Verifica di Matematica Classe V

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1 Liceo Scientifico Paritario R Bruni Padova, loc Ponte di Brenta, /4/5 Verifica di Matematica Classe V Soluzione Problemi Risolvi uno dei due problemi: Problema Curva nord Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori, nonché alla sicurezza e all assistenza agli spettatori stessi La forma del settore sotto la tua gestione è una porzione di corona circolare come rappresentata in Figura Tenendo presente che le normative di sicurezza emanate dal Comune prevedono un indice di af- follamento massimo di 3,5persone m, e il 9,5 della superficie della Curva Nord è inagibile in quanto necessita di lavori di manutenzione, i Determina la capienza massima attuale del settore Curva Nord, approssimata alle centinaia N ma di 7

2 La polizia municipale propone di aprire i cancelli di ingresso un ora prima dell inizio della manife- stazione sportiva È necessario non aprirli con troppo anticipo, per limitare i costi, ma anche evita- re un afflusso troppo intenso, per motivi di sicurezza: la velocità massima di accesso degli spetta- tori non deve essere superiore a 35 ingressi al minuto In base alle osservazioni degli anni prece- denti, sai che l andamento del numero di spettatori, aprendo gli ingressi un ora prima dell inizio della manifestazione, segue una curva come quella riportata in Figura : Figura ii Esprimendo il tempo t in minuti, determina il polinomio p( t) di terzo grado che meglio ri- produce questo andamento, ipotizzando che il numero di spettatori sia all apertura dei cancelli di ingresso (t = ) e sia pari al numero massimo consentito N ma dopo un ora (t = 6 ), e che la velocità di accesso sia al momento dell apertura iniziale degli ingressi e sia ancora dopo un ora, quando l afflusso termina e il settore è riempito completamente Verifica che la funzione rispetti il vincolo di sicurezza sulla massima velocità di accesso degli spettatori nello stadio Al termine della manifestazione gli spettatori defluiscono dall impianto; in base alle osservazioni degli anni scorsi ogni minuto esce dall impianto il 5 degli spettatori presenti all interno nel minu- to precedente iii Determina la funzione che meglio rappresenta il deflusso degli spettatori e, indicato con t = l apertura dei cancelli e t c (da determinare) l istante in cui, durante il deflusso, nell impianto restano meno di spettatori, disegna il grafico della funzione che rappre- senta il numero di spettatori presenti nell impianto nell intervallo! ;t c ; ipotizza che l impianto sia riempito alla massima capienza e che la manifestazione sportiva duri un ora Determina inoltre la massima velocità di deflusso degli spettatori dall impianto Devi organizzare i servizi di assistenza e ristoro per gli spettatori, sulla base del numero medio di presenze nell impianto iv Determina il numero medio di spettatori presenti nell impianto, nell intervallo di tempo dall istante t = (apertura dei cancelli) all istante t = t c di 7

3 i Determina la capienza massima N ma attuale del settore Curva Nord, approssimata alle centinaia Prima di tutto determino l area del settore di corona circolare di raggi R = 8m, r = 5m e am- piezza α = : essendo un terzo di corona, ottengo ( ) = 3 π ( 8 5 )( 8+5) =3π 'm A = 3 π 8 5 La superficie agibile è il 9,5 di A, ovvero A agibile =76,5&π = 53 π )m Essendo la densità (indice di affollamento massimo) pari a 3,5persone m, la capienza massima si trova semplicemente tramite la proporzione 3,5: = N ma : 76,5,π ( ) Ottengo N ma,7 N ma = persone (approssimato alle centinaia) ii Esprimendo il tempo t in minuti, determina il polinomio p( t) di terzo grado che meglio ri- produce questo andamento, ipotizzando che il numero di spettatori sia all apertura dei cancelli di ingresso (t = ) e sia pari al numero massimo consentito N ma dopo un ora (t = 6 ), e che la velocità di accesso sia al momento dell apertura iniziale degli ingressi e sia ancora dopo un ora, quando l afflusso termina e il settore è riempito completamente Verifica che la funzione rispetti il vincolo di sicurezza sulla massima velocità di accesso degli spettatori nello stadio Il polinomio che descrive la numerosità ha la forma p t po in minuti Valgono le seguenti condizioni: Il numero di spettatori sia all apertura dei cancelli: p ( ) = at 3 +bt +ct +d, dove t esprime il tem- Il numero di spettatori sia N ma dopo un ora: p 6 6a+36b+6c +d = ( ) = Quindi d = ( ) = Quindi La velocità di accesso sia all apertura dei cancelli: p! p! t ( ) = 3at +bt +c, si ottiene c = La velocità di accesso sia dopo un ora: p! 6 Mettendo le quattro condizioni a sistema ottengo ( ) = Poiché ( ) = Quindi 8a+b+c =! d =! 36a+6b =! a = 9 6a+36b+6c +d = b = 9a b = c = c = c = 8a+b+c = d = d = 3 di 7

