FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI E SUPERFICI: esercizi proposti

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1 FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI E SUPERFICI: esercizi proposti 1. Trovare le dimensioni del parallelepipedo di volume massimo tra quelli appartenenti al primo ottante, con tre facce sui piani coordinati e un vertice sul piano x + 2y + z = 6 2. Assegnata la funzione f(x, y) = xy (a) determinare il dominio e il codominio di f(x, y); (b) trovare le sezioni nei piani x = k, y = k e tracciarne qualche grafico nello spazio bidimensionale o tridimensionale; (c) tracciare alcune curve di livello e indicarne il significato; (d) determinare le derivate parziali f x (x, y), f y (x, y), di esistenza e gli eventuali punti critici. il loro campo. Assegnata la funzione f(x, y) = x y (a) determinarne il dominio e il codominio; (b) trovare le sezioni nei piani x = k, y = k, z = k e tracciarne qualche grafico nello spazio bidimensionale o tridimensionale; (c) determinare le derivate parziali f x (x, y), f y (x, y), di esistenza e gli eventuali punti critici. il loro campo 4. Le compagnie aeree applicano regole di questo tipo per le dimensioni del bagaglio a mano: Le dimensioni totali (lunghezza + larghezza + altezza) non devono 1

2 superare 156 cm per ogni bagaglio. Calcolare quali sono le dimensioni del bagaglio più capiente che si può portare a mano su un volo. 5. Supponete che un giornale stia scegliendo tra due software di impaginazione, Macro Publish e Turbo Publish. Si stima che acquistando x copie di Macro Publish e y copie di Turbo Publish, la produttività giornaliera dell azienda sarà U(x, y) = 6x 0.8 y x dove U(x, y) è misurato in pagine al giorno ( U è chiamata funzione di Utilità). Se x = y = 10, calcolate l effetto di un incremento unitario di x, e interpretate il risultato. 6. Gelati Siete i gestori di un laboratorio che produce due gusti di gelato: A, B. In ciascuna porzione di A vanno 2 uova e tazze di crema, mentre ciascuna porzione di B contiene 1 uovo e tazze di crema. Per questa settimana avete in magazzino 500 uova e 900 tazze di crema. Il profitto su x porzioni di gelato A e y porzioni di gelato B è P (x, y) = x + 2y 0.005(x 2 + y 2 ) Quante porzioni di ciascun gusto dovete produrre per ottenere il massimo profitto? 7. Trovare le dimensioni del parallelepipedo di volume massimo tra quelli aventi superficie totale 64 cm Isoterme. Una lamina di metallo situata nel piano xy ha una temperatura T (x, y) nel punto (x, y). Le curve di livello per T (x, y) sono dette isoterme perchè in tutti i punti di un isoterma la temperatura è costante. Disegnare alcune isoterme quando la funzione della temperatura è data da T (x, y) = 9 x 2 y Aquiloni. Un azienda produce due modelli di aquiloni, A e B. Ogni aquilone A richiede un metro quadrato di tessuto e 0 metri di filo 2

3 mentre ogni modello B richiede 5 metri quadrati di tessuto e 90 metri di filo. Ogni settimana l azienda ha a disposizione 100 metri quadrati di tessuto e 2700 metri di filo. La funzione di profitto è stimata P (x, y) = 10x + 60y + 0.5xy dove x è il numero di aquiloni A, y è il numero di modelli B e P (x, y) è il profitto in euro. Determinare il massimo numero di ciascun modello che l azienda deve produrre ogni settimana per massimizzare il profitto.

