Una (brevissima) introduzione alla logica lineare Relazione per il seminario Selp del

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1 Una (brevissima) introduzione alla logica lineare Relazione per il seminario Selp del Paolo Pistone 1 L' inazione dei connettivi Che dierenza c'è tra un enunciato della vita pratica come Con un euro posso comprare una coca cola e un pacco di patatine e un teorema oppure una legge della sica, ad esempio la seconda legge della dinamica F = ma? La scoperta della linearità permette di dare una risposta: un teorema o una legge sono enunciati che consideriamo veri, e che dunque siamo in grado di utilizzare quando vogliamo nei nostri ragionamenti, mentre gli enunciati della vita pratica, dipendendo da un contesto in continua trasformazione, molto spesso sono utilizzabili un numero ristretto di volte nel ragionamento, in quanto il loro uso ne può determinare la perdità di verità (se ho un euro, posso comprare la coca cola, ma poi non potrò più dire di avere un euro, e quindi non potrò comprare le patatine). L'approccio lineare interpreta la verità come disponibilità illimitata, e guarda agli enunciati come risorse da usare e consumare nelle dimostrazioni. I capisaldi della verità sono allora le cosiddette regole strutturali: contrazione A B A e indebolimento A A A; la logica lineare non è altro che ciò che resta della logica classica una volta eliminate queste regole. L'eliminazione delle regole strutturali ha come conseguenza lo sdoppiamento dei connettivi classici: ognuno di questi ha infatti, nella logica lineare, un alter-ego moltiplicativo ed un alter-ego additivo; il primo è un connettivo context-free, che lascia intatti i contesti, limitandosi a copiarli dalle premesse alla conclusione; il secondo è un connettivo che invece dipendente dai contesti, in quanto richiede che le premesse abbiano gli stessi contesti in modo da trasferirne una sola copia nella conclusione. Ecco le regole: Γ, A, B Γ, A B L Γ A, Γ B, Γ, Γ R congiunzione moltiplicativa A B,, Γ, A Γ, B Γ A, B, Γ, Γ, A B, L R disgiunzione moltiplicativa Γ A B, Γ, A i Γ A, Γ B, i {0, 1}, L R congiunzione additiva Γ, A 0 A 1 Γ A B, Γ, A Γ B, Γ, A B L Γ A i, i {0, 1}, R disgiunzione additiva Γ A 0 A 1, Come emerge dalla simmetria delle regole, attraverso la negazione lineare 1

2 Γ A, Γ, A Γ, A L Γ A, R si ottengono le leggi di de Morgan moltiplicativa ((A B) A B ) e additiva ((A B) A B ); inoltre si possono denire una implicazione moltiplicativa A B := A B ed una additiva A B := A B. La disgiunzione additiva, soddisfacendo la proprietà della disgiunzione (ossia, se Γ A B, allora Γ A oppure Γ B), codica l'interpretazione costruttivista della disgiunzione (Una prova di A o una prova di B), mentre la disgiunzione moltiplicativa, che non soddisfa la proprietà della disgiunzione, codica il comportamento delle disgiunzioni dimostrabili, nella logica classica, a partire dalla legge del terzo escluso (in quanto A A, ma non A A, è un teorema) oppure dalla regola di assurdo classico (in quanto è involutivo). Il vantaggio maggiore dell'approccio lineare alla logica è che le derivazioni, pur rispettando le simmetrie classiche e quindi senza arrendersi alle limitazioni degli intuizionisti, sono consistenti dal punto di vista computazionale: la perdita di questa proprietà, probabilmente il maggior difetto della logica classica, è infatti una conseguenza dell'uso di regole strutturali, e non una conseguenza delle simmetrie interne (involutività della negazione e leggi di de Morgan); infatti, siano π 1 e π 2 due arbitrarie dimostrazioni classiche del sequente, allora si consideri la seguente dimostrazione π 3 : π 1 Γ, A π 2 Γ A, L'eliminazione del taglio in π 3 ha il risultato di identicare π 1 e π 2 : ne segue che due arbitrarie dimostrazioni di una formula sono identicabili via eliminazione del taglio, ossia che le derivazioni nella logica classica non hanno un contenuto computazione esplicitabile. Torniamo ai teoremi e alle leggi della sica: è possibile esprimere la loro eterna verità, ovvero la loro disponibilità illimitata, nella logica lineare senza perdere contenuto computazionale introducendo due operatori! e? che possiamo interpretare pressapoco così:!a sta per A è un teorema e?a per A è soddisfacibile o A non è un teorema, in quanto si ha (!A)?A. L'idea è la seguente: se A è un teorema, allora ne ho disponibilità illimitata (dunque!a A A, ad esempio) ed inoltre, se a partire da Γ è dimostrabile, lo sarebbe anche se A fosse un teorema, ossia è dimostrabile?a, (mentre non sarebbe aatto dimostrabile A, ); viceversa ogni modello che soddis A e B soddisfa A (e dunque?a?b?a ma non A B A). Ecco le regole: cut Γ,!A,!A!-indebolimento Γ,!A Γ,!A!-contrazione,?A Γ, A Γ,!A L!!Γ?, A!Γ?,!A R!,?A,?A?-indebolimento,?A?-contrazione 2

