proprietà simmetrica dell'equivalenza) 6) Se p q e q r, allora p r (proprietà transitiva dell'equivalenza) 7) Se p q e q r, allora p r (proprietà transitiva dell'implicazione) 8) ( p ( p q) ) q ( modus ponens) 9) Se (p q) (r r), allora p q (prova per assurdo) 0) (p q) ( q p) (prova per assurdo) ) (p q) ( p q) ) (p q) ( p q) (Formule di De Morgan) A titolo di esempio dimostriamo la 0), ossia facciamo vedere che le proposizioni p q e q p sono equivalenti (cioè assumono gli stessi valori di verità); pertanto quando si richiede di dimostrare che p q è vera, basta dimostrare che è vera q p p q p q p q q p V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V In matematica si incontrano spesso espressioni, nelle quali sono presenti delle variabili, del tipo x, x y = Queste non sono proposizioni, ma lo diventano quando alle variabili si sostituiscono i valori (costanti): ad esempio se nella prima espressione ad x si sostituisce il valore (risp 3) si ottiene una proposizione vera (risp falsa) spressioni del tipo suddetto si chiamano predicati e si denotano con simboli del tipo p(x), q(x,y), ecc Un modo per ottenere proposizioni da predicati è quello di applicare a questi ultimi i cosiddetti quantificatori I quantificatori sono due, denotati con i simboli (quantificatore esistenziale), (quantificatore universale), e letti rispettivamente «esiste (almeno) un» e «per ogni» Si conviene, inoltre, di usare il simbolo in sostituzione di «esiste uno e uno solo» Ad esempio le seguenti frasi x: x 0 (si legge «per ogni (numero reale) x risulta x 0») (*) ed xtc x < 0(si legge «esiste (un numero reale) x tale che x < 0») dove x indica un numero reale, sono due proposizioni vere Si possono ottenere proposizioni con l impiego di entrambi i quantificatori, come negli esempi (*) Il simbolo : si legge «risulta», mentre la sigla tc è l abbreviazione di «tale che»

3 x ytc x y> ytc x x > y xtc x = x y x< y ; : ; 0;, : ; x, y tc x + y < 0 È ovvio che le prime tre proposizioni sono vere, mentre le ultime due sono false Si segnalano, inoltre, le seguenti due regole di logica, che si utilizzano per ottenere la negazione di proposizioni che contengono uno o più quantificatori Se p(x) è un predicato, si ha x :p x xtc p x, ( x tc p x ) x: p( x) 3) 4) Ad esempio, se p(x) è il predicato «x è un numero pari», la 3) esprime che sono equivalenti le due proposizioni: «non tutti i numeri sono pari» e «esiste almeno un numero non pari»; in questo caso le due proposizioni sono entrambe vere La 4), invece, esprime che sono equivalenti le due proposizioni: «non esiste un numero pari» e «i numeri non sono pari», in questo caso le due proposizioni sono entrambe false Infine, se x ed y sono oggetti qualsiasi, la scrittura x=y (si legge «x è uguale ad y») sta ad indicare che x ed y denotano lo stesso oggetto e, quindi, sono intercambiabili in ogni contesto matematico Il simbolo = prende il nome di uguaglianza Per l uguaglianza valgono le seguenti proprietà: 5) x : x = x (proprietà riflessiva) x, y: x = y y = x (proprietà simmetrica) 6) 7),, : x y z x = y y = z x = z Insiemi Il concetto di insieme viene assunto come primitivo, cioè non si definisce (si intuisce) Gli insiemi si denotano con lettere dell alfabeto, preferibilmente maiuscole Gli insiemi sono costituiti da oggetti, che si chiamano elementi dell insieme e si denotano preferibilmente con lettere minuscole dell alfabeto Per esprimere che un oggetto x è elemento dell insieme si scrive x e si legge «x appartiene ad» o «x è elemento di» Se x non è elemento di, allora si scrive x e si legge «x non appartiene ad» Quindi x significa ( x ) Se x è un oggetto qualsiasi, si può considerare l insieme costituito dal solo oggetto x: tale insieme si denota con il simbolo { x } e si chiama «insieme ridotto ad x» Si ha dunque x y y { x} x x x sono = In generale, se,,, n n oggetti distinti, l insieme costituito da tali oggetti si denota col simbolo { x, x,, xn} Questa notazione si può usare, in alcuni casi, anche per denotare un insieme infinito, ad esempio l insieme degli interi naturali o l insieme degli interi relativi { 0,,, } (*) { 0,,,,, } (**) Se ed F sono insiemi, allora essi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi, ossia si ha (*) L insieme degli interi naturali si denota comunemente con (**) L insieme degli interi relativi si denota comunemente con 3

