4. La mortalità Tassi di mortalità generici e specifici

Transcript

1 4. La mortalità 4.1. Tassi di mortalità generici e specifici Abbiamo visto che la misura più elementare della mortalità è la frequenza relativa dei decessi. Non basterà infatti osservare il numero assoluto, dal momento che è abbastanza ovvio e intuitivo pensare il numero dei morti come dipendente, oltre che dal livello di mortalità, quello che alla fine dovremo misurare, anche dall ammontare della popolazione da cui questi decessi provengono. Si è già visto al capitolo 2 che nel 2013 i morti a Padova sono stati circa 2500 e a Cittadella circa 150, soprattutto perché nel primo comune abitano circa 200 mila persone, mentre nel secondo circa 20 mila. Pertanto, una misura più precisa si otterrà eliminando l effetto della dimensione demografica, e questo si può fare, come abbiamo visto, rapportando il totale dei decessi di un certo anno di calendario in una zona, alla popolazione media nella stessa zona dello stesso anno. Nel nostro esempio: 2454/ = 11,8; 157/ = 7,8. Risulterebbe pertanto nel 2013 una mortalità molto più elevata nel capoluogo che non nel più piccolo comune dell alta padovana. Tuttavia, quella così ottenuta è una misura media molto approssimativa, in quanto dall osservazione comune si sa che la frequenza dei decessi è molto diversa secondo l età, e, aggiungiamo, secondo il sesso, delle persone. Infatti, se guardiamo la figura 12, tratta da un vecchio annuario Istat, che mostra la distribuzione dei morti per classi di età e per sesso nel 1979, si vede ad esempio che il numero dei decessi è più elevato nelle età tra i 60 e i 90 anni per gli uomini, tra i 65 e i 95 per le donne, o che sono di più i decessi a anni che quelli a 30-34, o che è più facile che muoia un settantenne che un trentenne, o che a anni muoiono più donne che uomini. Inoltre, sempre da questa figura, è del tutto evidente che in entrambi i sessi i decessi nella classe sono stati meno di quanto ci si potesse aspettare osservando le classi di età contigue. Perché nel 1979 in questa classe sono morti di meno? Il mistero si chiarisce subito se si pensa che essi appartenevano alle generazioni di nascita comprese tra il 1916 e il 1919, anni in cui, a causa della guerra, ci furono molte meno nascite (ovviamente, di entrambi i sessi) rispetto ad anni normali. Il minor numero di persone appartenenti a queste coorti di nascita, rispetto alle coorti precedenti e seguenti, si è osservato naturalmente anche negli anni seguenti, e si è continuato ad osservare finché le generazioni non si sono estinte 22. Pertanto, anche nel 1979 le persone viventi in età Lo stesso fenomeno si era osservato, al paragrafo 3.5, nella piramide delle età del 2001, quando i nati tra il 1916 e il 1919 avevano tra 82 e 85 anni. 43

2 anni erano meno di quelle delle classi di età contigue; quindi ne sono morte di meno semplicemente perché ce n erano di meno, non perché avessero mortalità più bassa. Un modo corretto per confrontare la loro mortalità è allora quello di costruire tassi, in modo simile ai precedenti tassi generici, distinguendo però età e sesso, ovvero dividendo ad esempio i decessi maschi di una certa età per i maschi viventi della stessa età. Figura 12. Decessi per classi di età, Italia, 1979 Fonte: Istat (1982). Ad esempio, tra i residenti del comune di Padova nel 2012 sono deceduti 5 bam- e 61 donne) bini (3 maschi e 2 femmine) in età sotto i 5 anni, e 165 anziani (104 uomini in età anni. Rapportando queste cifre alla popolazione residente media delle stes- rispettiva- se classi di età, si avrebbe: 5/ = 0,57 per i bambini; 165/ = 13,1 per gli anziani, mentre, distinguendo anche tra maschi e femmine, si avrebbe per i bambini mente 0,66 e 0,47, e tra i settantenni 19,1 e 8,5 23. Questi sono chiamati tassi, o quozienti, specifici di mortalità per età e sesso. Formalizziamo quanto detto finora, limitando ancora allo stretto indispensabile. Indicando con M t x,s il numero dei morti nell anno t in età x e del sesso s,, e con, la popolazione media nell anno t in età x e del sesso s, essendo t l anno solare di riferimento, si avrà per il tasso specifico di mortalità per l età x e il sesso s: 23 Tutti i dati sono tratti dall Annuario Statistico del Comune di Padova, edizioni 2011 e

3 M t x,s = M t x,s /, 1000, o più semplicemente: m x = M x / se non ci sono possibilità di equivoco nell anno di riferimento; inoltre l indicazione del sesso è spesso sottintesa (se si costruiscono tassi per età, è inteso che vanno possibilmente distinti anche secondo il sesso). Se non serve, o non è disponibile il dettaglio delle singole età, si possono utilizzare classi di età, come quelle quinquennali usate nell esempio della figura 12: m x,x+4 = M x,x+4 /, avendo usato solo la notazione più semplice 24. Per quanto riguarda la popolazione al denominatore, essa sarà ottenuta con la consueta media semplice tra inizio e fine anno, = (P 1.1.t x,x+4 + P t x,x+4) / 2. Riprendiamo l esempio dei decessi in Italia nel 1979, riportando nel grafico di figura 13 i tassi specifici di mortalità per sesso e classe di età. L andamento è ora del tutto regolare, con un comprensibile continuo aumento dai 40 anni circa verso le età più anziane. 250 Figura 13. Tassi di mortalità per classi di età, Italia, maschi femmine e più Fonte: Istat (1982). 24 Le età saranno indicate in con gli anni compiuti. Come già spiegato al capitolo 3, par , in questo modo l età x indica l intervallo tra compleanno e la vigilia dell (x+1)-esimo, mentre la classe x, x+4 indica i cinque anni compresi tra l x-esimo e l (x+5)-esimo compleanno: ad esempio, i primi anni di vita sono: 0, 1, 2,, mentre la classe di età 5-9 significa tra il 5 e il 10 compleanno. Esistono tuttavia altri modi di indicare le età: con gli anni iniziati, o ancora indicando i compleanni estremi della classe. 45