4 FACOLTÀ DI AGRARIA Nome CL Cognome Anno di corso Perugia, 26 maggio 2005 Analisi Matematica Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte. 1. Disegnare il grafico delle seguenti funzioni f 1 (x, y) = cos x, f 2 (x, y) = 6 2x y, f (x, y) = x 2 + y dopo averne (a) determinato il dominio e il codominio; (b) trovato le sezioni nei piani x = k, y = k, z = k. 2. Boa. Attorno ad una boa la profondità di un lago nel punto di coordinate (x, y) è espressa dalla funzione f(x, y) = x y dove x, y, z sono misurate in metri. Un pescatore in una piccola barca parte dal punto (80, 60) e va verso la boa, che si trova in (0, 0). L acqua sotto la barca diventa più o meno profonda quando comincia a spostarsi verso la boa? Spiegare.. Alleli. I tre alleli A, B, 0 determinano i quattro gruppi sanguigni A, B, AB, 0. La legge di Hardy - Weinberg stabilisce che la proporzione di individui di una popolazione che portano due differenti alleli è P (x, y, w) = 2xy + 2xw + 2yw dove x, y, w sono le proporzioni di A, B, 0 nella popolazione. Poichè naturalmente x + y + w = 1 verificare che P (x, y, w) è al più 2. 4

5 FACOLTÀ DI AGRARIA Nome CL Cognome Anno di corso Perugia, 15 giugno 2005 Analisi Matematica Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte. 1. Auto. Il costo settimanale (in euro) per produrre x auto e y autocarri è valutato C(x, y) = x y (a) Determinare il dominio e codominio della funzione costo e descriverne il grafico. (b) Descrivere le sezioni per x = 10 e y = 20 e spiegare che funzione costo rappresentano. (c) Descrivere la curva di livello z = e spiegare che informazioni fornisce sui costi. 2. Biciclette. Il costo settimanale (in euro) per produrre x biciclette e y tricicli è valutato C(x, y) = x + 20y + 50 xy (a) Determinare il costo marginale di una bicicletta e quello di un triciclo. (b) Come si comportano questi costi marginali quando la produzione totale cresce? (c) Calcolare il costo marginale di una bicicletta e quello di un triciclo al livello di produzione di 5 biciclette e 5 tricicli. (d) A questo livello di produzione, in quale direzione la funzione costo cresce più rapidamente? 5

6 . Temperatura. La temperatura nel punto (x, y) sul quadrato di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 0) e (1, 1) è data da T (x, y) = x 2 + 2y 2 x Trovare i punti più caldi e più freddi sul quadrato. 6

7 FACOLTÀ DI AGRARIA Nome CL Cognome Anno di corso Perugia, 6 giugno 2006 Analisi Matematica III Esercitazione Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte. 1. Rettangolo. (a) Disegnare il grafico delle seguenti funzioni f 1 (x, y) = x, f 2 (x, y) = 1 + y dopo averne i. determinato il dominio e il codominio; ii. trovato le sezioni nei piani x = k, y = k, z = k. (b) L area di un rettangolo di altezza x e larghezza y è A(x, y) = xy. Tracciare alcune curve di livello di A(x, y). 2. Casa. Il costo C(x, y) della costruzione di una casa è legato al numero di x degli elettricisti e al numero y dei carpentieri impiegati ed è espresso dalla funzione C(x, y) = x y 2. Se attualmente sono impegnati carpentieri e se il costo marginale per ogni elettricista in più è uguale al costo marginale per un carpentiere in più, quanti elettricisti sono attualmente impiegati? (Arrotondare la risposta all unità).. Qua e là. (a) Sapendo che f(x 0, y 0 ) = r, f x (x 0, y 0 ) = s, f y (x 0, y 0 ) = t, completare la 7

8 seguente frase:...cresce ad un tasso di... unità per unità di x...cresce ad un tasso di... unità per unità di y e il valore di...è quando x =... e y =... (b) Dare un esempio di funzione f(x, y, t) per cui tutte le derivate parziali siano costanti diverse da zero. (c) L area di un rettangolo di altezza x e larghezza y è A(x, y) = xy. Se il semiperimetro x + y = 100 determinare le dimensioni del rettangolo di area massima. 8

