Topografia e Costruzioni Topografia

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1 Idee per il tuo futuro Renato Cannarozzo Lanfranco Cucchiarini William Meschieri Vera Zavanella Topografia e Costruzioni Topografia per Geotecnico Sistemi di riferimento, strumenti e misure, operazioni sulle superfici

2 Renato Cannarozzo Lanfranco Cucchiarini William Meschieri Vera Zavanella Topografia e Costruzioni Topografia per Geotecnico Sistemi di riferimento, strumenti e misure, operazioni sulle superfici

3 Copyright 2012 Zanichelli editore S.p.., ologna [5927der] I diritti di elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione anche digitale su supporti di qualsiasi tipo (inclusi magnetici e ottici), di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche), i diritti di noleggio, di prestito e di traduzione sono riservati per tutti i paesi. L acquisto della presente copia dell opera non implica il trasferimento dei suddetti diritti né li esaurisce. Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico, commerciale, strumenti di studio collettivi, come dispense esimili) l editore potrà concedere a pagamento l autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del presente volume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a ssociazione Italiana per i Diritti di Riproduzione delle pere dell ingegno (IDR) Corso di Porta Romana, n Milano [email protected] e sito web L editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale, consultabile al sito La fotocopia dei soli esemplari esistenti nelle biblioteche di tali opere è consentita, oltre il limite del 15%, non essendo concorrenziale all opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell editore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche. Nei contratti di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà di cui all art ter legge diritto d autore. Maggiori informazioni sul nostro sito: Realizzazione editoriale: Redazione: Massimo Evangelisti Segreteria di redazione: Deborah Lorenzini Progetto grafico, impaginazione, ricerca iconografica, disegni e collaborazione redazionale: Stilgraf, ologna Copertina: Progetto grafico: Miguel Sal & C., ologna Realizzazione: Roberto Marchetti Immagine di copertina: Rob Wilson/Shutterstock; rtwork Miguel Sal & C., ologna Prima edizione: gennaio 2012 L impegno a mantenere invariato il contenuto di questo volume per un quinquennio (art. 5 legge n. 169/2008) è comunicato nel catalogo Zanichelli, disponibile anche online sul sito ai sensi del DM 41 dell 8 aprile 2009, ll. 1/. File per diversamente abili L editore mette a disposizione degli studenti non vedenti, ipovedenti, disabili motori ocondisturbi specifici di apprendimento i file pdf in cui sono memorizzatelepagine di questo libro. Il formato del file permette l ingrandimento dei caratteri del testo e la lettura mediante software screen reader. Le informazioni su come ottenere i file sono sul sito Suggerimenti e segnalazione degli errori Realizzare un libro è un operazione complessa, che richiede numerosi controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra essi. L esperienza suggerisce che è praticamente impossibile pubblicare un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che vorranno segnalarceli. Per segnalazioni o suggerimenti relativi a questo libro scrivere al seguente indirizzo: [email protected] Le correzioni di eventuali errori presenti nel testo sono pubblicati nel sito Zanichelli editore S.p.. opera con sistema qualità certificato CertiCarGraf n. 477 secondo la norma UNI EN IS 9001:2008

4 Indice parti disponibili online MDUL Lo studio delle figure piane ngoli e funzioni 1 goniometriche 1 Definizioni di angolo 2 Misura degli angoli 3 Funzioni goniometriche seno e coseno 4 Funzioni goniometriche tangente e cotangente 5 Valori delle funzioni goniometriche 6 Grafici delle funzioni goniometriche 7 Relazioni tra le funzioni goniometriche di uno stesso angolo 8 Relazioni tra le funzioni goniometriche di angoli associati 9 Funzioni inverse 10 Risoluzione dei triangoli rettangoli 11 Formule goniometriche 12 Proiezione di un segmento e pendenza di una retta RISSUMEND LRTRI INFRMTIC Ecel Calcolo e rappresentazione grafica delle funzioni seno e coseno UTVLUTZINE Risoluzione dei 2 triangoli e dei poligoni 1 Relazioni tra lati e angoli di un triangolo qualunque (scaleno) 2 Criteri per risolvere i triangoli qualunque 3 rea dei triangoli 4 Cerchi notevoli dei triangoli 5 ltezze, mediane e bisettrici 6 Proprietà geometriche dei poligoni 7 Casi di risoluzione dei quadrilateri 8 Risoluzione dei poligoni 9 rea dei poligoni 10 Problema della distanza inaccessibile RISSUMEND LRTRI INFRMTIC utocd Risoluzione di un triangolo assegnati i tre lati UTVLUTZINE Le coordinate 3 cartesiane e polari 1 La definizione dei punti nel piano 3 2 Trasformazione di coordinate 4 3 ngolo di direzione di un lato 7 4 Coordinate cartesiane parziali e totali 8 5 Distanza tra due punti di coordinate cartesiane note 10 6 Risoluzione dei poligoni assegnati a mezzo delle coordinate cartesiane dei vertici 12 7 Risoluzione di una spezzata piana aperta 15 8 rea dei poligoni con le coordinate cartesiane dei suoi vertici 20 9 Spostamento di un sistema di coordinate cartesiane 22 RISSUMEND 26 LRTRI INFRMTIC Ecel Punto di intersezione di due segmenti 29 UTVLUTZINE 32 MDUL mbito operativo Superfici 1 di riferimento 1 Premessa 41 2 Sistemi di riferimento usati in topografia 44 3 Corrispondenza tra terreno e piano di rappresentazione (carta) 48 4 Ipotesi storiche sulla forma e sulle dimensioni della Terra 50 5 Il campo gravitazionale terrestre 51 6 Il geoide 53 7 L ellissoide di rotazione (biassiale) 56 8 Il campo sferico 63 9 Il campo topografico Conclusioni 70 RISSUMEND 71 LRTRI INFRMTIC PowerPoint TESIN Geoide, coordinate astronomiche e quote 75 UTVLUTZINE 79 III