4 = F x: ( x x F) Assegnato un insieme, un modo per definire altri insiemi, a partire da, è quello di assegnare un predicato P(x) tale che per ogni x P(x) risulti vero oppure falso, e di considerare l insieme costituito dagli elementi x di per cui P(x) è vera; tale insieme si denota col simbolo { x : P( x) } Ad esempio se P(x) è il predicato «x = 0» (risp «x x = 0») l insieme da esso definito in si denota con { x : x = 0 } (risp { x : x x = 0} ) e risulta { x : x = 0 } = { } (risp { x : x x = 0} = { 0,} ) Diamo, ora, la definizione di inclusione DF Se ed F sono insiemi, si dice che è contenuto in F, o che è un sottoinsieme o una parte di F, e si scrive F, se ogni elemento di è anche elemento di F Se è contenuto in F ed F, si dice che è un sottoinsieme proprio di F OSS Si noti che dalla DF consegue che sono vere le equivalenze: F x : x F F x: ( x x F) Se non è contenuto in F, cioè se è vera ( F), si scrive F Si ha, dunque, a causa della 3) del n, F ( x tc x F) Tra gli insiemi si annovera, anche, un particolare insieme privo di elementi, detto insieme vuoto e denotato con il simbolo Per tale insieme è vera la proposizione x: x, che può essere assunta per definire lo stesso insieme È ovvio che l insieme vuoto è contenuto in ogni altro insieme, infatti se è un insieme risulta vera l implicazione x x per ogni x, in quanto l ipotesi è falsa Sussistono le seguenti proprietà dell inclusione Se, F e G sono insiemi, allora si ha: ) (proprietà riflessiva dell inclusione) =F F F (proprietà antisimmetrica dell inclusione) ) 3) F F G G (proprietà transitiva dell inclusione) sempi Si ha, { 0, } n : p tc n = 4 p n : p tc n = p { } { } { : p n p tc n = } { n : p tc n = p } { n : p tc n = p } { n : p tc n = p } DF Se è un insieme, si chiama insieme delle parti di, e si denota con ( ), l insieme i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di 4

5 Si ha, dunque, X ( ) X Pertanto si ha sempre, per ogni insieme, sempi Si ha ) ( ) = { } ) se x è un oggetto, risulta { x} =, x 3) se = { x, y }, risulta = { x} { y} { { }} { },,, 4) se ed F sono insiemi, risulta e, quindi ( ), ( ) F ( ) ( F) =F ( ) = ( F) DF3 Se ed F sono insiemi, si chiama (insieme) unione di ed F, e si denota con F, l insieme i cui elementi appartengono ad almeno uno degli insiemi ed F Si chiama, invece, (insieme) intersezione di ed F, e si denota con F l insieme i cui elementi appartengono ad entrambi gli insiemi ed F Se F=, gli insiemi ed F si dicono disgiunti Si ha, dunque, ( ) x F x x F x F x x F Nella proposizione seguente si indicano alcune proprietà della unione e della intersezione PROP Se, ', F, F' e G sono insiemi, allora si ha ) =, = =, ) =, =, 3) F=F, F=F, (proprietà commutativa della unione e della intersezione) 4) F, F F, F, F F, G F G F G, 5) 6) (( G ) ( G F) ) G F, 7) 8) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) F ( G F G G F G ), F ' F' ' F F' ' F F', 9) F F=F, F F=, 0) ( F G ) = ( F) G, ( F G ) = ( F) G, (proprietà associativa della unione e della intersezione) F F' = F F', ' F= F ' F, (proprietà distributiva dell unione rispetto all intersezione) ) 5

6 ) ( F F' ) = ( F) ( F' ), ( ' ) F= ( F) ( ' F ), (proprietà distributiva dell intersezione rispetto all unione) Dim Le proprietà di cui sopra si possono dimostrare o adoperando le definizioni oppure deducendole da alcune di esse già dimostrate Ad esempio dimostriamo la ) supponendo di aver dimostrato alcune di quelle precedenti Per la 4) si ha F, F' e, quindi, a causa della 6) risulta Ancora dalla 4) consegue che e, quindi, per la 7) si ha ( F) ( F' ) () F F, F' F' F F' ( F) ( F' ) () Da () e (), poi, a causa della 5) consegue che ( F F' ) ( F) ( F' ) (3) Per completare la dimostrazione della ) basta provare l inclusione opposta della (3) Si ha, infatti, per ogni x x F F' x F x F' ( x x F) ( x x F' ) ( x ) ( x F x F' ) ( x ) ( x F F' ) x ( F F' ) e, quindi, la ) Si dà, poi, la seguente DF4 Se X ed sono insiemi, si chiama (insieme) differenza tra ed X, e si denota con X (oppure \X) l insieme { x : x X} Se X, l insieme X si chiama complementare di X rispetto ad e si denota con C ( X) Si ha, dunque, che X è costituito da tutti e soli gli elementi di che non appartengono ad X, in simboli x X x x X OSS Se, F ed X sono insiemi, si ha =, =, = e inoltre F X F X sercizi Se, X ed Y sono insiemi si provi che ) X Y=Y X X=Y, ) ( X) Y ( X Y ), 3) ( X) Y=( XY) Y= Alcune proprietà del complementare sono indicate nella PROP Se è un insieme ed X ed Y sono parti di, risulta C =, C =, ) ) ( ( X) ) X 3) C C C C = (proprietà involutoria del complementare) X X =, X X =, 6

