Congettura su un possibile spettrometro matematico. probabilistico per velocizzare la fattorizzazione

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1 Congettura su un possibile spettrometro matematico probabilistico per velocizzare la fattorizzazione Gruppo Eratostene Abstract In this paper we show our conjecture about mathematical spettroscopy able to speed up factoring of N = p*q, Riassunto In questo lavoro esporremo una nostra breve congettura su un possibile spettroscopio matematico probabilistico per velocizzare la fattorizzazione ( il concetto di spettrometro, o più esattamente spettroscopio matematico è stato elaborato dal prof. Marcus du Sautoy nel suo libro L enigma dei numeri primi, Rizzoli (Nota finale), e da noi ora ripreso per la nostra congettura) Speriamo e cercheremo di dimostrare in futuro quella che qui 1

2 chiameremo brevemente congettura della percentuale di n,d = N in cui bisogna cercare il fattore principale p (primo o composto), più o meno prossimo al valore reale di p, con buone probabilità di trovarcelo. Nel suo libro di cui sopra, Marcus du Sautoy lamentava l assenza di uno spettroscopio matematico in grado di trovare p di p*q = N, analogamente a come i chimici hanno già il loro bravo spettroscopio in grado di determinare quali elementi chimici compongono la sostanza analizzata. Probabilmente si riferiva ad uno spettroscopio matematico deterministico, che possa sostituire facilmente la notoriamente lunga (per N molto grandi) fattorizzazione a forza bruta (dividere N per tutti i numeri primi da 2 ad n = N, con N = p*q nel caso più semplice (due soli fattori)). Tale spettroscopio deterministico forse in realtà non esiste, vista la già nota indisciplina dei numeri primi nella loro successione e distribuzione, quest ultima in parte regolata dalle stime logaritmiche di π(n), dalla funzione zeta di Riemann, 2

3 ecc. Di recente però abbiamo dimostrata la congettura di Cramer Shank (Rif.1); ora abbiamo la certezza che dato un numero primo pn, il numero primo successivo pn+1 si trova sicuramente nell intervallo pn + (ln pn) 2. Uno spettrometro matematico (termine che preferiamo a spettroscopio) probabilistico, secondo la nostra congettura, sarebbe possibile: ci indicherebbe una più o meno piccola porzione di n = N in cui cercare il valore reale di p, con ottime probabilità di trovarlo, senza bisogno di esplorare le rimanenti porzioni di n. Per cominciare, occorrerebbe trovare un numero probabile p prossimo al valore di p e cercare questo valore in questa zona, con tutto l armamentario algoritmico che già possediamo; e quindi trascurando le altre zone, con notevole riduzione dei tempi di calcolo, notoriamente molto lunghi per N molto grandi. E qui veniamo finalmente alla nostra congettura: il nostro 3

4 spettrometro matematico probabilistico potrebbe essere costituito, sebbene per il momento solo in casi particolari già individuati, dalla semplice parte decimale della radice quadrata di n,d = N, dove d (parte decimale) sono le sole due cifre dopo la virgola. Moltiplicando d per 100, abbiamo, in tali casi, la percentuale di n in cui trovare p, e poi p reale nelle sue vicinanze. Facciamo qualche semplice esempio pratico: poniamo N = Faremo finta di non sapere che = 127*229, poiché è un numero piccolo e facilmente fattorizzabile; l utilità della congettura vale ovviamente per N molto grandi, ma appartenenti alla stessa casistica, cioè con rapporto q/p 2, in questo caso 229/127=1,803. Avremo che: n = N = 170,53 = ; d = 0,53; 0,53*100 = 53 = 53% di n ; 170/100 = 1,7 = 1% di n =1% di 170 p = 1,7*53 = 90,1 90, o più semplicemente170*0,53 = 90,1 90 4

