Introduzione alla δ di Dirac

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1 UniPD Facoltà di Ingegneria a.a Insegnamento di SEGNALI E SISTEMI (ALSI - Finesso) Introduzione alla δ di Dirac La δ di Dirac è uno strumento matematico di grande utilità nello studio di segnali e di sistemi. In questa nota ci limitiamo ad introdurne euristicamente la definizione e a fornire le conoscenze operative necessarie. Rimandiamo chi desidera approfondire l argomento ai testi di Matematica. In letteratura la δ di Dirac è nota come: funzione delta, funzione impulsiva, impulso ideale. La δ è una funzione generalizzata definita dalla seguente equazione δ(τ)x(τ)dτ = x(0) (1) valida per ogni x continua nell intorno del punto t = 0. In molti testi ingegneristici la (1) è detta proprietà rivelatrice, nel senso che la δ rivela il valore del segnale x nell origine. L interpretazione intuitiva è la seguente. Per ogni T > 0 definiamo il segnale r T (t) := 1 ( ) t T rect = 1 ( ( u t + T ) ( u t T )) () T T (tracciatene il grafico!) allora, indicando con m T il valore medio di x nell intervallo [ T, T ], r T (τ)x(τ)dτ = 1 T T T x(τ)dτ = m T Per il teorema del valore medio, m T x(0) quando T 0 e dunque lim T 0 r T (τ)x(τ)dτ = x(0) Scambiando limite ed integrale (nella teoria rigorosa questo non si può fare senza precauzioni) otteniamo ( ) lim r T (τ) x(τ)dτ = x(0) T 0 1

2 e dunque la δ è interpretabile come δ(t) = lim T 0 r T (t) = { 0, se t 0, se t = 0 (3) Intuitivamente possiamo pensare che la δ che compare in (1) sia approssimabile in pratica con una funzione r T con T molto piccolo. Conseguenze della definizione (a) Ponendo x(t) = 1 (funzione costante) si ha δ(τ)dτ = 1 (4) ovvero l area sotto la δ vale 1. Questa proprietà vale anche per r T, qualunque sia T, e si conserva al limite. Si osservi che è valida anche la b per ogni [a, b] che contenga il punto 0. a δ(τ)dτ = 1 (b) Effettuando il cambio di variabile τ = τ nella (1) si ottiene δ( τ)x(τ)dτ = δ(τ)x( τ)dτ = x(0) (5) dove, nella seconda uguaglianza, usiamo il fatto che x( τ) τ=0 = x(0). Nella (1) δ(τ) e δ( τ) producono lo stesso risultato, possiamo dunque identificarle tra loro e considerare δ(t) un segnale pari δ( t) = δ(t) Questo è anche evidente nel processo di approssimazione: i segnali r T sono per definizione pari. (c) Ponendo g(t) = x(s t) abbiamo, applicando la (1), δ(τ)g(τ)dτ = g(0)

3 sostituendo a g la sua definizione ed osservando che g(0) = x(s) si ha δ(τ)x(s τ)dτ = x(s) La lettera s è stata introdotta per distinguere la traslazione dalla variabile indipendente. Tornando ad indicare con t la variabile indipendente δ(τ)x(t τ)dτ = x(t) (6) Questa rappresentazione integrale del segnale x è di fondamentale importanza per il seguito. Con la sostituzione di variabile t τ = τ si può riscrivere l ultimo integrale come δ(t τ)x(τ)dτ = x(t) (7) In virtù della parità della δ quest ultima relazione si può anche scrivere δ(τ t)x(τ)dτ = x(t) (8) Sostituendo x(t) = 1 nelle ultime due equazioni si dimostra che, per ogni t, δ(t τ)dτ = δ(τ t)dτ = 1. A partire dalla (1), le formule (6), (7) e (8) sono state derivate con passaggi elementari, ma è di fondamentale importanza sviluppare un intuizione che permetta di riconoscerne la validità per semplice ispezione. La (7) contiene la funzione δ centrata nel punto τ = t dell asse di integrazione. Approssimando δ(t τ) con r T (t τ) (per T piccolo) il risultato della (7) è il valore medio di x nell intervallino [ t T, t + T ] dell asse di integrazione τ che vale circa x(t), come compare a destra della (7). Questi stessi ragionamenti si applicano anche alla (8) in virtù della parità della δ. Nella (6) l impulso rimane fermo nell origine mentre il segnale è traslato e ribaltato sull asse di integrazione τ in modo tale che nell origine si presenti il valore x(t), infatti x(t τ) τ=0 = x(t), e quindi il calcolo del valore medio nell intervallino [ T, T ] dell asse τ fornisce x(t). Il seguente metodo dovrebbe aiutare a sviluppare l intuizione della (6). Disegnate su un foglio bianco gli assi cartesiani chiamando τ l asse delle ascisse 3

