Matematica si parte!

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1 Matematica si parte!

2 Yves Biollay, Amel Chaabouni, Joachim Stubbe Matematica si parte! Nozioni di base ed esercizi per il primo anno di Ingegneria A cura di Alfio Quarteroni

3 Yves Biollay Amel Chaabouni Joachim Stubbe Section de Mathématiques EPFL, Lausanne Edizione italiana a cura di: Alfio Quarteroni MOX Politecnico di Milano e EPFL, Lausanne Tradotto dall originale in lingua francese: Savoir-faire en Mathematiques pour bien commencer a L EPFL, Mai 2005, EPFL Lausanne ISBN Springer Milan Berlin Heidelberg New York Springer Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.com Springer-Verlag Italia, Milano 2007 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all uso di figure e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla riproduzione su microfilm o in database, alla diversa riproduzione in qualsiasi altra forma (stampa o elettronica) rimangono reservati anche nel caso di utilizzo parziale. Una riproduzione di quest opera, oppure di parte di questa,è anche nel caso specifico solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d autore, ed è soggetta all autorizzazione dell Editore. La violazione delle norme comporta sanzioni previste dalla legge. L utilizzo di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc., in quest opera, anche in assenza di particolare indicazione, non consente di considerare tali denominazioni o marchi liberamente utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sul marchio. Impianti: PTP-Berlin, Protago TEX-Production GmbH, Germany ( Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampa: Grafiche Porpora, Segrate (Mi) Stampato in Italia Springer-Verlag Italia srl Via Decembrio Milano

4 Prefazione all edizione italiana Quella che stiamo vivendo è probabilmente una età dell oro della matematica. In effetti, negli ultimi anni problemi rimasti aperti da sempre, come ad esempio l ultimo teorema di Fermat, il teorema dei quattro colori o la congettura di Poincaré, sono stati risolti. La matematica è in pieno sviluppo e si assiste ormai sempre più spesso a nuove applicazioni nei campi più disparati. Le leggi fondamentali della natura sono descritte da equazioni differenziali. I metodi e i concetti dell analisi hanno in tal modo trovato applicazione in ogni sorta di problemi che l ingegneria pone oggigiorno, come ad esempio in aerodinamica per la concezione e ottimizzazione di nuovi veicoli, nella modellistica del clima o nel trattamento dei segnali. La sicurezza delle reti di comunicazione moderne, tra le quali internet, èbasatasuconcettiditeoria dei numeri e la modellistica delle reti di telefonia mobile fa uso di nozioni della teoria della probabilità e di analisi combinatoria. La progettazione e l affinamento di dispositivi biomedici richiede strumenti di calcolo scientifico e analisi numerica. Lo sviluppo di terapie mediche per il trattamento del cancro trae beneficio dall analisi statistica di dati biologici e dalla simulazione della crescita di neoplasie con modelli differenziali.ed èinfineevidentecomelamatematica finanziaria abbia trasformato sostanzialmente le operazioni sui titoli in borsa. I futuri operatori dei settori finanziari di punta avranno bisogno di una formazione matematica avanzata. La conoscenza delle nozioni matematiche è certamente importante,ma la capacità di ragionare in maniera rigorosa prendendo parte attiva e creativa all analisi di un problema è addirittura fondamentale. In effetti, non bisognerebbe considerare la matematica come un accozzaglia di ricette da seguire passivamente; si tratta piuttostodi un vasto insieme di idee e strutture logiche che possono associarsi in vari modi, per risolvere in maniera critica problemi che si incontrano nella propria vita professionale. L Università è conscia delle aspettative che verranno riposte in voi. Il cambiamento di ritmo fra gli studi secondari e gli studi universitari èinevitabile. Le nozioni vengono introdotte più rapidamente e il tempo a disposizione per assimilarle è ridotto. Per avere successo nei vostri studi, è pertanto indispen-

5 VI...Prefazione all edizione italiana... sabile eliminare sin da subito quelle lacune nella vostra preparazione che rischiano di mettervi di fronte a ostacoli insormontabili. Lo scopo del presente manuale è di indicare quegli argomenti di matematica che risulteranno utili per cominciare bene i vostri studi e di proporre dei quesiti che sviluppino in voi quella predisposizione a ragionare che è essenziale nelle scienze esatte. Non si intende sostituire la vostra preparazione precedente, quanto piuttosto fornire un rapido riassunto delle cose importanti. Vengono qui presentati alcuni concetti di base dei corsi di Laurea di Ingegneria, che generalmente sono già stati affrontati prima dell ingresso in università. Si èpotutoconstataretuttaviachenontuttiglistudentimanifestano una padronanza completa di questo insieme di nozioni fondamentali: per questo, il manuale fornisce un supporto utile a tutti, sotto forma sia di esercizi sia di nozioni teoriche. Vogliamo sottolineare che questo syllabus non intende sostituire i libri utilizzati durante gli studi secondari. Non si tratta di un libro di testo, né di una raccolta di esercizi, né diun formulario,ma piuttostodi unmanuale cheil futuro studente potrà utilizzare scegliendo eventualmente i capitoli che più lo interessano, al fine di verificare la propria capacità a risolvere problemi quali i Problemi di revisione, ricorrendo alle proprie abilità di ragionamento e alle proprie conoscenze. I capitoli dal 1 o al 9 o sono strutturati in tre parti: (1) enunciati degli esercizi, nell ordine di presentazione degli argomenti; (2) elementi di teoria, relativa agli esercizi proposti; (3) soluzioni degli esercizi, con diverso livello di dettaglio. Se, dopo alcuni tentativi, lo studente si rendesse conto di eventuali lacune che dovessero bloccarlo nella soluzione dei problemi, gli Elementi di teoria di questo syllabus forniranno l approccio e i metodi da seguire o semplicemente rinfrescheranno la memoria. È importante che lo studente sappia riconoscere le lacune che dovessero presentarsi e colmarle prima di cominciare i suoi studi universitari, in modo da assicurarsi che il suo primo anno inizi su basi solide. In tal senso, èpiù importante sviluppare un insieme di conoscenze generali diversificate piuttosto che memorizzare il maggior numero possibile di soluzioni presentate in questo volume. Ad eccezione del capitolo 5 (trigonometria) e dei paragrafi 4.1 e 4.2 (geometria del piano e dello spazio), il contenuto dei quali è ritenuto già acquisito, le nozioni presentate nei vari capitoli saranno riprese, approfondite e generalizzate nel corso di analisi del primo semestre e nel corso di algebra lineare e geometria analitica per quanto riguarda il capitolo 9. Tuttavia, tenendo conto della limitata disponibilità di tempo che si ha in un semestre, la trattazione seguirà un ritmo piuttosto sostenuto.