5 INDICE Richiami di ottica 2 geometrica 1 La riflessione 2 La rifrazione 3 Le lenti sferiche 4 Sistemi di lenti 5 Le aberrazioni RISSUMEND LRTRI INFRMTIC utocd Costruzione dell immagine di un oggetto da una lente convergente UTVLUTZINE Segnali 3 e mire 1 Generalità 83 2 I segnali 84 3 Le mire 89 4 Visibilità delle paline 93 5 Monografie dei segnali 94 RISSUMEND 95 UTVLUTZINE 98 Strumenti e dispositivi 4 semplici 1 Introduzione 2 Il filo a piombo 3 La diottra 4 Gli squadri 5 La livella sferica 6 La livella torica 7 I microscopi di lettura RISSUMEND UTVLUTZINE Il cannocchiale 5 collimatore 1 L apparato collimatore 2 L occhio umano e la visione 3 Il cannocchiale 4 Effetto pratico del cannocchiale 5 biettivi e oculari nei cannocchiali 6 La collimazione assistita da camera digitale RISSUMEND UTVLUTZINE MDUL C Misure con strumenti tradizionali Misura C1 degli angoli 1 La misura degli angoli sulla carta La misura degli angoli sul terreno Evoluzione e classificazione dei teodoliti Le parti e gli assi dei teodoliti ottici Le condizioni di buon funzionamento del teodolite ottico Messa in stazione (setup) del teodolite Letture al cerchio orizzontale Letture al cerchio verticale Esempi di teodoliti ottici 135 RISSUMEND 136 UTVLUTZINE 142 Misura diretta e indiretta C2 delle distanze 1 Misure dirette e indirette Distanza topografica Tecniche di misura delle distanze Misura diretta delle distanze Errori nella misura diretta delle distanze Longimetri a ultrasuoni e laser Misura indiretta delle distanze Metodi per la misura indiretta delle distanze Controllo della misura e tolleranza 163 RISSUMEND 165 LRTRI INFRMTIC PowerPoint TESIN La misura indiretta delle distanze 169 UTVLUTZINE 174 Errori C3 di misura 1 Premessa Classificazione degli errori nelle misure dirette La probabilità La frequenza Caratteristiche degli errori accidentali nelle misure dirette Trattamentostatisticodiunaseriedimisurediretteeomogenee Trattamento statistico di una serie di misure dirette di precisione diversa 191 RISSUMEND 194 LRTRI INFRMTIC Ecel Calcolo dei parametri statistici di una serie di misure dirette della stessa precisione UTVLUTZINE 196 IV

6 INDICE I particolari C4 del territorio 1 Il rilievo dei particolari topografici 2 Il sopralluogo, l eidotipo e i registri 3 Relazione tra scala e numero dei particolari da rilevare 4 Rilievo dei particolari topografici per allineamenti 5 Rilievo dei particolari topografici per irradiamento 6 Riflessioni finali RISSUMEND UTVLUTZINE MDUL D Misure con strumenti elettronici Stazione D1 totale 1 L evoluzione recente dei teodoliti Le parti di una stazione totale La stazione totale motorizzata ssi e condizioni della stazione totale Compensatore monoassiale o biassiale La misura elettronica degli angoli La misura elettronica delle distanze: premesse La misura elettronica delle distanze: i princìpi Tecnologie dedicate alla misura senza prisma La valutazione dei distanziometri EDM I prismi riflettori Correzione atmosferica Sistemi integrati Caratteristiche costruttive di alcune stazioni totali 245 RISSUMEND 248 UTVLUTZINE 255 Misure con la stazione D2 totale 1 Messa in stazione dello strumento (setting up) Misura degli angoli orizzontali Misura degli angoli zenitali Misura delle distanze Registrazione e trasferimento delle misure Elaborazione delle misure (software applicativo) Stazione e segnale fuori centro 277 RISSUMEND 280 LRTRI INFRMTIC Ecel Calcolo dell angolo compreso tra due direzioni assegnate con stazione fuori centro 283 UTVLUTZINE 286 Misura D3 dei dislivelli 1 Le grandezze altimetriche Influenza della rifrazione atmosferica e della sfericità terrestre Classificazione delle livellazioni Livellazioni a visuale inclinata Livellazioni geometriche (a visuale orizzontale) Problemi altimetrici I livelli Livelli tradizionali con vite di elevazione utolivelli Livelli digitali Livelli laser Precisione dei livelli Caratteristiche costruttive dei livelli moderni 324 RISSUMEND 326 UTVLUTZINE 329 MDUL E Il rilievo tradizionale Inquadramento E1 generale INTRDUZINE 1 Impostazione generale del rilievo topografico 2 Precisione delle reti di inquadramento LE TRINGLZINI 3 Principi generali 4 La triangolazione geodetica dell IGM LE INTERSEZINI 5 Classificazione delle intersezioni 6 Intersezioni dirette 7 Il problema di Snellius-Pothenot (intersezione inversa) 8 Problema di Hansen (doppia intersezione inversa) 9 La stazione libera (intersezione inversa con distanze) 10 Livellazione fondamentale dell IGM RISSUMEND LRTRI INFRMTIC utocd Sviluppo del problema di Snellius-Pothenot UTVLUTZINE Inquadramento E2 con le poligonali 1 La struttura delle poligonali La classificazione delle poligonali Lo schema geometrico delle poligonali 337 V

7 INDICE 4 La misura diretta degli azimut Propagazione degli errori nelle poligonali Poligonali chiuse Caso particolare di poligonale chiusa Poligonali aperte con estremi vincolati Caso particolare di poligonale aperta Il rilievo altimetrico delle poligonali 364 RISSUMEND 367 UTVLUTZINE 371 Rilievo dei particolari E3 topografici 1 Criteri organizzativi del rilievo dei particolari Il rilievo completo dei particolari: la celerimensura La teoria della celerimensura rganizzazione del rilievo dei particolari Rilievo dei particolari altimetrici Rilievo altimetrico lungo una linea Rilievo altimetrico di una fascia di terreno 399 RISSUMEND 402 LRTRI INFRMTIC Ecel Calcolo della posizione dei particolari topografici con un rilievo celerimetrico 406 UTVLUTZINE 410 MDUL F Il rilievo con le nuove tecnologie Posizionamento F1 satellitare GPS 1 Sistemi di posizionamento satellitare GNSS La struttura del sistema GPS Principio di funzionamento in sintesi Il segnale dei satelliti nel sistema GPS Classificazione dei metodi di impiego del sistema GPS Errori di posizionamento nel sistema GPS Configurazione geometrica dei satelliti Il posizionamento assoluto: misure di codice La misura di fase Il posizionamento differenziale di fase Il sistema di riferimento geocentrico WGS Utilizzo topografico del sistema GPS 13 Tecniche di rilievo statiche 14 Tecniche di rilievo cinematiche 15 Pianificazione della campagna di misura 16 I ricevitori GPS 445 RISSUMEND 448 LRTRI INFRMTIC PowerPoint TESIN Il sistema di posizionamento GPS UTVLUTZINE 452 Rilievo 3D F2 con i laser scanner 1 Descrizione del sistema laser scanner I componenti del sistema e il principio di funzionamento La misura della distanza e il posizionamento dei punti Laser scanner aereo (piattaforma mobile) Laser scanner terrestre Elaborazione delle misure Strumenti laser scanner 468 RISSUMEND 470 UTVLUTZINE 474 MDUL G Cartografia Regole convenzionali G1 di rappresentazione del territorio 1 La teoria delle proiezioni quotate 2 Rappresentazione completa del terreno con piani quotati 3 Rappresentazione completa del terreno con curve di livello 4 Ricerca della retta di massima pendenza di un piano 5 Problemi sui piani quotati e a curve di livello RISSUMEND LRTRI INFRMTIC utocd Profilo del terreno secondo una direzione assegnata su un piano a curve di livello UTVLUTZINE La cartografia G2 nazionale 1 La scala della carta La classificazione e la struttura delle carte Moduli di deformazione Le proiezioni cartografiche Proiezioni per sviluppo cilindriche Proiezioni della cartografia nazionale Sistema internazionale UTM I reticolati cartografici La cartografia nazionale dell IGM La cartografia regionale CTR 508 RISSUMEND 512 UTVLUTZINE 519 VI