4 (che sarà l asse di integrazione) e tracciate δ(τ), centrata nell origine. Ora su un foglio trasparente disegnate una nuova coppia di assi cartesiani, sempre chiamando τ l asse delle ascisse e tracciate il grafico del segnale x(τ). Rovesciate ora il foglio trasparente (sollevandolo dal tavolo e ruotandolo di 180 gradi) e sovrapponete gli assi τ dei due fogli. Facendo scorrere orizzontalmente il foglio trasparente sul foglio bianco otterrete il segnale x(t τ), dove t è il punto dell asse τ (di integrazione - sul foglio bianco) dove cade l asse delle ordinate del foglio trasparente. Un attimo di riflessione vi convincerà del fatto che nell origine dell asse d integrazione compare ora il valore x(t). La δ nell origine selezionerà quindi proprio il valore x(t). Facendo scorrere il foglio trasparente da t = a t = si ottiene come risultato dell operazione di media nell intorno dell origine proprio il segnale x(t) di partenza. Questo sforzo sarà ampiamente ripagato nel seguito. (d) L operazione definita dalle formule (6) e (7) merita un nome ed una notazione. Dati due segnali x ed y si dice convoluzione dei due segnali il segnale x y definito da x y (t) := x(t τ)y(τ)dτ = x(τ)y(t τ)dτ la seconda uguaglianza si ottiene effettuando il cambio di variabile τ = t τ come visto in precedenza. Con l usuale abuso di notazione si scrive spesso x(t) y(t) per indicare la convoluzione dei segnali x ed y. Alla luce di questa definizione le formule (6) e (7) si riassumono in δ(t) x(t) = x(t) (e) Qualunque sia T R valgono le formule δ(τ)x(t + T τ)dτ = x(t + T ), δ(t + T τ)x(τ)dτ = x(t + T ) Basta sostituire t + T al posto di t nelle formule (6) e (7). Impiegando la definizione della convoluzione si può scrivere δ(t + T ) x(t) = δ(t) x(t + T ) = x(t + T ) 4

5 il risultato vale qualunque sia la traslazione T, in particolare per ogni k Z Vale quindi la formula δ(t + kt ) x(t) = k= δ(t + kt ) x(t) = x(t + kt ) k= x(t + kt ) = rep T (x(t)) dove con rep T (x(t)) abbiamo indicato la ripetizione periodica di x(t) definita in precedenza. (f) Sia f(t) una funzione continua nell origine, allora ed analogamente f(t) δ(t) = f(0) δ(t) (9) f(t) δ(t T ) = f(t ) δ(t T ) f(t) δ(t + T ) = f( T ) δ(t + T ) La validità della (9) si dimostra scrivendo la definizione (1): per ogni x f(τ)δ(τ)x(τ)dτ = f(0)x(0) (10) Infatti possiamo pensare che il segnale su cui opera δ sia f(t)x(t), il valore rivelato sarà dunque f(0)x(0). Ma questo è lo stesso risultato che si ottiene applicando f(0) δ al segnale x. Poiché il comportamento integrale (cioè nella formula (1)) di f(t)δ(t) è identico a quello di f(0)δ(t) concludiamo che le due sono identiche (lo stesso ragionamento che aveamo impiegato per dimostrare la parità). Le altre regole si ricavano in modo analogo. Intuitivamente: nell approssimazione, per T piccolo, f(t)r T (t) f(0)r T (t). In pratica: alla funzione che moltiplica l impulso si sostituisce la costante pari al valore della funzione nel punto dove l impulso è centrato. Esempi: cos tδ(t) = δ(t), e jt δ(t) = δ(t), ma anche tδ(t) = 0! (g) L impulso è spesso rappresentato con una freccia centrata nel punto di applicazione e di altezza pari all ampiezza dell impulso stesso. Si tenga presente che, dimensionalmente, l ampiezza dell impulso rappresenta un area e non un valore, vale infatti c δ(τ)dτ = c 5

