I numeri fortunati e le analogie con i numeri primi (numeri gemelli fortunati, congettura di Goldbach, numeri di Lie, probabile funzione zeta)

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1 I numeri fortunati e le analogie con i numeri primi (numeri gemelli fortunati, congettura di Goldbach, numeri di Lie, probabile funzione zeta) Abstract Francesco Di Noto, Michele Nardelli In this paper we show some connection between Lucky s numbers and twin numbers, Goldbach s conjecture, and so on. There is a zeta function also for Lucky s numbers? Riassunto In questo lavoro tratteremo i numeri fortunati, soprattutto per quanto riguarda le loro similitudini con i numeri primi, i numeri primi gemelli, la congettura di Goldbach e probabilmente anche una possibile eventuale funzione zeta che li riguardi. Possiamo definire i numeri fortunati come i cugini poveri (scusate la contraddizione) dei numeri primi, più famosi e più utili in matematica ed in natura. L utilità dei numeri fortunati è invece ancora tutta da dimostrare (si accettano contributi in tal senso) I numeri primi sono figli del noto crivello di Eratostene, mentre i numeri fortunati (primi e composti, circa in eguale misura, almeno fino a 100) sono invece figli del meno famoso crivello di Ulam, descritto nelle pagine successive. Definizione e particolar (Da Polymath) Riportiamo anzitutto una descrizione dei numeri fortunati da Polymath, sul sito 1

2 areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmls/info/numeri/gen07/numeri_ge n07.htm, rubrica Numeri a cura di Camillo Grandi: NUMERI FORTUNATI John Travolta protagonista del film Lucky Numbers di Nora Ephron Ci sono numeri fortunati e numeri fortunati. Ad esempio, ci sono quelli fortunati per noi, se indoviniamo quelli dell estrazione del lotto, indovinati senza truccare l estrazione, come ha fatto invece John Travolta nel film Lucky Numbers. Ma ci sono anche i numeri che si ritengono loro stessi fortunati, perché sopravvissuti a un micidiale massacro. E stato il matematico polacco Stanislaw Ulam ( ), uno dei padri della bomba H, a stabilire come possano essere massacrati i numeri. Si fonda su un procedimento analogo a quello, ben noto, usato da Eratostene per la ricerca dei numeri primi. E il crivello o setaccio, che con setacciate successive elimina i numeri aventi determinate caratteristiche. Vediamo praticamente come funziona il procedimento di Ulam sulla successione dei numeri naturali: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21,... Cancelliamo dapprima ogni secondo numero e rimarranno così i numeri dispari: Come secondo passo, partendo da questa nuova sequenza, dopo 1 troviamo 3 e cancelliamo ogni terzo 2

3 numero. Il risultato sarà: Partiamo poi dalla sequenza dei sopravvissuti a questo nuovo massacro. Il primo numero sopravvissuto, dopo il tre, è il 7 e cancelliamo ogni settimo numero. Avremo una nuova sequenza: Il quarto numero sopravvissuto è il 9 e ripartiamo dai sopravvissuti eliminando ogni nono numero (il primo ad essere eliminato sarà 27). Quelli che seguono sono i numeri sopravvissuti ai successivi massacri inferiori a 200: Sono numeri che lo stesso Ulam chiamò fortunati. Un nome che era stato suggerito a Ulam da un racconto di Giuseppe Flavio, lo storico ebreo del primo secolo dopo Cristo, su una decimazione di cui erano rimasti vittime gli ebrei perseguitati dai romani. Veramente fortunati in questo caso, perché sopravvissuti a una autentica strage. I matematici hanno studiato questa successione scoprendo che ha molti proprietà simili a quelle dei numeri primi. Ad esempio, la distanza fra due numeri fortunati consecutivi e quella fra due numeri primi consecutivi cresce in modo simile al crescere dei numeri delle due successioni, inoltre il numero dei numeri primi gemelli, tali cioè che la loro differenza è uguale a 2, è simile a quella dei numeri fortunati gemelli. La celebre Congettura di Goldbach afferma che ogni numero primo maggiore di 2 è la somma di due numeri primi. E un problema ancora irrisolto, come quello analogo riguardante i numeri fortunati: Ogni numero fortunato è uguale alla somma di due numeri fortunati. La verifica al computer di tale congettura ha già superato i numeri fortunati, senza trovare eccezioni. La classica dimostrazione di Euclide che i numeri primi sono infiniti, ha una corrispondente dimostrazione sull infinità dei numeri fortunati. Non si sa invece se i numeri primi fortunati siano anch essi infiniti. Per approfondire l argomento: Martin Gardner, Lucky numbers and 2187, The Mathematical Intelligencer 19 (No. 2), Un articolo di Ivars Peterson: La presentazione matematica della sequenza: La sequenza dei numeri fortunati: 3

