Sistemi ottici come sistemi lineari

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Biaggio Angelini
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Giuseppe Boccignone Dipartimento di Informatica Università di Milano

1 Sistemi ottici come sistemi lineari Corso di Principi e Modelli della Percezione Prof. Giuseppe Boccignone Dipartimento di Informatica Università di Milano boccignone@di.unimi.it Dalla luce alle immagini Radianza L della scena Irradianza E dell immagine

Riassumendo... sorgente sensore S normale elemento di superficie Scena Radianza L della scena Lente Irradianza E all immagine E = k L Mapping Lineare!

2 Riassumendo... sorgente sensore S normale elemento di superficie Scena Radianza L della scena Lente Irradianza E all immagine E = k L Mapping Lineare! Risultato: Il sistema ottico agisce (approssimativamente ) come un sistema lineare L ottica dell occhio come sistema lineare Profilo di intensità luminosa lungo la linea x x Intensità I = 255 = bianco posizione x sul monitor I = 0 = nero Sistema Ottico Intensità x posizione x sulla retina

3 //Funzione di dilatazione della linea LSF //formalizzazione input immagine sul monitor Sistema Ottico output: immagine sulla retina

4 //proprietà di omogeneità monitor retina Intensità Intensità Intensità posizione x sul monitor posizione x sulla retina //proprietà di omogeneità: formalizzazione input immagine sul monitor Sistema Ottico output: immagine sulla retina

5 //proprietà di sommabilità monitor retina + = //proprietà di sommabilità: formalizzazione input immagine sul monitor Sistema Ottico output: immagine sulla retina

6 //sovrapposizione = omogeneità + sommabilità se un sistema soddisfa il principio di sovrapposizione è un sistema lineare //linearità: formalizzazione input immagine sul monitor Sistema Ottico output: immagine sulla retina

7 //invarianza per traslazione monitor retina //invarianza per traslazione: formalizzazione input immagine sul monitor Sistema Ottico output: immagine sulla retina se un sistema soddisfa tutte queste proprietà è sistema lineare spazio-invariante

8 //come funziona S? Abbiamo caratterizzato le proprietà esterne, computazionali di S: input vs. output. Ma come funziona internamente? Che cos è l operatore S? //come funziona S? funzione dilatazione del punto Proviamo con un esperimento semplice: diamo in ingresso un impulso luminoso input Sistema Ottico output il minimo input che possiamo fornire al sistema è un impulso di luce, un punto luminoso l output che si ottiene è un punto dilatato che caratterizza la risposta del sistema all impulso: la Point Spread Function (PSF)

aberrazione corneale aberrazione corretta PSF PSF

9 //funzione di dilatazione del punto Sistemi ottici diversi sono caratterizzati da PSF diverse! //funzione di dilatazione del punto Sistemi ottici diversi sono caratterizzati da PSF diverse! aberrazione corneale aberrazione corretta PSF PSF

10 //funzione di dilatazione del punto input Sistema Ottico output il minimo input che possiamo fornire al sistema è un impulso di luce, un punto luminoso l output che si ottiene è un punto dilatato che caratterizza la risposta del sistema all impulso: la Point Spread Function (PSF) //sistema ideale input Sistema Ottico output punto luminoso stesso punto luminoso la Point Spread Function: è un impulso

11 //sistema ideale input Sistema Ottico output punto luminoso stesso punto luminoso la Point Spread Function: è un impulso //l impulso luminoso perfetto......

12 //l impulso luminoso perfetto: modello... modello matematicamente questa PSF e poi la restringo //l impulso luminoso perfetto: modello Posso utilizzare una funzione Gaussiana bidimensionale modello matematicamente questa PSF e poi la restringo

successione di funzioni non è una vera e propria funzione ma una distribuzione o funzione generalizzata ed è

13 //l impulso luminoso perfetto: modello... //l impulso luminoso perfetto: modello Questa funzione che abbiamo definito euristicamente come la successione di funzioni non è una vera e propria funzione ma una distribuzione o funzione generalizzata ed è chiamata delta di Dirac Intuitivamente vale 0 ovunque, fatta eccezione per l origine dove è infinita Per trattarla in modo rigoroso: teoria delle distribuzioni (fuori dai nostri scopi)

14 //l impulso luminoso perfetto: modello Le proprietà che definiscono la delta di Dirac sono le seguenti //come funziona S? Ma come funziona internamente? Che cos è l operatore S? Usiamo PSF