4 Quindi il polinomio richiesto è p( t) = 9 t3 +t, ovvero p( t) = t ( 9 9 t ) ( ) = t ( 3 6 t ) Si chiede di verificare se ( ) 35ingressi min Per far ciò, determino il massimo assoluto di p! ( t) in! ;6, la cui esi- La velocità di accesso è espressa dalla funzione p! t p! t stenza è garantita dal Teorema di Weierstrass: ( ) = ( 3 3 t ) t, la funzione p! ( t) ammette un massimo relativo all istante t = 3 p!! t (e quindi assoluto in! ;6 ) il cui valore è p!( 3 ) = 3 ( ) p ( 3) = 3ingressi min 35ingressi min Il vincolo di sicurezza sulla massima velocità di ac- cesso è quindi rispettato iii Determina la funzione che meglio rappresenta il deflusso degli spettatori e, indicato con t = l apertura dei cancelli e t c (da determinare) l istante in cui, durante il deflusso, nell impianto restano meno di spettatori, disegna il grafico della funzione che rappre- senta il numero di spettatori presenti nell impianto nell intervallo! ;t c ; ipotizza che l impianto sia riempito alla massima capienza e che la manifestazione sportiva duri un ora Determina inoltre la massima velocità di deflusso degli spettatori dall impianto Presumibilmente in questo punto, quando si dice che gli spettatori defluiscono dall impianto, si fa riferimento agli spettatori presenti nel settore Curva Nord Sia N la capienza massima dell impianto (presumibilmente N N ma, nell ipotesi che nell impianto ci siano altri settori oltre a quello denominato Curva Nord ) Poiché all istante t = avviene l apertura dei cancelli e tenendo conto che: L inizio della manifestazione avviene all istante t = 6 L inizio del deflusso avviene all istante t = (la manifestazione dura un ora) Costruiamo la funzione che descrive il deflusso delle persone in modo induttivo: Dopo un minuto dall inizio del deflusso (istante t = ) all interno dell impianto ci ( ) sono ancora N = N,5N = N,5 Dopo due minuti N = N (,5) = N(,5) Dopo tre minuti N 3 = N,5 ( ) = N(,5) 3 Dopo un tempo t = t c : N tc = N tc,5 ( ) = N(,5) t c L espressione analitica che descrive il deflusso al tempo t è N t = N(,5) t, ovvero N t = N!,95 t 4 di 7

5 Determino ora t c : N!,95 t c < t c >+log,95 N t c t c = + logn, dove! log95 indica la parte intera di + >+ logn log95 Quindi Se nell impianto è solo presente la Curva Nord, allora è possibile determinare un valore numeri- co di t c : procedendo come sopra, ponendo N =, ottengo t c = 4minuti È presumibilmente richiesto di rappresentare la funzione f t ( ) = & t ( 9 9 t ) t < 6 6 t < &,95 t t 4, ovvero nell ipotesi che nell impianto sia agibile solamente il 9,5 della Curva Nord Se così non fosse non avrei dati sufficienti per tracciare un grafico qualitativo, mancando completamente i dati relativi all andamento degli spettatori che entrano nell impianto e la capienza massima di quest ultimo Si tratta di una funzione definita per casi: Del primo caso il grafico è dato Il secondo caso è la funzione costante Il terzo caso è un esponenziale con base minore di, quindi decrescente, traslata di unità sull asse t Ottengo il seguente grafico: 5 di 7

