13 Fluttuazioni barioniche adiabatiche nel modello

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1 1 Fluttuazioni barioniche adiabatiche nel modello standard Adesso studieremo lo sviluppo delle fluttuazioni di densità in un modello in cui la materia è costituita soltanto da barioni ovvero nel caso in cui anche la materia oscura è costituita da barioni b 0. Considereremo per il momento il caso di fluttuazioni adiabatiche come quelle che abbiamo analizzato in dettaglio nelle lezioni precedenti (l approssimazione di adiabaticità è quella che ci ha permesso di scrivere p c 2 s ). Storicamente, negli anni 60 era ben noto che esistesse la materia oscura con 0 Á 0.1 masiritenevachefossecostituitadaqualcheformadimateria barionica; perciò il modello puramente barionico è stato il primo ad essere sviluppato e, come vedremo, il suo fallimento ci fornirà un ulteriore prova dell esistenza di materia oscura non barionica. Inoltre i risultati che otterremo saranno utili per capire il modello standard CDM in cui la componente dominante di materia è quella oscura non barionica. Il modello delle fluttuazioni barioniche si basa sui risultati che abbiamo ottenuto precedentemente. La lunghezza di Jeans J 2 {k J è l a m a s s i m a l u n g h e z z a s c a l a s u c u i l e perturbazioni sono stabilizzate dal gradiente di pressione e si ha J c s J c s (caso non relativistico) G 1{2 (caso relativistico) 8G 1{2 Per J si hanno le onde sonore, per J le perturbazioni sono instabili ecollassano. Quando " J il contrasto di densità cresce algebricamente con a esiha La scala dell orizzonte è 9 a p1 ` zq 1 (caso matter-dominated) 9 a 2 p1 ` zq 2 (caso radiation-dominated) r H ct (epoca matter-dominated per 0 z " 1) r H 2 ct (epoca radiation-dominated) Prima di proseguire dobbiamo determinare M J, la massa di Jeans, e c s la velocità del suono. 227

2 1.1 La massa di Jeans Una perturbazione di scala pari alla lunghezza di Jeans J formerà una struttura barionica di massa M J ; pertanto M J sarà la massa contenuta nella sfera di diametro J ovvero la massa di Jeans è definita come M J 6 J b (1.1) con b densità dei barioni e m b nel modello puramente barionico come quello che stiamo esaminando. 1.2 La velocità del suono Per capire la formazione delle strutture è importante conoscere J J pzq che a sua volta richiede la conoscenza della velocità del suono c s c s pzq; come vedremo, è particolarmente importante sapere come cambia c s nel passaggio dall epoca radiation-dominated a matter-dominated. Per definizione di velocità del suono ˆBp c 2 s B S dove il pedice S indica che la derivata è calcolata a entropia costante. La complicazione al calcolo di c s è d a t a d a l f a t t o c h e n e l p a s s a g g i o d a l l e p o c a della radiazione all epoca della materia cambiano i principali contributi a p e. La chiave sta nel fatto che materia e radiazione sono strettamente legati nell epoca precedente alla ricombinazione per cui è possibile scrivere ˆBp c 2 s Ba ˆB Ba Sappiamo che durante l espansione vale la conservazione dell energia nel caso adiabatico du pdv che, per la componente i esima corrisponde a S S Per la radiazione d i da ` i ` p i {c 2 a p r 1 rc

3 ovvero Per la materia ovvero d r da 4 r a dp r da 1 d c2 r 4 da c2 r a p m 0 d m da m a dp m da 0 Per cui, se r ` m e p p m ` p r si ottiene ˆBpr ˆBpm ` c 2 Ba S s Ba S ˆB r ˆB m ` Ba Ba ovvero S c 2 s c2 Nell epoca dominata dalla radiazione, cioè per S 4 c2 r a 4 r a m a 4 r 4 r ` m (1.2) z " 1.98 ˆ h 2 70 «6000 si ha r " m e c s tende al limite relativistico c 2 s» c2? per r " m A z più piccoli c s diminuisce al crescere di m ; in particolare tra l epoca r m elaricombinazione,quandosihal accoppiamentostrettotramateria e radiazione, la pressione delle onde sonore è data dai fotoni ma l inerzia è data dalla materia ( m " r ). Quindi, in quest epoca, c s decresce da c{? a c 2 s c2 Avevamo trovato che 4 r 4 r ` m» 4 9 c2 r m da m r fino alla ricombinazione r pzq m pzq 4 T0 4 p1 ` zq c c 0 229

