AC7 La fotosfera delle stelle

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1 AC7 La fotosfera delle stelle Diffusione Thompson e Compton Diffusione classica da elettroni legati elasticamente Effetto fotoelettrico Classificazione dei processi di interazione delle radiazioni Concetto di fotosfera La fotosfera del sole e il limb darkening Equazione di Boltzmann Equazione di Saha Temperatura della fotosfera e spettri della luce delle stelle

2 Le interazioni della radiazione con la materia 1 Diffusione Thompson e Compton Si consideri un onda piana elettromagnetica E = E 0 cos ωt che interagisce con un elettrone libero. L accelerazione dell elettrone vale a = (ee/ m). La potenza diffusa dall elettrone, messo in oscillazione dal campo elettrico dell onda, vale W = e 2 a 2 / 6 πε 0 c 3 = (e 4 / 6 πε 0 c 3 ) E 2 L intensità associata all onda è data dal vettore di Poynting e vale E 2 = I / c ε 0 e perciò W = ( 8 π / 3 ) (e 2 / 4 πε 0 mc 2 ) 2 I = ( 8 π / 3 ) r 02 I dove la quantità r 0 = e 2 / 4 πε 0 mc 2 = m è detta raggio classico dell elettrone. Ora: W/hν = numero di fotoni irraggiati per unità di tempo dall elettrone I /hν = numero di fotoni che incidono sull elettrone nell unità di tempo e per unità di superficie (I /hν) σ = numero di fotoni che urtano l elettrone nell unità di tempo e ne vengono diffusi Perciò: W = I σ Τ dove σ Τ = ( 8 π / 3 ) r 02 è la sezione d urto del processo di diffusione che, nel caso specifico, prende il nome di sezione d urto Thompson ( dal cognome di chi per primo la ha calcolata ). E una sezione d urto dell ordine di m 2 tipica di tutti i processi elettromagnetici in cui sono coinvolti degli elettroni. La deduzione utilizza la fisica classica e cade pertanto quando ci si avvicina a valori di energia dei fotoni incidenti che si avvicinano o superano l energia a riposo dell elettrone. In tal caso la trattazione è più complessa e valgono le formule dell effetto Compton di cui l effetto Thompson rappresenta il limite per hν >> mc 2. La sezione d urto Compton è sempre minore della sezione d urto Thomson, e decresce progressivamente con il crescere dell energia. Nell effetto Compton i fotoni diffusi hanno energia minore dei fotoni incidenti.

3 Le interazioni della radiazione con la materia 2 Diffusione da elettroni legati Si consideri un onda piana elettromagnetica E = E 0 cos ωt che interagisce con un elettrone libero legato elasticamente da una forza di costante elastica k e di pulsazione risonante ω 0 = k/m. L equazione oraria è x = x 0 cos ωt con x 0 = e E 0 / m ( ω 2 ω 02 ). L accelerazione vale -e E 0 ω 2 / m (ω 2 ω 02 ). La potenza diffusa dall elettrone, messo in oscillazione dal campo elettrico dell onda, vale W = e 2 a 2 / 6 πε 0 c 3 = (e 4 ω 4 / 6 πε 0 c 3 (ω 2 ω 02 ) 2 ) E 2 L intensità associata all onda è data dal vettore di Poynting e vale I = E 2 / c ε 0 e perciò W = ( 8 π / 3 ) (e 2 / 4 πε 0 mc 2 ) 2 (ω 4 / (ω 2 ω 02 ) 2 I = ( 8 π / 3 ) r 02 (ω 4 / (ω 2 ω 02 ) 2 I Essendo W = I σ se ne ricava σ = σ T (ω 4 / (ω 2 ω 02 ) 2 Se si fosse introdotto anche un termine di smorzamento si sarebbe ottenuto σ = σ T (ω 4 / (ω 2 ω γ 2 ) 2 Per ω>>ω 0 la formula si riduce a σ = σ T. Per ω<<ω 0 la formula si riduce a σ = σ T (ω 4 / ω 04 ). ( il cielo è blu!!) Vicino alla risonanza ( vicino alle frequenze in cui l assorbimento è possibile ) la sezione d urto cresce notevolissimamente ed è limitata soltanto dal termine γ. E una trattazione puramente classica che non può descrivere compiutamente la risonanza attorno ad un livello ma permette di rendersi conto in modo semplice dell andamento delle sezioni d urto tipiche della diffusione da elettroni legati lontano dalla risonanza.