4 Un altro esempio con dati di fine Seicento è riportato in tabella 16 (da Rossi, 1999). I decessi, tratti da registri parrocchiali, si riferiscono all intero periodo decennale, la popolazione media è stimata. Anche per i tassi specifici, l uso è di riferirli a periodi annuali, per cui si è proceduto prima al calcolo della media annuale dei decessi. Per curiosità, si confrontino questi tassi con quelli italiani di tre secoli dopo. Tabella 16. Calcolo dei tassi di mortalità per età, Adria, Classe di età Decessi totale Decessi, media annua Popolazione Media (*) Tassi , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2 90 e più 2 0, ,0 totale , ,9 Fonte: Archivi parrocchiali, da Rossi (1999). (*) Stime Relazione tra tassi di mortalità generici e specifici Se dovessimo confrontare due serie di tassi specifici per età, relativi a due diversi paesi, o a due diverse epoche, potremmo trovarci di fronte a qualche problema. Supponendo di usare classi quinquennali, avremmo una ventina di tassi di un paese da confrontare con una ventina dell altro paese, e potrebbe benissimo capitare che i tassi di alcune età nel primo paese sono più bassi dell altro, mentre per altre età sono più alti. Come fare un confronto corretto? Un suggerimento potrebbe essere quello di fare la media dei tassi di ciascun paese e confrontare poi le due medie. Trattandosi di tassi riferiti a età diverse, i gruppi di persone delle varie classi possono essere più o meno numerosi 25, per cui bisognerà costruire medie ponderate, ovvero ciascun tasso specifico per età deve avere un peso proporzionale al gruppo di riferimento Abbiamo già visto che nelle popolazioni contemporanee, molte persone arrivano a età anziane e le classi giovani non sono molto numerose; al contrario, in popolazioni storiche l elevata natalità produce moltissimi giovani, mentre poche persone arrivano ad età avanzate. 26 Il concetto di media ponderata è piuttosto semplice; non è un altro tipo di media, ma solo un diverso modo di calcolo. Se in un libretto universitario i voti degli esami del I anno sono: 29, 27, 26, 26, 27, la media sarà pari alla somma dei voti diviso 5, ovvero: ( ) / 5 = 135/5 = 27. Però possiamo considerare i cinque voti nel seguente modo: il 29 c è una volta, il 26 due volte, il 25 due volte; e per il calcolo della media procedere così: ( ) / (1+2+2) = 135/5 = 27. Ogni termine della serie di cui si deve calcolare la media viene pesato per il numero di volte in cui si verifica, poi si fa la somma, il tutto viene diviso infine per la somma dei pesi. È analoga la seguente espressione: 46

5 Presentiamo un esempio, semplificato al massimo per non perderci con le cifre. La tabella 17 riporta nella colonna (b) i tassi di mortalità per alcune classi; le classi sono costruite proprio per far vedere la mortalità nelle differenti età della vita: i primi anni, in cui c è l effetto della mortalità infantile, relativamente alta rispetto alle età successive; le età giovani in cui la mortalità è minima; le età mature in cui essa inizia a crescere; le età anziane in cui è più elevata. Il periodo di riferimento 27 è il triennio , centrato sull anno del censimento La riga successiva riporta il tasso generico. Nella stessa tabella ci sono inoltre in colonna (c), le persone censite nelle quattro classi di età, in colonna (d) le percentuali già calcolate. Classi di età Tabella 17. Tassi di mortalità per età, Italia, 1961 e Confronto con il metodo della popolazione tipo Tassi Popolazione 1961 Tassi Popolazione 1971 Migliaia % Migliaia % (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) , ,3 6, , , ,7 1, , , ,4 9, ,4 65-e più 61, ,6 57, ,3 Tutte le età 9, ,0 9, ,0 Con pop ,57 8,69 Con pop ,59 9,67 Fonte: elaborazioni da Istat, Censimenti 1961 e 1971, e Annuario di statistiche demografiche, anni vari. Il calcolo della media ponderata dei tassi specifici sarebbe allora: (10, , , , ) / = 9,57, o, ottenuto più agevolmente usando direttamente le percentuali: (10,8 8,3 + 1,1 59,7 + 9,3 22,4 + 61,8 9,6) / 100 = 9,57, che è pari proprio al tasso generico. (29 1/ / /5) = 27, dove come pesi sono state messe direttamente le frequenze sul totale. L esempio è su poche cifre, ma davanti a un numero di casi considerevole (si pensi a tutti i voti di un corso di laurea di una sessione di esami) la procedura della media ponderata abbrevia molto le operazioni. 27 Sono stati presi tre anni proprio per avere la mortalità del periodo, e non di un anno isolato, che potrebbe risentire di particolari condizioni stagionali, e centrato su un anno di censimento per poter usare un denominatore relativamente sicuro. 47