4 da cui in questa fase 16 T 4 1{2 c s» 0 p1 ` zq 1.0 ˆ 108 z 1{2 cm s 1» 2.6 ˆ 10 8 z 1{2 cm s 1 9c c 0 p 0 h 2 q 1{2 (1.) con 0 0. eh 0.7. Dopo la ricombinazione, la velocità del suono diviene la velocità del suono della materia che, a causa dell accoppiamento ancora stretto con la radiazione, ha temperatura T m» T r per z 550p 0 h 2 q 1{5 75 come visto in precedenza. Quindi a z» 75 il gas aveva una temperatura T m «1000 K. Se non fosse accaduto altro, adesso il gas dovrebbe essere «75 volte più freddo della radiazione: infatti, come indicato dalla 6.24, un gas di barioni durante l espansione dell universo ha T T 0 aptq 2 T 0 p1 ` zq 2 equindiapartiredat m» T r il crollo della temperatura dei barioni è un fattore p1 ` zq più grande. In realtà il gas intergalattico di barioni è molto più caldo, e questo è dovuto al processo di formazione delle galassie. 1. Crescita di una fluttuazione barionica adiabatica nell epoca dominata dalla radiazione Nell epoca dominata dalla radiazione " rad " " b (b indica i barioni) e la velocità del suono è quella relativistica c s c{? percui J? c ˆ 1{2 ˆ 1{2 c 8G 24G è la densità di massa totale che include fotoni e particelle ultrarelativistiche. Come abbiamo visto 4.7 ˆ 10 1 kg m p1 ` zq 4 con fattore che deve tener conto del contributo delle altre particelle ultrarelativistiche che sono i neutrini. I neutrini si sono disaccoppiati dalla radiazione per T 1 MeV e da quel punto la loro densità è rimasta congelata al valore relativistico N 0.091p2 kt{hcq m con T 1MeV e si è successivamente evoluta con l espansione dell universo in modo da mantenere costante il numero, ovvero come N 9 a. Si può quindi stimare che, tenendo conto del contributo dei neutrini,»

5 Durante questa epoca tutta la massa inerziale delle perturbazioni è nella radiazione ( r " m ) a cui il plasma barionico è fortemente accoppiato per scattering Compton. Adesso siamo interessati a trovare la massa in barioni all interno della scala J, che sono poi quelli che formano gli oggetti nell epoca dominata dalla materia. La densità di massa dei barioni è per cui la massa in barioni entro (z " 2.4 ˆ h 2 )è M J ovvero 6 b 1.88 ˆ b h 2 a kg m J nelle prime fasi dominate dalla radiazione J b ˆ {2 6 c ˆ 4.7 ˆ 10 1 p1 ` zq 4 kg m {2 ˆ 24G ˆ 1.88 ˆ b h 2 p1 ` zq kg m M J 8.4 ˆ a b h 2 M d da cui si ottiene che M J 9 a durante la fase dominata dalla radiazione. Data l assunzione di modello puramente barionico b 0 0., inoltre h 0.7 per cui si ottiene M J 400 M d per z ˆ 10 8 M J M d per z 5 ˆ 10 5 Ricordiamo che queste sono le minime masse barioniche delle perturbazioni che collassano, ovvero perturbazioni barioniche con masse superiori a queste collassano. Confrontiamo adesso la lunghezza d onda di Jeans J con il raggio dell orizzonte r H ptq 2ct, sapendo che ovvero ˆ2 G"0 aptq c 2 1{4 t 1{2 ˆ c 2 1{2 r H ptq 2ct 2c a 2 2 G" 0 Ricordando che " c 2 " 0 a 4 equindiche" 0 c 2 a 4 si ottiene infine ˆ 1{2 r H ptq c 8 G 21