8 MDUL Lo studio delle figure piane UNITÀ 1 ngoli e funzioni goniometriche UNITÀ 2 Risoluzione dei triangoli e dei poligoni UNITÀ 3 Le coordinate cartesiane e polari Il contenuto di questo primo segmento del corso ha un carattere essenzialmente preliminare e propedeutico per tutto il percorso formativo previsto per la nostra disciplina. Si tratta in effetti di introdurre, talvolta di riaffermare e rafforzare, i principi matematici legati alle tecniche di sviluppo e risoluzione delle figure piane a contorno poligonale, con particolare riguardo ai triangoli e ai quadrilateri. Naturalmente questo studio richiede la conoscenza e la comprensione delle funzioni goniometriche e delle loro proprietà che, pertanto, verranno proposte nelle prime unità del modulo. Un ulteriore argomento essenziale di questa parte introduttiva riguarda le tecniche di impiego delle coordinate cartesiane e polari per definire i punti sul piano. Queste dovranno diventare familiari allo studente ed essere usate con sicurezza. Il modulo è strutturato in tre unità didattiche dedicate alla goniometria, alla trigonometria e all uso delle coordinate. L impostazione adotta un taglio di carattere tipicamente tecnico-applicativo, senza entrare nel merito delle implicazioni formative degli argomenti trattati, che risultano invece connesse al programma di Matematica.

9 UNITÀ 3 Le coordinate cartesiane e polari TERI 1 La definizione dei punti nel piano 2 Trasformazione di coordinate 3 ngolo di direzione di un lato 4 Coordinate cartesiane parziali e totali 5 Distanza tra due punti di coordinate cartesiane note 6 Risoluzione dei poligoni assegnati a mezzo delle coordinate cartesiane dei vertici 7 Risoluzione di una spezzata piana aperta 8 rea dei poligoni con le coordinate cartesiane dei suoi vertici 9 Spostamento di un sistema di coordinate cartesiane RISSUMEND LRTRI INFRMTIC Ecel Punto di intersezione di due segmenti UTVLUTZINE Uno degli scopi fondamentali del rilievo topografico è la determinazione, chiara e inequivocabile, di punti appartenenti alla superficie terrestre. vviamente la definizione di questi punti non può essere descrittiva, ma solo rigorosamente quantitativa, ossia numerica, nell ambito di un sistema di riferimento cartesiano o polare adeguatamente definito.

10 UNITÀ 3 LE CRDINTE CRTESINE E PLRI 1. La definizione dei punti nel piano Nella nostra disciplina è necessario fare riferimento sistematicamente a punti che appartengono alla superficie fisica terrestre. In effetti, come vedremo, la finalità essenziale del rilievo topografico è proprio la determinazione della posizione di punti appartenenti alla superficie terrestre e la loro successiva rappresentazione numerica e grafica. È dunque molto importante adottare una metodologia utilizzabile per definire in modo sicuro e inequivocabile questi punti (che per il momento pensiamo appartenenti a un piano) e le loro posizioni. FQ I punti nel piano sono riferiti a un sistema di assi detto «cartesiano». Perché? Perché questa tecnica fu introdotta dal matematico francese R. Descartes, detto Cartesio. Il sistema di riferimento cartesiano La tecnica più utilizzata per definire la posizione dei punti deriva dall adozione di un sistema di riferimento cartesiano che, in maniera semplice, efficace e inequivocabile, consente di determinare la posizione di diversi punti nel piano (sistema bidimensionale) o nello spazio (sistema tridimensionale). Questa tecnica è dovuta al filosofo e matematico francese René Descartes ( ), noto come Cartesio. I sistemi di riferimento cartesiani sono caratterizzati da un origine e da due assi, convenzionalmente indicati in matematica con le lettere e (rispettivamente asse delle ascisse e asse delle ordinate) che si intersecano in. Quando questi due assi formano un angolo retto (decisamente il caso più frequente) si parla di sistema cartesiano ortogonale; quando, invece, i due assi formano un angolo acuto, si parla di sistema cartesiano obliquo. dottando un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, la posizione di un generico punto P, appartenente al piano, viene definita dalle due distanze P e P che lo separano dagli assi cartesiani. Queste due distanze sono parametri omogenei legati biunivocamente al punto P e vengono denominati coordinate cartesiane di P ( FIGUR 1). I sistemi di riferimento cartesiani sono utilizzati sia in ambito teorico, sia nelle discipline di carattere tecnico-operativo come la topografia, e sono già stati introdotti nello studio di materie quali la matematica e la fisica; pertanto non ci soffermeremo ad analizzarne le caratteristiche. Il sistema di riferimento polare In topografia viene impiegato, con grande frequenza, anche un altro tipo di sistema di riferimento, denominato sistema di riferimento polare. Con esso si raggiun- P P (,+) (+,+) P (, ) (+, ) FIGUR 1 La definizione della posizione del punto P per mezzo di un sistema cartesiano ortogonale. 3

11 MDUL L STUDI DELLE FIGURE PINE FIGUR 2 La definizione della posizione del punto P per mezzo di un sistema polare. N + (P ) P ϑ P P ge la medesima finalità, cioè quella di definire la posizione di un punto nel piano (o nello spazio). In questo caso, però, i parametri che definiscono la posizione del punto sono una distanza e un angolo: elementi, dunque, non omogenei.un sistema di riferimento polare (piano) è caratterizzato da: un punto, che ne costituisce l origine ed è denominato polo; una semiretta orientata N, detta asse polare; un senso positivo di rotazione, che convenzionalmente è destrogiro o orario ( FIGUR 2). Le coordinate polari di un generico punto P sono costituite, come già anticipato, da una distanza e da un angolo. La distanza è quella P compresa tra il punto P eilpolo del sistema; essa è sempre positiva e viene denominata modulo. L angolo è quello N P che si ottiene facendo ruotare in senso orario l asse polare fino a sovrapporlo al segmento che unisce il punto P con il polo. Esso si chiama azimut, oangolo di direzione, e si indica con i simboli j P oppure (P). FQ Che cosa serve per definire un sistema di riferimento polare? Una semiretta, detta asse polare, un punto adottato come origine, detto polo, e un senso convenzionale positivo per gli angoli orientati. FQ Quali sono le coordinate polari di un punto? La distanza, o modulo, tra il punto e l origine del sistema polare, e l angolo orientato compreso tra l asse polare e la semiretta che esce dall origine e passa per il punto considerato. La distanza è sempre compresa tra zero e infinito, l azimut tra 0 c e 400 c. Per P 0 si definisce il polo ; per (P) 0 c si hanno tutti i punti appartenenti all asse polare. I punti che hanno la stessa distanza giacciono su una circonferenza di centro ; i punti che hanno lo stesso azimut stanno su una semiretta uscente da. 2. Trasformazione di coordinate In topografia è ricorrente la necessità di passare dalle coordinate di un dato punto, espresse rispetto a un sistema polare, alle coordinate dello stesso punto riferite a un sistema cartesiano, e viceversa. Trasformazione di coordinate da polari a cartesiane Il passaggio dalle coordinate polari di un punto a quelle cartesiane corrispondenti è sempre possibile in qualunque situazione, perché in entrambi i sistemi la corrispondenza tra punti e rispettive coordinate è biunivoca. Tuttavia nella nostra trattazione, per semplicità e per opportunità, imporremo le seguenti semplificazioni: le origini dei due sistemi devono coincidere; l asse polare deve coincidere con l asse delle ordinate del sistema cartesiano ( FIGUR 3a). 4

