LE FORMULE DI VIÈTE-GIRARD E LE FORMULE DI NEWTON-GIRARD

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1 LE FORMULE DI VIÈTE-GIRARD E LE FORMULE DI NEWTON-GIRARD Prof. Fabio Breda Abstract. Lo scopo di questo articolo è fornire ai partecipanti al progetto Archimede degli strumenti per la preparazione alle olimpiadi della matematica a squadre e al progetto MIND. Il matematico francese François Viète ( ) ha determinato alcune della relazioni che intercorrono tra i coecienti e le radici di un polinomio, formule note però con il nome di Viète-Girard, poiché la formulazione chiara di queste relazioni è opera del matematico Albert Girard (595 63). Il seguente teorema esprime tali relazioni. Teorema (Formule di Viète-Girard) Sia p(x) = x n +a n x n +...+a x+a 0 un polinomio a coecienti reali di grado n e siano x, x,..., x n le sue radici (in generale complesse) ripetute con la loro molteplicità, allora x + x x n = x i = a n i n x x + x x x n x n = i<j n x x x 3 + x x x x n x n x n =. x x x n = ( ) n a 0 x i x j = a n i<j<k n x i x j x k = a n 3 Dimostrazione. E' suciente eseguire le moltiplicazioni nell'espressione (x x )(x x ) (x x n ) e poi confrontare il polinomio risultante col polinomio x n + a n x n a x + a 0 applicando, poi, il principio di identità dei polinomi che aerma che due polinomi sono uguali se hanno uguali i coecienti delle stesse potenze della variabile. Nel caso di n = il polinomio diventa x + a x + a 0 e le formule si riducono a x + x = a e x x = a 0. Nel caso n = 3 il polinomio diventa x 3 + a x + a x + a 0 e le formule si riducono a x + x + x 3 = a, x x + x x 3 + x x 3 = a e x x x 3 = a 0.

2 Propongo ora alcuni esercizi risolvibili con le formule di Viète-Girard: Esercizio.(MIND, Entry test January 5, 05) Let a, b, c the roots of x 3 3x 8x We know that ab = 0. How much is c(a + b)? Solution: Consider the relation between the linear coecient and the roots: 8 = ab + bc + ca. So (b + a)c = 8 ab = 8. Esercizio. Dato il polinomio p(x) = x 4 + 3x 3 x 9x + 6 calcolare il valore dell'espressione x x x 3 + x x x 4 + x x 3 x 4 + x x 3 x 4 Soluzione: Facendo il minimo comune multiplo si arriva a ottenere. Esercizio.3 Se m, n e sono le tre radici dell'equazione x 3 mx + nx = 0, allora quanto vale la loro somma? Soluzione: Abbiamo che la somma delle radici è a, cioè l'opposto del coeciente di x, da cui n + = 0; ricordandoci che il termine noto è l'opposto del prodotto delle tre radici si ha = m, da cui m =.

3 3 Anche le somme di potenze di radici hanno delle regolarità molto particolari; infatti anche esse possono essere espresse mediante i coecienti del polinomio. Girard, molti anni prima, aveva mostrato come calcolare la somma dei quadrati delle radici, o la somma dei cubi o delle quarte potenze; ma fu Newton che generalizzò queste ricerche no a comprendere tutte le potenze. Nel seguente teorema riporto il suo risultato: Teorema (Formule di Newton-Girard) Sia p(x) = x n + a n x n a x + a 0 un polinomio a coecienti reali di grado n e siano x, x,..., x n le sue radici (in generale complesse) ripetute con la loro molteplicità, allora ponendo S k = x k + x k x k n S k + a n S k + a n S k a n k k = 0 se k n S k + a n S k + a n S k a 0 S k n = 0 se n k Dimostrazione. Newton lascia la dimostrazione al suo lettore. La prima dimostrazione della regola di Newton è data da Maclaurin. Egli comincia con il considerare il caso di una somma di potenze k-esime, con k > n (il caso più semplice). Poiché x i è radice del polinomio abbiamo che Da questo seguono le identità Sommando tutte le righe abbiamo ( x n i + a n x n i a x i + a 0 ) x k n i = 0 x k + a n x k a x k n+ + a 0 x k n = 0 x k + a n x k a x k n+ + a 0 x k n = 0 x k 3 + a n x k a x k n+ 3 + a 0 x k n 3 = 0... S k + a n S k a S k n+ + a 0 S k n = 0 In seguito Maclaurin considera il caso di k n ma rimando i dettagli a []. Un'altra dimostrazione elegante è fornita da Lagrange e anche di questa rimando i dettagli a []. Nel caso di n = il polinomio diventa x + a x + a 0 e possiamo ricavare alcuni esempi di formule: S = a, S = a a 0... Nel caso n = 3 il polinomio diventa x 3 + a x + a x + a 0 e possiamo ricavare alcuni esempi di formule: S = a, S = a a, S 3 = a 3 + 3a a 3a 0...