9 FACOLTÀ DI AGRARIA Nome CL Cognome Anno di corso Perugia, 1 giugno 2007 Analisi Matematica III compito in itinere Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte. 1. Collina. L altezza di ciascun punto di una regione collinare è espressa come funzione delle coordinate del punto dalla legge f(x, y) = 0(y x 2 ) (a) determinare il dominio e il codominio della funzione; (b) trovare le sezioni nei piani x = k e y = k e disegnarle. (c) Disegnare alcune curve di livello e spiegare che informazioni forniscono. (d) Determinare il gradiente nel punto di coordinate (1, 2). (e) Se dal punto (1, 2) si procede verso l origine del sistema di riferimento, all inizio dello spostamento l altezza aumenta o diminuisce? 2. Hamburger. Un noto fast food prepara i propri hamburgers mediante una combinazione di carne di manzo e maiale. La carne di manzo macinata contiene l 80% di polpa e il 20 % di grasso e costa al negozio 0.80 euro a ettogrammo. La carne di maiale macinata contiene il 68 % di polpa e il 2 % di grasso e costa 0.60 euro a ettogrammo. Quale qualità di ciascun tipo di carne deve impiegare il fast food in ogni hamburger del peso di 100 grammi se vuole minimizzare la spesa ed evitare che il contenuto grasso della carne superi il 25 %?. Qua e là. (a) Determinare l equazione del piano tangente al grafico di una funzione f(x, y) nel punto (x 0, y 0 ) interno al dominio di f(x, y). 9

10 (b) Dare un esempio di funzione f(x, y) tale che f(1, 1) = 10, f x (1, 1) = 2 e f y (1, 1) =. Calcolare la derivata direzionale D u f(1, 1) ove u = (/5, 4/5). (c) La temperatura nel punto (x, y) sul quadrato di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) è data da T (x, y) = x 2 + y 2 y. Trovare i punti più caldi e più freddi sul quadrato. 10

11 FACOLTÁ DI AGRARIA Nome CL Anno di corso Scuola di provenienza Cognome Perugia, 22 maggio 2008 II Compito in itinere di Analisi Matematica Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte. 1. Ampere. La corrente elettrica misura (in ampere) il flusso di elettroni attraverso un filo. La legge di Kirchhoff afferma che la corrente in entrata in un intersezione di fili equivale alla corrente in uscita da essa. (a) Sapendo che la corrente lungo due dei fili è rispettivamente di 10 e 5 ampere come indicato nella figura, determinare la corrente nei fili nei fili non etichettati. i. Impostare un sistema lineare e risolverlo con il metodo di Rouché - Capelli. ii. Determinare il rango della matrice incompleta e quello della completa. iii. I vettori riga della matrice completa sono... (b) In quale filo misurereste la corrente, allo scopo di conoscere esattamente la corrente che percorre tutti gli altri? 11

12 10 A 5 A 12

13 2.... Assegnata la funzione f(x, y) = 1 x 2 + y 2 (a) determinare il C.E. e il codominio, (b) disegnare le curve di livello z = 1, z = 4, z = 1/16 (c) tracciare alcune sezioni verticali ( k = 0, k = 2, k = 1/ ) rispettivamente nei piani xz e yz. (d) (facoltativo) tracciare la superficie grafico della funzione.. Costi di costruzione. Una scatola rettangolare chiusa è costruita con due tipi di materiali. Le parti superiore e inferiore sono di cartone pesante che costa 20 euro al metro quadrato, quelle laterali di cartone leggero che costa 10 euro al metro quadrato. Dato che la scatola deve avere una capacit di 2 metri cubi, determinare le dimensioni che minimizzano il costo di costruzione. 1

