Le Botteghe dell Insegnare MATEMATICA. La matematica è un attività (Hans Freudenthal) una provocazione per la didattica

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1 Le Botteghe dell Insegnare MATEMATICA La matematica è un attività (Hans Freudenthal) una provocazione per la didattica percorso

2 Bottega di Matematica 2014 La matematica è un attività (Hans Freudenthal): una provocazione per la didattica Insegniamo le definizioni o a definire? I formalismi o a formalizzare? Le dimostrazioni o a dimostrare? Confrontiamoci Le Botteghe dell Insegnare Bologna, 18 ottobre 2014 responsabile: Grazia Cotroni graziacotroni@hotmail.com

3 Se è un attività Ci mettiamo subito al lavoro Ci dividiamo in gruppi: PRIMO GRUPPO: primaria con Grazia Cotroni SECONDO GRUPPO: primo grado con Benedetta Pacini ed Elisa Zaccherini TERZO GRUPPO: Biennio con Susanna Giacometti QUARTO GRUPPO: Triennio con Ermanno Ramazzina 3

4 Gruppo Primaria Alla scoperta dei numeri giocando con le pedine 4

5 Gruppi primo e secondo grado (si distribuisce a tutti i partecipanti la fotocopia della figura seguente) 5

6 Cosa sorprendiamo guardando questa figura? 6

7 Dimostrazione di Garfield 7

8 Cosa è accaduto? La verità di una relazione non si possiede, la si sorprende. La verità ti viene incontro. In questa bottega vogliamo parlare di METODO, cioè di che cosa significa insegnare matematica. Lavorandoci ci siamo accorti che il metodo non poteva essere una strategia, non è così che accade la conoscenza. Esempio di Maria che incomincia a nuotare. C è un istante in cui accade qualcosa, questo è il metodo. Cosa possiamo fare noi? Essere tesi a ciò che sta per accadere. L importante è guardare. Ecco perché in questa bottega cercheremo di allenarci. 8

9 Un altro puzzle 10

10 Un altro puzzle 12

11 Dividiamo il quadrato in questo modo......poi ritagliamo e ricomponiamo. 13

12 Se si ricostruisce un rettangolo sembra che un quadratino scompaia ma non è così! 14

13 Fare il puzzle non basta occorre dimostrare 15

14 Dalla Cina 16

15 Dimostrazione di CHIU CHANG (nel trattato Chou Pei Suan Ching) Q1 = (a+b)2 T1= ab/2 Q 2 = c2 Q 1 Q 2 = 4 T1 (a+b)2 c2 = 2ab a2 + b2 +2ab -c2 = 2ab a 2 + b2 = c 2 17

16 Ancora dalla Cina...

17 Ancora puzzle e polvere di stelle 19

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19 Esercizi per casa per primo grado Dimostrazione di Perigal Dimostrazione puzzle stelle ed Esagoni Trovare 3 figure mute o 2 puzzle interessanti e inviarle a graziacotroni@hotmail.com entro il 1 dicembre. 21

20 Ancora puzzle e polvere di stelle

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22 Gruppo secondo grado Anche se divisi tra biennio e triennio i gruppi lavorano sulle stesse figure «mute». 24

23 Cosa sorprendi? 25

24 Dimostrazione 26

25 Ma possiamo anche dimostrare 27

26 Cosa sorprendi? 28

27 Come si costruisce il puzzle di Perigal Una volta disegnato il triangolo rettangolo sul quadrato del cateto maggiore si considera il centro del quadrato. Si prende la parallela all ipotenusa passante per il centro e la perpendicolare all ipotenusa passante per il centro.

28 F C O M G P b a A N c x y B

29 Ma P essendo il centro del quadrato (centro di simmetria) divide i segmenti OG e NL in due parti uguali tra loro tutte congruenti. Per il secondo criterio di congruenza dei quadrilateri essi sono tutti congruenti. Infine traslo. Devo dimostrare che all interno ho proprio il quadrato del cateto. Sicuramente è un quadrato perché gli angoli sono tutti retti e inoltre ogni lato è ottenuto sottraendo ad uno stesso lato dei quadrilateri congruenti uno stesso lato del quadrilatero.