6 iv Determina il numero medio di spettatori presenti nell impianto, nell intervallo di tempo dall istante t = (apertura dei cancelli) all istante t = t c Anche qui considero l ipotesi che l impianto sia costituito dalla sola Curva Nord Per determinare il numero medio degli spettatori presenti basta applicare il Teorema della media integrale di f quindi dalla relazione ( ) (che è continua) nell intervallo di tempo dato Il valore medio f ( c ) si ottiene 4 f ( ) d = ( 4 ) f ( c ) 4 6 f ( t )dt ( 9t t 3 ) dt dt +,95 t dt Calcolo l integrale: = 9 = 4 6 ( 9 8 t )t 3,95 t 4 +t + 6 ln,95 ( ) = ( 36 )+ ( 44 7)+ ln,95, ,46 Quindi f ( c ) 364,46 63,4 e il numero medio di spettatori è di 7

7 Problema : Il vaso L azienda in cui lavori produce articoli da giardino e sei stato incaricato di rivedere il disegno di un vaso portafiori realizzato da un tuo collega Il vaso, di altezza h =8cm, è composto da due tron- chi di cono aventi la base maggiore in comune e il disegno che ti è stato fornito (Figura ) ne rap- presenta la sezione longitudinale: Figura Nel riferimento cartesiano utilizzato in Figura l unità corrisponde a cm Il direttore del tuo re- parto ti chiede di: i Verificare il valore del volume del vaso progettato dal tuo collega Se il volume risulta minore di,5 litri, bisogna rendere il vaso più alto, fino a fargli raggiungere il volume di,5 litri, lasciando però invariate le misure dei diametri corrispondenti ai punti A, S e V, rendendo inoltre la forma meno spigolosa Per chiarire meglio la sua richiesta, il direttore ti dà un suo disegno, modificato rispetto al precedente (Figura ) Figura La curva passante per i punti S, V e G, disegnata dal direttore, può essere approssimata con un iperbole di equazione y = a (dove a è un parametro reale) 7 di 7

8 ii Determina, approssimando per eccesso al millimetro, i valori delle coordinate h e k del punto G che consentono di soddisfare la richiesta di modifica del vaso Dopo che un primo esemplare di vaso è stato prodotto, il responsabile della produzione fa rilevare che l eccessiva spigolosità del profilo del vaso nel punto S ne rende costosa la produzione iii Considera la funzione il cui grafico è rappresentato nella Figura, nel semipiano y ; de- scrivi la natura del punto S giustificando le tue affermazioni iv Lasciando ancora invariate le misure dei diametri corrispondenti ai punti A ed S, individua la funzione razionale intera di secondo grado che consente di congiungere i punti A ed S, eliminando il punto angoloso in S; disegna la nuova sagoma del vaso e individua il punto della curva AS in cui la pendenza del grafico è rimasta immutata rispetto alla sagoma pre- cedentemente proposta i Verificare il valore del volume del vaso progettato dal tuo collega Per calcolare il volume del vaso, la cosa più semplice è utilizzare la formula del volume del tronco di cono V TC = 3 πh R +r +Rr ( ), dove H indica l altezza del tronco, R il raggio della base maggiore ed r il raggio della base minore Il vaso è formato da due tronchi di cono: Il primo con H = S A =cm, R = y S = 6cm ed r = y A = 3cm Il secondo con H = V S = 6cm, R = y S = 6cm ed r = y V = 4cm Ottengo V = π( )+ π6( ) = 44π 69,+cm 3,3+l 3 3 Alternativamente, è possibile determinare l espressione analitica della funzione (sono due rette non parallele agli assi e passanti ognuna per due punti dati, basta utilizzare la relazione = y y ): y y ( ) = f & +3 < Quindi V = π f ( ) d = π ' d +π & 3 + ' d & 8 di 7