4 I primi mille numeri fortunati: Nel seguito esamineremo le su accennate relazioni con i numeri primi, con i numeri primi gemelli, con la congettura di Goldbach, ormai dai noi compresa perfettamente (Rif.1), sebbene soltanto con evidenze numeriche (ci manca ancora solo la dimostrazione rigorosamente analitica, che lasciamo agli accademici), con i numeri di Lie, e soprattutto dimostrando la loro infinità (come fece Euclide con i numeri primi) e soprattutto la possibile esistenza di una eventuale funzione zeta per i numeri fortunati, analoga alla funzione zeta per i numeri primi: la parte reale dei nuovi zeri è ancora ½? Tramite alcune tabelle, confronteremo la loro distribuzione logaritmica fino alle prime tre potenze di 10, ecc, per poi esaminare la possibilità di un eventuale funzione zeta Numeri primi p (25) TABELLA 1 (confronti fino a N = 100) Numeri fortunati F (23) di cui 13 composti Numeri primi gemelli p (8 coppie) Numeri fertunati gemelli (7 coppie) =1* =3*

5 =5* =7* =11* = 17* ==7* =23* =25* =29* =31* = 11* Notiamo che fino a 100 ci sono 25 numeri primi e 23 numeri fortunati, di cui solo 10 primi p e 13 composti c, con rapporto f/p = 23/10 = 2,3 e con rapporto f/c = 23/13 = 1,76. Provvisoriamente, si può dire che circa la metà dei numeri fortunati sono primi e circa l altra metà sono composti, con il fattore 3 (oppure 3 2 =9) come il più frequente (11 volte su 23, 12 se si include il 3 iniziale, e quindi anche qui circa la metà dei numeri fortunati; solo 25 e 49 fanno eccezione, essendo multipli di 5 e di 7). Mentre i numeri primi (tranne il 2 e il 3 iniziali) sono di forma p = 6k + 1, i numeri primi fortunati sono invece di forma 5

6 f = 6k +1, poiché: 7 = 6* = 6* = 6* = 6* = 6* = 6* = 6* = 6* = 6*32 +1 ed anche questa è una novità sui numeri primi fortunati. Gli altri numeri fortunati, sono composti. I numeri primi di forma 6k 1, e quindi non fortunati, sono stati ora sostituiti dai numeri composti, specialmente con il fattore 3 molto frequente, e questo potrebbe spiegare perché i numeri fortunati sono un po meno dei numeri primi (per esempio fino a 100 essi sono solo 23, contro 25 primi). Ne consegue che i grafici relativi ai numeri fortunati sono molto simili a quelli dei numeri primi, ma leggermente più bassi rispetto a questi ultimi. Infine, molti numeri primi fortunati f sono anche numeri di Lie (primi e non primi) di forma L(n) = n 2 +n+1 = 2T+1 = 1 + la somma dei primi n numeri pari, con n = parte intera della loro radice quadrata (Rif. 2, Rif. 3 e Rif. 4) I numeri di Lie (e anche i numeri primi fortunati fp ) sono simili anche ai numeri primi di Bateman: quasi a metà strada tra un quadrato e il successivo, quindi con parte decimale di fp prossima a 0,50, per es. 73 = 8,54 o ancora meglio per 133 = 11,53, o per 273= 16,52, o anche 1123 = 33,51 : più grande è fp, più la parte decimale si avvicina a 0,50. 6

7 La natura sceglie i suoi numeri, per regolare i suoi fenomeni, tra i numeri di Fibonacci, i numeri di Lie, e i numeri di partizioni p(n) (Rif.2); i numeri primi fortunati sono anche numeri di Lie, e quindi tra quelli scelti dalla Natura, che sembra evitare i quadrati perfetti (tra i numeri di Fibonacci, per esempio soltanto 144 è un quadrato perfetto). Tra i numeri fortunati composti (e quindi non primi) ci sono invece anche molti quadrati: 9, 25, 49, 169, 289, tutti quadrati di numeri primi, alcuni dei quali anch essi numeri fortunati: 3,7, 13, ecc. N = 10 n Numeri Primi p π(n) TABELLA 2 Sulla distribuzione Numeri fortunati f(n) Numeri gemelli p (coppie) g(n) Numeri gemelli f (coppie) f(n) Coppie di Goldbach p G(N=10) Coppie di Goldbach 2f G (N=18) (3+7=10) ** (303)* *Da lista OESIS A ? ** 1+99, 7+93,13+87,21+79, 25+75,31+69,33+67,37+63,51+49; mentre le normali coppie di numeri primi la cui somma è 100, sono 6 7