30 «L essenziale è invisibile agli occhi» Non basta vedere con gli occhi in matematica è possibile vedere di più! È possibile vedere con il pensiero, cioè con la dimostrazione! 32

31 Cosa sorprendi? 33

32 Dimostrazione del teorema di Pitagora (dal libro I degli Elementi di Euclide) I triangoli ABG e EAK sono congruenti per il primo criterio: in particolare sono equivalenti; ABG è equivalente a metà del quadrato di lato AE (lato in comune e stessa altezza); EAK è equivalente a metà del rettangolo AKOT; per la transitiva dell equivalenza, il quadrato AEFG è equivalente al rettangolo AKOT; con un ragionamento analogo, si dimostra che il quadrato di lato BE è equivalente al rettangolo OMBT; Si conclude sommando tra loro i quadrati equivalenti e i rettangoli corrispondenti. 34

33 Esercizi per casa gruppo secondo grado Altre figure mute non per forza di Pitagora Ognuno di voi cerchi almeno 3 figure mute e le faccia con Geogebra. Inoltre invii le scannerizzazioni di ciò che lui ha sorpreso guardando quelle figure. Da fare entro il 1 dicembre e inviarle a graziacotroni@hotmail.com Rispondere alla domanda: quale dimostrazione ti è piaciuta di più e perché? 35

34 Qual è la dimostrazione che ti è piaciuta di più? Se ti è piaciuta di più una rispetto ad un altra è perché l hai sentita più corrispondente alla tua persona, e magari guardando quale ti è piaciuta di più puoi scoprire di più cosa ti piace e cosa ti corrisponde maggiormente. Puoi scoprire di più te! 36

35 La libertà in matematica Cosa abbiamo visto finora? Abbiamo visto più dimostrazioni del teorema di Pitagora e questo ci ha fatto notare che in matematica non c è un unica strada. Ognuno può scegliere la propria strada per arrivare alla verità. E ad un certo punto, in un istante, la verità accade. Questo è il metodo: Ci sei tu, con la tua strada, con la tua personalità, con la tua libertà, con il tuo sì: «Accetti o no la sfida del problema?» e poi in un certo istante qualcosa accade. La libertà è un legame, il legame con la verità. 37

36 Ognuno si trova in un preciso punto della realtà, della storia e dell esperienza, da cui vede le cose in una prospettiva che è solo sua, assolutamente unica. Certamente parziale, ma anche certamente vera. Dunque il contributo che viene da quel preciso punto di osservazione è essenziale per la conoscenza. Ecco perché ho bisogno dell altro. Senza l altro io non arrivo alla totalità. 38

37 Sintesi: il bene in matematica 1. Se la matematica è un attività la matematica sei tu, sei tu che la fai 2. La matematica ha un linguaggio universale, fa parte dell umano, di come è fatto il nostro pensiero 3. La verità non la possiedo: è data, occorre umiltà nel riconoscerla 4. C è libertà (non c è un unica strada, puoi scegliere la tua), la libertà è il legame con la verità 5. La strada dell altro non solo ti fa vedere un approccio diverso al problema, ma ti fa guardare la verità nella sua profondità (la matematica insegna a vedere l altro come ricchezza per sé) 39

38 Il bene in matematica 6. Dietro ogni singola figura o relazione c è un infinita ricchezza (In ogni singolo grumo della matematica puoi incontrare l infinito) 7. Spesso tramite dei modelli la matematica spiega la realtà o riesce a prevederne conseguenze (la matematica insegna a guardare la realtà e a chiedersi «perché?». Mi insegna ad essere curiosa) 8. La matematica rende caparbi perché insegna a non mollare di fronte alle sfide e ai problemi 9. Le regole, come le definizioni, non sono un imposizione: sono dei giudizi sull esperienza, sono delle conquiste. 10. Quando si scopre una dimostrazione o si afferra un perché il cuore è soddisfatto e questo è segno che siamo fatti per capire il senso. 40

39 Intervento di Paolo Toni Per la sintesi dell intervento di Paolo Toni cfr. Report Convention

40 Avvisi Articolo intervista a Paolo Toni sul sussidiario.net Libro di Paolo Toni «Dov è il cuore della matematica» Abbiamo ricevuto gli esercizi per casa facciamoli. Da inviare a graziacotroni@hotmail.com entro il 1 dicembre. Convegno: «La bottega di matematica: per condividere esperienze» sabato 31 gennaio/domenica 1 febbraio (a Pescara) Creattivamath: è stato diviso per medie e superiori. E possibile prenotare il kit all uscita. 42