6 che deve essere confrontato con Si ottiene J c ˆ 1{2 24G J r H?» 1.8 ovvero J «r H durante la fase dominata dalla radiazione: la massa di Jeans della perturbazione è quindi quasi uguale alla massa racchiusa nell orizzonte M J» 6 M H Consideriamo una perturbazione che contiene una massa galattica di barioni M gal» M d contenuta nella scala spaziale ; come mostrato in figura 67, nelle prime fasi dominate dalla radiazione era super-horizon perché la sua scala era " r H. Essendo congelata nella metrica cresceva quindi come 9 a 2. Nel momento in cui la massa di Jeans (M J 9 a )diventaparia M gal, M J M M d per z 5 ˆ 10 5, la lunghezza scala diventa più piccola di J; poco dopo, dato che J «2r H, la perturbazione entra nell orizzonte. A questo punto la perturbazione è entrata nel suo orizzonte ( r H )edha J : la perturbazione si stabilizza contro il collasso gravitazionale e dà luogo a onde sonore (oscillazioni del fluido guidate dalla pressione di radiazione). 1.4 Crescita di una fluttuazione barionica adiabatica nell epoca dominata dalla materia Nell epoca in cui la densità di energia della materia uguaglia quella della radiazione (z» 2.4 ˆ h 2 )l espansionediventadominatadallamateria ma, come abbiamo visto, materia e radiazione sono fortemente accoppiate fintanto che il plasma rimane ionizzato: per z «1500 il plasma è ionizzato al 50% (epoca della ricombinazione) mentre per z» 550h 2{5 1{5 0 cessa l accoppiamento termico. Quest ultimo fatto altera profondamente la variazione della massa di Jeans col tempo t. Ricaviamo la variazione della massa barionica contenuta entro r H in funzione di a nell epoca matter dominated. Per 0 z " 1, z " 1(comeappropriato per la fase matter dominated fino oltre la ricombinazione) abbiamo trovato la c r H H 0 1{2 0 a {2 22

7 Mgal > MJ collapses Mgal < MJ oscillates (sound waves) Mgal MH MJ Figura 67: Evoluzione della massa di Jeans M J, della massa racchiusa entro l orizzonte M H e della massa di Silk M S in funzione del fattore di scala a. Lamassa di una perturbazione galattica, dell ordine di M d è rappresentata da una retta orizzontale in quel diagramma. La riga verticale tratteggiata separa il caso in cui la perturbazione collassa (M gal M J ) o oscilla generando onde sonore (M gal M J ). Si noti come le scale non corrispondano esattamente ai valori citati nel testo per cui la figura è da considerarsi come uno schema qualitativo. per cui la massa barionica entro l orizzonte è ˆ4 4 8c M H r H b H 0 {2 0 a 9{2 ˆ H2 0 b 8 G a poichè stiamo considerando un modello puramente barionico b 0 esi 2