6 Formalizzando le operazioni eseguite 28, si ha, indicando con p x = P x / Σ x P x i pesi utilizzati (il simbolo Σ x indica l operazione somma estesa a tutte le età x; così: Σ x P x = P indica che la somma della popolazione di tutte le età è pari a P; e nel seguito: Σ x M x = M indica la somma dei decessi di tutte le età, pari a M): Σ x m x p x = Σ x (M x / P x ) P x /P = Σ x (M x ) / P = M / P = m, ovvero la media ponderata dei tassi specifici è pari al tasso generico. L espressione m = Σ x m x p x mostra anche che il tasso generico di mortalità è il risultato di due componenti: mortalità e struttura per età della popolazione. In altri termini, il tasso generico va bene per esaminare il livello di mortalità, per confrontarlo con la natalità, e per vedere se il saldo è positivo o negativo. Va meno bene invece, per confrontare la mortalità tra due situazioni diverse, nelle quali un certo peso potrebbe avere l altra componente, la struttura per età. Per tornare al nostro problema, il confronto tra la mortalità di due paesi, fatto attraverso la media ponderata dei tassi specifici, non è la strada migliore, in quanto si torna al tasso generico, che come abbiamo visto può risentire anche dell effetto indesiderato della struttura per età Il metodo della popolazione tipo Come risolvere la questione? Gli statistici propongono un metodo semplice, chiamato standardizzazione diretta o della popolazione tipo, che consiste nel fare la media dei tassi di ciascun paese usando un uguale sistema di pesi, ossia una uguale struttura di popolazione: in questo modo l effetto della struttura per età è uguale in tutte le situazioni da confrontare, e rimane l effetto del solo livello di mortalità. In pratica, nel calcolo della media dei tassi specifici: m = Σ x m x p x per i due paesi o le due situazioni da confrontare, usiamo gli stessi pesi per le due medie: m (A) = Σ x m A x p S x e m (B) = Σ x m B x p S x dove A e B indicano le due situazioni e p S x la struttura per età standard che usiamo per entrambe; come si vede, la struttura per età usata è la stessa, e rimane il solo effetto della mortalità. Se volessimo ad esempio confrontare la mortalità in Italia degli anni intorno al 1961 con quella intorno al 1971 (vedi precedente tabella 17, ultime tre colonne), non basterebbe esaminare le medie delle due serie di tassi, che si ridurrebbe, abbiamo visto, al confronto dei tassi generici, sui quali c è l influenza della struttura per età. Esaminando i dati, si vede tra l altro che i tassi specifici sono tutti diminuiti nei dieci anni, ma il tasso generico è invece aumentato. Questo risultato è il chiaro effetto della variazione della struttura per età della popolazione, che nei dieci anni è invecchiata (si veda nella 28 Nelle formule seguenti, la popolazione a denominatore dei tassi, come pure quella per il calcolo dei pesi, è indicata per semplicità con P, senza il soprassegno, che dovrebbe avere, trattandosi della popolazione media. 48

7 colonna (g), rispetto alla (d), l aumento percentuale del peso della classe più anziana, che ha mortalità alta, e la diminuzione del peso delle età giovani, con mortalità bassa). Non resta dunque che il ricorso al metodo della standardizzazione diretta: come popolazione tipo si può scegliere una terza struttura, ma anche una delle due. Usando la struttura per età del 1961, la media del 1961 è sempre il tasso generico che già abbiamo calcolato, mentre per il 1971 si avrebbe: (6,7 8,3 + 1,0 59,7 + 9,0 22,4 + 57,5 9,6) / 100 = 8,69, dove in pratica abbiamo moltiplicato i tassi del per la struttura del Il significato di questo risultato è la mortalità che ci sarebbe stata nel , se la struttura per età della popolazione fosse rimasta la stessa del Ora, il risultato di 8,69 decessi abitanti può essere confrontato con il 9,57 del 1961, con una evidente diminuzione di quasi 1. Il confronto può essere fatto usando una qualunque popolazione tipo; nell esempio della tabella precedente, si può usare anche la popolazione del 1971, che darebbe i risultati riportati nell ultima riga della tabella 17: 10,59 per il primo periodo, 9,67 per il secondo, ancora con quasi 1 di diminuzione. Il risultato è analogo, anche se le cifre sono diverse: e questo è in effetti un punto debole del metodo la mortalità infantile Un caso particolare, tra tutte le età di morte, che merita di essere esaminato più in dettaglio è il primo anno di vita. L ingresso nella vita dopo un periodo vissuto in ambiente protetto è un passaggio non trascurabile, spesso caratterizzato da difficoltà non confrontabili con quelle degli anni successivi. Nella figura 13, nella quale il tasso di mortalità per l età 0 era calcolato separatamente da quello delle età successive fino ai 4 anni, si vedeva una notevole differenza tra questi due valori, con il primo molto più elevato del secondo. Anche se non è trascurabile quella degli anni seguenti, è dunque la mortalità nel primo anno di vita, chiamata mortalità infantile, quella che è di maggior interesse. Si riscontra infatti un forte legame tra questa e la situazione generale del sistema sanitario, assistenziale e sociale di una popolazione, al punto che il livello della mortalità infantile è considerato un ottimo indicatore del livello di sviluppo generale di un paese. A differenza dei tassi di tutte le altre età, anziché il rapporto tra decessi e popolazione media, che nel nostro caso sarebbe: m 0 = M 0 /, si preferisce rapportare i morti entro il primo anno di vita M 0 ai nati N; pertanto, con riferimento all anno di calendario t, si avrà 29 : Q 0 t = M 0 t / N t Ovviamente, quando si calcolano i tassi per tutte le età, come per la figura 13, anche per l età 0 il tasso di mortalità sarà ottenuto nel modo consueto. 49

8 Il motivo di questa preferenza è da un lato la maggior facilità di costruzione, numeratore e denominatore essendo eventi della stessa natura (dati di movimento) e quindi ottenuti dalla stessa fonte 30 ; dall altro il desiderio di rapportare in modo migliore gli eventi in esame al gruppo da cui essi provengono. Benché questa espressione sia indubbiamente la più usata in molte situazioni sia storiche che di paesi in via di sviluppo, appare subito chiaro che vi sussiste una certa incongruenza, dal momento che se lo scopo è di rapportare i decessi infantili al contingente di nati da cui essi provengono, si vede che i morti nell anno t in età compresa tra la nascita e il giorno precedente il primo compleanno non provengono tutti dalle nascite dello stesso anno, alcuni di essi essendo certamente nati nell anno precedente. Ad e- sempio, i morti dopo quattro mesi di vita nel febbraio dell anno t provengono non dai nati N t dello stesso anno, ma dai nati N t-1 dell anno precedente t-1. Tabella 18. Nascite e decessi nel primo anno di vita, Italia, anni Decessi nel primo anno di vita Nascite Anno di morte Anno di nascita Decessi, età 0 % Anno Nascite 1941 Totale , di cui: nati nel , nati nel , Totale , di cui: nati nel ,4 nati nel , Totale, di cui ,0 di cui: nati nel ,4 nati nel ,6 Fonte: Del Panta, Rettaroli (1994), p Le soluzioni possono essere diverse. Se si conosce la distinzione dei decessi per anno di nascita 31 (si veda un esempio nella tabella 18, ripresa da Del Panta, Rettaroli, 1994), si può ottenere una misura precisa della mortalità infantile attribuendo ciascun gruppo di morti ai nati da cui esso proviene 32. Se invece la distinzione non è nota, i decessi provenienti dai due contingenti di nascita si possono stimare con opportune proporzioni del totale 33, e poi procedere come nel caso precedente. 30 Il modo tradizionale di calcolo dei tassi di mortalità richiede invece dati di movimento naturale per i decessi al numeratore, e dati di stato per la popolazione a denominatore. 31 Questa è pubblicata in Italia, solo a livello nazionale, dal Ad esempio per i morti dell anno 1941 il tasso di mortalità infantile sarà: / / = 0, ,0767 = 0,1112 = 111,2. Privilegiando invece la coorte di nascita, la mortalità infantile dei nati nel 1941 sarà: ( ) / = / = 0,1083 = 108,3. 33 Queste proporzioni sono empiricamente legate al livello di mortalità infantile: ad esempio, con un livello simile a quello dell esempio di tabella 18 (oltre il 100 ), il 70% circa dei morti in età infantile 50