14 SUPERFICI: alcuni esercizi con svolgimento 1. L indice di raffreddamento da vento I è la temperatura percepita quando la temperatura effettiva è T e la velocità del vento è v, per cui possiamo scrivere I = f(t, v). Utilizzando la tabella velocità Km/h Temperatura 0 C a) stimare i valori di f T (12, 20) e f v (12, 20). Quali sono le interpretazioni pratiche di questi valori? b) Cosa si può dire in generale dei segni di I T e I v? c) Individuare l andamento e disegnare il grafico di v I(T, v) ad una temperatura T fissata. Svolgimento f(t, v) f(t 0, v) f(t 0 + h, v) f(t 0, v) a) f T (T 0, v) = lim = lim T T 0 T T 0 h 0 h f(t, v) f(t, v 0 ) f(t, v 0 + h) f(t, v 0 ) f v (T, v 0 ) = lim = lim v v0 v v 0 h 0 h Valutiamo il rapporto incrementale con v = 20 fissato per un incremento positivo e negativo di T f + T (12, 20) = f(16, 20) f(12, 20) = = 6 4 = 2 14

15 f f(8, 20) f(12, 20) T (12, 20) = = = 5 4 possiamo stimare come valore di f T (12, 20) il valore medio f T (12, 20) ( ) = 11 8 f T (12, 20) rappresenta l incremento in gradi dell indice di raffreddamento quando, a 12 o C e 20Km/h, la temperatura cresce di 1 o C. Valutiamo il rapporto incrementale con T = 12 fissato per un incremento positivo e negativo di v f + v (12, 20) = f v (12, 20) = f(12, 0) f(12, 20) 0 20 f(12, 10) f(12, 20) = 5 10 = 1 5 = = 2 5 stimiamo il valore ( medio f v (12, 20) ) = 10 Ciò significa che, quando la temperatura è 12 o C e la velocità è 20Km/h, l indice di raffreddamento decresce di 10 Km/h di aumento. per ogni b) Notiamo che f T con v fissato è una funzione crescente, quindi risulterà I T 0. La funzione f v con T costante è invece decrescente quindi I v 0. Notiamo inoltre che al crescere della velocità v (lasciando fissata la temperatura T ) l indice di raffreddamento tende a stabilizzarsi; ciò significa che la I v velocità tende a +. tenderà asintoticamente a zero quando la 15

16 velocita ariazioneindice

17 2. Le norme postali vigenti in Italia consentono di inoltrare pacchetti a forma di cilindro di altezza h e diametro di base d con h + 2d 104cm, h 90cm, 2d 90cm. Qual è il volume massimo che si può spedire come pacchetto postale? Dare una soluzione grafica del problema. La ricerca dei punti di massimo e minimo relativi con il gradiente e l hessiano, conduce alla soluzione? Motivare. Soluzione D = {(d, h) R 2 : 0 d 45, 0 h 90, h + 2d 104} dominio della funzione h d La funzione che esprime il volume del pacchetto postale è ( ) d 2 f(d, h) = π h = π 2 4 d2 h Studiamo il sistema (f d, f h ) = (0, 0) f d (d, h) = π 2 dh = 0 f h (d, h) = π 4 d2 = 0 17

18 f d (d, h) = 0 d = 0 h = 0 f h (d, h) = 0 d = 0 Il vettore gradiente si annulla sulla retta d = 0. f(0, h) = (0, 0), per ogni h R quindi non ci sono punti interni a D in cui il gradiente sia zero. Pertanto gli unici punti critici sono i punti di frontiera. Non affrontiamo lo studio della matrice Hessiana, in quanto essa è riferita ai punti interni in cui il gradiente è nullo. Studiamo le restrizioni della funzione f(d, h) alla frontiera di D. Come è facile da intuire nel dominio D i punti (0, h) e (d, 0) sono punti di minimo, infatti f(0, h) = 0 e f(d, 0) = 0 mentre per ogni (d, h) D la funzione è non negativa. Poichè la funzione è crescente rispetto a d e rispetto ad h, segue che i possibili punti di massimo saranno sulla retta h = 104 2d. Consideriamo la funzione F (d) = f(d, 104 2d) restrizione di f(d, h) alla retta h = 104 2d, con 7 d 45; F (d) è una funzione della sola variabile d. F (d) = f(d, 104 2d) = π 4 d2 (104 2d) = 26πd 2 π 2 d Al fine di determinare i punti di massimo o minimo, studiamo la derivata prima F (d) = 52πd 2 πd d d d 104. Il punto 104 è il punto di massimo assoluto per F (d) in [7, 45]. Pertanto il punto di massimo vincolato per f(d, h) in D è ( 104, 104 cioè il punto di intersezione tra la retta h = 104 2d e la bisettrice h = d. Il volume massimo è f ( 104, 104 ) = π ( 104 ) 2 = 2720 cm ), 18