7 ( ) 4) ( X Y=) C ( X) Y, X Y= Y C X 5) (( X Y=) ( X Y= ) ) Y= C ( X) 6) X Y C ( Y) C ( X) 7) C ( X Y) C ( X) C ( Y ), C ( X Y) C ( X) C ( Y) = = (formule di De Morgan) Dim Dimostriamo, ad esempio la prima delle 7) Poiché X X Y ed Y X Y, a causa della 6) si ha C ( X Y) C ( X) C ( X Y) C ( Y) e, quindi, per la 6) della PROP risulta C ( X Y) C ( X) C ( Y) D altra parte se x C ( X) C ( Y), allora x, x X e x Y ; da ciò consegue che X Y ovvero ( X Y) Ciò dimostra che C ( X) C ( Y) C ( X Y) e quindi l asserto x C e x, A volte è utile dare una rappresentazione grafica dei concetti di teoria degli insiemi fin qui introdotti A tale scopo si raffigura un insieme mediante una curva chiusa nel piano Ad esempio, se X ed Y sono insiemi tali che X Y, tale circostanza si raffigura disegnando la curva rappresentativa di X all interno della curva rappresentativa di Y, come segue X Y L unione e l intersezione di due insiemi X ed Y sono raffigurati nelle zone tratteggiate X Y X Y mentre se X ed Y sono disgiunti, cioè X Y=, essi si raffigurano come segue Infine se ed X sono insiemi, la differenza X è raffigurata nella zona qui tratteggiata X 7

8 In particolare se X, il complementare di X rispetto ad si raffigura al modo seguente C ( X) Tale tipo di rappresentazione è dovuto al logico inglese J VNN (834 93), perciò i diagrammi di cui sopra si chiamano diagrammi di VNN 3 Relazioni e funzioni Se x ed y sono oggetti qualsiasi e si considera l insieme formato dagli oggetti x ed y, cioè { x, y }, è ovvio che esso è uguale all insieme formato dagli oggetti y ed x, ossia { x, y} = { y, x} Se, però, si vuole dare la preferenza ad x rispetto ad y, si parla, anziché di insieme formato da x ed y, di coppia ordinata di prima coordinata x e seconda coordinata y, e si denota col simbolo (x, y) Per le coppie ordinate sussiste ovviamente l equivalenza ( x, y) = ( x', y' ) ( x = x' ) ( y = y' ) e, quindi, ( x, y) ( x', y' ) ( x x' ) ( y y' ) e ( x, y) = ( y, x) x = y Se, poi, x, y e z sono oggetti qualsiasi si chiama terna ordinata di prima coordinata x, seconda coordinata y e terza coordinata z la seguente coppia ordinata denotata col simbolo ( x, yz, ) = (( xy, ), z) In modo del tutto ovvio, se n > 3 si dà significato alla n-pla ( x, x,, xn ) con x, x,, xn oggetti qualsiasi Dopo ciò si dà la seguente DF Se ed F sono insiemi, si chiama prodotto cartesiano di per F, e si denota con F, l insieme costituito da tutte e sole le coppie ordinate (x, y) con x ed y F (cioè le coppie ordinate aventi come prima coordinata un elemento di e come seconda coordinata un elemento di F) Gli insiemi ed F prendono il nome rispettivamente di primo fattore e secondo fattore del prodotto F OSS Nel prodotto F gli insiemi ed F in genere sono diversi; se, però, =F il prodotto si denota con (o F ), cioè si pone = In modo del tutto ovvio si può definire il prodotto cartesiano di n insiemi,,, n, che si denota con n ; se = = = n =, il prodotto si denota con n sempi 8