9 Il rapporto del totale dei morti in età 0 sui nati dello stesso anno, come indicato all inizio, è certamente la soluzione più semplice, anche a costo di perdere un po di precisione. Per gli anni 1941 e 1942, risulterebbe rispettivamente: / = 115,2 ; / = 112,4, valori in realtà abbastanza prossimi a quelli precisi calcolati in nota. Tabella 19. Tasso di mortalità infantile, per ripartizione geografica, 2006 e 2011 Ripartizioni Nord 3,2 3,0 Centro 3,9 3,3 Sud 4,0 3,6 Italia 3,4 3,3 Fonte: Istat, sito web: Istat.it/it/archivio/109861, pubblicato il 15 gennaio Tabella 20. Tasso di mortalità infantile, grandi regioni del mondo, stime 2013 Regioni TFT Regioni TFT World 40 Africa 68 More developed countries 5 Nord America 6 Less developed countries 44 Centro-Sud America 19 Less developed countries Asia 35 (excluded Cina) 48 Asia (esclusa Cina) 40 Least developed countries (*) 66 Europa 5 Cina 16 Oceania 20 Fonte: PRB (2013). (*)Si tratta di 49 paesi con reddito particolarmente basso, alta vulnerabilità economica, e indicatori di sviluppo umano modesti (34 di essi sono nell Africa sub-sahariana, 14 in Asia, 1 nei Caraibi). Sono di questo tipo, ovvero costruiti con il rapporto tra decessi in età inferiore ad un anno e nati vivi dello stesso anno, i dati forniti anno per anno dall Istat, come pure dagli altri produttori di statistiche ufficiali, nonché dalle Nazioni Unite e da altri enti inproviene dai nati nello stesso anno e il 30% dai nati dell anno precedente. Con livelli più elevati, la proporzione può essere 60% e 40%; con mortalità infantile sul 50, sarà 80% e 20%; con 20 sarà 90% e 10%; divario ancora più alto, ad esempio 95% e 5%, con mortalità ancora più bassa. Questo perché i morti nel primo anno di vita non sono mai equidistribuiti lungo l anno di vita, come accade praticamente in tutte le altre età, ma sono più frequenti nei primi mesi che non negli altri; questa concentrazione nei primi mesi di vita è più marcata in condizioni di bassa mortalità. 51

10 ternazionali Si riportano alcuni dati recenti per l Italia (tabella 19) e per alcune grandi regioni del mondo 34 (tabella 20) La tavola di mortalità Ma lo strumento migliore per lo studio della mortalità, da usare tutte le volte che i dati disponibili lo consentano, è la Tavola di mortalità. Essa è un prospetto 35 che descrive, a partire da un gruppo iniziale osservato di nati, l uscita per morte, anno per anno, degli individui che appartenengono al gruppo. L ammontare della popolazione iniziale è detto radice della tavola, e viene per comodità fissato in un multiplo di 10. Oltre a questo, la sola informazione necessaria per costruire la tavola è la serie delle probabilità di uscita dal gruppo per morte, nei vari anni di distanza dal momento iniziale La probabilità di morte. La probabilità di morte all età x è definita come la probabilità, tratta dall esperienza empirica, che ha un individuo appartenente al gruppo osservato e ancora presente dopo x anni esatti, di morire prima di raggiungere l età esatta x+1. Essa sarà dunque calcolata per ciascuna età x, con x che varia da 0 all ultima età, chiamata ω, alla quale c è ancora almeno un sopravvivente del gruppo, il quale morirà prima del compleanno x+1. Il meccanismo di costruzione della tavola è poi piuttosto semplice, come vedremo. Ma è opportuno soffermarci prima sulla costruzione della probabilità di morte 36. Una probabilità empirica è il rapporto tra casi favorevoli ad un certo evento e casi possibili. La probabilità che nel lancio di un dado esca il 6 è pari a 1/6: numero dei casi favorevoli sul numero dei casi ugualmente possibili. In un gruppo di 5000 persone che compiono 30 anni, tra i quali 20 muoiono prima di compierne 31, la probabilità di morte a 30 anni è 20/5000 = 0,004, pari al 4. Ora, ci possono essere seri problemi nella disponibilità delle informazioni, non tanto sui decessi, quanto sulla quantità da mettere a denominatore, ovvero le persone che arrivano ai vari compleanni. Queste quantità vanno opportunamente stimate, perché non esiste rilevazione da cui attingere l informazione. Nelle tavole di mortalità che si costruiscono oggi, questa stima su può fare a- gevolmente 37, potendo disporre, in qualunque anno, dei residenti per singolo anno di e- tà, e dei decessi classificati per anno solare di morte, età alla morte, e generazione 38 di 34 I dati delle grandi aree della tabella 20 sono ovviamente le medie dei corrispondenti valori dei singoli stati. Le informazioni sono tratte da PRB (2013), scaricabile gratuitamente dal sito web 35 In realtà è un caso particolare della Tavola di eliminazione, nella quale le unità iniziali (non necessariamente persone) escono dal gruppo nei vari anni successivi per una o più cause. In questi appunti di farà riferimento solo a gruppi umani e all uscita solo per morte. 36 Qui e nel seguito, tutte le probabilità di morte sono intese espresse per mille, anche se per semplicità espositive il simbolo non sarà ripetuto nelle formule, né nei calcoli. 37 Il metodo, che qui non viene illustrato, si trova in tutti i manuali di Demografia, anche in quello di Del Panta, Rettaroli (1994). 38 Il concetto di generazione è già stato introdotto in queste pagine: si tratta dell insieme dei nati in un anno di calendario. Simile è quello di coorte, usato spesso come sinonimo, anche se in realtà è un 52