8 ottiene M H 4c H 0 1{2 0 G a{2 2.5 ˆ 102 p 0 h 2 q 1{2 a{2 M d ovvero la massa barionica entro l orizzonte cresce come M H 9 a {2 9 t (si ricordi che in questa fase a 9 t 2{ ). Vediamo adesso la variazione della massa racchiusa entro una lunghezza d onda di Jeans; ci serve la variazione di c s con il redshift. A partire dall equivalenza tra materia e radiazione la velocità del suono si abbassa rispetto al limite relativistico e dalla 1.2 si ha c 2 s c2 4 r» 4c2 4 r ` m 9 poichè, come abbiamo visto, la materia domina l inerzia e la pressione è data dalla radiazione fino al momento della ricombinazione; pertanto, come trovato nella 1. abbiamo Ricordando che c s c ˆ4 rad 9 b r m 1{2 108 p1 ` zq 1{2 p b h 2 q 1{2 cm s 1 1{2 ˆ J c s G M J J b 6 otteniamo infine (sempre con b 0 ) M J,m.75 ˆ 1015 p b h 2 q 2 M d.75 ˆ 1015 p 0 h 2 q 2 M d» 2 ˆ M d ovvero, in questa fase, la massa di Jeans è indipendente dal fattore di scala come anche chiaramente mostrato in figura 67. Nella fase dominata dalla materia e per 0 z " 1, le perturbazioni adiabatiche (ovvero quelle che abbiamo analizzato) di massa superiore a M J,rm crescono sempre come 9 a sia prima che dopo l entrata nell orizzonte. Lo stesso non accade alle perturbazioni con M M J,m che nella fase dominata dalla materia sono già stabilizzate e continuano le loro oscillazioni sonore. I risultati di questa analisi sono i seguenti. Fino a che le perturbazioni sono su scale r H econmassem gal M J crescono come 9 a 2 9 t nella fase radiation-dominated e come 9 a 9 t 2{ nella fase matter-dominated. Successivamente 24

9 se le perturbazioni attraversano l orizzonte durante la fase radiationdominated (ovvero se M gal M J,m )sistabilizzanoediventanoonde sonore con velocità c s c{? mantenendoun ampiezzacostante; se le perturbazioni attraversano l orizzonte durante la fase matterdominated (ovvero se M gal M J,m )oscillanocomeondesonorecon velocità del suono c 2 s 4 c2 r 9 e si può dimostrare che l ampiezza delle oscillazioni decresce come 9 t 1{6 in seguito all perdita di energia adiabatica delle oscillazioni dovuta all espansione dell universo (e etto del termine smorzante con 9a{a). La dimostrazione di quest ultimo punto è abbastanza semplice. Si parte dall equazione per ptq d 2 dt 2 ` 2 ˆ 9a a d dt m ˆ 4 G k2 cc 2 s a 2 che avevamo già risolto nel caso del collasso trascurando il termine di pressione k 2 cc 2 s{a 2. Si noti che abbiamo utilizzato il vettore d onda in coordinate comoventi k c k{a. Adesso, tenendo conto di quel termine, si cerca una soluzione del tipo ptq t n ptq Svolgendo le derivate e moltiplicando membro a membro per t 2 si ottiene ˆn : ` 2 t ` 9a «c 2 9 ` skc 2 ˆ 2 9a ` 2n ˆ 9a npn 1q ` 0 a a 2 2 a t a t 2 dove si è usato a 0, r a 4 r,0, c 2 s 4c 2 r {p9 m q einfine aptq 1{ 0 pt{t 0 q 2{ da cui 9a{a 2{ptq. Ponendon 2{ iltermine smorzante in 9 svanisce e rielaborando otteniamo «ˆ c 2 : ` skc 2 2 9a 0 a 2 a che è l equazione per un oscillatore non-smorzato con frequenza variabile ˆ! 2 c2 skc 2 2 9a a 2 a 25