9 ) Se x ed y sono oggetti qualsiasi si ha { x} { y} = {( x, y) } ) Se x, y e z sono oggetti qualsiasi, si ha {, } { x, yz, } = {(, x), (, y), (, z), (, x), (, y), (, z) } 3) Si ha = {( mn, ) : m, n } OSS Si noti (cfr gli esempi ) e )) che se ed F sono insiemi finiti ed hanno rispettivamente m ed n elementi, allora F ha m n elementi Nella proposizione seguente si indicano alcune proprietà del prodotto cartesiano PROP Se, F, ', F' sono insiemi, risulta F F ) ) F= ( = ) ( F= ) 3) ( ' F F' ) ( F ' F' ) 4) se F, allora 5) ( F) ( ' F' ) ( ' ) ( F F' ) 6) ( F) ( ' F' ) = ( ' ) ( F F' ) 7) ( ' ) F= ( F) ( ' F) 8) ( ' ) F= ( F) ( ' F) ( F ' F' ) ( ' ) ( F F' ) ( F= ' F' ) ( = ' ) ( F= F' ) ( F= F ) ( = F) Diamo, ora, la seguente definizione DF Se ed F sono insiemi, si chiama relazione tra elementi di ed elementi di F ogni sottoinsieme del prodotto cartesiano F In particolare ogni relazione tra elementi di ed elementi di prende il nome di relazione (binaria) su OSS3 Pertanto se R è una relazione tra elementi di ed elementi di F, si ha R F Se xy, R, si suole anche scrivere xry sempi ) Se ed F sono insiemi, lo stesso prodotto F è un esempio di relazione tra elementi di ed elementi di F in particolare è una relazione (binaria) su, dunque è una relazione (binaria) su ) Se è un insieme, il seguente sottoinsieme di (, ) : = x y x = y { } è una relazione su, detta diagonale di 3) sempi di relazioni su sono dati dai seguenti sottoinsiemi di 9

10 3 C Boccaccio Appunti di Analisi matematica Cap I {( mn) h tcn m h} ( mn) n m R =, : = + { } {( mn) m n} R =, : = R =, : = Si noti che l ordine su si definisce mediante R ponendo m n se e solo se ( mn, ) R, cioè se e solo se esiste h tale che n = m+ h; in base a ciò risulta ad esempio 3 5 in quanto esiste tale che 5=3+ Si scrive, poi, m n h 0 tale che < se esiste { } n = m+ h Gli elementi di R, invece, sono tutte e sole le coppie ordinate di interi naturali del tipo ( m,m ) con m Infine gli elementi di R 3 sono tutte e sole le coppie ordinate di elementi di del tipo m m, con m intero naturale pari Vi sono particolari tipi di relazioni, dette funzionali, il cui significato è precisato nella definizione che segue DF3 Se ed F sono insiemi, si chiama relazione funzionale tra elementi di ed elementi di F ogni relazione R tra elementi di ed elementi di F che verifica la condizione x y F tc x, y R Dopo ciò si dà la seguente fondamentale definizione di funzione DF4 Se ed F sono insiemi, si chiama funzione (o applicazione) di in F ogni terna ordinata f = (, F, R) dove R è una relazione funzionale tra elementi di ed elementi di F Gli insiemi ed F prendono il nome rispettivamente di insieme di definizione (o di partenza), e insieme di variabilità (o di arrivo) della funzione f L insieme R prende il nome di grafico di f Strettamente legato al concetto di funzione è quello di valore di una funzione, come viene precisato nella seguente DF5 Se f = (, F, R) è una funzione di in F e se x, si chiama valore di f in x, e si denota con f ( x ) l unico elemento y di F tale che ( xy, ) R OSS4 Pertanto se f = (, F, R), se x e se y F si ha Da ciò segue che y = f( x) x, y R R = {( x, y) F: y = f( x) } ossia il grafico di f è costituito da tutte e sole le coppie ordinate del tipo ( x, f( x) ) con x Con altra notazione si può anche scrivere R = {( x, f( x) ) : x } Notazioni In alternativa alla notazione f = (, F, R), per indicare la stessa funzione si può usare la notazione d uso corrente f : F 0

11 nella quale si tace il grafico della funzione; a tale mancanza si sopperisce, ove richiesto, specificando il valore di f in ogni elemento dell insieme di definizione di f Tutto ciò si esprime dicendo che la funzione f : F è definita ponendo, per ogni x, f ( x ) = Si possono usare anche le seguenti notazioni x f( x) F oppure x f( x) oppure f F OSS5 Da tutto quanto è stato detto sopra si evince che, quando si vuole assegnare una funzione f di un insieme in un insieme F, occorre e basta assegnare una legge (leggi «relazione funzionale») che permette di associare ad ogni elemento x di uno ed un solo elemento f(x) di F (leggi «valore di f in x») sempi ) Se è un insieme, la diagonale di (cfr s pag 9) è una relazione funzionale su, in quanto se x, esiste un solo y tale che ( xy, ) ed è x stesso Pertanto si può considerare la funzione i = (,, ) detta applicazione identica di Questa è l applicazione di in definita ponendo per ogni x i x = x ) Siano ed F insiemi e sia c un assegnato elemento di F Allora la relazione R = { c} tra elementi di ed elementi di F è funzionale perché per ogni x l unico elemento y di F tale che ( xy, ) R c è c Pertanto si può considerare la funzione f = c, F, R C ossia la funzione fc : F definita ponendo per ogni x fc ( x) = c Tale funzione prende il nome di funzione (di in F) costante di costante valore c 3) Se ed F sono insiemi, si considerino le relazioni {(( x y) z) z x} ( x y) z z y S =,, F : = { } S =,, F F: = Queste sono ovviamente funzionali, dunque sono grafici rispettivamente delle funzioni pr : F e pr : F F definite ponendo per ogni ( xy, ) F pr ( x y) x, pr x, y y Le funzioni pr e pr si chiamano rispettivamente prima proiezione e seconda proiezione del prodotto F 4) Delle tre relazioni considerate nell esempio 3) di pag 9 si riconoscano quelle funzionali e si definiscano le funzioni che le hanno rispettivamente come grafici 5) Delle due relazioni = e = (*) (*) Si osservi che il valore di pr (risp pr ) in (x, y) si denota più semplicemente col simbolo pr (x, y) (risp pr (x, y)) A tale convenzione ci si attiene ogniqualvolta si considera una funzione definita nell insieme prodotto di due insiemi, detta funzione di due variabili