11 appartenenza (anno di nascita). Questa triplice classificazione dei decessi non è generalmente disponibile per le popolazioni del passato 39, per cui per ottenere probabilità di morte occorre seguire altre strade. Esaminiamo il seguente grafico (figura 14), che rappresenta la vita di un gruppo di persone, dalla nascita in poi: sono evidenziati i compleanni sopra la linea della loro vita, e la popolazione sopravvivente a questi compleanni sotto la stessa linea. Inoltre sono indicati, a titolo di esempio, i decessi all età 4 (ovvero, per la precisione, tra il 4 e il 5 compleanno) M 4, e la popolazione media all età 4 ( ). Figura 14. Schema degli eventi morte nella vita di un gruppo di nati M 4 Nascita compleanni»»»»» vita P 0 = N P 1 P 2 P 3 / \ P 6 sopravviventi P 4 P 5 Ricordiamo che il rapporto tra i decessi di una certa età e il numero medio di viventi alla stessa età è il tasso di mortalità specifico per età, che abbiamo già visto; nell esempio, m 4 = M 4 / è il tasso di mortalità specifico per l età 4. La probabilità di morte che stiamo cercando sarebbe invece, per la stessa età 4, il rapporto tra M 4 e i sopravviventi P 4 all inizio dell età 4, ovvero le persone che arrivano al compleanno 4: q 4 = M 4 / P 4, e in generale: q x = M x / P x. È appunto la quantità a denominatore che è difficile da stimare. Un metodo semplice, che richiede soltanto l ipotesi di equidistribuzione dei decessi entro l anno di età 40, è quello di stimare i sopravviventi al compleanno x a partire dal numero medio di viventi all età x, sommandovi la metà dei morti a questa età x: concetto più ampio, indicando l insieme di persone che hanno vissuto nello stesso anno un certo evento origine (ad esempio, la coorte dei matrimoni celebrati in un certo anno). 39 Le informazioni sui decessi con la triplice classificazione è pubblicata, ad esempio, per l Italia dal Si tratta di un ipotesi largamente accettabile a tutte le età, tranne l età 0, perché non c è nessun motivo che faccia pensare che i decessi si concentrino verso il compleanno iniziale o al contrario verso quello finale. Nel primo anno di vita invece, i morti sono certamente più concentrati verso i primi giorni 53

12 P x ( + ½ M x ) e pertanto q x M x / ( + ½ M x ). dove i simboli hanno lo stesso significato già visto: q x è la probabilità di morte all età x già definita, M x sono i decessi all età x, è la popolazione media in età x, tutto riferito all anno solare t. Nell esempio, la probabilità di morte all età 4 sarebbe: q 4 = M 4 / ( + ½ M 4 ). Una volta ottenute le probabilità di morte q x, per x = 0, 1, 2, 3,, ω (ω è l ultima età alla quale c è ancora qualcuno sopravvivente), e fissata la radice della tavola, che avrà il simbolo l 0 (l 0 = 1.000, o , o ), si può procedere alla costruzione della tavola. In pratica, da q x si ricaveranno le altre funzioni (sopravviventi, decessi, ecc.), chiamate funzioni biometriche, che compaiono nella tavola di mortalità. È importante rilevare che il modo con cui sono calcolate le probabilità di morte q x ovvero partire, nel calcolo degli esposti al rischio di morire, dai viventi in media e aggiungere metà dei morti fa ottenere probabilità indipendenti da altri eventi che potrebbero disturbare il calcolo preciso, in particolare le migrazioni. Si può dimostrare infatti che viene eliminato l effetto di eventuali ingressi o uscite di persone che farebbero cambiare il numero degli esposti al rischio. Inoltre, come si comprenderà nel seguito vedendone la costruzione, la tavola di mortalità dipende esclusivamente dalla mortalità appunto e non anche dalla struttura per età o dalla dimensione della popolazione che si sta studiando Sopravviventi e decessi. Per vedere un esempio di queste funzioni riportiamo un estratto della tavola di mortalità costruita da Del Panta e Rettaroli (1994), riferita alla generazione di donne italiane nate nel 1872 (tabella 21). Di esse gli Autori, per il calcolo delle probabilità di morte, hanno ricostruito alle varie successive età, a partire dalla nascita e fino a cent anni e oltre (quindi fino a qualche anno dopo il 1972), decessi e donne viventi, fino alla loro completa estinzione 41. di vita che nel seguito. Ma la probabilità di morte nel primo anno di vita (la mortalità infantile) si può calcolare più agevolmente dividendo direttamente i decessi nel primo anno per i nati. 41 Non si può non osservare, di passaggio, che per la costruzione di questa Tavola, di cui vengono qui riportate solo le prime venti righe, o poco più, gli Autori hanno superato non poche difficoltà, legate alla disponibilità dei dati di base. Si pensi, per l ammontare dei decessi, alle variazioni territoriali intercorse nel centinaio di anni dal 1872 in poi, o ai dati incompleti o mancanti di certe zone nei periodi di guerra; per la popolazione a denominatore, oltre alle variazioni territoriali, alla necessità della ricostruzione anno per anno negli anni tra i censimenti, con l inserimento anche delle migrazioni, stimate per età e sesso. 54

13 Tabella 21. Tavola di mortalità della generazione di donne italiane del 1872 Fonte: Del Panta, Rettaroli (1994), p La funzione lx (l è l iniziale di living,, viventi) indica i sopravviventi all età esatesa ta, o compleanno, x;; pertanto si comprende che la radice l0 è costituita dai nati da cui si parte, e dei quali studiamo le modalità di uscita per morte42. L altra funzione essenziale della tavola è chiamata dx (d è l iniziale di dead,, morti), ed indica appunto i decessi all età x (per la precisione, tra i compleanni x e x+1). Avendo l0 neonati che hanno una probabilità q0 di morire entro il primo anno di vita, i morti saranno ottenuti applicando ai nati questa probabilità di morte: 42 Non sarà inutile notare che le neonate che si vedono nella prima riga r rappresentano, ma non sono, le bambine nate in Italia nell anno 1872, che furono ; la cifra tonda di partenza ha il solo scopo di semplificare i confronti con altre tavole costruite con la stessa radice. 55