5 quindi, p p reale ; cercando vicino a 90, e si trova =127 = p reale, con 37/1,7 21,76 % di n esplorato, eliminando tutti i numeri primi inferiori a 90 ( 53% di n, e = 43 25,29 25% di n da 127 a 170, e quindi = 78% di non esplorato). Non è ancora molto, ma nemmeno poco. Altro esempio particolare (molto frequente) per N = (53*101) = n = = 73,16 dove d = 0,16; ora però la percentuale approssimativa è = 84, infatti p = 73*0,84 = 61,32 53, in questo caso p superiore a p reale anziché inferiore come nel caso precedente. Quindi la percentuale approssimativa utile è p = 100* 0,d oppure, come in altri casi simili, p = 100*(1 0,d) Ma, a volte è anche una media aritmetica tra p e p, oppure una media aritmetica tra n,d e p. Infine, per p circa la metà di n, la parte decimale 0,d si aggira su 0,50, il che significa che p p p reale, con tutti e tre i numeri 5

6 nella parte centrale di n,d = N. Queste sono le pochissime regolarità emerse dal caos apparente se si considera 100* 0,d come vera percentuale di n in cui si possa trovare p. Dimostrando la congettura e poi sfruttando le suddette regolarità (valide per il momento solo per i prodotti di numeri gemelli o molto vicini tra loro), si può arrivare ad uno spettroscopio più completo e attendibile. Un altro esempio per N con molti fattori: N = ( = 2 3 * 5 3 ). n = = 31,62, 0,d = 62 62% p 31*0,62 = 19,22 20 = p = 2 2 * 5 fattore principale di 1000, infatti 1000/20 = 50, con rapporto 50/20 = 2,5 e quindi rientra nella casistica (q/p 2). Ma anche = 38, e anche il 38% di 31, uguale a 11,78, è prossimo a 10, un altro fattore composto di Fattore principale p è il gruppo di piccoli fattori di N il cui prodotto è più vicino ad n, o uno dei più vicini (in questo caso è 6

7 20, il più vicino a n = 31; ma anche 25 è minore di 31, però il 62% di 31 è 19,22 cioè circa 20, e quindi più attendibile) in modo da rientrare nella casistica che risponde bene alla nostra congettura. Altro esempio di N con molti fattori: N = 360 = 2 3 * 3 2 * 5, n = 360 = 18,97 L alto valore di d, (0,97), indica una piccola differenza tra q e p (vedi caso successivo sui numeri gemelli), infatti 360 =18*20, con = 2, come per i numeri gemelli. Usando lo spettrometro matematico, abbiamo p = 18*0,97=17,46 18 = 2*3 2 ((gruppetto di fattori di 360 il cui prodotto, 18, è minore di n,d = 18,97); se invece consideriamo interamente n, abbiamo 18,97*0,97 = 18,40 18, avendo in ogni caso un valore molto prossimo a p = 18. Questo ancora rudimentale spettrometro matematico funziona bene con i prodotti tra due numeri gemelli, nei quali la radice quadrata ha una parte decimale molto alta, cioè di tipo 0,99 Per esempio, per alcune coppie : 7

8 1) N = 11*13 = 143; n,d = 143 = 11,95 quindi p il 95% di 11 p = 11*0,95= 10, ) N = 59*61 = 3599; n,d = 3599 = 59, , p 59*0,99 = 58,41 59 = p reale 3) N = 101*103 = ; n,d = = 101,99509 p 101*0,99 = 99, per una coppia di gemelli ancora più grande: 4) N = 12161*12163 = ;, n,d = = = 12161, p = 12161*0,9999 = = p (più grande è la coppia di gemelli, più cifre 9 ci sono nella parte decimale di n). Inoltre, bisogna tenerne conto nella percentuale per avere risultati più precisi; infatti, se si calcola p con sole due cifre 9, abbiamo 12161*0,99 = 12039, inferiore a di venti unità. Un solo esempio per un numero RSA che rientra nella nostra casistica (parte decimale d maggiore di 0,50), per la quale la congettura sembra funzionare: 8