4 4 Propongo ora alcuni esercizi risolvibili con le formule di Newton-Girard: Esercizio. Consideriamo l'equazione x 4 x 3 x + = 0. Calcolare la somma delle potenze di ordine 5 delle sue radici. Soluzione: S + a 3 = 0 S = S + a 3 S + a = 0 S = S 3 + a 3 S + a S + a 3 = 0 S 3 = 4 S 4 + a 3 S 3 + a S + a S + a 0 4 = 0 S 4 = S 5 + a 3 S 4 + a S 3 + a S + a 0 S = 0 S 5 = Esercizio. Determina la somma delle potenze 4-esime delle radici del polinomio x 7 x = 0 Soluzione: S 4 = 7 Esercizio.3 Dato il polinomio p(x) = 7x 3 + x +, calcolare S, S e S 3. Soluzione: Occorre trasformare il polinomio dato in uno monico. Sia dunque p (x) = x x + 7. Utilizzando le formule si ottiene S = a = 0, S = a a = 4 7, S 3 = a 3 + 3a a 3a 0 = 3 7. Esercizio.4 Trova la somma delle quinte potenze delle radici del polinomio x 6 4x 5 +3x 3 4x +x+. Soluzione: S 5 = 859 Esercizio.5 Trova la somma delle ottave potenze delle radici del polinomio x 4 x 3. Soluzione: S 8 = 3 Esercizio.6 Trova la somma delle decime potenze delle radici del polinomio x 3 3x +. Soluzione: S 0 = 6.

5 5 Ed ora esercizi misti: Esercizio 3. Trova m e risolvi la seguente equazione sapendo che le sue radici formano una progressione geometrica x 4 5x x 0x + m = 0. Esercizio 3. (China MO 005) Se p e q sono due numeri reali soddisfacenti le relazioni p 3p = 0 e q + 3q = 0, con pq, trovare il valore di pq + p + q Esercizio 3.3 Trova S, S,..., S n delle radici del polinomio x n + xn + xn n!. Esercizio 3.4 Dimostrare che se la somma delle radici di un'equazione di quarto grado è nulla allora S 5 5 = S 3 3 S. Esercizio 3.5 Dimostrare che se per un'equazione di sesto grado S = S 3 = 0 allora S 7 7 = S 5 5 S. Esercizio 3.6 Trovare le equazioni di grado n per le quali S = S =... = S n = 0. Esercizio 3.7 (Cesenatico 00) Determinare per quali valori di n tutte le soluzioni dell'equazione x 3 3x + n = 0 sono numeri interi. Esercizio 3.8 (Australian MO 996) (Gara a Squadre 996.) Sia p(x) un polinomio cubico. Supposto che ( ) ( p + p ) = 000 p (0) trovare il valore di x x + x x 3 + x 3 x Esercizio 3.9 Siano a, b, c le lunghezze dei lati di un triangolo ABC con a > b > c e b = a + c, e b intero positivo. Se a + b + c = 84, trovare il valore di b. Esercizio 3.0 (Finale Cesenatico 0.) p(x) è un polinomio di terzo grado con coeciente direttivo uguale a e con tutte le radici intere positive e tale che p() < 500 e il prodotto delle radici sia 0. Calcolare il coeciente della x. Esercizio 3. Dato il polinomio p(x) = 3x 3 + πx x, calcolare il valore dell'espressione 3 x (x ) + x (x ) + x 3(x 3 ). Esercizio 3. Indicando con x, x, x 3, x 4 le soluzioni dell'equazione x 4 x 3 7x x + = 0, quanto vale la somma dei reciproci delle soluzioni? Esercizio 3.3 (Stage PreIMO Pisa 006). Siano p e q interi positivi, e sia p(x) = (x + ) p (x 3) q = x n + a x n + a x n a n x + a n. Determinare tutte le coppie (p, q) di interi positivi per cui si ha che a = a.