19 . Le norme postali vigenti in Italia consentono di inoltrare pacchetti a forma di parallelepipedo a basa quadrata di altezza y e lato di base x con y + 2x 90cm, y 60cm, Qual è il volume massimo che si può spedire come pacchetto postale? Dare una soluzione grafica del problema. La ricerca dei punti di massimo e minimo relativi con il gradiente e l hessiano, conduce alla soluzione? Motivare. Svolgimento La funzione che descrive il problema è f(x, y) = x 2 y Il suo dominio è rappresentato in figura dominio della funzione y x Studiamo il sistema (f x, f y ) = (0, 0) f x (x, y) = 2xy = 0 f y (x, y) = x 2 = 0 19

20 f x (x, y) = 0 x = 0 y = 0 f y (x, y) = 0 x = 0 Il vettore gradiente si annulla sulla retta x = 0. f(0, y) = (0, 0), per ogni y R quindi non ci sono punti interni a D in cui il gradiente sia zero. Pertanto gli unici punti critici sono i punti di frontiera. Non affrontiamo lo studio della matrice Hessiana, in quanto essa è riferita ai punti interni in cui il gradiente è nullo. Studiamo le restrizioni della funzione f(x, y) alla frontiera di D. Notiamo che la funzione si annulla nei punti dei due assi e che per ogni (x, y) D la funzione è non negativa, pertanto i punti (0, y) e (x, 0) sono punti di minimo. Poichè la funzione è crescente rispetto a x e rispetto ad y, segue che il massimo verrà raggiunto sulla retta y = 90 2x. Studiamo la restrizione della funzione a tale retta F (x) = f(x, 90 2x) = x 2 (90 2x) = 90x 2 2x con 15 x 45; F (x) è una funzione della sola variabile x. Al fine di determinare i punti di massimo o minimo, studiamo la derivata prima F (x) = 180x 6x 2 0 0x x x 0 Il punto x = 0 è il punto di massimo assoluto per F (x) in [15, 45]. La funzione f(x, y) assume massimo nel punto (x, y) = (0, 0). Per questo valore la funzione vale f(0, 0) = = cm che è il volume massimo. Osserviamo che il punto di massimo vincolato per f(x, y) in D è (0, 0), cioè il punto di intersezione tra la retta y = 90 2x e la bisettrice y = x. 20

21 4. La base di un acquario di volume V assegnato è di ardesia mentre le facce laterali sono di vetro. Se l ardesia costa (per unità di area) volte più del vetro, trovare le dimensioni dell acquario che minimizza il costo dei materiali. Svolgimento Indichiamo con b il costo per unità di area del vetro e con a quello dell ardesia. a = b Siano x, y, z le dimensioni dell acquario V = xyz La funzione che descrive il problema è cioè z = V xy f(x, y) = bxy + 2b V y + 2bV x con x > 0, y > 0, z > 0 Studiamo il sistema (f x, f y ) = (0, 0) f x (x, y) = by 2bV x 2 = 0 f y (x, y) = bx 2bV y 2 = 0 bx 2 y 2bV = 0 bxy 2 2bV = 0 y = 2V x 2 x 2V x4 = 0 y = 2V x 2 x = 2V Il vettore gradiente si annulla in ( 2V, 2V ( 2V, 2V ). 2V 2V f(, ) = (0, 0). (2V ) 2 ( 2V )2 ) = ( 2V, (2V ) ( 2V 2V Il punto critico da valutare è quindi P =, ). 2 ) = Vediamo con il metodo dell Hessiano se è un punto di massimo o di minimo. f xx = 4bV x, f xy = b, f yx = b, f yy = 4bV y 21