9 N= RSA(120) = (dalla voce Numeri RSA di Wikipedia RSA-120 RSA-120 è stato fattorizzato nel giugno 1993 da Thomas Denny, Bruce A. Dodson, Arjen K. Lenstra, e Mark S. Manasse. Il calcolo ha richiesto circa tre mesi. [6] La fattorizzazione di RSA-120 è la seguente: RSA-120 = RSA-120 = Poiché la radice quadrata di 2270 (le prime quattro cifre, poiché 120 è un numero pari) è circa: 47,64, il 64% di 47; 47*0,64=30,08 = p, quindi p, in proporzione, è un numero primo prossimo a 3008 seguito da 56 cifre = 120/2 4, poiché la radice quadrata è formata in genere da c/2 oppure c/2 +1 cifre); infatti il fattore p (evidenziato in rosso, e in blu il fattore q) è relativamente prossimo a 3008 seguito da 56 cifre: abbiamo risparmiato il tempo di calcolo per tutti i numeri primi da 3 a 3008 ; ed anche i fattorizzatori Thomas Denny et al. lo avrebbero risparmiato nel 1993 se avessero conosciuto la nostra congettura e/o una sua possibile dimostrazione. Un risultato addirittura migliore si ottiene se si considerano le sole prime due cifre di RSA -120, e cioè 22; poiché 22 = 4,69 9

10 e 4,69*0,69 = 3,2361 = p, e quindi p reale sarebbe prossimo a seguito da 55 cifre, e infatti è vicino al valore reale 3274 seguito da 56 cifre (vedi il fattore p di cui sopra nella citazione di Wikipedia). Una semplice previsione per RSA 420, non ancora fattorizzato, usando la nostra congettura: da Wikipedia, Numeri RSA: RSA-420 RSA-420 non è ancora stato fattorizzato. RSA-420 = Poiché le prime quattro cifre sono 2091, e 2091= 45,72 e con parte decimale 0,72 molto vicina alla parte decimale reale, (e quindi rientra nella casistica prevista dalla congettura) abbiamo p =45,72*0,72 = 32,91, e quindi p 3291 seguito da =116 cifre, e q = N/p = 2091/32,91 = 63, seguito da 116 cifre. Infatti 3291 *6353 = molto 10

11 vicino a RSA 420 cifre. Ne riparleremo quando il numero RSA sarà finalmente fattorizzato, per confermare o meno la nostra previsione approssimativa su p e q. Conclusione Non rimane ora che dimostrare la nostra congettura, per farvi rientrare il maggior numero di casi utili, per esempio alcuni numeri RSA la cui radice quadrata sia maggiore di 0,50. Invitiamo i matematici eventualmente interessati a questa dimostrazione ( che potrebbe far entrare il problema della fattorizzazione veloce tra i problemi P, come i test di primalità che già lo sono, per esempio il test indiano AKS). Anche noi ovviamente tenteremo tale dimostrazione, che potrebbe anche non avere bisogno della dimostrazione dell ipotesi di Riemann (RH) come invece molti si aspetterebbero, collegando la distribuzione dei numeri primi con la fattorizzazione dei numeri composti (vedi Nota finale). La RH riguarda infatti soltanto la distribuzione dei numeri primi singoli, e non, almeno direttamente, quella dei fattori dei numeri composti. Per questi ultimi, sarebbe probabilmente più utile la congettura di Goldbach, legata all algoritmo di fattorizzazione alla Fermat, nel quale compare la semisomma s = (p+q)/2 = S/2, da qui Goldbach (p e q sono simmetrici, cioè equidistanti, da S/2 = N/2): 11

12 s 2 = N + d 2, con d = semidifferenza (q-p)/2 da cui poi p = s - d e q = s + d oppure qualche altra congettura che tratta coppie di numeri primi, come la congettura dei numeri gemelli, (con differenza 2) o di Polignac (differenza 2n), entrambe collegate a quella di Goldbach. Una coppia di gemelli è sempre l ultima coppia di Goldbach per molti N ( ma non tutti) di forma N = 12k, e tutte le altre coppie di Goldbach sono formate da due numeri primi con distanza maggiore (2k) e decrescente a partire dalla prima coppia (3, N-3 se anche N-3 è primo, per esempio per N = 20 abbiamo la prima coppia = 20 = numero N pari). Per un numero di forma 12k con ultima coppia di Goldbach = due numeri primi gemelli, facciamo l esempio di 120 : l ultima coppia di Goldbach è 59 e 61, tale che = 120, mentre la prima coppia è = 120, essendo = 117 = 3*3*13, e quindi non primo, e = 115 = 5*23, anche questo non primo. Circa il prodotto, 59*61 = 3 599, vedi secondo esempio sui numeri gemelli a pagina 8. 12