6 6 Esercizio 3.4 Risolvere il seguente sistema: x + y + z = 4 x + y + z = 4 x 3 + y 3 + z 3 = 34 Esercizio 3.5 Determina λ in modo tale che una delle radici dell'equazione x 3 7x + λ = 0 sia uguale al doppio di un'altra. λ. Esercizio 3.6 La somma di due radici dell'equazione x 3 x 7x + λ = 0 è uguale a. Determina Esercizio 3.7 Determina una relazione tra i coecienti dell'equazione x 3 + px + q = 0 anché si abbia x 3 = x + x. Esercizio 3.8 Trovare la relazione tra i coecienti dell'equazione x 3 + px + qx + r = 0, nella quale una radice è uguale alla somma delle altre due. Esercizio 3.9 Determina a, b e c in modo che siano radici dell'equazione x 3 ax + bx c = 0.

7 7 Soluzioni degli esercizi misti: Esercizio 3. [Metaliu Klara] Soluzione: Siano λ, λq, λq, λq 3 le 4 soluzioni dell'equazione. Per le formule di Viète: λ + λq + λq + λq 3 = 5 λ q + λ q + λ q 3 + λ q 3 + λ q 4 + λ q 5 = 70 λ 3 q 3 + λ 3 q 5 + λ 3 q 6 + λ 3 q 4 = 0 λ 4 q 6 = m quindi cioè λ( + q + q + q 3 ) = 5 λ q( + q + q + q 3 + q 4 ) = 70 λ 3 q 3 ( + q + q + q 3 ) = 0 λ 4 q 6 = m Dalla prima equazione ho che ( + q + q + q 3 ) = 5 λ e sostituendo nella terza equazione λ 3 q 3 5 λ = 0 λ q 3 = 8 λ 4 q 6 = 64 m = 64 Quindi il polinomio è uguale a x 4 5x x 0x + 64 = 0 (x )(x )(x 4)(x 8) = 0 cioè le soluzioni sono,, 4, 8 e la ragione della progressione q = Esercizio 3. (China MO 005) Soluzione: Le soluzioni delle due equazioni quadratiche si trovano facilmente: p = p = q = q = 3 7 e si nota che p q = p q = mentre q = p e q = p Quindi, nelle ipotesi del problema, possiamo supporre che q = p quindi pq + p + q = p p p = p 3p + p p = p p = Esercizio 3.3 [Boscaratto Simone] Soluzione: Applicando le formule di Newton-Girard per n = e n =, si ottiene: S + a n k = 0 S = ( ) =

8 8 S + a n S + a n k = 0 S = ( ( ) + ) = 0 Generalizzando rispettivamente i termini a n S e a n k dalla seconda equazione trovata, si ottiene: a n k+ S = a n (k ) S = (k )! ( ) = (k ) a n k k = k! k = (k ) k k = (k ) Di conseguenza, escluso il caso di n = in cui appaiono solo i termini S e a n k, gli ultimi due termini di ogni equazione ricavata dalle formule di Newton-Girard si annullano, rendendo nulla la somma nel caso di n = (come visto nell'esempio). Per la ricorsività della formula e la legge di annullamento del prodotto, si ha che in ogni equazione ottenuta per n > gli unici termini diversi da 0 sono esattamente gli ultimi due, i quali annullandosi a vicenda rendono ogni somma nale pari a 0. Perciò, S = ; S n = 0 n N n. Esercizio 3.4 [Metaliu Klara] Soluzione: Sappiamo che x + x + x 3 + x 4 = 0 cioè S = 0. Per dimostrare l'uguaglianza tra S 5 5 e S 3 3 S nel caso in cui a 3 = S = 0 utilizzo le formule di Newton, ricavando S, S 3, S 4, S 5 e sostituendo mano a mano le relazioni ricavate nelle formule successive. S = a 3 S a k S = a S 3 = a 3 S a S a k S 3 = 3a S 4 = a 3 S 3 a S a S a 0 k S 4 = a 4a 0 S 5 = a 3 S 4 a S 3 a S a 0 S S 5 = 5a a sostituendo S, S 3 e S 5 nell'equazione ottengo: 5a a 5 = 3a 3 a a a = a a Esercizio 3.5 [Toolin Leonardo] Soluzione: Sia x 6 + a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a x + a x + a 0 = 0 un'equazione di sesto grado con S = S 3 = 0. Per dimostrare l'uguaglianza tra S 7 7 e S 5 5 S utilizzo le formule di Newton-Girard, ricavando S, S 4, S 5, S 6 e S 7 e sostituendo mano a mano le relazioni ricavate nelle formule successive in modo da ottenere le seguenti scritture: per n = 6 e k = S + a 5 k = 0 a 5 = 0