8 Quindi, distribuzione e stime logaritmiche sono molto simili: π(n) π (N) N / ln N; g(n) g (N) N/( ln N) 2, ecc. esempio. per N = 2f =25*2 = 50 = f + f = N Essendo molto simili ai numeri primi per valori reali, stime logaritmiche e grafici, anche i numeri fortunati sono infiniti Esempio di Tabella per coppie (di numeri fortunati) di Goldbach per N = 50: F F N = d + f Coppia di Goldbach per f ed f Si Si Si

9 Si Quindi per N = 50 = 2f =2*25 abbiamo 4 coppie di Goldbach, e anche con i numeri primi ne abbiamo pure 4, come da seguente analoga tabella: P Q N = p + q = 50 Coppia di Goldbach per p e q Si Si Si

10 Si Quindi anche per Goldbach (oltre che con i le coppie di numeri primi gemelli) sia con i numeri primi sia con i numeri fortunati, i risultati sono circa gli stessi, ma con differenza di qualche unità per quanto riguarda π(n) ed f (N), almeno nella parte iniziale della serie numerica naturale, poi le differenze saranno sempre più grandi, anche per Goldbach e gemelli, presumibilmente a favore dei numeri primi. Poiché per i numeri primi sono noti i numeri primoriali p# (prodotti dei numeri primi fino a p) e fattoriali n! (prodotti dei numeri naturali fino ad n), per i numeri fortunati possiamo introdurre il termine fortunali, con il simbolo f $ (scegliendo qui il simbolo del dollaro Usa come simbolo di fortuna), cioè il prodotto dei primi f numeri fortunati; per esempio: 9$ = 1*3*7*9 = 189, 25$ = 1*3*7*9*13*15*21*25 = , o più ordinatamente in tabella: f$ f1*f2*f3*f4 *fn Valore fortunale * *3*

11 9 1*3*7* *3*7*9* *3*7*9*13* *3*7*9*13*15* *3*7*9*13*15*21* *3*7*9*13*15*21*25* Come si nota facilmente, dopo 13$ = 2457 tutti i fortunali finiscono con la cifra 5, a causa del fattore 15, divisibile per 5, e che quindi conferisce la divisibilità per 5 a tutti i prodotti successivi (fortunali maggiori di 13$), divisibili ovviamente anche per tutti gli altri fattori 3, 7, ecc. tutti numeri fortunati. Ora possiamo avere un altra importante analogia con le coppie di Goldbach per i numeri primoriali N = p#, che hanno più coppie di Goldbach rispetto a tutti i singoli numeri par precedenti, per i motivi spiegati in I numeri primoriali p# alla base della dimostrazione definitiva della congettura di Goldbach (nuove evidenze numeriche),michele Nardelli, Francesco Di Noto, sul sito: (vedi esempio finale per 7# =210), Rif.1. Infatti, per lo stesso principio di formazione delle coppie di Goldbach (per tali numeri e loro piccoli multipli, tutti i multipli dei numeri primi si accoppiano tra di loro, lasciando ai numeri primi più possibilità di formare più coppie di Goldbach) per i fortunali f$ si formeranno più coppie di numeri fortunati rispetto a tutti i numeri pari precedenti (poiché tutti i numeri fortunati sono dispari, e quindi la somma di due numeri dispari, primi o fortunati che siano, è sempre pari) Per esempio per N = 21*2 = 42, troveremo più coppie (due) di numeri fortunati con somma f + f = 42 (omettendo i numeri pari), per semplificare la tabella: 11

12 F f f +f =42 coppia di Goldbach si 1 41 primo 3 39 multipli di primo fortunato 7 35 multipli di multipli di 3 42 si primo fortunato multipli di multipli di 3 3 e 21 fortunati 42 si Invece per N -2 = 42-2 = 40 abbiamo pure due coppie di Goldbach: f f f + f = 40 si si si

13 E per = 44, ancora due coppie di Goldbach: si si Il principio sembra però non funzionare per numeri 2f$ così piccoli, ma forse funzionerà per numeri 2f molto più grandi (a cominciare da 2* 9$ = 2*189 = 378), rispetto a 2f $+2, analogamente alle normali coppie di Goldbach per i numeri primi. Lasciamo a qualche volenteroso il piacere di verificarlo, e di comunicarci eventuali risultati positivi. Rivediamo ora il rapporto tra numeri primi e numeri fortunati su una lista molto più lunga, fino a 303 (da Lista OESIS A000959); segniamo in rosso i 17 numeri primi su 57: 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171,189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 (list; graph; listen; history; internal format) Quindi abbiamo 57/18 = 3,16, maggior quindi di 23 /10 = 2,3 fino a 100; il numero dei numeri primi rispetto ai numeri fortunati quindi decresce lentamente al crescere di N. 13

