Gioco di prospettiva da pavimento

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1 Gioco di prospettiva da pavimento Introduione Si vuole costruire un gioco di prospettiva da pavimento, ovvero un disegno ce, una volta posto sul pavimento, abbia un effetto di profondità. In questo testo si costruirà innanitutto un'equaione con lo scopo di calcolare la proieione di un punto sul pavimento, in modo ce poi si potrà ottenere facilmente una proieione precisa di un intero oggetto, partendo dalle coordinate nello spaio dei punti ad esso appartenenti. Successivamente si prenderà un oggetto di esempio (nel nostro caso un bicciere) e si disegnerà la sua immagine appiattita, sfruttando l'equaione appena nominata. Preparaione del disegno 1. Scrittura della formula Cominciamo innanitutto con il ciarirci le idee su cosa dovrà calcolare effettivamente la formula in questione. Disegniamo uno scema di ciò ce percepisce l'occio dell'osservatore. Figura 1: Rappresentaione scematica della visuale Osservando la figura, ci accorgiamo ce il punto di coordinate (x, y ) sarà visto dall'occio dell'osservatore nella stessa posiione del punto del pavimento ce a coordinate (x', ); l'occio e questi due punti sono allineati, quindi appartengono ad una stessa retta. Nello spaio le coordinate dei punti appena citati sono, rispettivamente, (x, y, ) e (x',, ') (è stata solamente aggiunta la tera coordinata a quelle di prima). Le coordinate dell'occio saranno invece (, ) nel piano e (,, ) nello spaio. Per tracciare la proieione dell'oggetto sul pavimento dobbiamo quindi scrivere le equaioni della retta occio-oggetto e calcolarne il punto di interseione con il pavimento. Facendo riferimento alla figura precedente abbiamo stabilito, per comodità, ce il pavimento è un piano con ordinata, mentre la retta ce stiamo cercando passa per i punti (,, ) e (x, y, ).

2 Scriviamo le equaioni: {x= x y= y = per la retta e per il piano. Il problema si riduce dunque a trovare il punto della retta con ordinata ; calcoliamo il valore del parametro t con questa condiione e sostituiamolo nelle equaioni: {x'= x x y '= y {x'= ' = y '= = y t '= x '= x y '= {x'= x t= {x y = t= y {x y' = y y '= t '= ' = y y Quindi un punto dell'oggetto con coordinate (x, y, ) osservato da (,, ) avrà una proieione sul pavimento nel punto: f x, y,, = x y,, y. 2. Elaboraione dell'immagine Abbiamo ottenuto la relaione f x, y,, = x,, y y, essendo (,, ) e (x, y, ) rispettivamente le coordinate del punto di vista e del punto appartenente all'oggetto da proiettare ed essendo x,, y y le coordinate della sua proieione sul piano di appoggio. Vogliamo proiettare un oggetto di esempio su un foglio di carta; cominciamo con un bicciere, ce a una forma abbastana semplice: il cilindro. Figura 2: Misure in centimetri Riprendendo la figura precedente, possiamo indicare all'interno di essa le misure (indicate

3 in centimetri nel disegno, ce non è in proporione). Le misure di un semplice bicciere cilindrico sono all'incirca di 8 cm di altea e 7 cm di diametro. Stabiliamo la posiione dell'occio rispetto al bicciere, ce immaginiamo poggiato su un tavolo di fronte all'osservatore: la distana tra il corpo dell'osservatore e il centro del bicciere può essere di 15 cm, mentre la differena di quota tra il piano del tavolo e l'occio (il parametro ) può essere di 85 cm. Prendiamo un foglio di carta A4 e delineiamo i primi tratti della proieione. Cominciamo con la base del bicciere: una circonferena. Questa parte non subisce distorsioni (né spostamenti), infatti è facile accorgersi ce la coordinata y è per ogni punto appartenente alla base, quindi la relaione f x, y,, = x,, y y diventa f x,,, = x,, = x,,. Disegniamo la circonferena. Abbiamo scelto come centro della circonferena un punto ce dista circa 4,5 cm dal margine inferiore del foglio e ce a la stessa distana dai margini destro e sinistro, in modo da lasciare la parte restante del foglio a disposiione per il resto del disegno. Adesso occupiamoci della parte superiore del bicciere; prendiamo i due punti più semplici e importanti di quest'altra circonferena: quello più vicino all'osservatore e quello più lontano, segnati in figura. Figura 3: Punti rilevanti La coordinata di questi punti è uguale a, mentre la coordinata y è uguale a 8 (l'altea del bicciere) e la coordinata x è uguale a 15±3,5. Invece il parametro, come avevamo stabilito all'iniio, è uguale ad 85.