9 9 per n = 6 e k = per n = 6 e k = 3 S + a 5 S + a 4 k = 0 S = a 4 S 3 + a 5 S + a 4 S + a 3 k = 0 a 3 = 0 per n = 6 e k = 4 S 4 + a 5 S 3 + a 4 S + a 3 S + a k = 0 S 4 = 4a + (a 4 ) per n = 6 e k = 5 S 5 + a 5 S 4 + a 4 S 3 + a 3 S + a S + a k = 0 S 5 = 5a per n = 6 e k = 7 S 7 + a 5 S 6 + a 4 S 5 + a 3 S 4 + a S 3 + a S + a 0 S = 0 S 7 = 7a a 4 Ora è possibile sostituire i valori di S 7, S e S 5 trovati precedentemente: S 7 7 = 7a a 4 = a a 4 e 7 S 5 5 S = 5a a 4 = a a 4 5 L'identità è dunque vericata. Esercizio 3.6 Soluzione: Applicando le formule di Newton-Girard per n = si ottiene: per n = S + a n = 0 S = a n a n = 0 S + a n S + a n = 0 S = a n S a n = a n a n = 0 Generalizzando si capisce che si annullano tutti i coecienti del polinomio cercato tranne l'ultimo poiché S n non deve essere necessariamente nullo. Quindi il polinomio è del tipo x n a. Esercizio 3.7 (Cesenatico 00) Soluzione: Se a, b, c sono le tre soluzioni (non necessariamente distinte) dell'equazione x 3 3x+n = 0, allora per le formule di Viète a + b + c = 0, ab + bc + ca = 3 e abc = n Essendo (a + b + c) = a + b + c + (ab + bc + ca), si ottiene a + b + c = 6. Se a, b, c sono interi, questo è possibile solo se due dei quadrati sono uguali ad ed il terzo è uguale a 4. Pertanto possiamo assumere, per simmetria, che a = ±, b = ±, c = ±. Poiché inoltre si deve avere a + b + c = 0, le sole possibilità sono a = b =, c = e a = b =, c =, da cui si ricava che n = oppure n =. Esercizio 3.8 (Australian MO 996)(Gara a Squadre 996.) Soluzione: Un polinomio cubico è della forma x 3 + a x + a x + a 0 quindi ( ) p = a + ( a + a 0 e p ) = a a + a 0

10 0 quindi p ( ) ( + p ) = a + p(0) a 0 cioè a = 996a 0 Conoscendo le formule di Viète e esplicitando i calcoli si ha che x x + x x 3 + x 3 x = x + x + x 3 x x x 3 = a a 0 = 996 Esercizio 3.9 [Breda Fabio] Soluzione: Essendo (a + b + c) = a + b + c + (ab + bc + ca) = a + b + c + [b(a + c) + ca], si ottiene 5b ac = 84. Quindi il sistema { a + c = b 5b ac = 84 il quale porta all'equazione risolvente c 4bc + 5b 84 = 0 nella variabile c. Questa equazione ha soluzioni reali solo se il suo delta è non negativo cioè se 4b I valori di a, b e c devono essere positivi in quanto lati di un triangolo, quindi, per il teorema di Cartesio, per avere soluzioni dell'equazione risolvente entrambe positive devo avere due variazioni, poiché è positivo e 4b negativo, dunque 5b 84 > 0. Se 5b 84 < 0 si ottiene una soluzione c positiva e una soluzione c negativa, ma la soluzione positiva, l'unica accettabile, sommata a quella negativa darebbe b poiché per le equazioni di secondo grado vale la relazione x + x = b a. Ma questo porterebbe a dire che per le due soluzioni c e c vale c + c = b e quindi che la soluzione c positiva è maggiore di b e, dato che a = b c, che a è negativa e questro non è accettabile. Dunque devo richiedere che entrambe le soluzioni delle equazioni siano positive. Dato che a + b + c = 84 implica che b < 84. Queste tre condizioni portano al sistema b N 4b b 84 > 0 b < 84 b N b =,, 3, 4, 5 b = 5, 6, 7,... b =,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 quindi b = 5. E' facile vericare che con tale b e con la condizione a > b > c si ottiene a = c = 0 3. e Esercizio 3.0 (Finale Cesenatico 0.) Soluzione: Per le formule di Viète abbiamo p(x) = x 3 + ax + bx 0 = (x x )(x x )(x x 3 ). Fattorizziamo 0 = 503 ed analizziamo tutte le possibili terne (x, x, x 3 ) = (,, 0), (,, 006), (, 4, 503), (,, 503)