12 UNITÀ 3 LE CRDINTE CRTESINE E PLRI a) = N b) D D ( ) = N H P P (+) P (P ) P P D (+) (D ) () (+) ( ) P C ( ) (C ) ( ) C C ( ) (+) FIGUR 3 Trasformazione di coordinate da polari a cartesiane di un punto nel primo quadrante (a) e nei restanti (b). Così semplificato, il problema può essere sintetizzato nel modo seguente: Dati Incognite azimut (P); distanza P ( P ; P ) asta ora osservare che, nel triangolo rettangolo PH di FIGUR 3a, i cateti PH e H rappresentano le coordinate cartesiane P e P del punto P, quindi, risolvendo lo stesso triangolo, si ha immediatamente: P P $ sen (P) P P $ cos (P) (1) È facile constatare che queste formule valgono perfettamente anche quando il punto P si trova negli altri quadranti. Evidentemente le coordinate cartesiane di un generico punto saranno positive o negative, in funzione del segno che assumeranno le funzioni seno e coseno dell azimut del punto, dato che la distanza è sempre positiva ( FIGUR 3b). Trasformazione di coordinate da cartesiane a polari Costituisce il problema inverso del precedente: determinare le coordinate polari di un punto quando sono note le corrispondenti coordinate cartesiane dello stesso punto. Il problema può essere così sintetizzato: Dati Incognite ( P ; P ) azimut (P); distanza P Considerando il triangolo rettangolo PH di FIGUR 4a, si può constatare che i due cateti HP e H rappresentano, rispettivamente, l ascissa el ordinata di P. Conoscendo i due cateti possiamo calcolare l angolo HP, cioè l azimut (P), el ipotenusa, cioè la distanza P, che costituiscono le coordinate polari cercate. FQ L azimut di un punto può avere valori illimitati? No, l azimut di un punto è sempre compreso tra 0c e360c. FQ Il modulo di un punto può essere negativo? No, il modulo di un punto è la distanza tra lo stesso punto e l origine, cioè il polo, del sistema polare; esso, pertanto, può avere valori illimitati, ma solo positivi. 5

13 MDUL L STUDI DELLE FIGURE PINE FIGUR 4 Trasformazione di coordinate da cartesiane a polari. Il punto P appartiene: a) al I quadrante; b) al II quadrante. a) = N b) = N H P (+) P P (+) (P ) P (P ) P ( ) λ P H P (+) P Risolvendo il triangolo retto PH si ha: HP HP H tg ( P) e P H sen ( P) cos ( P) Ricordando che HP P e H P le formule che permettono il passaggio dalle coordinate cartesiane a quelle polari, sono in definitiva le seguenti: P P P ( P) arctg e P (2) P sen ( P) cos ( P) Tali formule sono valide in qualunque situazione; tuttavia, qualora il punto P non appartenga al primo quadrante, occorrerà riflettere sul fatto che nella prima di esse compare la funzione inversa arctg. Come già osservato nell unità 1, non vi è corrispondenza biunivoca tra angoli e funzioni goniometriche. Pertanto il calcolo delle funzioni inverse con la calcolatrice fornirà sempre e comunque valori compresi in determinati intervalli (per la funzione inversa arcotangente: 100 c, 100 c ). ccorrerà allora procedere a ulteriori valutazioni che consentano di individuare il vero valore dell azimut cercato. llo scopo, la ricerca dell azimut (P) viene sviluppata in due fasi. Nella prima fase si applica la prima delle (2) considerando i valori assoluti delle coordinate cartesiane di P, individuando in tal modo l angolo acuto (0 c -100 c ) provvisorio m: FQ Il calcolo dell azimut (P) di un punto P, partendo dalle sue coordinate cartesiane, richiede qualche attenzione? Sì, in effetti questo calcolo ricorre alla funzione inversa arcotangente, la quale fornisce uno solo dei quattro possibili valori. Pertanto il valore definitivo sarà ottenuto valutando i segni della coppia di coordinate di P. P m arctg (3) Tale valore corrisponderà all azimut (P) definitivo solo nel caso che il punto P si trovi nel I quadrante. In seguito si definirà il vero valore dell azimut (P) valutando il quadrante di appartenenza di P attraverso i segni delle sue coordinate cartesiane P e P. Se il punto P si trova nel II quadrante, quindi con P positiva e P negativa, la formula (3) fa determinare l angolo acuto del triangolo PH indicato con m in FIGUR 4b. In questo caso l azimut (P) cercato si trova sottraendo m da 200 c : P (P) 200 c m 6

14 UNITÀ 3 LE CRDINTE CRTESINE E PLRI a) = N b) = N FIGUR 5 Trasformazione di coordinate da cartesiane a polari. Il punto P appartiene: a) al III quadrante; b) al IV quadrante. P P ( ) H (P ) P λ P (+) P P P ( ) λ P ( ) H (P ) Se il punto P si trova nel III quadrante, quindi con P e P entrambe negative, la formula (3) fa determinare l angolo acuto del triangolo HP indicato con m in FIGUR 5a. In questo caso l azimut (P) cercato si trova sommando m a 200 c : (P) 200 c m Infine, se il punto P si trova nel IV quadrante, quindi con P negativa e P positiva, la formula (3) fornisce il valore dell angolo acuto del triangolo PH indicato con m in FIGUR 5b. In questo caso l azimut (P) cercato si trova sottraendo m da 400 c : (P) 400 c m Possiamo sintetizzare le precedenti valutazioni necessarie a una corretta individuazione dell azimut (P) con la seguente tabella orientativa: Quadrante P P Valore dell azimut (P) I (P) m II (P) 200 c m III (P) 200 c m IV (P) 400 c m 3. ngolo di direzione di un lato Consideriamo i due punti e definiti a mezzo delle rispettive coordinate cartesiane: rimane così definito il segmento che li unisce. Si definisce angolo di direzione (o azimut) del lato l azimut del punto rispetto a un sistema polare con polo in e asse polare parallelo all asse coordinato ; per indicarlo useremo la notazione ()oj ( FIGUR 6a). nalogamente, l angolo di direzione (o azimut) del lato sarà l azimut del punto rispetto a un sistema polare con polo in e asse polare parallelo all asse coordinato ; per indicarlo useremo la notazione ()oj ( FIGUR 6b). FQ Che cosa si intende per azimut di un lato? È l azimut del secondo estremo del lato rispetto a un sistema polare che ha origine sul primo estremo dello stesso lato. 7