13 Nota (sullo spettrometro e la RH) Dal Blog Matematico di Umberto Cerreti, Congettura di Riemann e sicurezza mondiale : Concludendo: l'intero sistema di sicurezza mondiale entrerebbe in gravi difficoltà se qualcuno trovasse un algoritmo veloce per la fattorizzazione di interi. Che cosa c'entra tutto questo con la congettura di Riemann? Sentiamo le parole del professor Marcus du Sautoy, autore di un bestseller pubblicato in Italia da Rizzoli, con il titolo "L'enigma dei numeri primi": L'intero commercio elettronico dipende dai numeri primi. Io ho descritto i primi come atomi: ciò che manca ai matematici è uno spettrometro di primi. I chimici hanno una macchina che, se ci mettete una molecola, vi dice di quali atomi è composta. I matematici non hanno inventato una versione analoga di essa. Se l'ipotesi di Riemann è vera, essa non produrrà di per sé uno spettrometro. Ma la sua dimostrazione potrebbe farci capire meglio il funzionamento dei numeri primi, e quindi la dimostrazione potrebbe essere trasformata in qualcosa che potrebbe produrre questo spettrometro di primi. Se ciò accadrà, metterà in ginocchio l'intero commercio elettronico nello spazio di una notte. Quindi, niente RH, almeno direttamente, per quanto riguarda un possibile spettrometro. L unica relazione nota tra RH e fattorizzazione, o una delle poche, è che la fattorizzazione veloce è in P se la RH è vera. Occorre quindi rivolgersi eventualmente ad altre congetture, come per esempio quella di Goldbach ( o, come prima accennato, ad altre congetture che contemplano coppie di numeri primi come possibili p e q per il prodotto N = p*q), per dimostrare questa nostra 13

14 congettura sul possibile spettrometro matematico basato sulla parte decimale di n,d = N, e considerare 100*0,d, oppure 100*(1-0,d) come possibile percentuale di n equivalente o quasi a p p reale di p*q = N ALTRI ESEMPI NUMERICI PER CONGETTURA PERCENTALE, con cenni a prima (p -p) e seconda differenza (p p ) percentuale) 1) = x n = = ,67 d = 0,67 percentuale reale /3176,4067= 35,35% p = *0,67 = ; 1% = 3176,4067; = ; /3176,4067 = 31,64% differenza percentuale = 32 percentuale complementare p = n*1-0,67) = n* 0.33= differenza = ; -7482/3176,40 = -2,35% di 14

15 distanza tra p reale e p p p = = seconda differenza percentuale = ; -4306/3176= - 1,355 questa seconda differenza percentuale è ancora minore della prima, -2,35 2) = x n = = , 81 d=0,81, percentuale reale = 59%, (cioè /11871,4181) *0,81 = differenza 81-59= +22 differenza complementare: 1-0, 81= 0,19 p = *0,19 = (troppo basso P Media aritmetica tra p e p ( )/2 = Differenza percentuale = / = 9,468% Ma, curiosamente, anche p p p = =

16 seconda differenza percentuale = /11871 = 2,53%, minore della prima differenza percentuale, 9,468 Conclusione : La seconda differenza percentuale ( tra p e p ) è in questi due casi e in valore assoluto, circa la radice quadrata della prima differenza percentuale (tra p e p reale) primo esempio: 1,35 2,35 = 1,53 secondo esempio 2,53 9,46 = 3,07 p potrebbe quindi essere (con discrepanze medie del + 10% circa): vicino a p = n*0,d (in caso di basso rapporto q/p, es. primi gemelli) vicino a p = n*(1-d) (percentuale complementare, in diversi casi) vicino alla media aritmetica tra p e p vicino alla media tra n e p vicino alla differenza p - p, come nei due casi di cui sopra tali punti possiedono i maggiori picchi di probabilità in cui trovare più facilmente p reale di p*q = N 16

17 Riferimenti 1) Proposta di Dimostrazione Congettura di Cramer Shank Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli, Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto, Annarita Tulumello, in sezione Articoli sulla Teoria dei Numeri; del nostro sito 17