10 Consideriamo onde con! c s t cioè con lunghezza d onda inferiore all orizzonte sonoro in quanto quelle al disopra non hanno il tempo di oscillare. Questo significa che da cui k c 2 c 2 a " a c s t» 9a c s k c c s " 9a ovvero possiamo trascurare il termine in 9a{a in! ottenendo!» c sk a 9 a {2 poichè c s 2{cp r { m q 1{2 9 a 1{2 ; la frequenza decresce a seguito dell espansione dell universo. Nel limite in cui il tempo scala di variazione della frequenza è " del periodo di oscillazione ovvero sempre k c " 9a{c s, possiamo applicare il principio dell invarianza adiabatica per un oscillatore la cui frequenza varia nel tempo: di conseguenza l ampiezza massima delle oscillazioni deve scalare come infine, se a 9 t 2{ 9 max 9! 1{2 9 a {4 ptq t 2{ ptq9t 2{ pt 2{ q {4 9 t 1{6 come volevamo dimostrare. Dopo il periodo dominato dalla materia in cui si ha lo smorzamento adiabatico delle perturbazioni, le epoche critiche sono la ricombinazione ed il momento in cui materia e radiazione si disaccoppiano termicamente. Al momento della ricombinazione la pressione non è più data dalla radiazione ma diventa quella termica della materia; la velocità del suono è quella adiabatica di una gas a T» 000 K per z 1000 (il disaccoppiamento termico è a z 550p 0 h 2 q 1{5 75) ovvero al momento della ricombinazione ˆ 5kT c s m H 1{2 p con 5{; la massa di Jeans al momento della ricombinazione crolla a ( b 0 ) ˆ M J J b 1.6 ˆ 10 5 p 0 h 2 q 1{2 M d» 4 ˆ 10 5 M d 6 26

11 quindi al momento della ricombinazione la massa di Jeans passa improvvisamente a masse molto minori delle tipiche masse delle galassie; tutte le perturbazione con massa M Á 10 5 M d cominciano a collassare e crescono come 9 a. Si noti come la massa di Jeans dopo la ricombinazione corrisponda, più o meno, alla massa degli ammassi globulari, ovvero alla massa dei più vecchi sistemi stellari della galassia. Come abbiamo visto, se il gas continuasse a ra reddare adiabaticamente seguendo l espansione dell universo, si avrebbe che fino al disaccoppiamento termico con la radiazione cioè fino a z 550p 0 h 2 q 1{5 75 equindi T T r 9 a 1 c s 9 a 1{2 J 9 a M J 9 cost. Dopo il disaccoppiamento termico con la radiazione il gas di barioni si raffredderebbe adiabaticamente e equindi T 9 a 2 c s 9 a 1 J 9 a 1{2 M J 9 a {2 In realtà intervengono il gas intergalattico per z 6èmoltoionizzato,come mostrato dall assenza di assorbimento negli spettri dei quasar, e quindi deve accadere qualcos altro. 1.5 Processi dissipativi nell epoca pre-ricombinazione: Silk damping delle perturbazioni adiabatiche Per concludere l evoluzione delle perturbazioni adiabatiche dobbiamo considerare i processi dissipativi che avvengono nell epoca pre-ricombinazione. Se è su scale r H» 0.5 J allora siamo in presenza di onde sonore adiabatiche dove la forza di richiamo per ogni oscillazione è data dalla pressione di radiazione; se i fotoni di ondono fuori dalla perturbazione allora le oscillazioni vengono smorzate poichè viene a mancare la forza di richiamo. Questo fenomeno di smorzamento prende il nome di Silk Damping. 27

12 Adesso facciamo una trattazione molto semplificata per capire meglio l essenza del processo fisico. Il cammino libero medio dei fotoni a seguito dello scattering Thomson con gli elettroni è ` 1 N e Il percorso di un fotone determina uno spostamento complessivo T ~D ÿ i `~d i dove d ~ i è il versore dello spostamento la cui direzione è distribuita casualmente nello spazio. Il modulo dello spostamento è pertanto ˇ ~D ˇ ˇ2 ÿ ÿ `2 ~d i ~d j ÿ ˇ `2 ˇ~d iˇˇˇ2 ÿ ` 2`2 ~d i ~d j i j i i,j i Facciamone la media su tutto l angolo solido e avremo C G C G ÿ ÿ ~d i ~d j cos i,j 0 i,j i i,j i poichè gli d ~ i hanno direzioni casuali nello spazio. Allora Bˇˇˇ F Dˇˇˇ2 ~ N`2 ovvero D? N` con N numero di scattering e D spostamento medio. Quindi ne possiamo dedurre che nel tempo t i fotoni si spostano di un tratto D? N` ma percorrono una lunghezza pari a N` da cui ed infine si ottiene N` ct ovvero N ct ` D 1{2 ˆct ` p`ctq 1{2 ` Con una trattazione statistica più accurata, si ottiene che la lunghezza di di usione dei fotoni al tempo t cioè il raggio massimo della perturbazione da cui sono in grado di uscire è r S 1{2 ˆ1 ` ct 28