22 ( ) 4bV 2V 2V H, 2V b = = 6b 4bV b 2V b ( ) 2V 2V det H, = 6b 2 9b 2 = 27b 2 > 0 b 6b inoltre f xx = 6b > 0, quindi P è un punto di minimo. Possiamo quindi dire che l acquario con costo minimo avrà base quadrata (x = y = 2V ) e altezza z = 9V 4. 22

23 5. Un azienda grande e poco biologica studia l uso di due tipi di diserbante da impiegare congiuntamente in un area nelle quantità x, y rispettivamente. La quantità di prodotto ottenuta z dipende da quanto diserbante dei due tipi è utilizzato secondo la relazione z = f(x, y) = 1000 log(1 + x) log(1 + y) 2x y. Determinare il punto di massimo della funzione f(x, y). Svolgimento Il campo di esistenza di f è dato da tutte le coppie (x, y) R 2 tali che 1 + x > 0 e 1 + y > 0, ovvero C.E. = {(x, y) R 2 : x > 1, y > 1} campo di esistenza della funzione y x Gli eventuali punti critici della funzione sono quelli in cui si annulla il vettore gradiente, quindi studiamo il sistema (f x, f y ) = (0, 0) f x = x 2 = 0 f y = y = x = y = 0 x = = 499 y = 2997 = 999 L unico punto critico di f(x, y) è P = (499, 999). Applichiamo il metodo dell Hessiano per verificare se è un punto di massimo o di minimo. 2

24 f xx = 1000 (1 + x) 2, f xy = 0, f yx = 0, f yy = 000 (1 + y) 2 H(499, 999) = det H(499, 999) = 1, > inoltre f xx < 0, quindi P è un punto di massimo per f(x, y). 24

25 6. a) Cosa rappresenta l equazione x 2 + y 2 = 1 come curva in IR 2? b) Cosa rappresenta come superficie in IR? c) Cosa rappresenta l equazione x 2 + z 2 = 1 in IR? Svolgimento [0.5cm] a) L equazione x 2 + y 2 = 1 in R 2 rappresenta una circonferenza di centro l origine degli assi e raggio 1. b) In R la stessa equazione rappresenta un cilindro che ha per asse l asse z e raggio di base 1. c) L equazione x 2 + z 2 = 1 in R rappresenta un cilindro che ha per asse l asse y e raggio di base 1. 25

26 7. Gelati Siete i gestori di un laboratorio che produce due gusti di gelato: A, B. In ciascuna porzione di A vanno 2 uova e tazze di crema, mentre ciascuna porzione di B contiene 1 uovo e tazze di crema. Per questa settimana avete in magazzino 500 uova e 900 tazze di crema. Il profitto su x porzioni di gelato A e y porzioni di gelato B è P (x, y) = x 2y 0.01(x 2 y 2 ) Quante porzioni di ciascun gusto dovete produrre per ottenere il massimo profitto? Svolgimento Si ha x = porzioni di gelato A y = porzioni di gelato B Il dominio della funzione P (x, y) è determinato dal seguente sistema e rappresentato in figura. x 0 y 0 2x + y 500 x + y 900 y = 500 2x y = 00 x y = 500 2x 500 2x = 00 x x = 200 y =

27 dominio della funzione y x Ricerca dei punti di massimo e di minimo interni al dominio. P x (x, y) = 0, 02x = 0 P y (x, y) = 2 + 0, 02y = 0 x = 0, 02 = 150 y = 2 0, 02 = 100 P (150, 100) = 0 Calcoliamo il determinante della matrice Hessiana det 0, , 02 = 0, 0004 < 0 Quindi il punto (150, 100) è un punto di sella. Ricerca dei punti di massimo e di minimo lungo la frontiera del dominio: y = 0, 0 x 250 P (x, 0) = x 0, 01x 2 è una parabola concava quindi il punto di massimo coincide con l ascissa del vertice x = b 2a = 0, 02 =