15 MDUL L STUDI DELLE FIGURE PINE FIGUR 6 ngolo di direzione (o azimut) di un lato. a) b) N N N ( ) ( ) ( ) () FQ Quale proprietà posseggono gli azimut reciproci di uno stesso lato? La loro differenza è uguale a un angolo piatto. Gli azimut ()e (), riferiti allo stesso lato, ma con estremi invertiti, si chiamano azimut reciproci; essi, come vedremo, sono calcolabili utilizzando le coordinate cartesiane degli estremi e. Tuttavia, fin da ora, e osservando la FIGUR 6b, possiamo affermare che due azimut reciproci differiscono tra loro sempre di 200 c ; quindi valgono le seguenti relazioni: () () 200 c oppure () () 200 c Se l azimut dato è minore di 200 c, si trova il suo reciproco aggiungendo 200 c ;se invece quello dato è maggiore di 200 c, allora si trova il reciproco togliendo 200 c. 4. Coordinate cartesiane parziali e totali Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano di assi, e origine, che chiameremo sistema principale.sia un punto definito dalle sue coordinate cartesiane e ( FIGUR 7). y M ( ) (y ) FIGUR 7 Coordinate cartesiane totali, e coordinate parziali ( ), (y ) del punto. 8

16 UNITÀ 3 LE CRDINTE CRTESINE E PLRI ssumiamo poi un altro sistema di riferimento con origine in e assi coordinati paralleli a quelli del sistema principale; chiameremo tale sistema di riferimento sistema secondario e indicheremo i suoi assi con le lettere minuscole, y. Un generico punto potrà essere riferito tanto al sistema principale, quanto a quello secondario. Le coordinate di rispetto al sistema principale si indicano con le lettere maiuscole, e si chiamano coordinate totali. Le coordinate di rispetto al sistema secondario con origine in si rappresentano con i simboli ( ) e(y ), che si leggono rispettivamente «ascissa di rispetto ad» e «ordinata di rispetto ad»; esse vengono denominate coordinate parziali. Tra le coordinate totali dei punti e e quelle parziali di rispetto ad si possono scrivere le seguenti relazioni: FQ Nella pratica ci si riferisce a un solo sistema principale e a un solo sistema secondario? No, in generale il sistema principale è unico, mentre i sistemi secondari possono essere anche numerosi. ( ) (y ) e anche ( ) (y ) (4) Tali relazioni sono del tutto ovvie osservando la FIGUR 7. Va tuttavia rilevato che tutti gli elementi che in esse compaiono sono numeri relativi, quindi occorrerà tenere ben conto dei rispettivi segni; in effetti le somme in esse contenute sono da intendere in senso algebrico. Se poi immaginiamo di assumere anche un sistema di riferimento polare con polo in e asse polare coincidente con y, e quindi parallelo a, allora l azimut () e la distanza sono le coordinate polari di rispetto a questo sistema. sservando la FIGUR 8, è chiaro che vi è relazione tra le coordinate parziali di rispetto ad elecoordinate polari dello stesso rispetto al sistema polare con polo in prima descritto. In effetti, considerando il triangolo rettangolo M, ci si rende immediatamente conto che le coordinate cartesiane parziali di rispetto ad ne costituiscono i cateti, mentre le due coordinate polari ()e rappresentano rispettivamente un angolo el ipotenusa; quindi si ha: M ( ) (y ) () FIGUR 8 Coordinate cartesiane parziali di rispetto ad e coordinate polari di rispetto al polo. 9

17 MDUL L STUDI DELLE FIGURE PINE FQ Come si possono ottenere le coordinate cartesiane e di un generico punto? Si possono ottenere partendo dalle coordinate di un punto noto ( ; ) a cui occorre sommare il prodotto della distanza tra i due punti rispettivamente con il seno e con il coseno dell azimut () del lato congiungente gli stessi punti e. ( ) $ sen () (y ) $ cos () Combinando queste espressioni con le (4), risulta: $ sen () $ cos () Queste espressioni sono valide in qualsiasi situazione, anche se per semplicità sono state ricavate con e entrambi appartenenti al I quadrante. ccorrerà, tuttavia, tenere sempre conto dei segni che caratterizzano le coordinate di edi quelli che presentano le funzioni trigonometriche seno e coseno. (5) 5. Distanza tra due punti di coordinate cartesiane note Consideriamo due punti e di coordinate cartesiane ; e ; note, rispetto a un sistema di riferimento principale con origine in ( FIGUR 9). La matematica ci fornisce immediatamente lo strumento per calcolare la distanza tra e, a mezzo della seguente nota espressione (teorema di Pitagora): 2 2 = ( - ) + ( - ) Noi, tuttavia, non utilizzeremo questa espressione e daremo al problema un impostazione trigonometrica, importantissima in topografia. Si noti che quando sono calcolate le coordinate polari di uno dei due punti rispetto a un sistema polare con polo coincidente con l altro punto, rimane determinata anche la distanza cercata (il modulo), che rappresenta, appunto, una delle due coordinate polari. sservando la FIGUR 9,oppure utilizzando direttamente le (4),possiamo scrivere: ( ) (y ) M ( ) () ( ) ( ) K FIGUR 9 Coordinate polari di uno dei due punti e rispetto a un sistema polare con polo nell altro punto. 10

18 UNITÀ 3 LE CRDINTE CRTESINE E PLRI Esse ci dicono che la differenza delle coordinate totali di edi rappresentano le coordinate parziali di rispetto ad ; geometricamente, inoltre, rappresentano i due cateti del triangolo rettangolo M, risolvendo il quale si ha: ( ) = arctg - - Noto l azimut () si calcola, dal medesimo triangolo rettangolo M, la distanza cercata con una delle due seguenti espressioni: - - = = sen ( ) cos ( ) (6) (7) FQ In topografia è usuale il calcolo della distanza tra due punti di coordinate cartesiane note? Sì, molto, e nel nostro ambito è conveniente considerare tale distanza come il modulo (coordinata polare) del secondo punto rispetto al sistema polare con origine nel primo punto. ccorre tuttavia sottolineare che la (6) non definisce univocamente l azimut (). Se si calcola tale espressione, la calcolatrice fornirà un valore che può essere positivo o negativo, ma sempre minore dell angolo retto; tuttavia sappiamo che l azimut () può assumere tutti i valori da zero a 400 c. nalogamente a quanto già visto nel paragrafo 2 di questa unità, occorrerà allora procedere a ulteriori valutazioni che consentano di individuare il valore definitivo dell azimut cercato. llo scopo, la ricerca dell azimut () viene sviluppata in due fasi; nella prima si applica la (6) considerando i valori assoluti delle differenze ( )e ( ), individuando in tal modo l angolo acuto provvisorio m: ; - ; m = arctg ; - ; (8) Tale valore corrisponderà all azimut () solo nel caso in cui le coordinate di siano entrambe maggiori di quelle di, che equivale ad affermare che si trova nel I quadrante degli assi secondari con origine in. Successivamente si definirà il vero valore dell azimut () valutando i segni delle due differenze ( )e ( ). Se, per esempio, il punto si trova nel II quadrante rispetto al sistema secondario con origine in ( FIGUR 10), la differenza ( ) è positiva, mentre ( ) è negativa; l angolo fornito dalla (6) sarà allora l angolo acuto del ( ) ( ) ( ) λ M ( ) (+) FIGUR 10 Il punto si trova nel II quadrante del sistema secondario y con origine in. L azimut () è supplementare dell angolo m del triangolo M. 11