14 Primi fortunati (da lista OESIS A031157) A as a simple table: n a(n)

15 [3,7,13,31,37,43,67,73,79,127,151,163,193,211,223, 241,283,307,331,349,367,409,421,433,463,487,541, 577,601,613,619,631,643,673,727,739,769,787,823, 883,937,991,997,1009,1021,1039,1087,1093,1117, 1123] Fino a 1000 ci sono 43 numeri primi fortunati fp, rispetto a 168 numeri primi non fortunati, con rapporto ora di f/fp = 168/43 = 3,90 contro il rapporto 3,16 fino a 303 e il rapporto 2,3 fino a 100 Tabella dei rapporti r = p/fp 10 n f fp r= f/fp r (ln N)/ /2 2 1, /10 2,3 2, /18 3,16 2, (Stima)* /43 3,58 3,45 15

16 Per i rapporti p/f abbiamo invece 10 n p f r =p/f r 1,5 lnlnlnn / /23 1, /57 1, (Stima)* 168/154 1,090 * * con /1,087, il rapporto reale più vicino Per i rapporti p/fp, infine: 10 n π(10 n ) fp (10 n ) r =p/fp r ln(10 n )/ /2 2 1, /10 2,50 2,30 (303) /18 3,44 2, /43 3,906 3,45 Per prevediamo quindi un rapporto r di circa 4,60, con il quale stimare il numero fp dei numeri primi fortunati con la relazione fp π(10 000)/ 4,60 = 1229/4,60 = 267,17 267, numero stimato (per leggero eccesso, poiché r stimato è inferiore ad r reale) attendibile del numero di numeri primi fortunati fino a Ecco a cosa servono i rapporti r: alla stima del numero dei numeri primi fortunati fino ad N, con discreta approssimazione (un valore migliore potrebbe essere circa 236, essendo il rapporto precedente tra valore reale e valore stimato 3,90/3,45= 1,13, per cui r*1,13 = 4.60*1,13 = 5,198, e 1229/5,198= 236, 43 più vicino al valore reale (nessuno ha finora contato, che si sappia, il numero dei numeri primi fortunati fino a ; la relativa lista OESIS A arriva fino ai primi 50, con l ultimo (50 ) numero primo fortunato = 1123, e con 50 molto lontano dal 236 numero 16

17 primo fortunato (probabilmente attorno a p /5,198) fino ad N = Ulteriori ricerche informatiche ci diranno il numero esatto di fp fino a , confermando o meno la nostra stima di circa 236. La voce di Wikipedia non riporta il relativo grafico per i numeri fortunati, ma solo per i numeri primi fortunati: A as a graph: 17

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19 Per quanto riguarda infine la funzione zeta di Riemann applicata ai numeri fortunati anziché ai numeri primi, tale funzione si può riscrivere f a p a denominatore: ς(x) : = 1 = 1 n=1 n x p primo 1 f -s potrebbe venir fuori qualcosa di interessante, per esempio anche qui tutti gli zeri non banali con parte reale ½ In tal caso, avremo una funzione zeta fortunata Ai matematici in grado di calcolare questa nuova funzione zeta per i numeri fortunati, il compito di verificare la nostra suddetta previsione. Conclusione Come abbiamo visto, abbiamo trovato altre connessioni (oltre a quelle già note: gemelli e Goldbach)) tra i numeri fortunati, i numeri primi fortunati, e tra questi e i numeri di Lie; abbiamo introdotto il concetto di fortunali, prodotti tra i primi f numeri fortunati, simbolo f$, sulla falsariga dei fattoriali n! e dei primoriali p#; abbiamo ipotizzato la loro infinità in base alle similitudini quantitative e qualitative con i numeri primi (alcuni numeri primi sono stati sostituiti dai numeri fortunati composti, specialmente da quelli, la maggior parte, con fattore 3 e 9) ; infine 19

20 abbiamo i rapporti r per permettere stime logaritmiche per numeri N =10 4, e ipotizzato una variante della funzione zeta, sostituendo p con f, con i suoi zeri probabilmente anch essi sulla retta reale ½. Riferimenti (reperibili su questo sito, salvo diversa indicazione) 1) I numeri primoriali p# alla base della dimostrazione definitiva della congettura di Goldbach (nuove evidenze numeriche) Michele Nardelli, Francesco Di Noto 2) L EQUAZIONE PREFERITA DELLA NATURA: n 2 + n + 1 (con n primo) (alla base de numeri e dei gruppi di Lie, dei numeri di Fibonacci, delle partizioni di numeri, delle simmetrie e delle teorie di stringa) Francesco Di Noto, Michele Nardelli, sul sito Sezione Articoli sulla Fisica Matematica 3) PGTS - Parte seconda IL PRINCIPIO GEOMETRICO ALLA BASE DELLE TEORIE DI STRINGA Francesco Di Noto, Michele Nardelli 4) Una teoria aritmetica, o aritmetica-geometrica, per la TOE (Il principio aritmetico per le teorie di stringa, PATS, complementare al PGTS), Francesco Di Noto Michele Nardelli Caltanissetta