14 Schema di costruzione della Tavola di mortalità da q x (x = 0, 1, 2, 3,, ω) l 0 = costruiamo: d x = l x q x l x+1 = l x d x (x = 0, 1, 2, 3,, ω) d 0 = l 0 q 0. Alla fine di questa età 0, ovvero al compleanno 1 (o anche all inizio dell età 1), rimarranno in vita l 1 = l 0 d 0. Nel nostro esempio, la probabilità di morte nel primo anno q 0 = 193,18 andrà moltiplicata per le neonate, e si otterrà bambine morte 43. Pertanto, resteranno al primo compleanno = bambine sopravviventi. Questa sequenza di operazioni: calcolo dei decessi, e poi calcolo dei sopravviventi, si ripete per l età 1: d 1 = l 1 q 1, e: l 2 = l 1 d 1, poi per l età 2, per l età 3, eccetera, e si continua fino all età alla quale muore l ultimo sopravvivente del gruppo iniziale l 0. Questa età, variabile secondo le condizioni di mortalità, è indicata con ω; all età ω+1 non c è più nessun sopravvivente (l ω+1 = 0). Sono così completati valori delle funzioni l x e d x della tavola (q x era già disponibile). Quindi, riepilogando, dalla serie q x, ottenuta dall esperienza empirica di una popolazione reale, e da l 0, otteniamo le serie di l x e d x, che sono le funzioni principali della Tavola di mortalità (vedi schema in alto). Esaminiamo brevemente le tre funzioni principali della Tavola di mortalità. La probabilità di morte q x ha una forma tipica, detta dagli americani a vasca da bagno, a causa dei valori elevati all inizio e alla fine del periodo della vita. Il grafico della figura 15 riporta i valori di tale funzione relativamente a due situazioni diverse, grosso modo a fine XIX e fine XX secolo. Oltre ai valori via via crescenti nelle età elevate diciamo, dopo i anni che raggiungeranno alla fine 44 valori prossimi a 1, sono da rilevare i valori relativamente elevati nel primo anno di vita e nei successivi, particolarmente alti nelle condizioni di mortalità di fine Ottocento. La funzione d x, che rappresenta i decessi alle varie età 64 (figura 16, in basso), è pure tipica, presentando tre massimi relativi: uno all età 0; uno, poco visibile, vicino a 43 È appena il caso di notare il livello estremamente elevato della mortalità di questa Tavola: nel primo anno la mortalità è quasi il 20% delle nate (oggi è in Italia di poche unità per ogni mille nate). 44 Le età più elevate sono fuori scala, ma il grafico è costruito su scala aritmetica, anziché su scala logaritmica, come spesso si usa, proprio per facilitare la comprensione delle proporzioni alle varie età. 64 È il caso di osservare che, come l 0 non sono le vere nate della generazione 1872, i valori di d x non sono i reali decessi osservati tra le donne di quella coorte. 56

15 20 anni; e uno, il massimo assoluto, alle età anziane, che si è spostato, nel centinaio di anni tra le due condizioni di mortalità descritte, verso le età più elevate. Figura 15. Funzione q x probabilità di morte ( fine sec. XIX; fine sec. XX) Da notare che, alle età anziane, d x non può essere sempre crescente, come è in- persone l x, e an- vece q x, dal momento che a queste età rimangono in vita via via meno che d x diminuirà. Inoltre, per la costruzione stessa della tavola, sussiste per la funzione d x il vincolo secondo cui il totale dei decessi per tutte le età da 0 a ω deve essere pari a l 0 : Σ x d x = l 0. Per lo stesso motivo le due curve di d x della figura non possono essere una sem- dall area sotto pre maggiore dell altra: la somma dei decessi, rappresentata nel grafico ciascuna curva, deve essere sempre pari a l 0. Infine, la funzione di sopravvivenza l x si presenta, ovviamente, sempre decrescente, ma su livelli più alti nelle condizioni di mortalità più recenti (figura 16, in alto). Diminuendo la mortalità, l x si posizionerà su livelli via via più elevati; la situazione li- l x schiacciata sul mite in cui nessuno muore fino a 100 anni (poniamo) vedrà la funzione bordo superiore del grafico fino all età 100, per poi precipitare a zero. È appena il caso di precisare che ogni valore di d x rappresenta la diminuzione di l x da una età alla succes- siva: 57

16 Figura 16. Funzioni l x sopravviventi e d x decessi ( fine sec. XIX; fine sec. XX) d x = l x l x+1, per cui la velocità di decrescita della l x è tanto più forte quanto elevata è d x. Da notare ancora lo si comprenderà meglio tra breve che, a differenza delle altre due funzioni 65, l x si può immaginare disegnata nel continuo, ovvero ha senso vedere nel grafico anche i valori corrispondenti a qualunque età, ad esempio, a 3 anni e mezzo, e non solo ai compleanni. 65 La funzione q x è riferita, come spiegato nella costruzione, al compleanno x; d x si riferisce invece all intervallo di età tra i compleanni x e x+1. È solo per comodità che i grafici sono stati disegnati con linee continue. 58