4 Le interazioni della radiazione con la materia 3 L effetto fotoelettrico L effetto fotoelettrico consiste nell estrazione di un elettrone da un atomo da parte del fotone incidente. Se l energia necessaria per estrarre l elettrone vale B, l energia cinetica dell elettrone estratto vale hν B. La sezione d urto relativa è ovviamente nulla per hν < B e scatta ad un valore massimo non appena si raggiunge la soglia hν = B. Al di la della soglia la sezione d urto diminuisce rapidamente con il crescere dell energia e, vicino alla soglia, le sezioni d urto sono tanto maggiori quanto minore e il numero atomico dell elemento considerato. Una approssimazione del valore della sezione d urto dell effetto fotoelettrico su un atomo, quando la ionizzazione della shell K e possibile, e data dalla formula approssimata: σ = 0 per ν < ν K σ = k / Z 2. (ν K / ν ) 3 per ν > ν K dove k e una costante pari a m 2, Z e il numero atomico dell elemento su cui avviene l effetto fotoelettrico, ν e la frequenza associata al fotone e ν K e la frequenza di soglia dell effetto fotoelettrico. In tal caso la ionizzazione delle altre shell e relativamente meno frequente ma non trascurabile. Nascono complicazioni a basse energie dovute alla possibile ionizzazione di sole shell di energia inferiore alla shell K e in tal caso occorre consultare le opportune tabelle. Nelle notazioni degli astronomi un atomo con tutti i suoi elettroni si indica con accanto il numero romano I, senza un elettrone con accanto il numero romano II, ecc. Il simbolo OV rappresenta dunque un atomo di ossigeno ionizzato quattro volte. Un elettrone libero può ricombinarsi con un atomo ionizzato emettendo uno o più fotoni in cascata.

5 Le interazioni della radiazione con la materia 4 Fenomeni di eccitazione e di diseccitazione Quando la radiazione ha la frequenza appropriata sono possibili fenomeni di eccitazione radiativa di livelli elettronici di un atomo e anche di livelli rotazionali, vibrazionali o magnetici di una molecola. In questo ultimo caso è perfettamente possibile una eccitazione composita, ad esempio l eccitazione di un livello elettronico e contemporaneamente di un livello rotazionale ( effetti tipo Raman ). Le sezioni d urto relative dipendono fortemente dal tipo di livello e di molecola che si studia ma, alla risonanza, sono molto più alte della sezione d urto per effetto Thompson e dei processi elettromagnetici simili. Si possono avere fenomeni di eccitazione anche di tipo collisionale quando, durante l urto di un atomo o di una molecola con un altra particella, l atomo o la molecola assorbono l energia sufficiente per eseguire la transizione. L entità del fenomeno dipende fortemente dal tipo di processo particolare che si studia e dall abbondanza relativa di particelle che possono cedere l energia necessaria alla transizione. Una volta che un sistema atomico è stato eccitato esso tende a tornare allo stato fondamentale emettendo il di più di energia o sotto forma di fotone ( diseccitazione radiativa ) o cedendola ad altre particelle durante una interazione ( diseccitazione collisionale ). Gli spettri sono tipicamente spettri a righe. Il tempo di permanenza nello stato eccitato è cortissimo ( 10-8 s nell ottico ) se la transizione è permessa (transizioni di dipolo elettrico) ma può diventare molto lungo per le altre transizioni ( la transizione di dipolo magnetico che genera la riga da 21 cm dell idrogeno ha una vita media di diseccitazione radiativa di qualche milione di anni )