12 {( x y) x y} ( x y) x y T =, : = { } T =, : = si riconosca quella che risulta funzionale e si definisca la funzione che l ammette come grafico Tra le funzioni si distinguono quelle che hanno come insieme di definizione l insieme degli interi naturali A tal proposito si dà la seguente DF6 Se è un insieme, si chiama successione di elementi di ogni funzione (di in ) f : Inoltre se n, con f n si denota il valore di f in n, cioè si pone fn = f( n) e si chiama elemento di indice n della successione La successione si suole denotare col simbolo ( f n ) n OSS6 Pertanto assegnare la successione ( x n ) di elementi di un insieme significa assegnare n la funzione f : definita ponendo, per ogni n, Ad esempio la successione ( n + ) per ogni n, n xn f n = di elementi di è la funzione f : f n n = + definita ponendo, Molto utile è la seguente PROP (Criterio di uguaglianza delle applicazioni) Se f : F e g : F sono due applicazioni di in F, sono equivalenti le seguenti proposizioni: a) f = g b) x : f( x) = g( x) Dim Siano f = (, F, R ) e g = (, F, R ) Dimostriamo a) b) Sia, dunque, f = g e sia x Allora R = R, ( x, f ( x) ) R ed ( xg, ( x) ) R ; da ciò consegue, essendo R (o R ) funzionale, che f ( x) = g( x), e quindi b) Dimostriamo, ora, che b) a) Per ipotesi si ha, dunque, che per ogni x risulta f ( x) = g( x) Pertanto si ha ( xy, ) R y= f( x) y= gx ( xy, ) R ossia R = R e, quindi, f = g, cioè a) Al concetto di funzione si associano i concetti di immagine diretta ed immagine reciproca, definiti nella seguente DF7 Sia f : F e sia A ( ) Si chiama immagine diretta di A per f il seguente sottoinsieme di F f ( A) = { y F: x A tc y = f( x) } (*) B F, si chiama immagine reciproca di B per f il seguente sottoinsieme di Se, poi, ( B) = { : B} f x f x (*) Per definire f (A) si può usare, a preferenza, il simbolismo seguente: f ( A ) = { f( x): x A}

13 OSS7 Pertanto l immagine diretta di A per f è il sottoinsieme di F costituito da tutti e soli gli elementi del tipo f(x) con x A, cioè da tutti e soli i valori assunti da f negli elementi di A Si ha dunque l implicazione x A f( x) f A Si noti che l implicazione inversa x risulta f { x} = f( x) { } f( x) f A x A non è sempre vera Si noti, anche, che se OSS8 L immagine diretta di per f in genere è un sottoinsieme proprio di F (cioè ( ) mentre risulta sempre ( F) f F), f = L insieme f (), cioè l insieme dei valori di f, si chiama più semplicemente immagine di f DF8 Se f : F ed y F, si chiama immagine reciproca di y per f l immagine reciproca di { y } per f, e si denota con f ( y), cioè si pone = { } f y f y Nella proposizione seguente si segnalano le proprietà principali delle immagini dirette e reciproche PROP3 Sia : F A,A B,B F Allora si ha che f, siano e ) f ( A) A ) f ( B) B f ( ) 3) A A f ( A) f ( A) 4) B B f B f ( B) 5) f ( A A) = f ( A) f ( A) 6) f B B = f B f ( B) 7) f ( A A) f ( A) f ( A) 8) f B B = f B f ( B) 9) f C ( B ) = C f B ( F ) ( ( ) ) f ( f ) f ( f ) A A, B B 0) Dim La dimostrazione consegue dalle definizioni di immagine diretta e immagine reciproca Noi x f ; ciò significa che ci limitiamo a provare la ) Sia, pertanto, f ( B ), cioè esiste ( B ) f( x) B e, poiché f( x) f ( ), sia che f ( x) B f ( ) e, quindi, B f ( ) Viceversa supponiamo che B f ( ), cioè esiste y B f ( ) ; poiché y f ( ) x tale che y = f ( x) e, siccome y B, allora f ( x) B, ossia x f ( B ) f ( B ) risulta non vuoto OSS9 Si noti che, per la ), affinché f ( B ) sia non vuoto non basta che non vuoto B f ( ) (*), esiste Pertanto B ma che sia (e, quindi, anche B ) Ad esempio sia un insieme non vuoto e sia F un insieme avente almeno due elementi Sia c F e si consideri la funzione f c di in F costante di f y =, perché per costante valore c Considerato un elemento y di F diverso da c si ha che { } ogni x risulta f ( x) = c { y} Dunque pur essendo { y} risulta f { y} (*) Si ha pertanto f ( y) { x : f( x) y} = = = D'altra 3