19 MDUL L STUDI DELLE FIGURE PINE triangolo rettangolo M indicato con m. Il vero valore dell azimut () verrà quindi fornito dalla seguente relazione: () 200 c m Lasciando al lettore l esame degli altri casi, sintetizziamo le varie situazioni con la seguente tabella orientativa per il calcolo dell azimut (): Valore dell azimut () () m () 200 c m () 200 c m () 400 c m Il problema potrebbe anche venire risolto in modo del tutto analogo considerando le coordinate parziali di rispetto a, cioè rispetto a un sistema di riferimento secondario con origine in e assi paralleli a quelli principali ( FIGUR 9). In tal caso si avrebbe: ( ) (y ) Quindi, risolvendo il triangolo rettangolo K e facendo le opportune valutazioni sull azimut (), risulta: ( ) = arctg = = sen ( ) cos ( ) 6. Risoluzione dei poligoni assegnati a mezzo delle coordinate cartesiane dei vertici La risoluzione delle figure piane, quando siano assegnate le coordinate cartesiane dei vertici che ne definiscono i contorni, è un problema assai frequente in topografia e di semplicissima soluzione. asta considerare via via, ciascuna coppia di vertici consecutivi; i segmenti che li uniscono rappresentano i lati della figura piana. Di questi si calcoleranno i rispettivi azimut e le rispettive distanze sulla base di quanto esposto nel paragrafo precedente. In seguito si otterranno gli angoli interni della figura piana, facendo la differenza tra gli azimut di due lati consecutivi. Consideriamo, per esempio, il triangolo C rappresentato in FIGUR 11; il problema viene così sintetizzato: Dati Incognite ( ; )( ; )( C ; C ), C, C, a, b, c 12

20 UNITÀ 3 LE CRDINTE CRTESINE E PLRI Cominciamo con l assumere un sistema di riferimento cartesiano secondario con origine nel primo vertice ; assumiamo, inoltre, un sistema polare con polo sempre in e asse polare N coincidente con l asse y. Sulla falsariga di quanto detto in precedenza, potremo calcolare le distanze e C, gli azimut ()e(c), oltre agli azimut reciproci ()e(c). pplicando le espressioni (6) e (7), e le successive valutazioni, si ha: - c ( ) = arctg ( ) = ( ) ( C) = arctg ( C) = ( C) C c C - - = = sen ( ) cos ( ) C - C - C = = sen ( C) cos ( C) Spostando il sistema di riferimento secondario in, si avrà in modo analogo: FQ Qual è il modo più conveniente per calcolare gli angoli interni di un triangolo di cui sono note le coordinate cartesiane dei vertici? Facendo, in ciascun vertice, la differenza tra gli azimut dei due lati che vi concorrono. - ( C) = arctg ( C) = ( C) C c C C- C- C = = sen ( C) cos ( C) sservando la FIGUR 11, si vede che gli angoli interni del triangolo possono essere ricavati facilmente per differenza di azimut nel seguente modo: a () (C) b (C) () c (C) (C) Per controllo si avrà: a b c 200 c () (C) c α b () (C) β a γ C (C) (C ) FIGUR 11 Risoluzione di un triangolo qualunque C utilizzando le coordinate cartesiane dei suoi vertici. 13

21 MDUL L STUDI DELLE FIGURE PINE FIGUR 12 Risoluzione di un quadrilatero CD utilizzando le coordinate cartesiane dei suoi vertici. () a ( ) α (D) (C) β d b γ (CD ) c δ D (D ) (DC ) (C ) C L esempio preso in esame è riferito alla figura piana più semplice: il triangolo; tuttavia, la traccia seguita è estendibile a qualsiasi figura piana con un generico numero di vertici. Se si considera il quadrilatero CD di FIGUR 12, il modo di procedere è del tutto analogo a quanto già visto nell esempio precedente. Si applicheranno per prime le (6), con le quali si ricaveranno gli azimut (), (C), (CD), (D), dai quali si avranno immediatamente i reciproci (), (C), (DC), (D). In seguito si potranno calcolare, applicando le (7), le lunghezze di tutti i lati del quadrilatero,, C, CD, D. Infine si otterranno gli angoli interni attraverso la differenza di azimut; osservando la FIGUR 12 si ha: a () (D) b (C) () c (CD) (C) 400 c d (D) (DC) sserviamo che l angolo c richiede l aggiunta di un intero angolo giro per tenere conto del fatto che l asse polare con origine in C viene a trovarsi all interno dello stesso angolo c. PPLICZINE Problema Determinare i lati e gli angoli del triangolo C del quale si conoscono le seguenti coordinate cartesiane dei suoi vertici: 168,50 m 135,60 m C 64,70 m 65,40 m 51,30 m C 21,80 m Soluzione Lasciamo allo studente il compito di costruire la figura del triangolo. Se essa viene realizzata manualmente su carta, basterà disegnare gli assi del sistema di riferimento carte- 14