13 La massa entro questo raggio è M S 4 r S b da valutare nell epoca pre-ricombinazione. Nel caso radiation-dominated, ovvero per z 2.4 ˆ h 2 si ha ˆ c 2 1{2 ˆ c 2 t 2 G" 2 G 2 {4T ˆ 1019 p1 ` zq 2 s con 1.7 et K. N e varia come N e b c p1 ` zq m p 11 b h 2 p1 ` zq m quindi la massa al disotto della quale le perturbazioni sono smorzate dalla di usione dei fotoni (Massa di Silk) nell epoca radiation dominated è M S 4 r S b 2.4 ˆ p b h 2 q 1{2 p1 ` zq 9{2 M d (rad. dom.) da valutare con b 0. Analogamente, nel caso matter-dominated si trova t 2 H 0 1{2 0 p1 ` zq {2 2.1 ˆ p 0 h 2 q 1{2 p1 ` zq {2 s ovvero con b 0 M S 2.0 ˆ 10 2 p 0 h 2 q 5{4 p1 ` zq 15{4 M d (matt. dom.) La massa di Silk M S in funzione del redshift è rappresentata in figura 67 e, come detto, rappresenta la massa massima delle perturbazioni che vengono smorzate a seguito del processo di di usione dei fotoni; come si vede in figura lo smorzamento interessa tutte perturbazioni stabili ovvero che oscillano come onde sonore visto che si ha sempre M S M J. Dal momento in cui la massa della perturbazione diventa M gal M S la perturbazione viene smorzata e la sua ampiezza va rapidamente a 0 ( Ñ 0quandoM gal M S ). Il Silk damping procede fino al momento della ricombinazione ovvero fintanto che la pressione è data dalla radiazione: alla ricombinazione la massa di Silk ha raggiunto un valore M S,rec «10 12 p 0 h 2 q 5{4 M d 29

14 Con calcoli più dettagliati che tengano anche conto della gradualità della ricombinazione si ottiene M S,rec» 1. ˆ p 0 h 2 q {2 M d» 4.8 ˆ M d con l ultimo valore ottenuto per b h Questo risultato implica che tutte le perturbazioni di tutte le masse, tranne quelle delle galassie più massicce, sono state smorzate all epoca della ricombinazione. In pratica, è come se le perturbazione di massa M gal M S,rec 5 ˆ M d non avessero mai cominciato a crescere! In conclusione, con la teoria delle perturbazioni adiabatiche, solo le perturbazioni su scale M gal M S,rec 5 ˆ M d sopravvivono dopo la ricombinazione. Le strutture su scale più piccole devono essersi necessariamente formate per frammentazione di queste grandi perturbazioni dopo la ricombinazione. 1.6 Crescita di una fluttuazione barionica adiabatica Riassumiamo qui la crescita di perturbazioni barioniche adiabatiche tenendo conto di quanto visto fino ad ora e riferiamoci alla figura 68 In figura sono rappresentate tre perturbazioni a tre scale diverse. Ogni perturbazione attraversa tre diverse fasi. Nella prima fase la perturbazione è più grande dell orizzonte (super-horizon) e cresce come 9 a 2 nell epoca della radiazione e 9 a nell epoca della materia. Le perturbazioni che entrano l orizzonte prima di t eq (separazione tra epoca radiazione e materia) oscillano con ampiezza costante fino a t eq. Per t eq t t rec (t rec è l a r i c o m b i n a z i o n e ) l e perturbazioni decadono adiabaticamente come 9 a 1{4. Inoltre, le perturbazioni sulle scale più piccole sono soggette a smorzamento per di usione dei fotoni (Silk damping) e sono fortemente attenuate: in figura si tratta della perturbazione con scala più piccola. Le perturbazioni che sopravvivono fino a t rec riprendono poi a crescere come 9 a nel gas ormai neutrale. 1.7 Perturbazioni isoterme Nelle perturbazioni adiabatiche abbiamo supposto che c s p ovvero p p All altro estremo rispetto alle perturbazioni adiabatiche ci sono le perturbazioni isoterme che sono fluttuazioni di densità barionica sul background uniforme della radiazione. Le perturbazioni sono isoterme poichè la materia è alla stessa temperatura della radiazione ( per scattering Thomson- Compton) 240