14 parte se supponiamo che sia costituito da almeno due elementi ed F sia un insieme qualsiasi non vuoto, considerati due elementi distinti x ed x di, risulta f ({ x} { x} ) = f ( ) = mentre f x f x = ({ } ) ({ } ) { c} Ciò dimostra che nella 7) sussiste solo l'inclusione di f ( A A ) in f ( A ) f ( A ) sempi ) Se è un insieme, considerata l'applicazione identica di, i, (cfr es pag ), per ogni A si ha i ( A) = A = i ( A) ) Se ed F sono insiemi, se c F ed fc : F è l'applicazione costante di costante valore c, allora per ogni parte non vuota A di si ha f c ( A) = { c} mentre per ogni parte B di F risulta se c B f c ( B) = se c B 3) Se ed F sono insiemi non vuoti, considerate le applicazioni prima e seconda proiezione di F, pr e pr, risulta pr( F) =, pr( F) = F; inoltre per ogni A e per ogni B F risulta pr A = A F, pr B = B definita ponendo, per ogni 4) Considerata la funzione f : n, f n = n, e denotati con P e D rispettivamente l insieme degli interi naturali pari e quello degli interi naturali dispari, risulta f = P, f P =, f D = Tra le applicazioni ci sono alcune che godono di proprietà particolari, come è detto nella seguente DF9 Sia f : F Si dice che f è surgettiva (o suriettiva) se ( ) f = F Si dice che f è ingettiva (o iniettiva) se x, x : ( x x f ( x) f ( x) ) Si dice, infine, che f è bigettiva (o biiettiva) se è ingettiva e surgettiva Nelle proposizioni seguenti si caratterizzano i tipi di applicazioni su definiti PROP4 Se f : F, allora le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) f è surgettiva, b) y F x tc y = f ( x) y F: f y c) PROP5 Se f : F, allora sono equivalenti le seguenti proposizioni: a) f è surgettiva B F : f f B = B b) 4

15 PROP6 Se f : F, allora le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) f è ingettiva x, x : f x = f x x = x b) c) y ( f ( y) = ) f ( y) d) y f ( ) x tc y f ( x) F : è ridotto ad un solo elemento = PROP7 Se f : F, allora le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) f è ingettiva A : f f A = A b) PROP8 Se f : F, allora le seguenti proposizioni sono equivalenti: a) f è bigettiva b) y F x tc y = f ( x) y F: f y è ridotto ad un solo elemento c) sempi ) Se è un insieme, l applicazione identica di, i, è bigettiva ) Se ed F sono insiemi non vuoti e c F, l applicazione fc : F di costante valore c è surgettiva se e solo se F = { c }, ed è ingettiva se e solo se è ridotto ad un solo elemento 3) Se ed F sono insiemi non vuoti, le applicazioni prima e seconda proiezione di F, pr e pr, sono surgettive, e sono ingettive se e solo se rispettivamente F ed risultano ridotti ad un solo elemento 4) L applicazione n n è ingettiva ma non surgettiva È, invece, bigettiva l applicazione f : P (P è l insieme dei numeri pari) definita ponendo per ogni n = f n n Si noti che, rispetto all applicazione precedente, quest ultima ha di diverso solo l insieme di arrivo, che coincide con l immagine di quella precedente, perciò prende il nome di ridotta di quella applicazione Ciò vale in generale, ossia data una applicazione f : F non surgettiva, da questa si può ottenere una applicazione surgettiva considerando l applicazione f * : f ( ) definita ponendo per ogni x * f ( x) = f ( x) La f * dicesi ridotta di f 5) Se è un insieme ed A, l applicazione ja :A definita ponendo, per ogni x A, ja ( x) = x è ingettiva ssa è detta ingezione canonica di A in Per le applicazioni si può definire un operazione di composizione nel senso precisato nella seguente DF0 Se f : F e se g : G H sono applicazioni tali che f ( ) G, allora l applicazione g f : H ( g f si legge g cerchietto f ) definita ponendo per ogni x 5