15 //come funziona S? Ma come funziona internamente? Che cos è l operatore S? Usiamo PSF convoluzione //come funziona S? Ma come funziona internamente? Che cos è l operatore S? output input PSF convoluzione

(filtraggio) Kernel (PSF) * Convoluzione Immagine input Immagine output

16 Interludio: convoluzione nel discreto //filtraggio di immagini digitali Interludio: convoluzione nel discreto //filtraggio di immagini digitali input output dominio dello spazio Anatomia di una convoluzione discreta (filtraggio) Kernel (PSF) * Convoluzione Immagine input Immagine output

17 Interludio: convoluzione nel discreto //filtraggio di immagini digitali output dominio dello spazio Interludio: convoluzione nel discreto //filtraggio di immagini digitali

18 Interludio: convoluzione nel discreto //filtraggio di immagini digitali Interludio: convoluzione nel discreto //filtraggio di immagini digitali

Interludio: convoluzione nel discreto //filtraggio di immagini digitali (a) (b) (c) (d) Figure 2. (a,b) Prewitt mask, (c,d) Sobel mask for diagonal edge detection (a) (b) (c) Figure 3.

19 Interludio: convoluzione nel discreto //filtraggio di immagini digitali (a) (b) (c) (d) Figure 2. (a,b) Prewitt mask, (c,d) Sobel mask for diagonal edge detection (a) (b) (c) Figure 3. (a,b) Laplacian mask, (c) Typical 5X5 Laplacian of gaussian mask Interludio: convoluzione nel discreto //filtraggio di immagini digitali clc!"clear"all!"close"all!"""""%".un"po "di"pulizia.." % Lettura"immagine Im"="imread( lena.bmp')!" % #definizione"psf"/"filtri"/"maschere"per"la"convoluzione h1"="[0"1"1!"#1"0"1!#1"#1"0]!""""""""""h2"="[#1"#1"0!"#1"0"1!0"1"1]! h3"="[0"1"2!"#1"0"1!#2"#1"0]!""""""""""h4"="[#2"#1"0!"#1"0"1!0"1"2]!" h5"="[0"#1"0!"#1"4"#1!0"#1"0]!"""""""""h6"="[#1"#1"#1!"#1"8"#1!#1"#1"#1]!"" h7"="[0"0"#1"0"0!"0"#1"#2"#1"0!"#1"#2"16"#2"#1!""0"#1"#2"#1"0!0"0"#1"0"0]!" % filtraggio"/"convoluzione" I1"="imfilter(Im,h1)!""""""""""""""""""""I2"="imfilter(Im,h2)!"" I3"="imfilter(Im,h3)!""""""""""""""""""""I4"="imfilter(Im,h4)! I5"="imfilter(Im,h5)!""""""""""""""""""""I6"="imfilter(Im,h6)! I7"="imfilter(Im,h7)!" % display" subplot(2,4,1)!"""""""imshow(im)!""""title( Immagine"originale')!"" subplot(2,4,2)!"""""""imshow(i1)!"""""title('prewitt"mask"#"diagonal')!"" subplot(2,4,3)!"""""""imshow(i2)!"""""title('prewitt"mask"#"diagonal')!"" subplot(2,4,4)!"""""""imshow(i3)!"""""title('sobel"mask"#"diagonal')!"" subplot(2,4,5)!"""""""imshow(i4)!"""""title('sobel"mask"#"diagonal')!"" subplot(2,4,6)!"""""""imshow(i5)!"""""title('laplacian"mask )!" subplot(2,4,7)!"""""""imshow(i6)!"""""title('laplacian"mask')!"" subplot(2,4,8)!"""""""imshow(i7)!"""""title('laplacian"of"gaussian"mask')!"

20 Interludio: convoluzione nel discreto //immagini digitali L ottica dell occhio come sistema lineare //come funziona S? Ma come funziona internamente? Che cos è l operatore S? Il comportamento di un sistema lineare spazio-invariante è completamente caratterizzato dalla sua PSF Data un'immagine in ingresso f, un sistema lineare spazio-invariante S caratterizzato dalla PSF h, produce un'immagine in uscita g eﬀettuando la convoluzione Conoscendo la PSF conosciamo perfettamente il sistema.

21 Dalla luce alle immagini L irradianza all immagine è il risultato di una convoluzione sorgente S sensore normale elemento* di*superficie Intensità*dell immagine**=**f*(*normale,**rifle9anza,*illuminazione*) **Scena **Radianza*L* della*scena O9ica* (Lenti,*ecc) ** Irradianza*E* dell immagine Mapping*Lineare!

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