6 Classificazione dei processi che coinvolgono la radiazioni I fenomeni basilari sono: L eccitazione e il suo inverso cioè la diseccitazione: i fenomeni sono di tipo bound-bound La fotoionizzazione e il suo inverso cioè la ricombinazione: i fenomeni sono di tipo boundfree oppure free-bound La bremsstrahlung e il suo inverso cioè l assorbimento free-free: i fenomeni sono di tipo free-free I fenomeni si dicono di tipo termico se sono di tipo spontaneo-collisionale e se, come spesso avviene, per la definizione della loro importanza sono determinanti le leggi di distribuzione termica di una struttura sui suoi possibili livelli (distribuzione di Boltzmann) e nei suoi possibili stati di ionizzazione ( distribuzione di Saha ) Sono detti di tipo termico anche gli scattering tipo Thompson o Compton nonché i fenomeni di fluorescenza e lo scattering Rayleigh ( assorbimento di un fotone da parte di una struttura e riemissione pressochè immediata del fotone ) Sono invece indicati come processi non termici principalmente le emissioni di sincrotrone e le emissioni per effetto maser

7 Concetto di fotosfera 1 La parte più esterna del sole viene tradizionalmente considerata suddivisa, procedendo dall interno verso l esterno, in fotosfera, cromosfera e corona La fotosfera è la regione della stella in cui ha origine tutta la luce che noi percepiamo come proveniente dalla stella. Introduciamo il concetto di fotosfera in modo estremamente schematico. Lo faremo studiando il percorso di un raggio di luce che dall esterno penetri nell atmosfera della stella. La differenza rispetto ai raggi di luce che provengono dall esterno della stella è che essi si propagano in un mezzo che, da una parte assorbe le radiazioni, ma che contemporaneamente ne emette. Il concetto di fotosfera ne risulta ben chiarito e i risultati numerici sono molto prossimi ai valori reali. Dal momento che introdurremo la sezione d urto di interazione dei fotoni con la materia e che essa dipende dalla frequenza, il risultato che otterremo, a rigore, varrebbe per una sola frequenza. Tuttavia l approssimazione di considerare costante la sezione d urto, almeno sul sole, è valida con una approssimazione dell ordine del 40%. Si consideri un asse z che parte dall interno della stella da una origine O scelta a piacere e che raggiunge l osservatore. Si supponga inoltre di misurare la profondità ottica a partire dall osservatore come funzione della quota z sopra il punto O. Si ha τ ( z ) = n ( z ) σ dz dove l integrale è esteso dall osservatore ( cioè dall infinito ) a z, n ( z ) è la densità numerica di assorbitori/diffusori di luce a quota z e σ è la sezione d urto appropriata. Per stimare n ( z ) faremo l ipotesi che la regione in cui prevalentemente avviene l assorbimento/diffusione della luce sia una atmosfera stellare a temperatura costante ( è vero nel sole con un approssimazione del 10% ), a composizione unica e costante ( di solito è idrogeno con poco elio e tracce di altri costituenti ) e che si possa assumere sia una regione dove l accelerazione locale di gravità g è costante ( ipotesi sempre molto ben verificata ). L atmosfera stellare in tal caso è un atmosfera isoterma in cui l equilibrio è fissato dalla costanza della somma dell energia gravitazionale ( per esempio di una mole M di gas ) e dell energia diffusiva ( il potenziale chimico per una mole di gas ).

8 Concetto di fotosfera 2 Deve essere costante: M g z + RT ln n ( z ) e ciò porta alla relazione: n ( z ) = n ( 0 ) exp ( - M g z / R T ). Sostituendo si ha: τ ( z ) = ( n ( 0 ) σ R T / M g ) exp ( - M g z / R T ). E invertendo la relazione: z = - ( R T / M g ) ln ( M g τ ( z ) / n ( 0 ) σ R T ) Si può adesso ragionare in questo modo: fino a t ( z ) = 0.1 il materiale all esterno della stella è molto trasparente e lascia passare bene la luce che proviene dal materiale sottostante. La quantità di materia nello strato che produce t(z) = 0.1 è approssimativamente solo il 10% di quella contenuta nello strato che produce t(z) = 1. Dal momento che la luce proveniente dalla materia nello strato che produce t(z) =1 arriva in larga misura ad un osservatore esterno, la luce prodotta dal materiale tra t(z) =0.1 e t(z) =1 sarà preponderante rispetto a quella prodotta dal materiale contenuto nello strato che produce t( z ) = 0.1 e pertanto la luce prodotta da quest ultimo sarà praticamente invisibile sullo sfondo dell altra. Oltre t ( z ) = 1 i raggi di luce provenienti da parti interne della stella non possono raggiungere direttamente il nostro occhio perché è praticamente certo che essi verranno diffusi oppure assorbiti e poi riemessi. Dunque ciò che osserva l occhio di chi guarda una stella è solo la luce che grosso modo proviene dal materiale compreso tra t ( z ) = 0.1 e t ( z ) = 1. E la fotosfera della stella. L ordine di grandezza dello spessore F della fotosfera con il modello prima abbozzato risulta essere dato da F = ( RT / M g ) ln 10 Applicando il modello ad una atmosfera di idrogeno a 5700 K sul sole ( g = G M / r 2 = 270 m/s 2 ) si ha F = 400 km Tutto il sole ha un raggio di km e noi vediamo uno spessore di km! Si osservi, a questo punto che anche se si selezionano valori limite diversi da t(z) = 0.1 e t(z) = 1, per la dipendenza dal logaritmo del loro rapporto, il risultato non cambia granchè.