9 ! = π & &d +π 8! & &d! = π ! 4 +9& +π & = π ( 5 )+π ( ) = 44π,3,l 8 ii Determina, approssimando per eccesso al millimetro, i valori delle coordinate h e k del punto G che consentono di soddisfare la richiesta di modifica del vaso Come prima cosa determino l equazione dell iperbole equilatera Poiché il grafico passa per il pun- ( ), ottengo = a 6, ovvero a = 7 La funzione avrà espressione y = 7 to S ;6 Per soddisfare la richiesta del direttore, dovrò porre V =5cm 3 Ora, posso trovare il volume in funzione di h considerando la seguente funzione: +3 < g ( ) = 4 7 h e calcolando l integrale V = π g h ( ) d = π 4 +3 ' d +π &! = π ! 4 +9& +π 584 & = 5π +584π ' h& = 9 44 '36π h & h h 7 ' d & Confrontando le due espressioni che danno il volume, riesco a determinare il valore di h: = 9 44 '36π = =9 h & h 3π 57π 5 = h = 43π h 43π 57π 5 h 5,+cm Infine, osservo che k = g ( h ) 7 5,,9'cm (approssimata per eccesso al millimetro) iii Considera la funzione il cui grafico è rappresentato nella Figura, nel semipiano y ; descrivi la natura del punto S giustificando le tue affermazioni La funzione 9 di 7

10 ( ) = g +3 4 < 7 5, risulta essere ovviamente continua in S volendo descrivere il profilo di un vaso Comunque sia ne verifico analiticamente la continuità: 6 = lim g ( ) = g( ) = lim + g ( ) = 6 Verifico se la funzione e anche derivabile in S: < < g! ( ) = 4 7 < < 5, &, ma 4 = lim g ( ) lim + ( ) = g Quindi S è un punto angoloso e ivi la funzione non è derivabile iv Lasciando ancora invariate le misure dei diametri corrispondenti ai punti A ed S, indi- vidua la funzione razionale intera di secondo grado che consente di congiungere i punti A ed S, eliminando il punto angoloso in S; disegna la nuova sagoma del vaso e individua il punto della curva AS in cui la pendenza del grafico è rimasta immutata ri- spetto alla sagoma precedentemente proposta La funzione richiesta ha la forma y =ϕ Il suo grafico passa per il punto A ;3 Il suo grafico passa per il punto S ;6 ( ) = a +b +c Della funzione ϕ so che ( ), quindi c = 3 ( ), quindi 44a+b+c = 6 La sua pendenza in S deve essere pari a (così elimino il punto angoloso), ovvero 4a+b = Mettendo le tre condizioni a sistema ottengo 4a+b = a = 6 44a+b+c = 6 b = c = 3 c = 3 Quindi la funzione richiesta è ϕ ( ) = È richiesto di rappresentare la funzione h ( ) = < 7 5, & e la sua simmetrica rispetto all asse Mediante la trasformazione di 7

11 ottengo la funzione ( ) = h &! = σ :, & y! = y 6 3 < 7 5, Il primo caso della funzione h è una parabola con vertice V 8;7 anche i due punti dati A ed S Del secondo caso della funzione h il grafico è dato Il primo caso della funzione h è una parabola con vertice V 8; 7 rare anche i due punti A! ; 3 ( ) ; per disegnarlo basta considerare ( ) ; per disegnarlo basta conside- ( ) ed S! ( ; 6), simmetrici rispettivamente di A ed S rispetto all asse Del secondo caso della funzione h il grafico è dato La nuova sagoma del vaso è rappresentata dal seguente grafico: ( ( )) con ; P Per il Teorema del valor medio di Lagrange, esiste almeno un punto P P ;ϕ P del grafico della funzione ϕ che ha la stessa pendenza della retta passante per A e per S (la fun- zione g) Ottengo ( ) ϕ ( ) ( ) = ϕ! ϕ P! Il punto richiesto quindi è P 6; 7 & 4 8 P + = 4 P = 6 di 7

12 Quesiti Risolvi cinque dei dieci quesiti: Quesito Assegnata la funzione y = e 3 8 : i verificare che è invertibile; ii stabilire se la funzione inversa f è derivabile in ogni punto del suo dominio di definizio- ne, giustificando la risposta ( ) = e 3 8 i Il dominio della funzione è R Suppongo quindi che f :R R ( ) = e lim f ( ) = Inoltre f! Suppongo verosimilmente che f ( ) = 3 e 3 8 > per ogni R, ov- Osservo che lim f vero la funzione risulta essere sempre crescente Se ne deduce che la funzione è iniettiva ( ) = ; ma non suriettiva, essendo Im f La funzione data quindi non è invertibile, con- trariamente a quanto affermato nel testo Si presume quindi che devo renderla invertibile Per fare ciò basta restringere il codominio all insieme immagine Ora, la funzione f : R ; &, definita come! f ( ) = e 3 8, è invertibile ii Essendo la funzione f invertibile, determino l inversa: y = e =lny = 8+lny Quindi f ( ) 3 = 8+ln, f : ; & R Determino l espressione della derivata: f ( ) ( ) = 3 3 Osservo che il suo domi- ( 8+ln) nio non coincide con il dominio di f, in quanto D! = { R > 8+ln }= = ; \ e 8 { } ( 8+ln = = e 8 ), quindi f non è derivabile in ; Quesito Data l equazione differenziale del primo ordine y! = problema di Cauchy, tenendo conto della condizione iniziale y ( ) = L equazione data è a variabili separabili, quindi dy d = dy = d y =, determinare la soluzione del dy = d d y ( ) = ln +c Applicando la condizione iniziale determino il valore di ( ) = c: = ln +c c = Il problema di Cauchy dato ammette come soluzione y ln di 7