11 Adesso calcoliamo a e b per ognuno dei 4 casi possibili e stabiliamo quale sia la soluzione. a = x x x 3 = 04, 009, 508, 507 b = x x + x x 3 + x x 3 = 405, 300, 59, 06 + a + b 0 < 500 a + b < 5 Dunque l'unica terna accettabile è (,, 503), e la risposta 06. Esercizio 3. [Metaliu Klara] Soluzione: L'espressione data corrisponde a x (x ) + x (x ) + x 3(x 3 ) = =x 3 x + x 3 x + x 3 3 x 3 = =x 3 + x 3 + x 3 3 (x + x + x 3) = =S 3 S Per poter utilizzare le formule di Newton così da calcolare rapidamente il valore dell'espressione, è necessario che il polinomio sia monico, divido quindi tutti i termini del polinomio per 3 così da rendere il coeciente del termine di grado massimo uguale a. P (x) = x 3 + π 3 x 3 3 x 3 A questo punto per le formule di Newton ho che: S = a = π 3 ( S = a S a k = π ) = π ( S 3 = a S a S a 0 k = π π ) ( π 3 ) = π π + π S 3 S = π π π 9 Esercizio 3. [Metaliu Klara - Vitali Marina] Soluzione: Dato il polinomio x 4 x 3 7x x + = 0 quindi x + x + x 3 + x 4 = x x 3 x 4 + x x 3 x 4 + x x x 4 + x x x 3 x x x 3 x 4 = a a 0 =

12 Esercizio 3.3 (Stage PreIMO Pisa 006). Soluzione: Il coeciente a è l'opposto della somma di tutte le radici (ciascuna presa tante volte quante è la sua molteplicità) mentre a la somma dei loro prodotti a due a due, pertanto, poiché ci sono p radici uguali a e q radici uguali a 3, a = p 3q; ( ) ( ) p q a = + 9 3pq; p 3q = ( p ) ( ) q + 9 3pq. Liberando dai denominatori e svolgendo i calcoli si trova (p 3q) = 3p + 3q, da cui scopriamo che p 3q = 3h è divisibile per 3. Sostituendo otteniamo 3(p + q) = 9h e pertanto abbiamo il sistema { p + q = 3h p 3q = 3h da cui otteniamo 3h(h ) q = 4 3h(3h + ) p = 4 E' facile vedere che queste formule restituiscono valori di p e di q interi se e solo se h è della forma 4s o 4s + (dove s è un intero). Esercizio 3.4 [Metaliu Klara, Piccin Erica] Soluzione: Dato il sistema x + y + z = 4 x + y + z = 4 x 3 + y 3 + z 3 = 34 considerando le tre variabili come le tre soluzioni di un'equazione di terzo grado e utilizzando le formule di Newton il sistema di può scrivere nel seguente modo: S = 4 S = 4 S 3 = 34 Sempre per le formule di Newton si ha che S = a S = a S a k S 3 = a S a S a 0 k Dato che il valore della somma delle soluzioni, ovvero S, è già nota, ottengo che a = 4 e quindi a = 4. A questo punto sostituisco tutti i termini di cui conosco il valore nella seconda equazione, così da arrivare ad avere un'equazione di primo grado nella variabile a :