6 Relazione con il gradino unitario La rappresentazione integrale del gradino unitario è δ(τ)u(t τ)dτ = u(t), (11) Poiché u(t τ) = 1 nell intervallo (, t) e 0 altrove la (11) è t δ(τ)dτ = u(t) (anche questa formula deve risultare intuitivamente evidente al lettore). Applicando la regola di differenziazione sotto il segno di integrale (nella teoria rigorosa questo non si può fare) si ottiene d u(t) = δ(t) dt Un altra spiegazione intuitiva di questa importante relazione si ottiene leggendo la (3) come la definizione della derivata di una funzione ovvero (l incremento è simmetrico rispetto al punto t dove si valuta la derivata) u δ(t) = lim r T (t) = lim T 0 T 0 ( t + T ) ( u t T T ) = d dt u(t) Differenziazione di segnali con discontinuità a salto Saremo spesso interessati a scrivere la derivata generalizzata di segnali contenenti discontinuità a salto. Sia x(t) un segnale differenziabile ovunque tranne che in un numero finito di punti di discontinuità a salto. La derivata generalizzata di x(t) coincide con quella classica nei punti di differenziabilità. Nei punti di salto compaiono δ di Dirac centrate nei punti di discontinuità e di ampiezza pari all ampiezza del salto. Esempio 1 Sia x(t) = (t + 1)u(1 t). Calcoliamo la derivata generalizzata con le usuali regole del calcolo diferenziale, ma ricordando che d dt u(t) = δ(t). d x(t) = 1 u(1 t) + (t + 1)δ(1 t) ( 1) = u(1 t) δ(t 1) dt dove abbiamo anche fatto uso della parità di δ e della regola f(t) δ(t T ) = f(t ) δ(t T ). Graficamente questa derivata si traccia immediatamente senza fare calcoli. Provare! 6

7 Esercizi Esercizio 1. Scegliere la risposta corretta (a) (b) (c) (d) cos t δ(t τ)dτ = δ(t), 1, cos t cos τ δ(t τ)dτ = δ(t), 1, cos t cos(t τ) δ(t τ)dτ = δ(t), 1, cos t e jω(t τ) δ(τ)dτ = e jωt, δ(t), 1 (e) sin(t + π 4 ) δ(t π 4 ) = δ(t), 0, δ(t π 4 ) Esercizio. (a) Dimostrare che, qualunque sia a > 0, mentre a a a a δ(τ)x(t τ)dτ = x(t) (1) δ(t τ)x(τ)dτ = x(t) rect( t a ) (13) Suggerimento: Dimostrare che la (1) è interpretabile come rect( t a ) δ(t) x(t), mentre la (13) è δ(t) rect( t a ) x(t). Concludere applicando le proprietà dimostrate. Confrontare questo risultato con le (6), (7). (b) Per quale insieme di segnali x vale x(t) = rect( t a ) x(t)? Esercizio 3. Calcolare la derivata generalizzata del segnale x(t) = sign(t) = u(t) u( t) sia analiticamente che graficamente last update Feb, 18, 005 7