13 ( )? Quesito 3 Di quale delle seguenti equazioni differenziali è soluzione la funzione y =ln 3 i 3 ii y!! 3 iii ( ) y ( 3) y + = ( ) y! + + = ( 3) y ( 3) y + = iv y!! + y! +3 9 = Giustificare la risposta ( ) y =ln 3 y = 3 y = Sostituendo quanto appena trovato nell equazione iii 3 ( ) trovo che ne è proprio la soluzione: ( 3) y ( 3) y + = 3 ( ) ( 3) ( 3 ) Quesito 4 Verificare il carattere della serie terminare la sua somma n= + = + = = 3 e, nel caso in cui sia convergente, de- n +7n+ Provo a capire il carattere della serie maggiorandola con una serie di carattere noto Poiché n +7n+ > n armonica generalizzata per ogni n N, n n= è convergente quando il parametro reale α > ) n +7n+ < n < n +7n+ n= n= n <, essendo la serie notoriamente (!) convergente (la serie armonica generalizzata Per trovarne la somma, considero la sua ridotta n- esima i +7i + = i +3 ( )( i + 4) e che ( i +3) ( i + 4) = A n i= i +3 + B ( i + 4 = A+B )i + 4A+3B i +3! A+B =! A = 4A+3B = B = ( ) ( )( i + 4) n α n= Noto che i +7i +, da cui Ne consegue che n n = i +7i + i +3 & ( = i + 4 ' 3 & (+ 4 ' 4 & (+ 5' 5 & (+!+ 6' n+ & (+ n+3' n+3 & ( n+ 4 ' i= i= 3 di 7

14 Noto che il secondo addendo di ogni parentesi (tranne nell ultima) è opposto al primo addendo n della parentesi successiva Quindi = i i= +7i + 3 Passando al limite trovo la somma ri- n+ 4 n chiesta: lim = lim n i +7i + n 3 ( ' * = ( i=n) & n+ 4 ) i +7i + 3 = n +7n+ 3 i= i= Quesito 5 Per progettare un sito web è necessario generare dei codici unici di accesso Si vogliono utilizzare, a tale scopo, due lettere maiuscole dell alfabeto inglese seguite da una serie di numeri compresi tra e 9 Tutti i codici di accesso dovranno avere lo stesso numero di cifre ed è ammessa la ripetizione di lettere e numeri Qual è il numero minimo di cifre da impostare in modo da riusci- re a generare almeno 5 milioni di codici di accesso diversi? Giustificare la risposta Si tratta di calcolare una disposizioni con ripetizione Supposto di utilizzare n cifre, il numero di possibili codici distinti sarà 66!, ovvero 6 n È richiesto di generare almeno 5 mi- n &volte lioni di codici, quindi 6 n 5 6 n log 56 6 n 6+log5 log6 n = 4 Dunque devo utilizzare due lettere seguite da quattro cifre per ogni codice Quesito 6 La base di un solido, nel piano Oy, è il cerchio avente come centro l origine e raggio 3 Le sezioni del solido perpendicolari all asse delle sono quadrati Calcolare il volume del solido Consideriamo la figura seguente, dove è evidenziata la base e una sezione del solido n= Il volume è dato dalla somma (continua) dei volumi dei prismi elementari a base quadrata di lato ( ) e altezza infinitesima d, per 3 3 Il volume di un prisma elementare è v = l ( ) d l Dunque il volume del solido è 3 V = l 3 ( ) d 4 di 7