15 Figura 68: Evoluzione di perturbazioni barioniche adiabatiche con tre diverse scale spaziali. Le lunghezze (proprie) sono divise per il fattore di scala a e rappresentano quindi lunghezze comoventi. Ricordiamo che, come trovato nel testo, nell epoca della radiazione J 9 a 2 e r H 9 a 2 mentre nell epoca della materia J 9 a e r H 9 a {2 ; questo spiega, ad esempio, perché J{a è costante nell epoca della materia. elaradiazioneèuniformeovverot cost. Pertanto le fluttuazioni in b non causano fluttuazioni in T durante le fasi dominate dalla radiazione. Nel caso dei gas perfetti qualsiasi fluttuazione di p e nella fasi dominate dalla radiazione può essere ricondotta ad una sovrapposizione di perturbazioni isoterme ed adiabatiche. Si può confrontare il tempo caratteristico per il collasso di una perturbazione in un mezzo uniforme (tempo di free-fall) ff «pg b q 1{2 con il tempo caratteristico dell espansione dell universo nella fase radiation dominated exp a ˆ c 2 9a a 4 1{2 ˆ 1{2 «pg radq 1{2 8 G" 0 8 G rad 241

16 da cui ff exp «ˆ b rad 1{2 " 1 poichè b mat! rad nella fase dominata dalla radiazione con anche b 0. Il tempo di espansione è pertanto molto minore del tempo di collasso di una perturbazione per cui ci si può aspettare che una perturbazione rimanga congelata nel substrato e si espanda con esso (come abbiamo già visto confrontando l evoluzione dei due universi con 0 1e 0 1). Si noti come questo ragionamento non si applichi nel caso delle perturbazioni adiabatiche dove, nell epoca della radiazione, la gravità è determinata dalla radiazione e ff «pg rad q 1{2 ovvero ff { exp 1. Si può dimostrare (vedi libro) che nella fase dominata dalla radiazione la perturbazione isoterma cresce come b 9 1 ` b 1 ` 2 rad 2 con a eq fattore di scala per cui b rad ( b è t u t t a l a m a t e r i a n e l m o d e l l o puramente barionico che stiamo considerando). Questo dimostra che le perturbazioni isoterme sono praticamente congelate fino ad a eq. In pratica, in tutta fase dominata dalla radiazione le perturbazioni isoterme crescono solo di un fattore 1 ` {2 5{2. Dopo, con b " rad ritroviamo b 9 a come abbiamo già visto. Ci siamo però dimenticati l interazione tra materia e radiazione. Il risultato appena trovato sarebbe corretto se gran parte della materia fosse oscura enoninteragenteconlaradiazione. Inrealtàquestononsuccedeinquesto caso in cui abbiamo supposto che tutta la materia sia barionica. Si può dimostrare che l attrito dovuto all interazione di elettroni (e protoni) con i fotoni è superiore alla forza gravitazionale della perturbazione (si ricordi che in questo caso i fotoni non partecipano alla perturbazione). Pertanto le perturbazioni b isoterme non crescono quasi per nulla fino all epoca della ricombinazione, dopo di che crescono con la classica 9 a p1`zq 1.Quindi, lo spettro delle perturbazioni alle grandi masse non è molto diverso rispetto al caso adiabatico, ma alle piccole masse esistono perturbazioni che pira non c erano perché smorzate dal Silk damping: in questo caso isotermo il Silk damping non c è perché il campo di radiazione è uniforme e sopravvivono le perturbazioni su tutte le scale. Come visto, dopo la ricombinazione M J crolla a M J 1.6 ˆ 10 5 p 0 h 2q 1{2 M d (4 ˆ 10 5 M d per 0 =0.) e le perturbazioni su massa superiore a questa cominciano a formare oggetti legati. a a eq 242

