I paradossi di Zenone

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1 I paradossi di Zenone F. Fabrizi - P. Pennestrì The Mascheroni CAD Team Liceo Scientifico Isaac Newton, Roma

2 Le fonti bibliografiche impiegate per conoscere il pensiero di Zenone sono Platone (nel dialogo Parmenide) ed Aristotele (Fisica). Lo scopo di Zenone Elea (ca. 490 a.c. ca. 430 a.c.) fu quello di difendere e sostenere, attraverso dei paradossi, il pensiero del suo maestro Parmenide dalle critiche degli altri filosofi.

3 Parmenide, il fondatore della Scuola Eleatica, rifiuta il pluralismo e la realtà di qualsiasi cambiamento. Per lui la realtà era indivisibile, la realtà era immutata e ciò che noi percepiamo sono solo delle illusioni. In risposta alle critiche rivolte a Parmenide, Zenone cerca di dimostrare che la negazione delle tesi di Parmenide porterebbe a delle conseguenze assurde. Sebbene sia oggetto di dibattito tra gli storici, sembrerebbe che Zenone si rivolga ai seguaci della dottrina Pitagorica.

4 Reductio ad absurdum Il metodo seguito da Zenone ebbe un importante impatto sul pensiero filosofico greco: Se gli argomenti a favore di una certa tesi sono logicamente validi, ma portano a conclusioni evidentemente errate, allora la tesi deve considerarsi falsa.

5 Il paradosso di Achille e la tartaruga Si immagini Achille che insegue una tartaruga. Sia: v A la velocità di Achille; v T = qv A la velocità della tartaruga, con 0 < q < 1; s 1, la distanza che separa inizialmente la tartaruga da Achille.

6 Dal punto di vista fisico, ammettendo che sia Achille che la tartaruga procedano a velocità costante, la conclusione è immediata: Achille raggiunge la tartaruga dopo un tempo t r tale che v A t r = s 1 + v T t r (1) ovvero t r = s 1 v A (1 q) e lo spazio percorso da Achille in quell istante vale s A = v A t r = s 1 1 q (2) (3)

7 Secondo Zenone, se scomponiamo il moto di Achille in fasi, Achille non riuscirà mai a raggiungere la tartaruga. Infatti, quando Achille avrà coperto la distanza s 1 in un tempo t 1 = s 1 v A, la tartaruga si sarà portata ad una distanza s 1 + s 2, ove s 2 = v T t 1 ; quando Achille avrà coperto la distanza s 2 in un tempo t 2 = s 2 v A, la tartaruga si sarà portata ad una distanza s 1 + s 2 + s 3, ove s 3 = v T t 2 ; quando Achille avrà coperto la distanza s 3 in un tempo t 3 = s 3 v A, la tartaruga si sarà portata ad una distanza s 1 + s 2 + s 3 + s 4, ove s 4 = v T t 3...

8 Seguendo il ragionamento di Zenone, Achille si avvicina sempre più alla tartaruga, ma non riesce a raggiungerla mai. Pertanto, la scomposizione spaziale dell evento descritto porta ad un risultato evidentemente errato.

9 Il paradosso di Achille e la tartaruga: Il punto di vista matematico Osserviamo che Zenone omette di precisare in maniera esatta i termini del problema. Ad esempio non fissa un termine massimo entro il quale la gara si deve concludere. Ai tempi di Zenone era opinione comune che una somma infinita di termini dovesse fornire necessariamente un risultato infinito. Dimostreremo adesso che, la formulazione matematica del problema di Zenone conduce ad una somma di numeri il cui risultato converge su un valore finito.

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11 Intervallo Distanza A-T Achille Tartaruga 1 s 1 s 1 s 1 q 2 s 1 q s 1 q s 1 q 2 3 s 1 q 2 s 1 q 2 s 1 q 3....

12 Serie geometrica S = s 1 + s 1 q + s 1 q (4) = s 1 q k = s 1 1 q (5) k=0

13 Argomenti contro il divenire Zenone impiegò anche altri argomenti per negare il movimento: Quello della Dicotomia Quello della Freccia

14 La Dicotomia Nel primo argomento si osserva che un corpo, per raggiungere una meta: Deve prima raggiungere la metà della strada che deve percorrere; Prima di raggiungere questa metà, deve raggiungere la metà di questa metà; Prima ancora la metà della metà della metà, e così all infinito Allora, dato che ogni grandezza ammette divisioni infinite, è impossibile percorrere una qualche grandezza in un tempo finito.

15 Il paradosso della freccia È opinione comune che la freccia si muova, in realtà è ferma. Infatti, in ciascuno degli istanti in cui è divisibile il tempo del volo, la freccia occupa uno spazio identico. Per comprendere tale affermazione, si immagini di riprendere il volo della freccia con una telecamera. La freccia apparirà fissa per ogni fotogramma. Tuttavia, ciò che occupa uno spazio identico è fermo, dunque la freccia, come è ferma in ciascuno degli istanti, così lo è anche nella totalità di essi.

16 Argomenti contro la pluralità Zenone afferma: Se le cose fossero molte,il loro numero sarebbe a un tempo finito e infinito. Sarebbero finite poiché non possono essere più di quante sono. Sarebbero infinite poiché tra due cose è presente sempre una terza. Di conseguenza se le cose sono molteplici significa chiudersi in una contraddizione. Un altra contraddizione che ci viene proposta da Zenone è la seguente: Ogni cosa è costituita da molte unità. Infatti se le unità non hanno grandezza, anche le cose non avranno grandezza, mentre se le cose sono composte da infinite unità avranno grandezze infinite.

17 Le risposte di Aristotele Aristotele fa una distinzione tra il piano del pensiero e quello della realtà. Infatti nella realtà esistono soltanto distanze finite, mentre l infinito è la possibilità di aumentare o diminuire indefinitamente una quantità data.

18 Bibliografia 1 http: // zenone_elea.php