L operazione inversa dell elevamento a potenza è l estrazione della radice quadrata

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1 Consideriamo un numero ed eleviamolo alla seconda L operazione inversa dell elevamento a potenza è l estrazione della radice quadrata Questa operazione si indica con il simbolo, che si legge radice quadrata di Estrarre la radice quadrata di un numero (detto radicando) significa determinare quel numero che elevato al quadrato dà il numero di partenza E nota che l estrazione di radice quadrata non è sempre eseguibile nel campo dei numeri razionali. 1 / 7

2 Essa è però sempre eseguibile geometricamente, cosa che facciamo vedere nel prossimo paragrafo. Rappresentazione grafica della radice quadrata Dato un segmento a, anche può essere costruita col solo uso della riga e del compasso. Su una retta si riporta OA = a e AB = 1. Si traccia un cerchio di diametro OB e si costruisce la perpendicolare a OB passante per A: sia C la sua intersezione con il cerchio. Il triangolo OBC è rettangolo in C, perché, come è noto dalla geometria elementare, un angolo inscritto in mezza circonferenza è retto. Quindi: O?A=A C i triangoli rettangoli OAC e CAB sono simili, e si ha, per x = AC, 2 / 7

3 ; x 2 = a;. Algoritmi per l estrazione della radice quadrata Aritmeticamente il più antico schema di estrazione di radice quadrata che conosciamo, compare nel commento di Teone di Alessandria (VI secolo) all Almagesto di Tolomeo. Dal XIII al XVI secolo, con l introduzione delle cifre indoarabiche, l algoritmo usato per l estrazione della radice quadrata (che già si trova, con esempi numerici di crescente difficoltà, nel Liber abaci di Fibonacci) è stato quello classico per galera. Uno dei primi esempi di estrazione di radice a danda, il metodo che, salvo trascurabili differenze nella disposizione del calcolo è usato tutt oggi, è esposto da Rafael Bombelli nel suo trattato L A lgebra del 1572 [1]. Nel libro primo dell Algebra di Rafael Bombelli viene sviluppato il calcolo di radicali, ed in particolare viene insegnata l estrazione di radici aritmetiche esatte ed approssimate. Come ci fa notare Ettore Bortolotti: E notevole la regola che egli [R. Bombelli] dà per formare il rotto nella estrazione della radice quadrata, 3 / 7

4 cioè per calcolare la radice quadrata approssimata di numeri non quadrati. Vedremo di seguito tale metodo confrontando il linguaggio utilizzato dal Bombelli con quello moderno. Pongasi dunque che si habbia a trovare il lato prossimo di 13, di cui il più prossimo quadrato è 9, di cui il lato è 3; però pongo che il lato prossimo di 13 sia 3+1 tanto e il suo quadrato è 9+6 tanti +1 potenza, il qual è eguale a 13, che levato 9 a ciascuna delle parti, resta 4, eguale a 6 tanti + 1 potenza. Molti hanno lasciato andare quella potenza, e solo hanno agguagliato 6 tanti a 4, che il tanto valeria et hanno fatto che l approssimatione si è 3 perché la positione fu 3+1 tanto, viene ad essere 3 ; ma volendo tenere conto della potenza ancora, valendo il tanto, la potenza valerà di tanto, che aggionto con li 6 tanti di prima, si haverà 6 tanti eguale a 4, che agguagliato, il tanto valerà e perché fu posto 3+1 tanto sarà 3 e valendo il tanto, la potenza valerà di tanto, e si haverà 6 di tanto eguale a 4, si che si vede donde nascono le regole dette di sopra. Di seguito quanto scritto è tradotto in linguaggio moderno. Supponiamo che si voglia calcolare un valore prossimo di, il numero 3 è il termine il cui quadrato è più vicino al valore 13. Quindi abbiamo che: 4 / 7

5 Effettuando cioè: 4=6x+x 13=9+6x+x Trascurando 2 il 2 quadrato in prima approssimazione di ambo i membri x si 2, ottiene: = 4 si ha Volendo un valore più approssimato, si faccia Poiché: otteniamo: 4 = 6x + x 2 Ma sappiamo che: Quindi sarà: in quanto abbiamo trovato: Se 4 otteniamo: = sostituiamo 6x + x 2 questo valore in Sostituendo questo valore in: otteniamo un valore per la radice quadrata di 13 ancora più preciso del precedente: Il ma Cataldi. Dal ricorsiva Volendo Bombelli non procedimento avendo per in dice grado esempio che lasciato di esposto procedendo calcolare i calcoli nell Algebra valori un non come valore approssimati estrinsecò di si approssimato Rafael è fatto la di Bombelli delle frazione sopra radici si radice si continua, approssimarà può quadrate quadrata determinare che di numeri fu come di più 2: una tardi l huomo non formula rivelata quadrati. vorrà ; da dove da determinare 1 rappresenta soddisfacente il valore approssimato la condizione: a meno di una unità mentre x è una quantità positiva Quadrando la abbiamo: da della x: cui, grandezza trascurando incognita il termine x 2 rispetto ad x, abbiamo un primo valore, che denotiamo con x 0, Pertanto sostituendo nell espressione iniziale di radice di due abbiamo: che di seguente due. risulta Al modo: fine essere di ottenere un valore un approssimazione approssimato per eccesso migliore basta a meno sdoppiare di un decimo il monomio di radice x 2 quadrata nel allora sostituendo nella: abbiamo: che sostituito nella ci dà: da cui: pertanto: Iterando tale procedimento perveniamo alla seguente formula ricorsiva: Applicando la procedura per la radice di tre troviamo successivamente: 3=1+2x+x 2=2x+x e Pertanto: trascurando 2 2 al solito il termine quadratico rispetto ad x abbiamo: x 0 =1. è risultato 2 da x 2 un = = cui: 2x (2 valore x + * 1) x finale: 1x = x approssimato x 0 * x = 1 * x per eccesso a meno di un unità. Così continuando perveniamo al e quindi la formula ricorsiva: abbiamo Applicando trovato la stessa le seguenti procedura formule per ricorsive: le successive radici quadrate di numeri non quadrati, Da una quadrata Difatti e così una formula i via. risultati attenta di un generale qualunque conseguiti analisi la di quale queste in numero precedenza sia formule in non grado quadrato. ricorsive potrebbero di fornire ci rendiamo un già valore condurre conto approssimato alla: che è possibile della radice ottenere Verifichiamo la consistenza della precedente regola procedendo per via deduttiva: a trascurando - = b b 2 2 = + 2bx 2bx + x+ x 2 x 2 rispetto 2 ad x abbiamo: e quindi: Proviamo ora a definire x in modo ricorsivo. Se con n indichiamo il grado d approssimazione desiderata, allora la formula ricorsiva risulta: Metodo di Newton per il calcolo della radice quadrata Vediamo come calcolare la radice quadrata di un numero positivo N, utilizzando il metodo di Newton. 5 / 7

6 Il numero è l unica soluzione positiva dell equazione: Il numero è anche il limite, per n -->?, della successione il cui primo termine è mentre il termine generale è: Si noti che nell intervallo. Semplificando la relazione otteniamo la relazione di ricorrenza: 6 / 7

7 Osserviamo che abbiamo già studiato questa successione. La quale per N=2 è la stessa successione definita con l algoritmo di Erone [2]. [1] Bottazzini, Freguglia, T. Rigatelli, Fonti per la Storia della Matematica, Sansoni. [2] P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori. 7 / 7