4 Calcoliamo la posiione dei punti proiettati sul piano di appoggio, facendo uso della relaione ce abbiamo trovato: f 146,5,8,,85 = 146, f 153,5,8,,85 = 153, ,, = 161,72,,,, = 169,45,, Dunque questi due punti possono essere disegnati rispettivamente 11,72 cm e 19,45 cm al di sopra del centro della circonferena ce abbiamo già tracciato. Abbiamo ottenuto due punti di riferimento molto importanti, infatti la proieione di tutti gli altri punti della circonferena si troverà nella striscia di foglio compresa tra questi due. Adesso cerciamo di capire come fare a disegnare la parte restante della proieione di questa circonferena. Vogliamo ottenere le equaioni di questa figura, partendo dalle equaioni della circonferena da proiettare e dalla relaione per proiettare f x, y,, = x,, y y. Le equaioni della circonferena da proiettare sono: { x2 2 2 x r 2 =, con α=15, β= e r=3,5. y=8 Per poter inserire queste equaioni nella relaione f, le riscriviamo in forma parametrica: 2 3x 22487,75= {x=15± 49 4t 2 2 y =8 y=8 =t { x2 ; calcoliamo le equaioni della figura proiettata: 2 f 15± 49 4t 2 ce può essere riscritta, eliminando il parametro: 15 {x= 49 4t2 ± = t 8,8,t, = t2 ±,, {x= 8 ± 49 2 t= 8 t 8, t 2 {x= 15 8 ± {x= ± {x 15 8 =± ed elevando la prima equaione dell'ultimo passaggio al quadrato, ci accorgiamo ce l'equaione ottenuta è una circonferena, contrariamente a ciò ce potrebbe portarci a credere l'intuito (a prima vista, infatti, si potrebbe pensare ad un ellisse o ad una figura molto simile)..

5 Riscriviamo l'equaione in modo da poter calcolare le proprietà di questa circonferena, ovvero eleviamo al quadrato: 3 {x2 8 x = {x x = 2 {x x = 2. Da questa equaione possiamo estrarre i dati utili relativi alla circonferena: =15 8 = 2 = 9 49 r = = = r= essendo α, β le coordinate x, del centro della circonferena e r il suo raggio. Sostituiamo il parametro con il valore ce avevamo stabilito (85 cm): = =165,58 = r= =3,86. Possiamo notare ce i punti trovati precedentemente fanno parte di questa immagine. Disegniamo la nuova circonferena trovata, ce avrà il centro una quindicina (15,58 cm) di centimetri più in alto del centro dell'altra e raggio uguale a 3,86 cm. Per completare la struttura cilindrica del bicciere mancano solamente due segmenti, ce possono essere calcolati con la formula f, ma per semplicità possiamo cercare con un rigello le due tangenti (ad entrambe le circonferene) più esterne, sena fare calcoli.

6 Per completare il disegno, eliminiamo ciò ce è di troppo. Il disegno è pronto; l'immagine deve essere appoggiata su un tavolo e osservata con un solo occio da circa un metro e meo di distana percé l'effetto renda al meglio. Nelle due pagine seguenti inserisco due figure stampabili di ciò ce è stato ottenuto. E' possibile migliorare l'effetto aggiungendo effetti artistici, di rifraione del vetro o sfumature d'ombra, con adeguata precisione.

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