17 Altre funzioni. Anche per vedere le altre funzioni ci limitiamo qui alle tre più utili ci riferiremo per gli esempi alla tavola di mortalità della generazione di donne italiane nate nel Da notare preliminarmente: (a) che l ordine in cui le prime tre funzioni sono presentate (l x, d x, q x ) è quello consueto che si trova in tutte le Tavole di mortalità, ma non è l ordine logico secondo cui esse sono costruite, che sarebbe, come abbiamo appena visto: q x, l x, d x ; (b) che è presente, in modo abbastanza superfluo, perché il calcolo sarebbe immediato, anche la funzione p x, probabilità per un sopravvivente al compleanno x di essere in vita anche al compleanno successivo x+1, ottenuta come complemento a 1000 di q x (p x = 1000 q x ; entrambe essendo espresse in ). La funzione L x rappresenta il numero di anni che il gruppo iniziale vive nell anno di età compreso tra i compleanni x e x+1, o più brevemente all età x. Al compleanno x il contingente iniziale si è ridotto a l x, e diventerà l x+1 al compleanno successivo. Nell ipotesi, del tutto plausibile, che i decessi escano dal gruppo secondo un flusso regolare nel corso dell anno di vita, gli anni vissuti nell età x saranno: un anno ciascuno per gli l x+1, quelli che arrivano all età x+1, perché tutti vivono l intero anno di età, più mezzo anno che ciascuno dei d x deceduti vivrà in media nel gruppo prima di uscire: L x = l x+1 + ½ d x = l x ½ d x = (l x + l x+1 ) / 2. La seconda eguaglianza è equivalente alla prima (un anno ciascuno vissuto dai viventi l x, meno metà anno ciascuno non vissuto dai deceduti d x ); la terza, pure equivalente, mostra che la stessa quantità si può ottenere con la media semplice dei sopravviventi all inizio e alla fine dell età x 66, 67. Ad esempio, nelle tavole riportate, delle l 0 = neonate erano rimaste in vita, al compleanno 13, l 13 = ragazzine; al compleanno successivo erano l 14 = , essendo 282 le d 13, ovvero le morte nel corso dell età 13. Il valore di L 13, pari a , è ottenuto dalla media di l 13 e l 14, e rappresenta gli anni vissuti all età 13. La somma degli anni che i membri iniziali vivono all interno del gruppo a partire dall età x in poi è indicata con T x : T x = Σ i L i per i = x, x+1,, ω. 66 Per il primo anno di vita, l ipotesi di equidistribuzione dei decessi nel corso dell età non è praticabile, perché è noto, come già detto, che in questa età i morti sono più concentrati verso i primi giorni di vita che non verso il primo compleanno, per cui i morti nel primo anno di vita vivono in media meno di mezzo anno. Questa concentrazione è tanto più alta quanto è basso il livello di mortalità infantile, come già detto al par Ad esempio, con un livello prossimo a 200, si stima che i morti nel primo anno vivano in media 0,40 di anno, con 150 circa 0,33, con 100 circa 0,25, con 50 circa 0,20, ecc. fino a 0,02 per mortalità infantile di 5 o meno. Nella tavola riportata come esempio, L 0 = è ottenuto da l 0 0,60+l 1 0,40 = l 1 +d 0 0, La quantità L x si può vedere nel grafico della funzione l x come la parte di area sotto la curva compresa tra i due compleanni x e x+1. 59

18 Questa è evidentemente una funzione che dipende dalle probabilità di morte, essendo tanto più alto il numero di anni vissuti entro il gruppo quanto più è bassa la probabilità di uscire per morte alle varie età. All età 13 troviamo nella nostra tavola T 13 = anni, ottenuto dalla somma di L 13 = con L 14 = , con L 15, eccetera, fino alla fine della tavola. Di tutti questi valori di T x, il più importante è T 0, il valore che somma tutti gli anni vissuti dal gruppo nell intera vita 68 : T 0 = Σ i L i per i = 0, 1, 2,, ω, perché esprime il numero totale di anni che il gruppo iniziale di individui l 0 passa nel gruppo prima di uscire. Nella nostra tavola T 0 = anni. Notiamo di passaggio che se L x è pari alla media tra l x e l x+1, esso può essere intesa anche come numero medio dei viventi nel corso dell età x. Nell esempio delle tredicenni, il valore di L 13 = può anche essere considerato il numero medio di bambine viventi a 13 anni, del gruppo iniziale. Pertanto considerando le L x di tutte le età da 0 a ω si avrebbe una popolazione (immaginaria) che ha ad ogni età L x persone e come totale T 0. Questa particolare popolazione è detta Popolazione stazionaria associata alla tavola di mortalità (quindi ogni tavola ha una Popolazione stazionaria ad essa associata), ed è piuttosto importante, perché ha una struttura per età che dipende soltanto dalla mortalità della Tavola. Tornando a T x, il rapporto tra T x, anni che si vivranno nel gruppo a partire dall età x fino all estinzione, ed l x, persone che li vivranno, dà il numero medio di anni che ciascuno degli l x individui sopravviventi al compleanno x vivrà ancora nel gruppo prima di uscirne; esso è indicato con e x, ed è chiamato speranza di vita 69, o vita media residua, all età x: e x = T x / l x. Nel nostro esempio, e 13 = T 13 / l 13 = 50,68 rappresenta gli anni che, in media, resterebbero da vivere alle sopravviventi a 13 anni (che morirebbero dunque, sempre in media, a 63,68 anni). Di tutti i valori e x, uno è il più importante perché, in un certo senso, sintetizza l intera tavola di mortalità, ed è il valore per l età 0, chiamato speranza di vita alla nascita, o vita media residua alla nascita, o meglio ancora durata media della vita: e 0 = T 0 / l Se T x è la somma di L x a partire dall età x, essa corrisponde nel grafico della funzione l x alla parte di area sotto la curva a destra del compleanno x fino a ω, mentre T 0 è l intera area sotto la curva di l x. 69 Speranza è la cattiva traduzione dell inglese expectation, qui nel significato statistico di media, ed è forse meglio tradotta allora dall espressione aspettativa (di vita). 60