3 !Γ, A?!Γ,?A? L?, A,?A R? Le regole L!, R!, L?, R?, se si sostituisce! con e? con, corrispondono alle regole della logica modale S4, che codica infatti condizioni di dimostrabilità. E' interessante notare che, mentre la logica lineare senza! e? è decidibile, la logica lineare esponenziale (ossia con! e?) è indecidibile: questo fenomeno è dovuto alle regole di contrazione che dilatano enormemente l'albero di ricerca della dimostrazione. Per quanto riguarda i quanticatori, essi vengono generalmente introdotti al primo ed al secondo ordine con le regole classiche, ma, per via della dierenza tra negazione classica e lineare (quest'ultima più forte perchè laddove A nega una quantità indenita di occorrenze di A, A ne nega esattamente una), si ottiene un risultato sorprendente: nonostante l'equivalenza ( x.a) x.a, sia al primo che al secondo ordine vale la proprietà esistenziale, ossia da Γ x.a è possibile ricavare eettivamente un t tale che sia dimostrabile Γ A[x/t], in quanto la linearità della negazione blocca la formazione della disgiunzione di Herbrand A[x/t 1 ]... A[x/t n ]. 2 La deazione dei connettivi Il punto di vista della cosiddetta proof-search, ovvero della ricerca bottom-up delle dimostrazioni, si è rivelato decisivo per una rivalutazione, occorsa a partire dalla metà degli anni Novanta e tuttora in atto, dell'approccio lineare alla logica. Consideriamo per semplicità solo sequenti a destra (ovvero della forma Γ); guardando con attenzione le R-regole dei connettivi si nota che questi possono essere divisi in due grandi classi: Negativi Sono i connettivi che determinano in maniera univoca la prima mossa di ogni strategia di proof-search a partire da una formula in cui occorrano principalmente, una conseguenza del fatto che sono invertibili, ossia che ogni occorrenza della R-regola può essere letta dal basso verso l'alto. Sono negativi i connettivi lineari espressi in notazione commerciale e, nonchè ; Positivi Sono i connettivi che non determinano in maniera univoca la prima mossa di una strategia di proof-search a partire da una formula in cui occorrano principalmente, e dunque non sono invertibili. Si pensi alla disgiunzione: per dimostrare A B devo cercare di dimostrare A o di dimostrare B? Sono positivi i connettivi lineari espressi in notazione algebrica e, nonchè. Si noti che, se un connettivo è negativo, il suo duale è positivo e viceversa. Questo è un principio generale, in quanto è possibile dimostrare che, se è soddisfatta l'eliminazione del taglio, la dierenza di polarità è equivalente alla coerenza logica. Questo implica che la negazione lineare sia quell'unico connettivo unario che inverte la polarità della formula che ha come argomento. 3

4 Connettivi di stessa polarità distribuiscono tra loro e questo comporta che si possano considerare aggregati di connettivi di stessa polarità come connettivi essi stessi (l'equipolarità è infatti condizione suciente perchè esistano delle regole sensate che ammettano eliminazione del taglio). Una ulteriore proprietà delle due polarità è la seguente: se A è una formula ereditariamente negativa, ossia costruita esclusivamente attraverso connettivi negativi, allora è dimostrabile A?A, mentre, se A è ereditariamente positiva, ossia costruita esclusivamente attraverso connettivi positivi, allora è dimostrabile A!A. Soddisfacibilità e dimostrabilità sono dunque intimamente connesse rispettivamente con il negativo e con il positivo. Il concetto di polarità permette di separare nettamente, nella proof-search, i comportamenti deterministici da quelli indeterministici, ma c'è di più: si possono rileggere i teoremi di incompletezza come teoremi che dimostrano una fondamentale asimmetria tra le polarità, ovvero una maggior forza del positivo sul negativo; la famosa formula G di Gödel che asserisce la propria indimostrabilità nell'aritmetica è infatti una formula positiva, ed è possibile provare che, laddove il frammento negativo della logica del secondo ordine (in particolare quello generato dalle Π 1 -formule) è completo, il frammento positivo è incompleto. Per quale motivo la logica lineare è stata necessaria alla scoperta della polarità logica? Se si aggiungono le regole strutturali, si ottiene A B A B e A B A B, ossia l'identicazione dei comportamenti positivi e di quelli negativi; questo è dunque il motivo della inconsistenza computazionale della logica classica. La logica intuizionista, ammettendo di fatto regole strutturali solo alla sinistra dei sequenti, preserva la polarità dei connettivi, e ha quindi contenuto computazionale nonchè una interpretazione diretta nella logica lineare: A := A, per A atomica; (A B) := A B (negativo); (A B) :=!A!B (positivo); (A B) :=!A B (negativo); ( x.a) := x.a (negativo); ( x.a) := x.!a (positivo). Inne, anche la logica classica è traducibile nella logica lineare, ma non direttamente, per quanto visto. In particolare, alle formule classiche viene associata una traduzione che dipende da una associazione di polarità alle sottoformule; tale assegnazione è data da tavole di polarità isomorfe alle tavole di verità dei connettivi classici. 4

5 Riferimenti bibliograci [1] Girard J.-Y. (1987), Linear Logic, Theoretical Computer Science, London Mathematical, London; [2] Girard J.-Y., Lafont Y., Taylor P. (1989), Proofs and types, Cambridge tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge; [3] Girard J.-Y. (1991), A new constructive logic: classical logic, Rapports de recherchè n.1443, Institut national de recherchè en Informatique et en Automatique, Rocquencourt; [4] Girard J.-Y. (1995), Linear Logic, its syntax and semantics, in Advances in Linear Logic, eds Girard, Lafont, Regnier, London Mathematical Society Lecture Notes series 222, Cambridge University Press, Cambridge; [5] Girard J.-Y. (1998), On the meaning of logical rules I: syntax vs. semantics, in Computational Logic, eds Berger and Schwichtenberg, pp , SV, Heidelberg, 1999; 5