9 Dati sulla fotosfera e sulla cromosfera del sole

10 Dati relativi alla fotosfera solare

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12 Lo spettro solare e la sezione d urto relativa per l interazione dominante nella fotosfera del sole Lo spettro continuo del sole è dovuto in larga misura alle interazioni: H + e - H - + γ reazione bound-free e - + γ e - + γ reazione free-free L energia del γ della prima reazione è pari a 0.75 ev e dunque ben accessibile a 5700K. Durante le eclissi solari è possibile osservare righe di H, He ( che qui è stato osservato per la prima volta), Ca e Fe emesse dalla cromosfera e dalla corona. Queste ultime emettono anche robustamente delle microonde.

13 Equilibrio delle eccitazioni (equazione di Boltzmann) A temperatura T il rapporto tra il numero di strutture in stato A e il numero di strutture in stato B e dato da N A g A = exp [ ( E A E B ) / kt ] N B g B dove le g sono le molteplicita dei livelli ed E le loro energie. Equilibrio delle ionizzazioni ( equazione di Saha ) A temperatura T costante il prodotto della densita numerica elettronica per la densita numerica di atomi di una data specie ionizzati n+1 volte diviso per la densita numerica di atomi ionizzati n volte e dato da n r+1 n e U r+1 = 2 (2pm e kt/h 2 ) 1.5 exp [ I r / kt ] n r U r dove le U sono le funzioni di partizione dipendenti dalla temperatura dell atomo ionizzato r ed r+1 volte, I r e l energia necessaria per far passare l atomo dal grado di ionizzazione n al grado di ionizzazione n+1 e la somma degli n i deve essere costante e pari al numero totale di atomi di quella specie. E a tutti gli effetti una legge di azione di massa per la reazione: atomo ionizzato i volte atomo ionizzato i+1 volte + elettrone La dimostrazione per solo idrogeno e data di seguito.

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15 Gli spettri della luce emessa dalle stelle 1 Poiché la luce attorno alla regione del visibile che arriva da una stella ha origine in uno strato molto sottile della superficie stellare essa porta informazioni circa la temperatura, la composizione, la pressione e, in generale, sui processi fisici che avvengono in tale strato superficiale. Una notevole quantità di informazione si ricava dalla analisi delle righe dello spettro. Infatti: - la temperatura superficiale influenza direttamente il broadening termico delle righe - la temperatura superficiale determina il tipo e l intensità delle righe che vengono emesse. Per capire il concetto analizziamo il caso più semplice, cioè l assorbimento delle righe della serie Balmer, in particolare la riga Balmer a che ha un energia pari a 1.88 ev e che viene emessa nella transizione dal secondo livello eccitato a ev verso il primo livello eccitato a ev. L equazione di Boltzmann prescrive che il rapporto N 2 /N 1 tra atomi che si trovano nel primo stato eccitato, e sono quindi in condizione di assorbire le Balmer, ed atomi che si trovano nello stato fondamentale sia dato da f(t) = ( g 2 /g 1 ). e ev/ kt g 2 /g 1 essendo il rapporto tra le molteplicità dei due livelli Il termine assolutamente dominante è l esponenziale e quindi si capisce che non possono comparire righe di assorbimento della serie Balmer fino a quando la temperatura non consente una ragionevole popolazione del primo livello eccitato e una ragionevole emissione dal secondo livello eccitato. Tuttavia non bisogna dimenticare che se si alza molto la temperatura, tutti i livelli vengono popolati e molti atomi vengono ionizzati. La ionizzazione viene controllata dalla legge di Saha la quale prescrive che il rapporto N + /N a tra il numero di atomi ionizzati e il numero di atomi non ionizzati, essendo per l idrogeno ne = N i, deve essere proporzionale a g(t) = A. T 1.5. e ev/ kt / N i.