17 1.8 Teorie barioniche di formazione delle galassie. Storicamente ci furono due gruppi concorrenti: Zel dovich, Sunyaev et al., favorivano le perturbazioni adiabatiche mentre Peebles et al. favorivano le perturbazioni isoterme Caso adiabatico A causa del damping di Silk, solo le perturbazioni con M M S p b h 2 q 5{4 M d sopravvivono e collassano dopo la ricombinazione, quando crescono in ampiezza come 9p1 ` zq 1 finché 0 z 1. Poichè all inizio degli anni 70 si sapeva già dalla nucleosintesi che b À 0.05h 2, anche nel caso estremo in cui h 0.5, le perturbazioni sarebbero cresciute molto lentamente per z 5 eperspiegarelestruttureesistentisisarebbedovutoavere 1perz 5. A causa del damping di Silk solo le perturbazioni su grande scala arrivano a z 5con 1 e queste dovevano avere 6 ˆ 10 alla ricombinazione da 1 ` 5 pt rec q pz 5q p1 ` z rec q» 6 ˆ 10 Le galassie e le altre strutture si formavano poi nel periodo z 5perframmentazione delle perturbazioni di grande massa sopravvissute al momento della ricombinazione: questo è lo scenario top-down Caso isotermo In questo caso non c è il damping di Silk (T rad cost.)etutteleperturbazioni con M M J 1.6 ˆ 10 5 p 0 h 2 q 1{2 M d collassano. I primi oggetti a formarsi sono simili agli ammassi globulari. La formazione di galassie ed ammassi avviene per una specie di clustering gerarchico : da strutture piccole si formano le strutture grandi per aggregazione. Questo è lo scenario bottom-up. 1.9 I problemi dei modelli barionici di formazione delle galassie Il problema più grosso che a igge i modelli barionici di formazione delle galassie deriva dal confronto tra i p { q predetti ed osservati sulla superficie di ultimo scattering. Alle grandi masse, entrambi i modelli danno predizioni 24

18 simili (infatti la di erenza principale sta nel Silk damping) e richiedono che sulla superficie di ultimo scattering si abbia Á ˆ 10 Queste fluttuazioni di densità barionica dovrebbero corrispondere a fluttuazioni di temperatura che però non sono osservate. Infatti, è stato dimostrato da Sunyaev e Zel dovich che Cˆ T T 2G 1{2 2 ˆ 10 5 M 1{2 1{2 0 p1 ` z q M d con z 0 redshift a cui p { q 1. Se per queste strutture z 0» 5con 0 =0., si ottiene Cˆ 2G 1{2 ˆ 1{2 T M» 9 ˆ 10 5 T M d Però dalle fluttuazioni della CMB avevamo trovato che ˆ T 18µK T 2.7 K» 7 ˆ 10 6 T» 18µK ovvero ovvero ben un fattore 10 più piccolo di quanto richiesto dai modelli! Infine, sappiamo che 0» 0. e b» 0.04 per cui deve esistere della materia non barionica che costituisce gran parte della materia dell universo. In conclusione, se la materia fosse soltanto barionica le fluttuazioni di densità verrebbero smorzate dal Silk damping nel caso adiabatico o frenate dall interazione con la radiazione nel caso isotermo. In ogni caso crescerebbero lentamente e per avere le strutture osservate oggi dovremmo avere fluttuazioni sulla CMB che sono un fattore 10 più grande di quanto osserviamo. 244