19 Infatti esso indica il numero di anni che, in media, ciascun individuo del gruppo iniziale vivrà prima di uscire, ed ha chiaramente una stretta relazione inversa con le probabilità di morte; è dunque un indicatore della sopravvivenza media del gruppo 70. Si può dimostrare che e 0 è ottenibile anche come media ponderata delle età di morte degli l 0 individui iniziali, con pesi d x ; infatti gli l 0 moriranno alcuni a 0 anni (d 0 ), altri a 1 anno (d 1 ), altri a 2 anni (d 2 ), eccetera, fino a d ω, per cui si può scrivere 71 : e 0 = (0,5 d 0 + 1,5 d 1 + 2,5 d 2 + ) / (d 0 + d 1 + d 2 + ) = Σ x (x+½) d x / l 0. Nella tavola del nostro esempio risultava una durata media della vita di 38,76 anni. Si sottolinea il fatto che si tratta di una media, con i difetti (non tutti muoiono a questa età: ci sono morti bambini e morti centenari) e i pregi (è utile per confronti tra situazioni diverse) delle medie Coorti e contemporanei. Riprendiamo la Tavole di mortalità delle donne italiane nate nel Essa è stata costruita, si sarà capito, seguendo la vita della suddetta generazione, partendo quindi dalle probabilità di morte q 0 nel 1872, q 1 nel 1873, q 2 nel 1874, e così via, per un centinaio di anni e oltre, fino alla completa estinzione del contingente. Queste probabilità di morte si trovano sinteticamente indicate, ed evidenziate con un riquadro, nello schema della tabella 22, lungo la diagonale. E analogamente, per altre generazioni di donne, si dovranno seguire serie di q x situate in diagonale, in modo parallelo, nello schema, alla coorte Questo modo di costruire Tavole di mortalità è piuttosto laborioso, ma soprattutto presenta qualche inconveniente, alcuni legati alla reperibilità dei dati, cui è già stato accennato, altri dipendenti proprio dalla lunghezza della serie dei q x che occorre mettere insieme. L ultima donna della coorte 1972 è deceduta nel 1980, a 108 anni: quindi solo da questo anno la storia della coorte era completa, ed è stato possibile costruire l intera Tavola. In realtà, le Tavole che i produttori di Statistiche ufficiali costruiscono e pubblicano non sono fatte in questo modo, essendo tutte riferite ad uno o più anni di calendario. La procedura per arrivare a questo tipo di Tavole è molto semplice, e analoga a quella vista per le tavole delle generazioni. Si tratta di costruire la Tavola usando probabilità di morte riferite ad un anno di calendario: q 0 t, q 1 t, q 2 t,, q 29 t, q 30 t, q 31 t,, q 100 t, q 101 t,.. q ω t, quelle che nello schema si trovano in una stessa colonna (nello schema sono evidenziate le probabilità di morte riferite all anno 1975). Trovate le probabilità di morte dei contemporanei, la procedura di costruzione delle Tavole è poi del tutto simile a quella già vista: dalle q x e da l 0 = si costruiscono in modo iterativo i valori delle funzioni d x e l x ; infine si calcolano i valori delle altre funzioni L x, T x, e x. 70 Altri indicatori simili, qui non trattati, sono il valore mediano, indicato con π 0, che esprime gli anni che devono passare perché il gruppo si riduca esattamente a metà, e il valore modale, ossia l età alla quale su ha il maggior numero di decessi d x (esclusa eventualmente l età 0). 71 I morti all età 1 muoiono in media a 1,5 anni, quelli all età 2 a 2,5 anni, quelli all età 3 a 3,5 anni, eccetera; per l età 0 è solo per semplicità che si usa 0,5 in luogo della più precisa età media, dipendente dal livello di mortalità infantile, che sarebbe comunque inferiore a 0,5. 61

20 Tabella 22. Probabilità di morte, coorti e contemporanei Età x q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q 104 ω 1975 q ω 62

21 Il modo di costruzione è analogo, ma è diverso evidentemente il significato delle Tavole di coorti e di quelle di contemporanei. Se le prime descrivono la mortalità di una effettiva coorte di persone, nate nello stesso anno, che possono aver incrociato nella loro vita a certe età certi particolari eventi (epidemie, guerre, crisi economiche, anni di benessere, ecc.), nelle seconde la mortalità verificatasi alle varie età nello stesso anno o periodo viene proiettata in una coorte immaginaria: questo gruppo di persone avrebbe dunque sperimentato nella sua vita, alle diverse età, la mortalità che in realtà si è verificata in un solo anno. L effetto è di vedere proiettata appunto in una sola generazione la mortalità di un anno, che riflette dunque le condizioni di prevenzione, assistenza, cura, ricerca nel campo delle medicina, ecc. del momento. Si riporta a titolo di esempio un estratto di una Tavola di mortalità recente; si tratta della popolazione femminile del Veneto, anno 2012 (tabella 23, tratta dal sito web demo.istat.it, pagina Tavole di Mortalità): vengono riprodotte la parte iniziale, fino all età 15, e quella finale, dall età 98 alla fine 30. Costruita nel modo appena descritto, essa riporta le principali funzioni, tranne T x, sostituita da una probabilità prospettiva di sopravvivenza P x, utile per proiezioni. La mortalità descritta da questa tavola è molto bassa, con una durata media della vita pari a oltre 85 anni. È il caso di ribadire che questo risultato è ottenuto proiettando su una ipotetica generazione di donne le probabilità di morte riscontrate nell anno 2012 tra le donne residenti nel Veneto. La tabella 24 riporta la vita media alla nascita in alcuni degli anni precedenti Tavole ridotte. Le probabilità di morte necessarie per costruire la tavola di mortalità, che, disponendo solo dei decessi per età M x e della popolazione media all età x,, abbiamo suggerito di ottenere con q x M x / ( + ½ M x ), possono essere ricavate, disponendo già dei tassi di mortalità per età m x = M x /, con la seguente espressione, ad essa equivalente 31 : q x 2 m x / (2 + m x ), che si basa sulla stessa ipotesi di equidistribuzione dei decessi nel corso dell età x. Poiché spesso i tassi di mortalità sono costruiti per classi di età, si può usare la corrispondente espressione, valida per classi quinquennali: 5q x 2 5 m x,x+4 / (2 + 5 m x, x+4 ), 30 In questa, come in tutte le tavole dell Istat, le probabilità di morte alle età anziane sono ottenute interpolando con opportune funzioni le q x ottenute sulle popolazioni reali da una certa età in su (ad e- sempio, 90 anni e oltre); questo perché tali probabilità, calcolate su pochissimi casi, potrebbero essere molto variabili e quindi non sufficientemente rappresentative. 31 Questa si ottiene, con facili passaggi, dividendo numeratore e denominatore per e poi moltiplicando ancora numeratore e denominatore per 2. 63

22 Tabella 23. Tavola di mortalità della popolazione italiana, Regione Veneto, Femmine, anno 2012 Età Sopravviventi Decessi Probabilità di morte (per mille) Anni vissuti Probabilità prospettive di sopravvivenza Speranza di vita , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Fonte: Istat, sito web pagina Tavole di mortalità. 64