16 ( g f )( x) = g f ( x) si chiama applicazione composta di f e g OSS0 Si noti che la definizione di g f è ben posta in quanto se x, allora per l ipotesi f ( ) G si ha che f ( x) G e, quindi, ha senso considerare g f x che, per definizione, è il valore assunto da g f in x L ipotesi che f ( ) G è, dunque, essenziale al fine di poter considerare l applicazione composta di f e g Tale ipotesi è senz altro verificata se F G (in particolare se F = G) in quanto, essendo f ( ) F, si ha anche f ( ) G Dopo ciò risulta chiaro che per due assegnate applicazioni f e g può essere possibile considerare l applicazione composta g f di f e g, e non l applicazione composta f g di g ed f d anche se è possibile considerare entrambe g f ed f g, non è vero in generale che g f sia uguale ad f g, come faremo vedere tra breve con qualche esempio sempi ) Se f : è definita ponendo per ogni x, f ( x) = x, allora f f è l applicazione di in tale che x : f f ( x) = f f x = f x = 4x ) Se f : (*) e g : sono così definite x : f ( x) = e g ( x) = x x + allora si ha che g f : ed f g : sono così definite x : ( g f )( x) = g x = + x + mentre x : ( f g) ( x) = f ( x) = 4x + Come si vede, pur potendo considerare entrambe le applicazioni g f ed f g e pur avendo queste lo stesso insieme di partenza e lo stesso insieme di arrivo, si ha che g f f g Dunque la composizione tra applicazioni non gode della proprietà commutativa Nella proposizione che segue si segnalano alcune proprietà delle applicazioni composte PROP9 Se f : F, g:f G ed h:g H, si ha ) f i = f = if f h g f = h g f (proprietà associativa della composizione) ) 3) A ( ):( g f )( A) = g( f ( A) ) 4) B ( G ):( g f ) ( B) = f g ( B) m m n (*) Con si denota l insieme dei numeri razionali o frazioni, cioè = : Z, n Z {} 0 6

17 Dim Dimostriamo ad esempio la 4) Sia x ( g f ) ( B) g f ( x), dunque f ( x) g ( B) e da ciò consegue che x f g ( B) B Allora ( g f )( x) B, cioè Ciò dimostra che ( g f ) ( B) f g ( B) Per quanto riguarda l altra inclusione si consideri x f g ( B) Si ha allora f ( x) g ( B) e quindi g f ( x), ovvero ( g f )( x) B ( ) ( B) e, quindi, x g f B ( B ) ( B) f g g f Sussiste anche la PROP0 Se f : F e g :F G, allora risulta ) f e g sono surgettive g f è surgettiva ) f e g sono ingettive g f è ingettiva 3) f e g sono bigettive g f è bigettiva Si pone, poi, la seguente DF Se f : F ed A, l applicazione f j A si chiama restrizione di f ad A e si denota col simbolo f A (*) ; da ciò consegue che OSS Per definizione si ha dunque f = f j A A, cioè f :A F ed è tale che per ogni x A A risulta f ( x) = f ( x ) Dunque f differisce da f solo per l insieme di definizione, che è un A A sottoinsieme dell insieme di definizione di f La ridotta di una qualsiasi applicazione è sempre surgettiva Si dà anche la seguente DF Sia f : F Si chiama prolungamento di f ogni applicazione g :G F tale che G e g = f OSS Pertanto se g : G F è un prolungamento di f : F, risulta G e per ogni x si ha g( x) = f ( x) sempio Sia f : f le seguenti applicazioni: tale che per ogni x risulti { } 3 3 f x = x Allora sono prolungamenti di x se x g : tale che x : g( x) = 0 se x x se x g : tale che x : g( x) = x se x g : tale che x : g x = x e g = 3 Ora, al fine di fornire il concetto di inversa di una applicazione, si osservi che se f è una applicazione di in F, essa associa ad ogni elemento x di uno ed un solo elemento f(x) di F Non è detto, però, che viceversa ad ogni elemento di F si possa associare uno ed un solo elemento di, nel (*) Si rammenta che ja :A è l ingezione canonica di A in, dunque per ogni A x risulta j x = x A 7