22 UNITÀ 3 LE CRDINTE CRTESINE E PLRI siano, quindi, con una opportuna scala (per esempio 1:2000), si riportano le coordinate dei tre punti che andranno poi collegati. Collochiamo un sistema di riferimento secondario con origine in e calcoliamo i seguenti elementi: ;- 135, , 50; m ()* arctg 17 c,4935 () 200 c 17 c, c,5064 ;-51, 30-65, 40; - 135, , 5 c 121,249 m e () 200 c 182 c, c,5064 c sen 182, 5064 ; 64, , 50; m (C)* arctg 88 c,2333 (C) 200 c 88 c, c,7666 ; 21, 80-65, 40; 64, , 5 C b 237,241 m e (C) 200 c 111 c, c,7666 c sen 111, 7666 Spostiamo ora il sistema di riferimento secondario portando la sua origine in C e calcoliamo i seguenti ulteriori elementi: ; 135, 60 64, 70; m (C)* arctg 77 c,7225 (C) 200 c 77 c, c,7225 ; 51, 30 21, 80; 135, 60 64, 70 C a 213 c,222 m e C 277 c, c 77 c,7225 c sen 277, 7225 Calcoliamo gli angoli interni per differenza di azimut: a () (C) 182 c, c, c,7398 c (C) (C) 311 c, c, c,0441 b (C) () 400 c 77 c, c, c 95 c,2161 Per verifica: a b c 70 c, c, c, c 7. Risoluzione di una spezzata piana aperta Fissiamo nel piano un generico numero di punti, per esempio,, C, D, E ( FIGUR 13); pensiamo poi di collegarli formando i segmenti, C, CD, DE;si ottiene in tal modo la spezzata piana CDE. I punti,, C, D, E costituiscono i vertici della spezzata e ne definiscono il senso di percorrenza; i segmenti, C, CD, DE sono chiamati lati della spezzata. Si definiscono poi angoli al vertice quegli angoli di cui si dovrà far ruotare in senso orario ciascun lato, finché questo vada a sovrapporsi al lato successivo. Con riferimento alla FIGUR 13, gli angoli al vertice sono indicati con b, c, d. Conoscendo la lunghezza di tutti i lati della spezzata e l ampiezza degli angoli al vertice, nonché le coordinate di un vertice, per esempio, rispetto a un sistema principale, e l azimut () del lato uscente da, si potranno calcolare le coordinate cartesiane di ciascun vertice della spezzata. Questo importante problema geometrico è alla base della teoria delle poligonali, che verrà sviluppata compiutamente nel secondo volume del corso; sintetizzando il problema con riferimento alla FIGUR 14, si ha: Lati:, C, CD, DE ngoli: Vertice : Elementi noti b, c, d ( ; ), () Elementi incogniti ( ; ) ( C ; C ) ( D ; D ) ( E ; E ) FQ In una spezzata è necessario fissare un senso di percorrenza dei suoi vertici? Sì, perché solo in questo modo gli angoli al vertice sono definiti in modo univoco. 15

23 MDUL L STUDI DELLE FIGURE PINE FIGUR 13 Elementi di una spezzata piana: vertici,, C, D, E; lati, C, CD, DE; angoli al vertice b, c, d. β E N DE ( ) C γ CD δ D C FIGUR 14 Risoluzione di una spezzata piana. dozione di sistemi di riferimento secondari con poli sui vertici della spezzata. E ( ) β γ δ D C Pensiamo di assumere per ciascun vertice della spezzata, con l esclusione dell ultimo, un sistema di riferimento cartesiano secondario y con origine nel vertice stesso; assumiamo inoltre, sempre in ciascun vertice, un sistema polare con asse polare coincidente con l asse y del sistema secondario (y / N). Lo scenario che ne risulta è quello mostrato in FIGUR 14; talvolta, tuttavia, allo scopo di semplificare la figura, viene omessa l indicazione dell asse secondario, che perciò risulterà implicito. Ciò premesso, il problema delle spezzate piane viene sviluppato percorrendo le seguenti tre fasi: calcolo degli azimut dei lati; calcolo delle coordinate parziali dei vertici rispetto ai sistemi secondari y; calcolo delle coordinate totali dei vertici. Calcolo degli azimut Il calcolo degli azimut dei lati della spezzata viene effettuato applicando una regola che è nota col nome di legge di propagazione degli azimut e che può essere enunciata come segue: 16

24 UNITÀ 3 LE CRDINTE CRTESINE E PLRI β (C) E FIGUR 15 Gli azimut dei lati della spezzata. Essi vanno calcolati con una legge detta di propagazione degli azimut. = () ( ) = (y ) (CD) γ δ D (DE ) C l azimut di un lato è uguale all azimut del lato precedente, più l angolo al vertice formato tra i due lati e misurato in senso orario, più o meno 200 c, secondo che la somma dei primi due angoli sia minore o maggiore di 200 c. Talvolta può capitare che, applicando questa regola, si ottenga un azimut maggiore di 400 c ; in questo caso occorre togliere ulteriormente all azimut ottenuto un intero angolo giro, cioè 400 c. pplicando la legge di propagazione degli azimut all esempio illustrato in FIGUR 15, e considerando che l azimut () è un dato noto del problema, si ha: () elemento noto (C) () b 200 c (CD) (C) c 200 c (DE) (CD) d 200 c Calcolo delle coordinate parziali La seconda fase si attua con il calcolo delle coordinate parziali dei vertici della spezzata piana rispetto ai sistemi di riferimento secondari y con origine nei vertici precedenti quello considerato. Così si calcoleranno le coordinate di rispetto ad, quelle di C rispetto a e così via, fino al calcolo delle coordinate parziali di E rispetto a D. tal proposito basta osservare che di ciascun lato sono note le lunghezze, perché elementi noti del problema, e gli azimut, perché calcolati nella fase precedente. Questi elementi sono le coordinate polari di ciascun vertice rispetto a un sistema polare con polo nel vertice che precede (per esempio (C) e C sono le coordinate polari di C rispetto al sistema polare con polo in ). Possiamo allora applicare le espressioni di trasformazione da coordinate polari a cartesiane già illustrate nel paragrafo 4, ottenendo le seguenti coordinate parziali dei vertici in funzione di quelle polari: ( ) $ sen () (y ) $ cos () ( C ) C $ sen (C) (y C ) C $ cos (C) ( D ) C CD $ sen (CD) (y D ) C CD $ cos (CD) ( E ) D DE $ sen (DE) (y E ) D DE $ cos (DE) FQ Le coordinate parziali dei vertici di una spezzata posseggono un significato geometrico? Sì, il loro valore assoluto rappresenta la proiezione del lato che precede il vertice in oggetto, rispettivamente sull asse delle ascisseesuquellodelleordinate. 17

25 MDUL L STUDI DELLE FIGURE PINE FQ Se di una spezzata non sono note le coordinate di un punto, non è possibile il suo sviluppo numerico? No, il calcolo è possibile fissando un sistema di riferimento locale con origine in un vertice della spezzata e asse delle ascisse coincidente con un lato uscente da questo vertice. Calcolo delle coordinate totali Il problema delle spezzate piane viene concluso con il calcolo delle coordinate totali, cioè rispetto al sistema principale, dei suoi vertici. Ricordando che le coordinate e del punto sono elementi noti del problema, e applicando per ciascun vertice le espressioni (4) viste nel paragrafo 4, si ottiene: ( ) (y ) C ( C ) C (y C ) D C ( D ) C D C (y D ) C E D ( E ) D E D (y E ) D sservazioni 1. Con lo sviluppo di una spezzata piana è possibile determinare agevolmente, ove occorra, la distanza tra i vertici estremi della spezzata. In realtà, questa possibilità viene spesso utilizzata quando è necessario determinare in modo indiretto la distanza tra due punti non visibili tra loro. In tal caso questi due punti vengono collegati a mezzo di una spezzata, scelta in modo tale da eludere quegli ostacoli che impediscono la misura diretta della distanza. Con riferimento alla FIGUR 16, dopo aver sviluppato la spezzata CDE e, in particolare, dopo aver calcolato le coordinate dell estremo E (quelle di sono note), si potrà calcolare prima l azimut (E), quindi la distanza E cercata; si avrà: E - c ( E) = arctg ( E) = ( E) E - E - E = = sen ( E) cos ( E) E 2. Qualora di una spezzata non siano note le coordinate cartesiane di un suo vertice e l azimut di un suo lato, sarà sufficiente assumere un sistema di riferimento arbitrario, che chiameremo locale, tale che gli elementi precedenti risultino implicitamente noti. E (E) E γ (E ) C δ D β FIGUR 16 Determinazione indiretta della distanza tra due punti collegati da una spezzata. 18