6 ...Prefazione all edizione italiana...vii Lo studente deve essere consapevole che lo attendono studi impegnativi e che è opportuno essere perseveranti e metodici nel proprio lavoro; questo atteggiamento lo aiuterà a superare con successo il primo anno di studi, anche nel caso in cui alcune lacune fossero presenti al momento dell iscrizione. Il presente manuale ha come obiettivo quello di aiutare lo studente ad assimilare il programma e permettergli di seguire i corsi con sicurezza e serenità. Vorrei ringraziare i miei colleghi Anthony Davison e Jacques Thévénaz dell EPFL per aver reso possibile questa realizzazione, Carlo D Angelo dell EPFL per il preziosissimo lavoro di editing, Francesca Bonadei di Springer- Italia per il suo determinante aiuto e sostegno e, naturalmente, gli autori del testo originale. Milano, giugno 2007 Alfio Quarteroni

7 Indice Prefazione all edizione italiana V Problemi di revisione 1 Argomentitrattati... 1 Enunciatideiproblemi... 2 Soluzioni Operazioni, struttura dei numeri 21 Esercizi Elementiditeoria Numeri Operazioni sugli insiemi Q e R Relazioned ordineeinsiemiordinati Divisionefrapolinomi Scomposizioneinrazionalifrattisemplici Potenzeeradici Esponenzialeelogaritmo Intervalli Valoreassoluto Tecnichedidimostrazione Dimostrazionediretta Dimostrazione per assurdo (o indiretta) Dimostrazione per induzione (o per ricorrenza) Il ruolo delle ipotesi, condizioni necessarie esufficienti Nozioniditeoriadegliinsiemi Introduzionealcalcolocombinatorio Introduzione all insieme C deinumericomplessi Operazioni su C Rappresentazione polare dei numeri complessi

8 X...Indice Radicidiunnumerocomplesso Soluzioni Risoluzione di equazioni 51 Esercizi Elementiditeoria Equazionialgebriche Equazionilineari Equazionidisecondogrado Equazionitrascendenti Equazioniesponenziali Equazionilogaritmiche Sistemidiequazionilineari Dueequazioniindueincognite Treequazioniintreincognite Sistemidiequazioninonlineari Un equazione lineare e un equazione quadratica Dueequazioniquadratiche Disuguaglianze Disuguaglianzelineari Disuguaglianzequadratiche Disuguaglianzeaduevariabili Disuguaglianzenotevoli Soluzioni Funzioni 67 Esercizi Elementiditeoria Nozionigenerali Funzionireali Funzionirealiparticolari Soluzioni Geometria 79 Esercizi Elementiditeoria Geometriapiana Nozionidibase Calcolodellearee Sistemidicoordinate Equazione cartesiana e polare di una retta

9 ...Indice...XI Equazionecartesianaepolarediuncerchio Rappresentazione parametrica di una curva Sezioniconiche Geometrianellospazio Elementiditeoria Calcolodivolumiesuperfici Equazionecartesianadiunpiano Equazionicartesianediunaretta Equazionecartesianadiunasfera Geometriavettoriale Vettori Geometriavettorialenelpiano Geometriavettorialenellospazio Soluzioni Trigonometria 117 Esercizi Elementiditeoria Misuradiangolielunghezzadiarchi Funzioni trigonometriche in un triangolo rettangolo Ilcerchiotrigonometrico Valoriperangoliparticolari Curve rappresentative e proprietà delle funzioni trigonometriche Qualcheformula Funzioniinversedifunzionitrigonometriche Equazionitrigonometriche Relazioni trigonometriche in un triangolo qualunque Soluzioni Successioni, serienumeriche e limiti 139 Esercizi Elementiditeoria Insiemi Successioni Criteridiconvergenza Successioniperricorrenza Serie Esempidiserie Limite di una funzione e continuità Asintoti Soluzioni...152

10 XII...Indice... 7 Calcolo differenziale 157 Esercizi Elementiditeoria Nozionifondamentali Regole di derivazione e derivate di funzioni elementari Teoremi Derivatediordinesuperiore Caratterizzazionedegliestremi Variazioni locali del grafico di f Soluzioni Calcolo integrale 173 Esercizi Elementiditeoria Primitiva Integraledefinito Calcolo delle primitive, tecniche d integrazione Soluzioni Calcolo matriciale 183 Esercizi Elementiditeoria Conoscenzedibase Operazionisullematrici Sommadiduematrici Moltiplicazione di una matrice per un numero reale Prodottodiduematrici Matricetrasposta Determinante di matrici 2 2e Inversa di una matrice quadrata di ordine Applicazionidelcalcolomatriciale Soluzione di sistemi lineari di tre equazioni intreincognite Soluzioni Bibliografia 195