16 Gli spettri della luce emessa dalle stelle 2 Di nuovo il termine è dominato da un esponenziale, non troppo diverso dal precedente, il cui effetto è quello di spopolare gli stati legati dell idrogeno. Si tenga conto del fatto che N + + N a = N = numero totale di protoni e di più che, almeno fino ad una temperatura kt* 10 ev vale la relazione N 2 <<N 1 ~ N a Con tali approssimazioni si può scrivere: N 2 / N ~ f(t) / ( 1 + g(t) ). Le funzioni f(t), g(t), N 2 /N sono rappresentate in figura. Viene così chiaramente giustificato il fatto che le righe della serie Balmer compaiano negli spettri stellari quando la corrispondente temperatura superficiale delle stelle si aggira intorno ai K. L unione delle equazioni di Boltzmann e di Saha, insieme ai valori dei livelli dei vari elementi, giustifica la comparsa di tutte le righe indicate insieme ai principi di classificazione spettrale

17 Le righe negli spettri stellari Dovrebbe essere sufficientemente chiaro a questo punto la lettura del grafico sottostante che fornisce la strenght delle principali righe di assorbimento negli spettri stellari La strenght di una riga di assorbimento è definita come la larghezza di un rettangolo che abbia L altezza dello spettro continuo nei punti attorno alla zona in cui è presente la riga Un area identica a quella scavata nello spettro continuo dalla riga

18 Esercizi 1) Si stimino, utilizzando i dati forniti negli appunti, i rapporti tra numero di atomi di idrogeno a) nello stato fondamentale, b) nel primo stato eccitato, c) ionizzati, nella fotosfera di Sirio ( K ). 2) A quale temperatura la popolazione di atomi di idrogeno nello stato fondamentale è doppia della popolazione nel primo stato eccitato ( trascurando eventuali diversità dovute alla diversità delle relative molteplicità )? 3) Un gas di elio si trova a K. Si calcoli il rapporto tra elio ionizzato ed atomico (E ion = 24.5 ev) 4) Si assuma che la temperatura e la composizione di una atmosfera stellare siano sostanzialmente costanti. a) si dimostri che la densità varia in modo esponenziale; b) si calcoli la pressione presente nella fotosfera se T = 8000 K, l atmosfera è fatta prevalentemente di idrogeno e la sezione d urto della radiazione con la materia vale all incirca cm 2. 5) Si consideri una sfera di raggio R, costituita di materiale in cui la luce si propaga venendo assorbita con una data lunghezza di attenuazione λ. Si consideri ancora un fascio di rette parallele che intersecano la sfera e che passano ad una distanza r dal centro di essa. Si scriva l espressione che da la profondità ottica τ della sfera al variare di r. Si costruisca poi la derivata dτ/dr e la si usi per spiegare come mai il bordo delle stelle, e in particolare quello del sole, appaiano così netti. 6) La corona solare è un insieme estremamente tenue di materiale che si estende attorno al sole e che si trova a temperature comprese tra 1 e 2 milioni di gradi in condizioni di quiete solare. Si assuma che la corona sia costituita di idrogeno e se ne stimi l estensione cosiderando che la sua espansione è limitata dalla attrazione gravitazionale del sole. 7) Nella corona solare si trovano anche atomi di ferro multiplamente ionizzati fino ad Fe XVI. FeI ed FeII emettono una riga rispettivamente a nm e nm. Si stimi l abbondanza relativa dei due tipi di Fe nella cromosfera a T = 8000 K e nella corona a T = 10 6 K. 8) Si confronti la densità di energia nella corona ( 10 6 K, kg/m 3 ) con la densità di energia nella fotosfera ( 6000 K, 10-4 kg/m 3 ).