26 UNITÀ 3 LE CRDINTE CRTESINE E PLRI E (E ) E (E ) γ C (CD ) =0 =0 = 100 c δ D (DE ) = =0 β (C ) FIGUR 17 Sistema di riferimento locale con origine nel vertice della spezzata. Se, per esempio, consideriamo la spezzata CDE di FIGUR 17, possiamo assumere un sistema di riferimento locale con origine in e asse delle ascisse coincidente con il lato. In tal modo sono automaticamente definite le coordinate del punto ( 0e 0),nonché l azimut del lato :() 100 c. questo punto la spezzata potrà essere sviluppata normalmente, come già visto in precedenza. Qualora sia necessario calcolare la distanza tra gli estremi della spezzata, si potrà procedere nello stesso modo esaminato nella prima osservazione, con la semplificazione dovuta all annullamento delle coordinate e dell estremo ; in effetti si ha: E c ( E) = arctg ( E) = ( E) E E E sen ( E) cos ( E) E PPLICZINE Problema Per determinare in modo indiretto la distanza tra i punti ed,sisonocollegati questi punti con la spezzata piana CD e si sono misurati i seguenti elementi: 72,454 m C 110,908 m CD 47,000 m a C W 84c42l c CD W 333c33l Soluzione Il problema non assegna nessun punto di coordinate note, pertanto è necessario assumere un sistema di riferimento locale che renda di conseguenza note sia le coordinate di almeno un punto, sial azimut di un lato che esca da tale punto. La soluzione più 19

27 MDUL L STUDI DELLE FIGURE PINE conveniente è quella di assumere un sistema di riferimento locale con origine in e asse delle ascisse coincidente con il lato ; in questo modo sono note le coordinare di (0,0) e l azimut () 90c. Lasciamo allo studente il compito di costruire la figura della spezzata in scala opportuna, e proponiamo direttamente i calcoli richiesti dal problema partendo dalla determinazione degli azimut dei lati della spezzata applicando la legge di propagazione degli azimut: () 90c (C) 90c 84c42l 180c 354c42l (CD) 354c42l 333c33l 180c 360c 148c15l (v. osservazione precedente) Calcolo delle coordinate parziali: ( ) 72,454 m (y ) 0m ( C ) 110,908 $ sen 354c42l 10,245 m (y C ) 110,908 $ cos 354c42l 110,433 m ( D ) C 47,000 $ sen 148c15l 24,732 m (y D ) C 47,000 $ cos 148c15l 39,966 m Calcolo delle coordinate totali: 0m 0m 72,454 m 0m C 72,454 10,245 62,209 m C 0 110, ,433 m D 62,209 24,732 86,94 m D 110,433 39,966 70,467 m Calcolo della distanza D: ; 86, 941 0; m (D)* arctg 50c58l29m; (D) (D)* ; 70, 467 0; 86, D c sen 50c58l29 m 111,912 m 8. rea dei poligoni con le coordinate cartesiane dei suoi vertici FQ Quali elementi è necessario conoscere per calcolare l area di un poligono con una delle formule di Gauss? Le coordinate cartesiane di tutti i vertici del contorno del poligono, i quali devono essere numerati in senso orario. Se si conoscono le coordinate cartesiane dei vertici di un poligono di n lati (dunque anche di n vertici), è possibile calcolare la sua area utilizzando una procedura, alternativa alla formula di camminamento illustrata nella precedente unità 2, che sfrutta queste coordinate. Si tratta di una procedura di calcolo nota da tempo, che si adatta benissimo ad essere automatizzata in un foglio elettronico oinun programma di calcolo da utilizzare in un computer. Tale procedimento richiede la modifica della convenzione utilizzata per l indicazione, letterale o numerica, dei vertici del poligono che, in generale, segue il verso antiorario. In effetti in questo caso è necessario indicare i vertici secondo il senso orario e utilizzando le cifre numeriche piuttosto che le lettere dell alfabeto, come indicato in FIGUR 18. Ciò premesso, possiamo subito dire che si tratta di una procedura che prevede la semisomma di un numero n di termini coincidente con quello dei vertici del poligono. In effetti, indicato con i il vertice generico del poligono (dunque i variabile da 1 a n), l area dei poligoni può essere ricavata da una qualunque delle seguenti formule: 1 n S = / i $ ( i+ 1-i-1) 2 i = 1 (9) 1 n S = / i $ ( i- 1-i+ 1) 2 i = 1 20

28 UNITÀ 3 LE CRDINTE CRTESINE E PLRI 1 ( 1 ; 1 ) 2( 2 ; 2 ) FIGUR 18 Per utilizzare le formule di Gauss occorre conoscere le coordinate dei vertici del poligono, i quali andranno numerati in senso orario. 3 ( 3 ; 3 ) 5 ( 5 ; 5 ) 4 ( 4 ; 4 ) Le (9) sono note come formule di Gauss e possono essere enunciate nella seguente forma. L area di un poligono è fornita dalla semisomma dei prodotti dell ordinata (o dell ascissa) di ciascun vertice i per la differenza tra l ascissa (o l ordinata) del vertice i 1 seguente (o precedente) e l ascissa (o l ordinata) del vertice i 1 precedente (o seguente). Quando le (9) vengono applicate manualmente (cioè non in una procedura automatizzata) occorre fare particolare attenzione ai segni delle coordinate, e dei conseguenti prodotti, al fine di evitare banali errori nel calcolo. PPLICZINE Problema Determinare l area di un appezzamento di terreno di forma quadrilatera di vertici 1, 2, 3e4, delquale sono note le seguenti coordinale cartesiane: Vertici (m) 42,55 65,74 56,04 35,00 (m) 61,24 38,62 28,84 37,96 Soluzione Utilizzando la prima delle (9), possiamo subito calcolare i 4 (essendo 4 i vertici del poligono) elementi della sommatoria prevista nella stessa formula. Facendo variare i da 1 a 4 si ottiene: per i 1 : 61,24 $ [65,74 ( 35,00)] 6169,32 per i 2 : 38,62 $ [56,04 ( 42,55)] 3807,54 per i 3: 28,84 $ [( 35,00) 65,74] 2905,34 per i 4: 37,96 $ [( 42,55) 56,04] 3742,49 quindi S 8312,34 m 2. 2S 16624,68 m 2 21