13 3 S = a S a k 4 = 6 a a = Allo stesso modo, sostituisco i termini nella terza equazione per ottenere un'equazione di primo grado nella variabile a 0 : S 3 = a S a S a 0 k 34 = 5 4 3a 0 a 0 = 6 Quindi il polinomio di terzo grado di cui devo trovare le radici è: P (x) = x 3 4x + x + 6 le cui soluzioni sono: P ( ) = 0 x = P () = 0 y = P (3) = 0 z = 3 dunque S = {(,, 3)}. Esercizio 3.5 [Toolin Leonardo, Milanese Nicolò] Soluzione: Consideriamo l'equazione di terzo grado x 3 7x + λ = 0. Applichiamo la seguente formula di Viète-Girard: x + x x n = i n x i = a n in tal caso diventa: x + x + x 3 = 0, ossia x + x = x 3. Sapendo che una soluzione, ad esempio x, è doppio di un'altra x, possiamo scrivere che 3x = x 3. Applichiamo ora una seconda formula di Viète-Girard: x x + x x x n x n = i<j n x i x j = a n Abbiamo quindi x 6x 3x = 7 = 7 7x = 7 x = x = ±. Applichiamo una terza relazione di Viète-Girard: x x...x n = ( ) n a 0 Nel nostro caso: x x x 3 = λ 6x 3 = λ Distinguiamo ora due casi. Se x = x = e x 3 = 3 λ = 6. Se x = x = e x 3 = 3 λ = 6

14 4 Esercizio 3.6 [Toolin Leonardo, Milanese Nicolò] Soluzione: Consideriamo l'equazione di terzo grado x 3 x 7x + λ = 0. Sapendo che la somma di due soluzioni dà, ossia x +x =, si può determinare λ utilizzando l'apposita formula di Viéte-Girard: x + x x n = x i = a n i n Dopo aver diviso entrambi i membri dell'equazione per, otteniamo che: x + x + x 3 =. Risolvendo l'equazione rispetto a x 3, si ottiene: x 3 =. Poiché la soluzione trovata deve soddisfare l'uguaglianza, è possibile ricavare il parametro λ: = λ + 4 = λ λ = 3 4 Esercizio 3.7 [Vitali Marina] Soluzione: x 3 + px + q = 0 x 3 = + = x + x x x x x Adesso vorrei moltiplicare tutto per x x ma per farlo devo imporre che nessuna delle due soluzioni sia zero. Se lo fossero avrei 0 + q = 0 perciò q=0. Altrimenti x x x 3 = x + x Per le formule di Viète-Girard: x x x 3 = q x + x = q Sempre per le formule di Viète-Girard: x + x + x 3 = 0 quindi { x + x + x 3 = 0 x 3 = q x + x q = 0 quindi x x q = q x x = Per le formule di Viète-Girard: x x +x x 3 +x x 3 = p + x q +x q = p + q (x + x ) = p dunque q + q + p = 0 q = 0 + q ( q) = p q + q + p = 0 Esercizio 3.8 [Arghittu Nicola, Berti Andrea] Soluzione: Partendo dai dati del problema possiamo porre x = x + x 3 e utilizzando la formula di Viète-Girard (x + x + x 3 = a ) possiamo scrivere x + x + x 3 = p cioè x = p cioè x = p. Sostituendo nell'equazione di partenza x 3 + px + qx + r = 0 alla variabile x la radice x = p, otteniamo la relazione tra i coecienti p, r e q: p 3 + 8r = 4pq Esercizio 3.9 [Arghittu Nicola, Berti Andrea] Soluzione: Partendo dai dati del problema possiamo porre x = a, x = b e x 3 = c e utilizzando la formula di Viète-Girard (x + x + x 3 = a ) possiamo scrivere a + b + c = a da cui b = c. Utilizzando la formula di Viète-Girard (x x x 3 = ( ) 3 a 0 ) possiamo scrivere a b c = c da cui:

15 5 se c 0, allora a b = cioè ( c) = quindi a = c Utilizzando la formula di Viète-Girard (x x +x x 3 +x x 3 = a ) possiamo scrivere ab+cb+ac = b da cui si ricava c =, a = e b =. se invece c = 0, allora b = 0 e a può assumere qualsiasi valore appartenente ad R. Bibliograa: [] Polinomi ed equazioni Ercole Suppa e Rosanna Tupitti 0 novembre 0 [] Materiali per il corso di Storia della Matematica M. Galuzzi 9 maggio 0 [3] QUADERNO DI MATEMATICA A. S.MATHESIS - SEZIONE BETTAZZI A.A. 00/0 DI- SPENSE DI MATEMATICA OLIMPIONICA A. Astol G. Audrito A. Carignano F. Tanturri seconda edizione riveduta e ampliata da G. Audrito G. Distefano R.Maucci L. Prelli F. Roman [4] Esercizi di Algebra Superiore - D. Faddeev, I. Sominskij - Editore Riuniti. [5] Problemi sui polinomi - Gavioli_Algebra%03.pdf