15 Resta il problema di determinare la lunghezza del lato del quadrato in funzione della variabile A tal fine considero l equazione della circonferenza di centro O e raggio 3: C: + y = 9 Da tale equazione determino le coordinate generiche dei punti A e B, aventi la stessa ascissa : ( ) + y = 9 y = ± 9, quindi A ; 9 l ( ) = AB = 9 ( ) d Quindi V = = 36 4 & 3 3 ( ' 3 3 = 7 ( 7) =44 ( ) e B ; 9 Ne consegue che Quesito 7 Trovare l equazione del piano tangente alla superficie sferica avente centro nell origine e raggio, nel suo punto di coordinate ( ;;z), con z reale negativo La situazione è descritta dalla figura seguente: Come prima cosa determino l equazione della sfera: S: + y + z = 4 Ora, la quota del punto ( z<) B S è + + z = 4 z = ± z = Il piano tangente alla sfera S in B è perpendicolare al raggio della sfera in B, ovvero è perpendicolare alla retta r passante per O e per B L equazione del- la retta r si determina facilmente dalla relazione B B O = y y B y B y O = z z B z B z O 5 di 7

16 Per cui y = r : y + z = Sia Γ :a +by +cz +d = l equazione del piano da trovare Tale piano avrà gli stessi coefficienti di- rettivi della retta r ad esso perpendicolare Determino allora i coefficienti direttivi della retta Posto y = t, ottengo = t r: r : y = t Ovvero ( ;; ) Quindi Γ : + y z +d = z = t Resta da determinare il valore di d imponendo il passaggio di Γ per B, trovo ++ cioè d = 4 Quindi il piano richiesto ha equazione Γ : + y Quesito 8 Calcolare l integrale indefinito funzione primitiva passante per il punto π ; z 4 = +d =, ( arcsin +arccos)d e rappresentare graficamente la ( ) Risolvo l integrale con il metodo della sostituzione, ponendo = sint, con t π ; π & (, da cui ' d = costdt ' ' & = π & t ( )d = t + π t & (cost)dt = π ' Dunque arcsin = arcsin( sint) = t e arccos = arccos( sint) = arccos cos π t Andando a sostituire trovo I = π sint +c = π +c ( ) = arcsin +arccos Imponendo il passaggio per ( π ;) trovo la primitiva richiesta: π I ( ) = π + +c = c =, da cui: π cost)dt = Il grafico è semplicemente quello di una retta con coefficiente angolare π e ordinata all origine pari a : 6 di 7

17 Quesito 9 Calcolare il seguente integrale improprio: I modo I ( ) = ( ) dt t lnt Passando al limite trovo II modo ln d ln d = lim ( = lnt ) + + tln t dt = = lnt ln ln 7 di 7 Determino il valore di I ( ) = ln d tln t dt tln t dt = t ln t dt = lnt ' lnt ln t & tln 3 t dt = + lnt tln t dt Noto che nell ultimo membro ho riottenuto l integrale di partenza Prendendo in considerazione il primo e l ultimo membro, ottengo l equazione I ( ) = +I lnt ( ) che ha come soluzione I ( ) = tln t dt = ln ln Passando al limite trovo ln d = lim ln ( ' * = & ln ) ln : lnt Quindi Quesito In una stazione ferroviaria, fra le 8 e le del mattino, arrivano in media ogni mi- nuti due treni Determinare la probabilità che in minuti: i non arrivi alcun treno; ii ne arrivi uno solo; iii ne arrivino al massimo quattro = lim Si tratta chiaramente di una distribuzione di Poisson, descritta dalla relazione P( X = ) = λ! e λ, dove λ rappresenta il numero medio di eventi nell intervallo di tempo dato i P( X = ) =! e,35 =3,5 ii P( X =) =! e,7 = 7, iii In quest ultimo caso faccio ricorso alla funzione di ripartizione 4 F ( 4 ) = P( X 4) = P( X = i) Ottengo: F ( 4 ) = P X = i: ( )+P( X =)+P( X = )+P( X = 3)+P( X = 4)!! +! +! + 3 3! + 4 4! & e =! &e = 7e,947 = 94,7 = Determino il valore di : tln t dt I tln t dt ( ) = ln d = lim ln ( ' * = & ln ) ln