28 Producendo 150 porzioni di gelato A e zero porzioni di gelato B si ha un profitto di 225 euro. x = 0, 0 y 00 P (0, y) = 2y + 0, 01y 2 è una parabola convessa con vertice in y = 100; il massimo si avrà in y = 00. Producendo zero porzioni di gelato A e 00 porzioni di gelato B si avrà un profitto di 00 euro. y = 500 2x, 200 x 250 P (x, 500 2x) = x x 0, 01x 2 + 0, 01(500 2x) 2 = 7x , 01x 2 + 0, 01( x x) = 7x , 01x , 04x 2 20x = 1x , 0x 2 P (x) = 1 + 0, 06x 0 x 1 0, 06 = 216 punto di minimo un massimo si ha nel punto (200, 100), cioè producendo 200 porzioni di gelato A e 100 porzioni di gelato B si avrà un profitto di 100 euro. y = 00 x, 0 x 200 P (x, 00 x) = x x 0, 01x 2 + 0, 01(00 x) 2 = 5x 600 0, 01x 2 + 0, 01( x 2 600x) = 5x 600 0, 01x , 01x 2 6x = x + 00 Si avrà un massimo nel punto (0, 00), cioè producendo zero porzioni di gelato A e 00 porzioni di gelato B si ha un profitto di 00 euro. Il punto (0, 00) è quindi il punto di massimo assoluto per la funzione P (x, y). 28

29 8. Viaggi in aereo. Una compagnia di aereolinee collega con voli quotidiani due località. Può riservare a coloro che viaggiano per turismo un trattamento diverso da coloro che viaggiano per affari, chiedendo l acquisto anticipato del biglietto con date di partenza e di arrivo tra le quali sia compreso il sabato. Se p è il prezzo del biglietto, supponiamo che la funzione di domanda sia f(p) = 16 p per i viaggiatori di affari e g(p) = 10 p per i turisti e che la funzione costo sia C = 10 + (f(p) + g(p)) 2 Indicati con x, y i prezzi unitari dei biglietti per i viaggiatori d affari e per i turisti rispettivamente, quale prezzo si deve fissare in ciascuno dei due mercati per rendere massimo il profitto? Svolgimento Per quanto riguarda i viaggiatori d affari si ha f(x) = 16 x 16 x 0 0 x 16 ricavo= x f(x) = x(16 x), 0 x 16 Per quanto riguarda i turisti si ha g(y) = 10 y 10 y 0 0 y 10 ricavo= y g(y) = y(10 y), 0 y 10 f(x, y) = profitto totale = ricavo totale - funzione costo totale f(x, y) = x(16 x) + y(10 y) [10 + (16 x + 10 y) 2 ] = 16x x y y 2 10 (26 x y) 2 = 16x x y y x 2 y x + 52y 2xy = 2x 2 2y 2 2xy + 68x + 62y Dominio = {(x, y) R 2 : 0 x 16, 0 y 10} 29

30 dominio della funzione y x Studiamo il gradiente di f. f(x, y) = ( f x (x, y), f y (x, y) ) = ( 4x 2y + 68, 4y 2x + 62) f(x, y) = (0, 0) f x = 0 f y = 0 4x 2y + 68 = 0 4y 2x + 62 = y = y = 4x x = 2x + 4 = 1 2 x x+4 = 1 2 x x+68 = x+1 x = 7 x = 7 y = 2x + 4 = = = 28 ( 7 f( 7, 28 ) = (0, 0) e, 28 ) è l unico punto critico interno al dominio di f(x, y). Applichiamo la condizione sufficiente per la ricerca dei punti di massimo usando la matrice Hessiana di f H f (x, y) = f xx f yx f xy f yy = = 16 4 = 12 0 Poiché ( f xx = 4 e H f 0 (per ogni (x, y) C.E.), allora il punto 7 critico, 28 ) è punto di massimo relativo per f(x, y) (confrontare 0

31 con i valori lungo la frontiera per valutare il massimo assoluto). 1