18 senso che ad per qualche y F si possa associare un solo y F non esista alcun y = f ( x) Se, però, y f ( ) x tale che y f ( x) x tale che y f ( x) x tale che y f ( x) = ; può accadere, infatti, che =, oppure esista più di un x tale che allora esiste almeno un x si ha se f è ingettiva (cfr d) della PROP6) Tutto ciò osservato, si pone la seguente DF3 Se f : F è ingettiva, si chiama (funzione) inversa di f l applicazione f : f ( ) definita ponendo per ogni y f ( ) f ( y) = l unico x y = f ( x) ' tale che OSS3 Se f : F è ingettiva, si ha dunque, per definizione di inversa: x, y f : f y = x y = f x Da ciò segue la PROP Se f : F è ingettiva, allora si ha ) x : f f ( x) = x (cioè f f = i ) ( ) ) 3) f f ( ) = y f : f f y = y (cioè f f = i f ) = ; l unicità di siffatto OSS4 Dalla 3) della PROP consegue che l inversa di una applicazione ingettiva è surgettiva Nella proposizione seguente si fornisce una caratterizzazione dell inversa di una applicazione ingettiva PROP Se f : F, allora sono equivalenti le proposizioni seguenti: a) f è ingettiva b) g : f ( ) tale che g f = i g: f tale che g f = i ed f * g = i c) f ( ) Inoltre, vera una e, quindi, ciascuna delle proposizioni di sopra, g è unica e risulta g = f Dim a) b) Basta assumere g = f e tener conto della ) della PROP b) a) Siano, f x f y g f x = g f y e, quindi, essendo xy tali che = Allora g f = i, si ha x = y, cioè f è ingettiva c) b) È ovvia y f ed b) c) Se ossia f * g = if ( ), e quindi la c) ( ) x è tale che y = f ( x), si ha, per l ipotesi b), f *( g( y) ) = f * g( f ( x) ) = f * x = y, g f x = x e da ciò L unicità della funzione g prevista nella b) deriva dal fatto che se g': f ( ) è tale che g' f = i, allora g f = g' f e, quindi, per y = f ( x) f ( ) si ha g( y) = g f ( x) = g' f x = g' y, cioè g = g Infine, siccome f ( ) verifica la proprietà richiesta per g nella b), allora g = f COR Se f : F è ingettiva, l applicazione inversa f ( ) in tale che f di f è l unica applicazione g di 8

19 Inoltre g f = i ed f * g = i f è ingettiva (e, quindi, bigettiva (cfr OSS4)) ed ha come inversa la ridotta f * di f COR Se f : F è bigettiva, l inversa f di f è l unica applicazione g :F tale che g f = i ed f g = i Inoltre f è bigettiva ed ha f come inversa OSS5 Se f : F è una applicazione, non necessariamente ingettiva, e se B è un sottoinsieme f B si è denotata l immagine reciproca per f di B (cfr DF7 a pag) Se, di F, col simbolo però, f è ingettiva e B f ( ) f ( B), avendo denotato con f f F ( ) l inversa di f, con lo stesso simbolo si denota anche l immagine diretta per f di B L uso della stessa notazione è giustificata dal fatto che i due insiemi sono uguali, come si può facilmente riconoscere Per quanto riguarda l inversa di una applicazione composta, si ha la seguente PROP3 Siano : F g : f G due applicazioni ingettive Allora l applicazione f e composta g f : G è ingettiva e risulta g f = f g Dim L ingettività di g f consegue dalla PROP0 Si ha, poi, a causa della PROP f f = i e g g = if ( ) e da ciò, per la proprietà associativa della composizione (cfr PROP9), consegue che f g g f = f g g f = f i f = i f ( ) Dunque, a causa della PROP, l applicazione inversa di g f è f g COR Siano f : F e g : F G bigettiva Allora g f è bigettiva e risulta g f = f g sempi ) Sia f : definita ponendo per ogni x La f è ingettiva, infatti se xy, si ha Si ha anche f ( ) = {, 3, 5, } f ( x) = x+ f ( x) = f ( y) x+ = y+ x = y, cioè l insieme dei numeri dispari Per calcolare l inversa di f si tiene conto della definizione di inversa, precisamente dell equivalenza che compare nella x ed y f OSS3 Si ha, pertanto, se y f y = x y = f x y = x+ x =, y f y = f : definita ponendo per ogni x dunque ) Sia { } x + = si ha f ( x) x Proviamo che f è ingettiva Se xy, { } x+ y+ x+ y+ f ( x) = f ( y) = = 0 x y x y 9

20 ( x+ )( y) ( y+ )( x) ( x)( y) ( x )( y ) ( y )( x ) = = 0 xy x+ y yx+ y x+ = 0 3x+ 3y = 0 x = y Dunque f è ingettiva Ora si può determinare sia l immagine di f sia l inversa di f applicando la definizione di x ed y f si ha inversa Infatti se { } { } x + f y = x y = f x y = y x = x+ x yx y = x + x y = y + Dunque y = f ( x) se e solo se y ; in tal caso si ha { } y + x = y Pertanto f { } = ed f : { } { } y { } f è definita ponendo per ogni y ( y) = y + 0